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初中数学新人教版七年级下册11.1.2第2课时用不等式的性质解不等式教案(2025春)
初中数学新人教版七年级下册11.1.2第2课时用不等式的性质解不等式教案(2025春)
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11.2 一元一次不等式第2课时 用不等式的性质解不等式【素养目标】1.能运用不等式的性质解简单的不等式,对比方程的解法,感知其内在联系,体会其中渗透的类比思想.2.会运用不等式的性质解决简单的问题,强化运用能力,初步认识不等式的应用价值.【教学重点】用不等式的性质解简单的不等式.【教学难点】用不等式的性质解决实际问题,在数轴上表示不等式的解集.【教学过程】活动一:温故知新,新课导入[设计意图]回顾之前所学,为进入正课做好知识储备.问题1 上节课我们已经知道,解不等式需要依据不等式的性质,那么不等式有哪些性质呢?请回答.问题2 请简述解一元一次方程的本质.解一元一次方程就是借助等式的性质,将方程逐步化为x=m(m为常数)的形式.类似于解一元一次方程,我们该如何解不等式呢?这就是我们将要探究的内容.[教学建议]教师提问,学生代表作答,先复习上节课学过的不等式的性质,再通过分析解方程的本质,类比启发学生对解不等式进行探索,从而使学生在进入新课之前有思路,明确学习目标,将知识点更快地融合在一起.活动二:交流合作,探究新知[设计意图]类比解方程的方法引导学生利用不等式的性质解简单的不等式,引入符号“≤”“≥”,为后面学习一元一次不等式的解法做铺垫.探究点1 用不等式的性质解不等式通过活动一我们知道,与解方程类似,解不等式的本质就是将不等式逐步化为x>m或x<m(m为常数)的形式.例1 (教材P126例3)利用不等式的性质解下列不等式:(1)x-7>26; (2)3x<2x+1; (3)23x>50; (4)-4x>3.解:(1)根据不等式的性质1,不等式两边加7,不等号的方向不变,所以x-7+7>26+7,x>33.(2)根据不等式的性质1,不等式两边减2x,不等号的方向不变,所以3x-2x<2x+1-2x,x<1.(3)根据不等式的性质2,不等式两边乘32,不等号的方向不变,所以32×23x>32×50,x>75.(4)根据不等式的性质3,不等式两边除以-4,不等号的方向改变,所以-4x-4<3-4,x<-34.问题1 我们还可以在数轴上直观地表示不等式的解集,请你在数轴上表示例1中不等式的解集.序号解集在数轴上的表示(1)x>33(2)x<1(3)x>75(4)x<-34概念引入:除了含有<,>,≠的不等式,像a≥b或a≤b这样的式子,也经常用来表示两个数量的大小关系,它们也是不等式.例如,x≥3表示x>3或x=3,即x可以取3和大于3的所有值.符号“≥”读作“大于或等于”,也可以说是“不小于”;符号“≤”读作“小于或等于”,也可以说是“不大于”.问题2 符号“≥”与“>”的含义有什么区别呢?“≤”与“<”呢?3 x≥a表示x>a或x=a,即x可以取a和大于a的所有值,而x>a表示x只能取大于a的所有值,于是“≥”比“>”多了一个等于的含义;“≤”与“<”同理.a≥b或a≤b形式的不等式,具有与前面所说的不等式的性质类似的性质,即:如果a≥b,那么a±c≥b±c;如果a≥b,c>0,那么ac≥bc(或ac≥bc);如果a≥b,c<0,那么ac≤bc(或ac≤bc).[对应训练]教材P128练习第1,2题.[教学建议]提醒学生:①初学解不等式时与解方程类似,每一步之前要写上变形的依据,有利于加深记忆;②有时需要多次运用性质才能求得结果,此时尤其注意每一步变形都要看清符号;③在数轴上表示解集时注意方向,不要出错.[教学建议]教师引导学生自主思考,培养学生主动参与、合作交流的意识,提高学生的观察、分析、概括和抽象能力,并注意强调“≤”“≥”与“<”“>”在意义上的区别,以及用“≤”“≥”连接的不等式也具有其他性质,如上节课学到的对称性、传递性.[设计意图]引入实际问题,通过问答的形式逐步解决,培养学生实际应用的能力,同时引入含“≥”或“≤”的解集在数轴上的表示方法.探究点2 用不等式的性质解决实际问题生活中也有很多不等关系可以用形如a≥b或a≤b的不等式表示.