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初中数学新人教版七年级下册11.1.2第1课时不等式的性质教案(2025春)
初中数学新人教版七年级下册11.1.2第1课时不等式的性质教案(2025春)
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11.1.2 不等式的性质第1课时 不等式的性质【素养目标】1.通过类比、猜测、验证发现不等式的性质,并掌握不等式的性质.2.初步体会不等式与等式的异同.【教学重点】理解并掌握不等式的性质.【教学难点】探究不等式的性质的过程.【教学过程】活动一:旧知回顾,复习导入[设计意图]因为不等式与等式一样,都是对大小关系的刻画,所以类比等式的性质研究不等式的性质,启发学生对不等式的性质进行初步思考.对于某些简单的不等式,可以直接得出它们的解集,例如不等式x+4>10的解集是x>6,不等式2x<6的解集是x<3.但是对于比较复杂的不等式,例如5x+16-2>x-54,直接得出它的解集就比较困难.因此,还要讨论怎样解不等式.与解方程需要依据等式的性质一样,解不等式需要依据不等式的性质.回想一下,等式有哪些性质?分别用文字语言和符号语言表示出来.等式的性质文字语言符号语言性质1等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等如果a=b,那么a±c=b±c性质2等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等如果a=b,那么ac=bc;如果a=b,c≠0,那么ac=bc等式有上述性质,那不等式是否也应该同样具备类似的性质呢?[教学建议]通过引导学生回顾旧知,为下一步类比学习不等式的性质做好铺垫和准备,并使学生明确本节课的学习目标,自然而然地进入新知识的学习.教师也可让学生类比等式的性质,在进入正课之前猜想不等式有哪些性质.活动二:问题引入,探究新知[设计意图]引导学生通过类比、归纳的数学思想总结出不等式的性质,培养学生的逻辑思维能力和分析总结能力. 探究点不等式的性质(1类比等式的性质l,我们来看看下列问题:a.用“>”或“<”完成下列两组填空:第一组:5>3,5+2>3+2,5十0_>3十0,5+(—2)>3十(一2);第二组:一1<3,一1+4<3十4,—1+0<3+0,—1十(一7)<3十(—7).b.观察不等号的方向,你发现了什么规律?换一些其他的数,这个规律仍然成立吗?不等式两边加同一个数,不等号的方向不变.仍然成立.c.这个规律对于不等式两边减去同一个数的情形仍然成立吗?为什么?仍然成立.由于减法可以转化为加法,因而这个规律对于不等式两边减去同一个数的情形仍然成立.d.请你类比等式的性质1归纳出不等式的性质1.不等式的性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.如果a>b,那么a士c>b士c.e.我们也可以从实际角度解释不等式的性质1.如今年老师的年龄为a岁,学生的年龄为b岁(a>b),5年前老师的年龄为_(a—5)岁,学生的年龄为_(b一5)岁,不等关系表示为_a一5>b一5_;10年后老师的年龄为_(a+10)岁,学生的年龄为_(b+10)岁,不等关系表示为_a+10>b+10.(2)类比等式的性质2,我们来看看下列问题:a.用“>”或“<”完成下列两组填空:第一组:6>2,6×5>2×5,6×(-5)<2×(-5);第二组:-2<3,-2×4<3×4,-2×(-0.5)>3×(-0.5).3 b.观察不等号的方向,你发现了什么规律?换一些其他的数,这个规律仍然成立吗?不等式两边乘同一个正数,不等号的方向不变;不等式两边乘同一个负数,不等号的方向改变.仍然成立.c.这个规律对于不等式两边除以同一个不为0的数的情形仍然成立吗?为什么?仍然成立.由于除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数,并且这个数的倒数和它的符号相同,因而这个规律对于不等式两边除以同一个不为0的数的情形仍然成立.d.请你类比等式的性质2归纳出不等式的性质2和性质3.不等式的性质2:不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.如果a>b,c>0,那么ac>bc(或ac>bc).不等式的性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.如果a>b,c<0,那么ac<bc(或ac<bc).(3)比较不等式的性质2和性质3,指出它们有什么区别.再比较不等式的性质和等式的性质,它们有什么异同?不等式的性质2和性质3的区别是在不等式两边乘(或除以)的数一个是正数,一个是负数,性质2中不等号的方向不变,性质3中不等号的方向改变.不等式的性质有三条,它们表明了不等式两边进行同样的加(减)、乘(除)运算时,大小关系有时不变,有时改变;等式的性质有两条,它们表明了等式两边进行同样的加(减)、乘(除)运算时,相等关系不变.对于乘法运算,不等式的性质要分乘数的正、负分别论述,两者的结果不同.例1 (教材P125例2)已知a>b,比较下列两个式子的大小,并说明依据.(1)a+3与b+3; (2)-2a与-2b.解:(1)因为a>b,所以a+3>b+3(不等式的性质1).(2)因为a>b,所以-2a<-2b(不等式的性质3).[对应训练]1.教材P125练习第1,2题.2.根据不等式的性质,下列变形正确的是(B)A.由a>b得ac2>bc2 B.由ac2>bc2得a>bC.由-12a>2得a<2D.由2x+1>x得x<-1[教学建议]教师引导学生通过类比思想进行迁移,使学生经过计算、观察、分析、猜想、验证等过程,体会不等式的性质的结论形成的推理过程,并通过创设生活中的实际情境解释不等式的性质1,再加上与等式的性质比较,加深学生的理解和记忆.[教学建议]教师提问不等式两边乘0,结果是怎样的,学生发现两边都为0,而0不可以作除数,所以在归纳不等式的性质2,3时,是需要排除0的情况的,另外,教学中还应强调:(1)在运用不等式的性质对不等式进行变形时,两边要“同时”进行“相同”的变形,且要注意符号的方向是否需要改变.(2)不等式还具备其他性质,比如:①对称性;②传递性。[设计意图]对不等式的性质进行逆向考查,求参数的值,使学生在练习中巩固本节课所学.例2 如果关于x的不等式(m+1)x>3的解集为x<3m+1,求m的取值范围.解:由题意,可得m+1<0.由不等式的性质1,可得m+1-1<0-1,所以m<-1.[对应训练][题组训练]已知a>b.(1)若a+x>b+x,则x的取值范围为全体实数;(2)若ax<bx,则x的取值范围为x<0;(3)若ax2>bx2,则x的取值范围为x≠0;(4)若ax2+1>bx2+1,则x的取值范围为全体实数.[教学建议]3 学生分组交流,自主完成本题,启发学生的逆向思维:变形前后不等号的方向不变,说明两边乘(或除以)的数是正数;变形前后不等号的方向改变,说明两边乘(或除以)的数是负数.活动四:随堂训练,课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:1.不等式的性质有几条?各是什么?2.你能利用不等式的性质对不等式进行变形吗?【作业布置】1.教材P128习题11.1第4,7题.3
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