初中数学新人教版七年级下册10.4第1课时三元一次方程组的解法教案（2025春）

10.4　三元一次方程组的解法第1课时　三元一次方程组的解法【素养目标】1.了解三元一次方程组的概念.2.会运用“代入法”或“加减法”对三元一次方程组逐步消元，进而求解.3.能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法.【教学重点】三元一次方程组的解法及“消元”思想.【教学难点】根据方程组的特点，选择合适的未知数和方法消元.【教学过程】活动一：创设情境，新课导入[设计意图]列举实际问题，为引入三元一次方程(组)做准备.[情境导入](教材P107问题)请大家看下面这一问题：在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场？我们可以通过设元解一元一次方程或二元一次方程组，得到上面问题的答案为胜14场，平5场，负3场.观察上述问题，我们发现：这道题中一共有三个未知量和三个相等关系.参考二元一次方程组，我们能否把这三个未知量都设出来，然后通过方程求出它们的值呢？今天我们将学习如何通过列三元一次方程组来解决此类问题.[教学建议]教师引导学生思考两种解法应如何设元和列方程(组)，不必写出解方程(组)的过程.活动二：问题引入，自主探究[设计意图]结合解二元一次方程组的“消元”方法，探索三元一次方程组的解法.探究点　三元一次方程组的有关概念及解法问题1　对于“活动一”中的问题，请结合已知条件写出相等关系：①胜的场数＋平的场数＋负的场数＝22；②胜场积分＋平场积分＋负场积分＝47；③胜的场数＝负的场数×4＋2.问题2　设这个球队胜、平、负的场数分别为x，y，z.根据题意，可以得到哪三个方程？x＋y＋z＝22，①　3x＋y＝47，②　x＝4z＋2.③问题3　大家知道，方程②③是二元一次方程，观察方程①，结合二元一次方程的定义，方程①有什么特点？方程①中含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1.概念引入：一个方程中含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作三元一次方程.这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成概念引入：一个方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组.问题4　这个方程组能用代入法解吗？如果能，请写出解题过程.(请学生上台板演)解：把③分别代入①②，得到关于y，z的二元一次方程组解这个方程组，得把z＝3代入③，得x＝14.因此，这个三元一次方程组的解为问题5　你还能用其他方法解这个三元一次方程组吗？2 解：可以用加减法解这个三元一次方程组.因为方程③中不含未知数y，故考虑通过方程①②消去y.②－①，得2x－z＝25.④③与④组成方程组解这个方程组，得把x＝14，z＝3代入①，得y＝5.因此，原方程组的解为(方法不唯一)归纳总结：解三元一次方程组的基本思路与解二元一次方程组的基本思路一样.例　(教材P108例1)解三元一次方程组3x＋4z＝7，2x＋3y＋z＝9，5x－9y＋7z＝8.①②③问题1　观察方程组中的各个方程的未知数，你有什么发现？方程①中，不含未知数y；方程②和方程③中，三个未知数均含有.问题2　根据上面的发现，你认为选择哪种方法解方程组较简便，请写出解答过程.用加减法较简便.解：②×3＋③，得11x＋10z＝35.④①与④组成方程组解这个方程组，得把x＝5，z＝－2代入②，得2×5＋3y－2＝9，y＝13.因此，这个三元一次方程组的解为问题3　你还有其他解法吗？试一试，并与上面的解法进行比较.解：由①，得x＝7－4z3.④把④分别代入②③，得到关于y，z的二元一次方程组[对应训练]1.下列是三元一次方程组的是（D）2.解方程组(1)若先消去x，得到关于y，z的方程组是(2)若先消去y，得到关于x，z的方程组是(3)若先消去z，得到关于x，y的方程组是(答案均不唯一)3.教材P109练习.[教学建议]学生分组讨论合作完成问题，得出三元一次方程(组)的概念，类比二元一次方程组的解法，将三元一次方程组消元后求解，体会方程组解法的多样性.当三元一次方程组中有二元一次方程时，可将二元一次方程变形后代入(或直接代入)另两个方程，运用代入法消元；也可对另外两个方程运用加减法消去二元一次方程中不含的未知数.活动三：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是三元一次方程组？解三元一次方程组的基本思想是什么？方法有哪些？2.解三元一次方程组时有哪些需要注意的问题？如何消元可以使过程更简便？【作业布置】1.教材P111习题10.4第1，2题.2