初中数学新人教版七年级下册全册教案（2025春）

人教版七年级数学下册教学设计2025春111 第七章相交线与平行线7.1相交线7.1.1两条直线相交【素养目标】1.理解邻补角和对顶角的概念，能在图形中辨认.2.掌握邻补角和对顶角的性质.3.通过在图形中辨认邻补角和对顶角，培养学生的识图能力.【教学重点】邻补角、对顶角的概念，对顶角的性质与应用.【教学难点】辨认较复杂图形中的邻补角和对顶角.【教学过程】活动一：创设情境，新课导入[情境导入]在我们生活的世界中，蕴含着大量的相交线和平行线.同学们对两条直线相交、平行一定不陌生，大桥上的钢梁和钢索，棋盘中的横线与竖线、笔直的高速公路……都给我们以相交线或平行线的形象，从这一章，我们正式开始研究平面内不重合的两条直线的位置关系.今天这节课，我们借助直线相交所成的角的位置关系和数量关系，研究相交线.[教学建议]鼓励学生发言，补充实例，激发学生兴趣，建立直观化、形象化的数学模型.[设计意图]列举日常生活中常见的相交线、平行线，引入本章内容.活动二：问题引入，自主探究探究点邻补角与对顶角的认识问题1如图①，取两根木条A，B，将它们钉在一起，你能想象出怎样的几何图形？在转动木条的过程中，它们所成的角也在变化，你能发现这些角之间不变的关系吗？如图②，把它们想象成两条直线，就得到一个相交线的模型.如果两条直线有一个公共点，就说这两条直线相交，公共点叫作这两条直线的交点.这个图形的几何描述为：直线AB，[教学建议]学生动手操作测量各个角的度数，再由教师带领学生将4个角两两配对，探究它们的位置和数量关系，最终得出邻补角和对顶角的概念与性质.[设计意图]从生活中的相交线，引申出相交线构成的角.CD相交于点O.问题2任意画两条相交的直线，在形成的四个角中，两两相配共能组成几对角？各对角存在怎样的位置关系？分别量出各个角的度数，它们存在什么样的数量关系？两条直线相交所形成的角两两配对位置关系数量关系∠1，∠2，∠3，∠4∠1和∠2，∠1和∠4，∠2和∠3，∠3和∠4相邻互补∠1和∠3，∠2和∠4相对相等概念引入：∠1和∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线（∠1和∠2互补），具有这种位置关系的两个角，互为邻补角.图中还有哪些角也是邻补角呢？∠1和∠4，∠2和∠3，∠3和∠4.因此，每个角的邻补角有2个.概念引入：∠1和∠3有一个公共顶点O，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.111 图中还有哪些角也是对顶角呢？∠2和∠4.问题3∠1和∠3有怎样的数量关系？你能说明其中的道理吗？在图中，∠1与∠2互补，∠3与∠2互补，由“同角的补角相等”，可以得出∠1=∠3.归纳总结：这样，我们得到对顶角的性质：对顶角相等.上面推出“对顶角相等”这个结论的过程，可以写成下面的形式：因为∠1与∠2互补，∠3与∠2互补（邻补角的定义），所以∠1=∠3（同角的补角相等）.问题4利用信息技术工具，改变两条直线相交所成的角的大小，上述∠1与∠2，∠1与∠3的关系还保持吗？为什么？还保持.因为无论直线怎样变化，∠1与∠2始终保持互为邻补角的关系，所以∠1与∠2始终互补；∠1与∠3始终保持互为对顶角的关系，所以∠1始终与∠3相等.例1（教材P3例1）如图，直线A，B相交，∠1=40°，求∠2，∠3，∠4的度数.角的位置关系指组成要素(顶点与顶点，边与边)之间的位置关系.邻补角和对顶角表示的是两个角之间的关系，故都是成对出现的；邻补角不仅仅是在两条直线相交时出现，如果一条直线与射线相交(端点在直线上)，也可以得到一对邻补角，“邻”“补”两字突出了其本质特征.解：由∠1和∠2互为邻补角，得∠2=180°-∠1=180°-40°=140°.由对顶角相等，得∠3=∠1=40°，∠4=∠2=140°.[对应训练]教材P3练习第1，2，3题.活动三：重点突破，提升探究例2如图，直线AB和CD相交于点O，OE平分∠AOD.若∠1+∠2=80°，求∠AOE的度数.解：由对顶角相等，得∠1=∠2.因为∠1+∠2=80°，所以∠1=∠2=×80°=40°.