如图所示的高速公路的限速标志,表示在此道路上行驶的汽车的最低车速应为80km/h,最高车速应为100km/h.如果用v(单位:km/h)表示汽车的速度,则v应满足:v≥80且v≤100,或表示为80≤v≤100.问题 如果汽车所行驶道路的最高限速是120km/h,那么车速x应满足什么条件?车速x应满足0≤x≤120.例2 (教材P127例4)如图,一个长方体形状的鱼缸长10dm,宽3.5dm,高7dm.若鱼缸内已有水的高度为1dm,现准备向鱼缸内继续注水.用V(单位:dm3)表示新注入水的体积,写出V的取值范围并在数轴上表示.问题1 本题中的不等关系是什么?已有水的体积与新注入水的体积之和不能超过鱼缸的容积.问题2 新注入水的体积V可以是负数吗?不能.问题3 请根据以上条件写出V的取值范围.因为“已有水的体积+新注入水的体积V≤鱼缸的容积”,所以10×3.5×1+V≤10×3.5×7,解得V≤210.又由于新注入水的体积V不能是负数,所以V的取值范围是0≤V≤210.问题4 怎样将V的取值范围在数轴上表示出来?试一试.在数轴上表示V的取值范围如图所示.问题5 用数轴表示不等式的解集时,实心圆点和空心圆圈有什么区别?不等式的解集中含“≥”“≤”时在数轴上如何表示?实心圆点表示取值范围内包含这个数,而空心圆圈则表示不包含这个数.不等式的解集中含“≥”“≤”时在数轴上的表示如下(a>0):[对应训练]1.教材P128练习第3题.2.用炸药爆破时,如果导火索燃烧的速度是0.8cm/s,人跑开的速度是4m/s,为了让点导火索的人在爆破时能够跑到100m以外(不含100m)的安全区域,这个导火索的长度应大于多少厘米?请将解集在数轴上表示出来.解:设导火索的长度是xcm.根据题意,得x0.8×4>100,解得x>20.故导火索的长度应大于20cm.在数轴上表示x的取值范围如图所示.3 [教学建议]此类实际问题容易引起学生关注,激发他们参与学习的热情.教学中应让学生体会到生活中蕴含着数学知识,反过来数学知识又帮助我们解决生活中的许多实际问题,从而感受到知识的应用价值.注意提醒学生:在数轴上表示解集时注意方向,并根据结果确定是选用空心圆圈还是实心圆点,强调“≥”“≤”与“>”“<”在数轴表示上的区别.活动三:难点突破,提升探究[设计意图]强化学生根据题意列不等式,并能根据不等式的性质求未知数的取值范围的能力.例3 若不等式2x<4的解都能使关于x的不等式3x<a+5成立,求a的取值范围.解:对于不等式2x<4,根据不等式的性质2,不等式两边除以2,不等号的方向不变,所以2x2<42,x<2.对于不等式3x<a+5,根据不等式的性质2,不等式两边除以3,不等号的方向不变,所以3x3<a+53,x<a+53.根据题意,得a+53≥2.根据不等式的性质2,不等式两边乘3,不等号的方向不变,所以a+53×3≥2×3,a+5≥6.根据不等式的性质1,不等式两边减5,不等号的方向不变,所以a+5-5≥6-5,a≥1.所以a的取值范围是a≥1.[对应训练]二元一次方程组2x+3y=10,4x-3y=2的解满足不等式ax>4-y,求a的取值范围.解:解方程组2x+3y=10,4x-3y=2,得x=2,y=2.把x=2,y=2代人不等式ax>4-y,得2a>4-2,即2a>2.根据不等式的性质2,不等式两边除以2,不等号的方向不变,所以2a2>22,a>1.所以a的取值范围是a>1.[教学建议]学生先自行探索解决,教师汇总后集中讲解.最后提醒学生解决此类型题目的关键在于题目的解读,挖掘出隐含的不等关系,列出不等式后再利用不等式的性质解决问题.活动四:随堂训练,课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:你能用不等式的性质解简单的不等式吗?能解决一些简单的实际问题吗?【作业布置】1.教材P128习题11.1第5,8,9,10,11题.3
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初中 - 数学
发布时间:2025-02-27 03:40:01
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