初中数学新人教版七年级下册11.1.1不等式及其解集教案（2025春）

11.1.1　不等式及其解集【素养目标】1.理解不等式的概念，理解不等式的解与解集的意义，知道它们的区别与联系.2.经历现实生活中不等关系的探究过程，体会建模思想.3.会用数轴表示简单不等式的解集，渗透数形结合思想.【教学重点】正确理解不等式、不等式的解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示在数轴上.【教学难点】理解不等式解集的意义以及在数轴上正确表示不等式的解集.【教学过程】活动一：创设情境，新知导入[设计意图]通过实例创设情境，从“等”过渡到“不等”，激发学生的学习兴趣，引入新课.我们学过等式，知道利用等式可以解决许多问题.同时，我们也知道在现实生活中还存在许多不等关系，利用不等关系同样可以解决实际问题.(1)猜大小.同学们知道图①中的两个苹果谁的体积比较大吗？左边的苹果的体积比较大.(2)猜体重.同学们知道图②中的小明和小颖谁的体重比较大吗？小明的体重比较大.[教学建议]利用学生感兴趣的图片、游戏，使学生体会到在现实生活中存在着许多不等关系，比如身高、体重、分数等，从而引入不等式的概念.活动二：问题引入，探究新知[设计意图]通过问题引入不等式的概念，使学生体会不等式是表示不等关系的式子，并能根据问题描述列出简单的不等式.探究点1　不等式的概念与列不等式阅读教材P121至例1之前，想一想：(1)对于课本中的“问题”，若设车速为xkm/h，则：①从时间的角度看，因为时间＝路程速度，所以不等关系可以表示为210x＜2.②从路程的角度看，因为路程＝时间×速度，所以不等关系可以表示为2x＞210.(2)像①②这样用符号“＜”或“＞”表示不等关系的式子，叫作不等式.像a＋2≠a－2这样用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.“≠”是不等于号，读作“不等于”，它表示两个量不相等(填“相等”或“不相等”).表示不等关系的“＞”“＜”“≠”都是不等号.我们常用不等式来表示不等关系.(3)在下列所给式子：①a＋3≠1；②12x＞2；③3＜5；④3x＋1；⑤－2＞－1；⑥1x＜－1；⑦a＋b＝b＋a中，属于不等式的有①②③⑤⑥.例1　(教材P121例1)用不等式表示下列不等关系：(1)a与15的和大于27；(2)b的一半与3的差是负数；(3)某县在乡村振兴项目的援助下，共种植1333hm2猕猴桃，种植面积超过全县原有猕猴桃种植面积的18倍.解：(1)a＋15>27；(2)b2－3＜0；(3)设这个县原有猕猴桃种植面积为xhm2，那么1333>18x，也可以表示为18x＜1333.[对应训练]1.如图，身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，那么这个式子可以表示成x＜y.(填“＞”“＜”或“＝”)2.教材P123练习第1题.[教学建议]教师引导学生观察思考，从实际问题出发，得出不等式的概念，再以实际问题为归宿，让学生学会列简单的不等式.3 注意强调：判断一个式子是不是不等式，关键看是否含表示不等关系的符号，与式子的正确性，是不是整式，或者是否含未知数都无关.[设计意图]通过列举满足实际问题条件的数值使学生感受不等式的解的概念.探究点2　不等式的解阅读教材P121例1之后至P122探究之前，想一想：(1)要使汽车在8：00之前驶过A地，车速可以是110km/h吗？107km/h呢？105km/h呢？90km/h呢？车速可以是110km/h或107km/h，不能是105km/h或90km/h.(2)请你类比方程的解的概念，归纳一下何谓不等式的解.使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解.(3)根据你归纳的不等式的解的概念，判断一下(1)中给出的数哪些是不等式2x＞210的解，哪些不是.110，107是不等式2x＞210的解，105，90不是不等式20x＞210的解.[对应训练]1.下列不是不等式5x－3＜6的解的是（B）A.1B.2C.－1D.－22.教材P123练习第2题.[教学建议]教师引导学生类比方程的解的概念，确定不等式的解的概念，让学生充分发表意见，并通过计算、动手验证、动脑思考加深理解.提醒学生注意：①验证不等式的解时，将其代入看不等式是否成立即可判断；②有时候题目讨论的是不等式的特殊解，如整数解等.