由邻补角的定义，得∠AOD=180°-∠1=180°-40°=140°.因为OE平分∠AOD，所以∠AOE=∠AOD=×140°=70°.[对应训练]如图，直线CD与EF相交于点O，OC平分∠AOF.若∠AOE=40°，求∠DOE的度数.解：因为∠AOE=40°，所以∠AOF=180°-∠AOE=140°.因为OC平分∠AOF，所以∠COF=∠AOF=70°.所以∠DOE=∠COF=70°.[教学建议]给学生总结邻补角、对顶角通常会与角的和差关系或角平分线结合，找出其中的数量关系，即可得到相应结果.[设计意图]巩固所学知识，强化学生对邻补角、对顶角的识别及性质的运用.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是邻补角？邻补角与补角有什么区别和联系？2.什么是对顶角？对顶角有什么性质？【作业布置】1.教材P8习题7.1第1，5，9题.【教学后记】111 7.1.2两条直线垂直【素养目标】1.了解垂直、垂线的概念，掌握垂线的基本事实“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.2.掌握垂线的性质“垂线段最短”，掌握点到直线的距离的概念，会度量点到直线的距离.【教学重点】掌握垂直中角度和位置的双重含义；理解垂线的基本事实并会利用所学知识进行简单的推理；理解“垂线段最短”，并能运用于生活实际.【教学难点】过直线上（外）一点作已知直线的垂线，对点到直线的距离的理解.【教学过程】活动一：回顾旧知，新课导入在前面我们学习了两条直线相交形成的四个角，这四个角形成了4对邻补角和2对对顶角.大家还记得邻补角和对顶角的定义吗？如果两条直线相交形成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线有怎样的特殊关系？下面的图片是日常生活中存在这种关系的一些实例.今天我们就来研究这个问题.[教学建议]教师带领学生回顾相交线的知识，以所成角的特殊情况引入对垂直的探究.[设计意图]回顾相交线所成的角，以生活实例引入垂直的概念.活动二：问题引入，自主探究探究点1认识垂线和垂直问题在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b.当b的位置变化时，a，b所成的∠α也会发生变化.在b转动的过程中，当∠α=90°时，木条a与b所形成的其他三个角的度数是多少？其他三个角的度数都是90°.概念引入：一般地，当两条直线a,b相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说a与b互相垂直，记作“a⊥b”.两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.[教学建议]学生动手探究两条直线垂直所形成的四个角之间的关系，“互相垂直”是指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名.如果两条直线“互相[设计意图]通过对相交线模型的探究，引入垂线的相关知识.由上可知，如果两条直线相交所成的四个角中有一个角等于90°，那么这两条直线互相垂直.如图，如果直线AB，CD相交于点O，∠AOD=90°，那么AB⊥CD.这个推理过程可写成什么形式？因为∠AOD=90°，所以AB⊥CD.反过来，如果AB⊥CD，那么∠AOD是多少度？写出这个推理过程.因为AB⊥CD，所以∠AOD=90°.这说明垂直的定义具有双重含义.请找出“活动一”图片中互相垂直的直线.学生自行回答即可.[对应训练]1.教材P6练习第1题.2.如图，OA⊥OB，若∠1=40°，则∠2的度数是（C）A.40°B.45°C.50°D.55垂直”，那么其中一条直线必定是另一条直线的“垂线”；如果一条直线是另一条直线的“垂线”，那么它们必定“互相垂直”.[设计意图]探究点2垂线的基本事实(垂线的性质1)问题如图，现有一条已知直线l，用三角尺或量角器分别过直线上一点A和直线外一点B，画l的垂线，这样的垂线你能画出几条？