初中数学新人教版七年级下册9.1.1　平面直角坐标系的概念教案（2025春）

9.1.1　平面直角坐标系的概念【素养目标】1.认识平面直角坐标系、原点、横轴、纵轴和象限.2.能正确画出平面直角坐标系，经历由点写出坐标、由坐标描点，体会数形结合思想.【教学重点】正确认识平面直角坐标系，会准确地由点写出坐标、由坐标描点.【教学难点】平面内点的坐标的有序性.【教学过程】活动一：创设情境，新课导入[设计意图]提出问题引导学生回顾旧知，为引入平面直角坐标系做铺垫.(1)生活中如何确定一个具体位置？如图是一个小组进行表演训练的模拟情形，有一个人的动作不规范，你能表示出他的位置吗？可用小学学过的有序数对确定.这个人位于第2行第3列，若把行数、列数编号，可用有序数对记为(2，3).(2)什么是数轴？规定了原点、正方向、单位长度的直线就构成了数轴.(3)如图，数轴上的点A表示数1.反过来，数1就是点A的位置.我们说数1是点A在数轴上的坐标.同理可知，点B在数轴上的坐标是－3；点C在数轴上的坐标是2.5；点D在数轴上的坐标是0.(4)数轴上的点与实数之间存在着一一对应的关系.[教学建议]学生回忆并作答，为本课的学习提供迁移或类比方法.活动二：交流合作，探究新知[设计意图]通过与数轴类比的实例进行引入，在此基础上抽象出平面直角坐标系的概念.探究点1　平面直角坐标系问题1　(教材P64思考)类似于上面利用数轴确定直线上点的位置，能不能找到一种办法来确定平面内的点的位置呢(请以图①中的点A为例说明)?如图①，我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，习惯上取向上为正方向；两坐标轴的交点O称为平面直角坐标系的原点.有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示了.如图②，由点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是3，垂足N在y轴上,的坐标是4，我们说点A的横坐标是3，纵坐标是4，有序数对(3，4)就叫作点A的坐标，记作A(3，4).问题2　结合图②和上面的知识，请你写出B，C，D，E的坐标.B(－3，－4)，C(0，2)，D(0，－3)，E(－2，0).[对应训练]1.下列选项中，平面直角坐标系的画法正确的是（D）2.教材P66练习第1题.[教学建议]教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流，教师最后进行总结并引入平面直角坐标系的概念.注意引导学生学会利用有序数对表示出点的坐标.通过与数轴类比可以更好地理解点与坐标的对应关系，从而实现一维到二维的过渡.注意强调平面直角坐标系的画法规则.[设计意图]使学生进一步了解平面直角坐标系，加深理解.探究点2　平面直角坐标系中的点的坐标特征问题1　(教材P65思考)原点O的坐标是什么？x轴和y轴上的点的坐标有什么特点？原点O的坐标为(0，0)；x轴上的点的纵坐标为0，例如(1，0)，(－1，0)，…；y轴上的点的横坐标为0，例如(0，1)，(0，－1)，….如图①，A(3，0)，B(－2，0)，C(0，2)，D(0，－3).概念引入：3 建立平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分(如图②)，每个部分称为象限，它们分别叫作第一象限、第二象限、第三象限和第四象限.问题2　各部分及坐标轴上的点的坐标有什么特点？注意：坐标轴上的点不属于任何象限.例1　(教材P65例1)在平面直角坐标系中描出下列各点：A(4，5)，B(－2，3)，C(－2.5，－2)，D(4，－2)，E(0，－4).[教学建议]教师引导学生思考，对于回答不完善的地方予以补充，注意引导学生学会画出用坐标表示的点的位置，对于各象限的点的坐标特点有清晰的了解.注意强调表示坐标时横、纵坐标顺序不可颠倒，及位于坐标轴上的点不属于任何象限.解：如图①，先在x轴上找出表示4的点，再在y轴上找出表示5的点，过这两个点分别作x轴和y轴的垂线，垂线的交点就是点A.类似地，可在图中描出点B，C，D，E.归纳总结：如图②，类比数轴上的点与实数是一一对应的，对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一个有序实数对(x，y)(即点M的坐标)和它对应；反过来，对于任意一个有序实数对(x，y)，在坐标平面内都有唯一的一点M(即坐标为(x，y)的点)和它对应.也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.这样，利用坐标平面内点的坐标，可以确定平面内点的位置.拓展：平面直角坐标系中的点到坐标轴的距离：点到x轴的距离是该点纵坐标的绝对值；点到y轴的距离是该点横坐标的绝对值.[对应训练]教材P66练习第2，3题.活动三：重点突破，巩固提升[设计意图]针对平面直角坐标系中的点的坐标特征出题，加深学生对于概念的理解和相应的运用能力.例2　已知点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1.如果过点P作两坐标轴的垂线，垂足分别在x轴的正半轴上和y轴的负半轴上，那么点P的坐标是（B）A.(2，－1)B.(1，－2)C.(－2，－1)D.(1，2)例3　(1)如果点M(－5，2＋b)在x轴上，那么b＝－2.(2)如果点N(a－3，2a)在y轴上，那么点N的坐标是(0，6).(3)平面直角坐标系中有点M(a，b).①当a＞0，b＜0时，点M位于第几象限？②当ab＞0时，点M位于第几象限？③当a为任意有理数，且b＜0时，点M位于第几象限？解：①点M位于第四象限；②点M位于第一象限(a＞0，b＞0)或者第三象限(a＜0，b＜0)；③点M位于第三象限(a＜0，b＜0)或者第四象限(a＞0，b＜0)或者y轴负半轴上.[对应训练]若点P(m，m－4)到x轴的距离为a，到y轴的距离为b.(1)当m＝3时，a＋b＝4；(2)若a＋b＝10，求出点P的坐标；(3)若点P在第三象限，且3a＋kb＝12(k为常数)，求出k的值.解：(2)因为a＋b＝10，所以|m|＋|m－4|＝10.①当m＜0时，－m－m＋4＝10，解得m＝－3，所以P(－3，－7)；②当0≤m≤4时，m－m＋4＝10，无解，舍去；③当m>4时，m＋m－4＝10，解得m＝7，所以P(7，3).综上所述，点P的坐标为(－3，－7)或(7，3).(3)因为点P在第三象限，所以m＜0，m－4＜0，所以a＝|m－4|＝4－m，b＝|m|＝－m.因为3a＋kb＝12，所以3(4－m)－km＝12，所以－3m－km＝0，所以k＝－3.[教学建议]3 当题目涉及平面直角坐标系的各个象限内的点的符号特征时，注意不要混淆正负号，如例3中ab>0可得同正或同负，注意不要漏掉后一种情况.而根据点到坐标轴的距离解题时，若不确定点所在的象限，则绝对值符号不可省略，于是不可忽视分类讨论.活动四：随堂训练，课堂总结【作业布置】1.教材P69习题9.1第1，3，4，5，8题.3