[设计意图]引入不等式的解集和解不等式的概念，探究在数轴上表示不等式的解集的方法.探究点3　不等式的解集阅读教材P122探究至本页末尾，想一想：(1)再取x的一些值试一试：95，100，104，106，108，109，哪些是不等式2x＞210的解？观察不等式2x＞210的解，它们都满足什么条件？106，108，109是不等式2x＞210的解.可以发现，当x＞105时，不等式2x＞210总成立；而当x＜105或x＝105时，不等式2x＞210不成立.这就是说，任何一个大于105的数都是不等式2x＞210的解，这样的解有无数个；任何一个小于或等于105的数都不是不等式2x＞210的解.(2)什么叫作不等式的解集？它与不等式的解有何区别与联系？什么叫作解不等式？一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.不等式的解与不等式的解集的区别与联系如下表：区别不等式的解集是能使不等式成立的所有未知数的值的集合，不等式的解是能使不等式成立的未知数的值联系解集包含所有的解，所有的解组成解集求不等式的解集的过程叫作解不等式.(3)不等式的解集有哪几种情况？在数轴上如何表示？空心圆圈表示什么意思？画线方向怎样确定？不等式的解集有以下四种情况，在数轴上的表示如下(a＞0)：不等式的解集x＞ax＞－ax＜ax＜－a用数轴表示在数轴上表示不等式的解集时，先画数轴，再寻找临界点，最后画方向线.空心圆圈表示解集不包含这一临界点.画线时，大于临界点向右画，小于临界点向左画，且要与数轴平行.(4)根据以上探究总结一下，要使汽车在8：00之前驶过A地，对于车速有什么要求？不等式2x＞210的解集是什么？表示在数轴上是怎样的？由教材P121给出的不等式①能得出这个结果吗？3 车速必须大于105km/h.不等式的解集是x＞105.表示在数轴上如图所示.由教材P121给出的不等式①能得出这个结果.[对应训练]1.下列说法中，错误的是(B)A.不等式x＜5的整数解有无数个B.不等式x＞－5的负数解有有限个C.不等式x＋4＞0的解集是x＞－4D.－40是不等式2x＜－8的一个解2.教材P123练习第3题.拓展设问：把上题中得到的各解集分别表示在数轴上.解：(1)x＞3；(2)x＜4；(3)x＞2.解集在数轴上的表示如图所示.[教学建议]通过大量列举不等式的解引导学生归纳得出不等式的解集的概念.教学过程中不仅要考虑到数学概念本身的特点，更要注意遵循学生学习数学的规律，努力为学生创造自主探究、合作交流的空间.同时，引导学生体验用数轴表示不等式的解集，以增强学生数形结合的意识.有时候在数轴上表示不等式的解集会遇到是否包含临界点这一问题，可以跟学生强调包含时则画成实心圆点，表示“≥”或“≤”，这在下一课时将会学到.活动三：难点突破，提升探究[设计意图]强化根据实际问题中的不等关系列不等式的能力，理解不等式的特殊解的意义.例2　如图，小明和爸爸妈妈玩跷跷板游戏，如果爸爸的体重是72kg，小明的体重是妈妈体重的一半，妈妈手中的哑铃重6kg.(1)设妈妈的体重为xkg，请你根据图中的不等关系列式.(2)妈妈的体重可以是40kg吗？45kg呢？50kg呢？解：(1)x＋x2＋6＞72.(2)把x＝40，45，50分别代入(1)中的不等式，发现当x＝40时，不等式不成立；当x＝45或50时，不等式成立.所以妈妈的体重不可以是40kg，可以是45kg或50kg.[对应训练]某校要购买一批羽毛球拍和羽毛球，现有经费700元，已知一副羽毛球拍的价格为150元，一筒羽毛球的价格为30元，该校计划购买羽毛球拍4副，且购买后经费要有剩余.(1)若购买羽毛球x筒，请根据以上描述列出数学关系式；(2)该校计划至少购买一筒羽毛球，有几种购买方案？解：(1)150×4＋30x＜700.(2)当x＝1，2，3时，分别代入不等式，不等式成立；当x＝4时，代入不等式，不等式不成立.所以有3种购买方案.[教学建议]学生分组讨论交流，教师指定学生代表作答，并对学生的作答予以指导和订正，使学生经历现实生活中不等关系的探究过程，体会建立不等模型的思想，并能根据题目中的限制条件，求出不等式的特殊解，掌握验证解的方法.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是不等式？你会用不等式表示简单问题中的不等关系吗？2.什么是不等式的解？什么是不等式的解集？不等式的解与解集有什么区别与联系？什么是解不等式？你能在数轴上表示不等式的解集吗？【作业布置】1.教材P128习题11.1第1，2，3，6题.3