通过实际操作，我们得出：经过直线上一点能画1条直线与已知直线垂直；经过直线外一点能画1条直线与已知直线垂直.111 归纳总结：将上述结论合并在一起，我们得到关于垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.例1（教材P5例2）如图，过点P画出射线AB或线段AB的垂线.解：如图所示.[对应训练]1.下列说法正确的有（B）①在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知[教学建议]学生独立思考并动手操作，教师总结常规画法.画垂线的方法多种多样，对于学生使用的其他正确的方法，教师应予以肯定与鼓励.画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，垂足可以在线段（射线）上，也可以在线段的延长线（射线的反向延长线）上.通过回顾垂线的画法，引入对垂线性质的探究.直线垂直；③在同一平面内，过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线；④在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直.A.1个B.2个C.3个D.4个2.教材P6练习第2题.[设计意图]探究点3垂线的性质2——垂线段最短如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？对于这个问题，我们可以将其简化为求点P到直线l的最短路线.对此，我们进行如下探究：如图，P是直线l外一点，PO⊥l，垂足为O.A是直线l上除点O外一点，连接PA.测量并比较线段PO与PA的长度，你能得到什么结论？改变点A的位置呢？PO的长度小于PA的长度.改变点A的位置后，测量各线段的长度，比较得出：线段PO的长度最短，即当点P与直线l上的点的连线与直线l垂直时，点P到直线l的距离最短.也就是过点P作直线l的垂线，点P与垂足之间的线段即为最短路线.归纳总结：如果我们规定，当PO⊥直线l时，线段PO为点P到直线l的垂线段，即可得出如下结论（垂线的性质2）：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.问题1我们学习了垂线段，认识了垂线，这两种图形有什么区别与联系？垂线段是一条线段，而垂线是一条直线；垂线段是垂线上的一部分.问题2以前我们学习过两点之间的距离，大家还记得怎样才能得到两点之间的距离吗？测量连接两个点的线段的长度.问题3类比两点之间的距离，一个点到一条直线的距离又该如何确定？确定点到直线的距离，应该测量点到直线的垂线段的长度.概念引入：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.[对应训练]1.现在，你知道本探究点中如何挖渠能使渠道最短吗？解：应从点P处向河岸作垂线，这样得到的垂线段即为最短的渠道.2.教材P6练习第3题.[教学建议]教师先引导学生将实际问题抽象成几何图形，然后通过图形探究垂线的性质，得出结论，最后可让学生举例说明“垂线段最短”在日常生活中的应用.教师也可以利用几何画板构图，在直线l上拖动点A，改变点A的位置，探究PO与PA的长度关系，让学生有更直观地感受.对于“点到直线的距离”应强调说明：距离指的是长度，是一个数量，而垂线段是图形，两者不能混淆.以实际生活问题为例，引出垂线段及点到直线的距离的概念并探究其性质.活动三：重点突破，提升探究例2如图，直线AB,CD相交于点O，MO⊥AB于点O.(1)若∠1=∠2,求∠NOD的度数;111 (2)若∠BOC=4∠1,求∠AOC与∠MOD的度数.解：(1)因为MO⊥AB,所以∠AOM=90°.所以∠1+∠AOC=90°.又∠1=∠2,所以∠2+∠AOC=90°.所以∠NOD=180°-(∠2+∠AOC)=180°-90°=90°.(2)由已知条件∠BOC=4∠1,即90°+∠1=4∠1,可得∠1=30°,所以∠AOC=∠AOM-∠1=90°-30°=60°.由邻补角的定义，得∠MOD=180°-∠1=180°-30°=150°.[对应训练]如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，FO⊥AB于点O.