初中数学新人教版七年级下册10.4第2课时　三元一次方程组的应用教案（2025春）

10.4　三元一次方程组的解法第2课时　三元一次方程组的应用【素养目标】会利用三元一次方程组解决实际问题，进一步提高分析问题、通过建立方程组模型解决问题的能力.【教学重点】三元一次方程组的应用.【教学难点】由问题情境构建三元一次方程组，解三元一次方程组的方法选择.【教学过程】活动一：悬疑设置，新课导入[设计意图]以学生熟悉的三角形进行举例为新课做铺垫.上节课我们学习了三元一次方程组的解法，现在我们来看下面这道题目：已知某个三角形的周长为18cm，其中两条边的长度之和等于第三条边长度的2倍，而它们的差等于第三条边长度的13，求这个三角形三边的长.这道题要用方程的知识来解决，题目中有3个相等关系，故需列出三元一次方程组.同学们，上面这个问题你会解答了吗？还想了解更多方程组的应用问题吗？让我们开始新课的学习吧！[教学建议]学生自主交流探索，不需解答，有解题思路即可.三角形的三条边长均未知，可顺其自然想到需设三个未知数，从而列三元一次方程组解决问题.活动二：交流合作，探究新知[设计意图]由问题条件抽象出三元一次方程组，从而应用其解决问题.探究点　三元一次方程组的应用例1　(教材P109例2)在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60.求a，b，c的值.问题1　要想求a，b，c三个未知数的值，一般要列一个三元一次方程组，根据题意，你能否列出此方程组.根据题中给出的三组x，y的对应值，把它们代入等式y＝ax2＋bx＋c中，即可得到三个关于a，b，c的三元一次方程a－b＋c＝0，4a＋2b＋c＝3和25a＋5b＋c＝60，从而组成一个三元一次方程组问题2　怎样消元解方程组最简便？观察方程组中三个未知数系数的特点，发现c的系数都是1，故先消去c最容易.问题3　请写出解答过程.解：根据题意，得三元一次方程组②－①，得a＋b＝1.④③－①，得4a＋b＝10.⑤④与⑤组成二元一次方程组解这个方程组，得把a＝3，b＝－2代入①，得c＝－5.因此a，b，c的值分别为3，－2，－5.例2　(教材P110例3)一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的13.如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99.求这个三位数.问题1　如何设元可以正确地反映题目中的数量关系？直接设一个未知数表示这个三位数可以解题吗？把这个三位数各数位上的数看成三个未知数，可以正确地反映题目中的数量关系.直接设一个未知数表示这个三位数无法解题.问题2　题目中有几个相等关系？请根据你在问题1中的设元方法将它们表示出来，并列出方程组.题目中有三个相等关系.设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z.2 相等关系1：各数位上的数的和为14→x＋y＋z＝14；相等关系2：百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的13→2x－y＝13z；相等关系3：如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99→100z＋10y＋x＋99＝100x＋10y＋z.列得三元一次方程组问题3　请根据你在问题2中列出的方程组继续完成本题的解答.[对应训练]1.尝试解决活动一中的问题.2.教材P111练习第1，2题.[教学建议]教师引导学生观察未知数系数的关系，考虑解此类由三个一次方程组成的方程组时，怎么消元，先消哪个元，可使过程更简便.[教学建议]通过设问逐步引导学生列出三元一次方程组，从而解决实际问题.数字问题是方程学习中的经典问题，通过三位数的三个数位，学生容易想到可设三个元，并发掘题目中隐含的三个相等关系，从而列出方程组.活动三：变式训练，灵活运用[设计意图]考查根据题意构造三元一次方程组解题，巩固本节课所学.例3　若(a＋2c－2)2＋|4b－3c－4|＋a2－4b－1＝0，其中a，b，c是有理数，试求a，b，c的值.[教学建议]学生自主完成解题，教师根据学生的完成情况进行有针对性的点评.解此类题时要注意审题，明确题意是隐含列三元一次方程组，并能够正确地计算出结果.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：你能根据实际问题中的相等关系构建三元一次方程组吗？能解决实际问题吗？【作业布置】1.教材P111习题10.4第3，4，5题.2