（1）若∠COF=50°，求∠COE的度数；（2）若∠DOE=2∠BOD，求∠COF的度数.解：（1）因为FO⊥AB，所以∠AOF=90°.因为∠COF=50°，所以∠AOC=∠AOF-∠COF=90°-50°=40°.由邻补角的定义，得∠AOD=180°-∠AOC=180°-40°=140°.因为OE平分∠AOD，所以∠AOE=∠AOD=×140°=70°.所以∠COE=∠AOE+∠AOC=70°+40°=110°.（2）因为OE平分∠AOD，所以∠AOD=2∠DOE.又∠DOE=2∠BOD，所以∠AOD=4∠BOD.因为∠AOD+∠BOD=180°，所以4∠BOD+∠BOD=180°，所以∠BOD=36°.由对顶角相等，得∠AOC=∠BOD=36°，所以∠COF=∠AOF-∠AOC=90°-36°=54°.[教学建议]学生独立思考作答，教师统一答案.教师应提醒学生注意：垂直和直线夹角成90°是相互对应的关系，但两者存在一定的区别，垂直是两条直线的位置关系，90°是角的度数.[设计意图]利用垂直的定义，结合邻补角、对顶角等知识解决角度问题.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是垂线？如何用三角尺或量角器过一点画已知直线、射线、线段的垂线？垂线的基本事实是什么？2.“垂线段最短”和点到直线的距离的含义是什么？垂线段和垂线之间有哪些区别和联系？【作业布置】1.教材P8习题7.1第2，3，4，6，8题.【教学后记】7.1.3两条直线被第三条直线所截【素养目标】1.理解“三线八角”中没有公共顶点的角的位置关系，知道什么是同位角、内错角、同旁内角.2.通过比较、观察，掌握同位角、内错角、同旁内角的特征.3.能在复杂图形中正确识别图形中的同位角、内错角和同旁内角.【教学重点】理解同位角、内错角、同旁内角的概念.【教学难点】在稍复杂的图形中找出同位角、内错角或同旁内角，并说出它们分别是哪两条直线被第三条直线所截形成的.111 【教学过程】活动一：旧知拓展，新课导入如果有两条直线和另一条直线相交，可以得到几个角？八个角.通常说：两条直线被第三条直线所截.如图，直线AB，CD被直线EF所截.在得到的八个角中，不同顶点处的两个角有什么关系呢？这就是我们这节课研究的内容.[教学建议]教师带领学生认识“三线八角”并解释图中截线、被截直线与所成角的关系.[设计意图]以相交线进行拓展，引出新课.活动二：问题引入，自主探究探究点1同位角的概念在上图中，直线AB,CD是被截直线，直线EF是截线.观察图中的∠1和∠5，它们与截线及两条被截直线在位置上有什么特点？特点：∠1和∠5分别在直线AB，CD的同一侧（上方），并且都在直线EF的同侧（右侧）.我们把具有上面这种位置关系的一对角叫作同位角.图中还有其他的同位角吗？请写出来.∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8都是同位角.上面的4组同位角的简化图形如图所示，它们有什么特征？几组同位角的简化图形都形如大写的英文字母F（一般地，在形如字母“F”的图形中存在同位角）.[教学建议]学生按问题自主探索，找出作为例子的一对角在位置上的特点并找出其他具有相同位置关系的角，教师适时归纳总结同位角的概念.引导学生通过简化图形，发现同位角的图形特征.[设计意图]以∠1和∠5为例，探究其位置关系，引出同位角的概念.[对应训练]1.如图，与∠1是同位角的是（D）A.∠2B.∠3C.∠4D.∠52.如图，∠1和∠2是直线CD和EF被直线AB所截形成的同位角；∠1和∠3是直线AB和CD被直线EF所截形成的同位角.[设计意图]探究点2内错角的概念观察活动一图中的∠3和∠5，它们与截线及两条被截直线在位置上有什么特点？特点：∠3和∠5都在直线AB，CD之间，并且分别在直线EF的两侧（∠3在直线EF的左侧，∠5在直线EF的右侧.我们把具有上面这种位置关系的一对角叫作内错角.图中还有其他的内错角吗？请写出来.∠4和∠6也是一对内错角.上面两对内错角的简化图形如图所示，它们有什么特征？两对内错角的简化图形都形如大写的英文字母Z（一般地，在形如字母“Z”的图形中存在内错角）.[对应训练]1.如图，下列各组角中，是内错角的是（B）A.∠1和∠2B.∠2和∠3C.∠1和∠3D.∠2和∠52.如图，∠1和∠2是由直线AB和CD被直线AC所截形成的内错角.[教学建议]教师引导学生按问题顺序类比同位角的探索过程得出内错角的概念及图形特征.以∠3和∠5为例，探究其位置关系，引出内错角的概念.[设计意图]探究点3同旁内角的概念观察活动一图中的∠3和∠6，它们与截线及两条被截直线[教学建议]由学生111 以∠3和∠6为例，探究其位置关系，引出同旁内角的概念.在位置上有什么特点？特点：∠3和∠6都在直线AB,CD之间，并且都在直线EF的同一旁（左侧）.我们把具有上面这种位置关系的一对角叫作同旁内角.图中还有其他的同旁内角吗？请写出来.∠4和∠5也是一对同旁内角.上面两对同旁内角的简化图形如图所示，它们有什么特征？两对同旁内角的简化图形都形如大写的英文字母U（一般地，在形如字母“U”的图形中存在同旁内角）.回顾同位角、内错角和同旁内角的位置与结构特征，完成下列表格.位置特征基本图形结构特征同位角在两条被截直线同一侧，在截线同侧形如字母“F”内错角内错角在两条被截直线之间，在截线两侧（交错）形如字母“Z”同旁内角在两条被截直线之间，在截线同一旁形如字母“U”例1（教材P7例3）如图，直线DE，BC被直线AB所截.（1）∠1和∠2，∠1和∠3，∠1和∠4各是什么位置关系的角？（2）如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？解：（1）∠1和∠2是内错角，∠1和∠3是同旁内角，∠1和∠4是同位角.（2）如果∠1=∠4，又由对顶角相等，可得∠2=∠4，因此∠1=∠2.因为∠4和∠3互补，所以∠4+∠3=180°.又因为∠1=∠4，所以∠1+∠3=180°，即∠1和∠3互补.[对应训练]1.如图，下列两个角是同旁内角的是（B）A.∠1和∠2B.∠1和∠3C.∠1和∠4D.∠2和∠42.教材P8练习第1，2题.自行探索得出同旁内角的概念和图形特征.教师再结合图形说明“同”“内”“错”等关键字的意义，加强学生对三种角的理解和辨析能力.注意：同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的，单独一个角不存在上述位置关系.活动三：重点突破，提升探究例2如图.（1）指出DC和AB被AC所截形成的内错角；（2）指出AD和BC被AE所截形成的同位角；（3）∠4和∠7，∠2和∠6，∠ADC和∠DAB各是什么位置关系的角？分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？解：（1）∠1和∠5.（2）∠DAB和∠9.（3）∠4和∠7是内错角，是直线DC和AB被DB所截形成的；∠2和∠6是内错角，是直线AD和BC被AC所截形成的；∠ADC和∠DAB是同旁内角，是直线DC和AB被AD所截形成的.[对应训练]如图.（1）直线CE，BC被直线BE所截形成的同旁内角是∠CBE与∠BEC；（2）直线AC，BC被直线BE所截形成的内错角是∠AEB与∠CBE；（3）∠BED与∠CBE是直线DE，BC被直线BE所截形成的内错角；（4）∠A与∠CED是直线AB，DE被直线AC所截形成的同位角.[教学建议]学生分小组讨论解答，教师统一答案.在确定两个角的位置关系时，正确找出截线与被截直线并分离出图形是辨别位置关系的关键.111 [设计意图]强化对三种角的辨别，并判断它们的形成.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.本节课根据位置关系学习了哪几种角？2.如何识别这几种角？【作业布置】1.教材P9习题7.1第7题.【教学后记】7.2平行线7.2.1平行线的概念【素养目标】1.在丰富的现实情境中,进一步了解两条直线的平行关系,掌握有关的符号表示.2.会用三角尺、直尺、方格纸等画平行线,积累操作活动的经验.3.在操作活动中,探索并了解平行线基本事实Ⅰ及其推论.【教学重点】1.了解平行线的概念,并能用符号表示；能借助三角尺、直尺、方格纸等画平行线.2.探索和掌握平行线基本事实Ⅰ及其推论.【教学难点】理解平行线基本事实Ⅰ.【教学过程】活动一：创设情境,新课导入[情境导入]你喜欢滑雪运动吗？早在5000年前,人们就把滑雪作为雪上旅行的一种方式,今天滑雪在许多国家和地区都是一项十分普及的运动.你知道滑雪运动最关键的是什么吗？滑雪运动最关键的是要保持两只滑雪板平行！本节课我们将对两条直线不相交的情况进行研究.[教学建议]教师可简单介绍平行,让学生列举生活中与平行有关的例子.[设计意图]用体育运动项目引入平行.活动二：问题引入,自主探究探究点1平行线的概念问题（教材P11思考）如图,将两根木条a,b分别与木条c钉在一起,并把它们想象成在同一平面向两端无限延伸的三条直线.固定木条b和c,转动木条a,直线a从在c的左侧与直线b相交逐步变为在c的右侧与直线b相交.[教学建议]教师使用教具带领学生共同探究,找出a,b不相交的情况.教学中应注意：①平行是直线间的位置关系,通常我们所说[设计意图]引入平行线的相关概念及符号表示方法.（1）想象一下,在这个过程中,有没有直线a与直线b不相交的位置呢？这种位置关系是什么？有,如图②,在木条a转动的过程中,存在直线a与b不相交的位置,这时我们说直线a与b互相平行.我们可以这么定义：在同一平面内,不相交的两条直线叫作平行线.111 （2）我们知道了平行线的概念后,如何用几何语言来描述平行线呢？通常用“∥”表示平行,读作“平行于”.如图,直线AB与直线CD平行,记作AB∥CD.如果用l,m表示这两条直线,那么直线l与m平行记作l∥m.（3）对于平行线这个几何图形,它最主要的特征是什么？①在同一平面内；②两条直线；③不相交（即没有交点）.（4）在同一平面内,不重合的两条直线有哪些位置关系?相交和平行.试一试：平行线在生活中是很常见的,你能在下面的图片中找出平行线吗？学生自行回答即可.[对应训练]两条直线相交,交点的个数是1；两条直线平行,交点的个数是0.的射线(线段)平行指的是它们所在的直线平行；②以长方体等立体图形为例,简单介绍直线不相交的另一种情况(异面),故平行线需要强调是“在同一平面内”.[设计意图]探究点2平行线的画法问题想一想,画平行线需要哪几步？序号步骤简称具体内容图示①“画”沿三角尺的一边画一条直线a②“靠”用直尺紧靠三角尺的另一边③“推”保持直尺不动,沿直尺推动三角尺④“画”仍沿三角尺第一次画直线a的那条边画直线b,则a∥b[对应训练]教材P12练习.[教学建议]教师带领学生共同回顾,并总结用直尺、三角尺画平行线的一般步骤.[设计意图]回顾平行线的画法,为后续画图探究做准备.探究点3平行线基本事实Ⅰ及其推论问题1在活动二转动木条a的过程中,有几个位置使得直线a与b平行？只有一个位置能使a与b平行.问题2如图,过点B画直线a的平行线,能画出几条？只能画一条.通过观察和画图,可以发现一个关于平行线的基本事实(平行线基本事实Ⅰ)：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.问题3再过点C画直线a的平行线,它和前面过点B画出的直线平行吗？平行.由平行线基本事实Ⅰ,可以进一步得到如下结论：如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.几何语言：如果b∥a,c∥a,那么b∥c.[对应训练]1.下列说法中正确的有（A）①一条直线的平行线只有一条；②过一点与已知直线平行的直线有且只有一条；③因为a∥b,c∥d,所以a∥d；④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.A.1个B.2个C.3个D.4个2.平面内有A,B,C三点,且三点不在同一条直线上,过这三点画两条平行线,这样的平行线能画出几种？解：如图①②③,有三种.[教学建议]先借助模型来引入平行线基本事实Ⅰ,再通过画图验证,使学生对平行线基本事实Ⅰ的认识由感性上升到理性.平行线基本事实Ⅰ中的“有且只有”具有两层含义：①111 表明存在与已知直线平行的直线（存在性）；②表明与已知直线平行的直线是唯一的（唯一性）.通过模型和画图验证,总结出平行线基本事实Ⅰ及其推论.活动三：重点突破,提升探究例如图,直线a∥b,b∥c,d与a相交于点M.（1）判断直线a,c的位置关系：a∥b,b∥c,根据平行线基本事实Ⅰ的推论,得a∥c；（2）判断c与d的位置关系：直线a与d可以看作经过直线c外一点M的两条直线,根据平行线基本事实Ⅰ和问题（1）可知c与d不平行(填“平行”或“不平行”）.[对应训练]如图,若AB∥CD,经过点E可画EF∥AB,则EF与CD的位置关系是EF∥CD,理由是如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.[教学建议]学生独立思考作答,对于平行线基本事实Ⅰ的推论,要掌握并灵活运用.教师可适当介绍,该推论中的三条直线并不要求位于同一平面中.[设计意图]强化对平行线基本事实Ⅰ的推论的理解和应用.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：平行线的概念是什么？平行线基本事实Ⅰ及其推论是什么？如何画已知直线的平行线？【作业布置】1.教材P19习题7.2第1，11，13题.【教学后记】7.2.2平行线的判定第1课时平行线的判定【素养目标】1.掌握两直线平行的判定方法.2.了解两直线平行的判定方法的推理过程.3.灵活运用两直线平行的判定方法说明直线平行.【教学重点】掌握两直线平行的三种判定方法.【教学难点】灵活运用两直线平行的判定方法说明直线平行.【教学过程】活动一：创设情境，新课导入[情境导入]我们已经知道，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行.但是，由于直线是无限延伸的，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据两条直线不相交来判断它们是否平行.那么，有没有其他判定方法呢？[教学建议]教师引导学生思考目前已知方法判断两条直线平行的局限性，因此，寻找平行线的其他判定方法是十分必要的.[设计意图]以实际问题为例，引入平行线的判定.活动二：问题引入，自主探究探究点1同位角相等，两直线平行如图，回忆并叙述上节课中用三角尺和直尺画平行线的过程，回答下列问题.（1）如图③，将平行的两条直线分别记作a，b，将紧贴三角尺的直尺的边所在直线记为c.画图过程中直尺起到了什么作用？∠1和∠2是什么位置关系的角？在画图过程中，直尺起固定作用，让三角尺沿一条直线移动.111 ∠1和∠2是同位角.[教学建议]教师引导学生结合平行线的画法，归纳出“同位角相等，两直线平行”.判定方法1的条件中有两层意思：①这两个角是两条直线被第三条直线所截而成的一对同位角；[设计意图]回顾并观察画平行线的方法，引出平行线的判定方法1.（2）在移动三角尺的过程中，∠1和∠2的大小发生变化了吗？三角尺起着什么作用？在移动三角尺的过程中，∠1和∠2的大小不变，∠1和∠2始终相等.三角尺的作用是确保∠1=∠2.（3）由上面的操作过程，你能发现判定两条直线平行的方法吗？利用同位角相等，可以判定两条直线平行.判定方法1（平行线基本事实Ⅱ）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行.几何语言：如图③，如果∠1=∠2，那么a∥b.[对应训练]1.如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1=55°，下列条件中能判定AB∥CD的是（C）A.∠2=35°B.∠2=45°C.∠2=55°D.∠2=125°2.如图，若∠1=∠2，则AB∥DE；若∠2=∠3，则BC∥EF.3.教材P15练习第2题.两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和同旁内角.由同位角相等，可以判定两条直线平行，能否利用内错角或同旁内角来判定两条直线平行呢？②这两个角相等.[设计意图]探究点2内错角相等，两直线平行问题如图，直线a，b被直线c所截.内错角∠1与∠2满足什么条件时，能得出a∥b？如果∠1=∠2，由判定方法1，能得到a∥b，理由如下：因为∠1=∠2，而∠2=∠4(对顶角相等)，所以∠1=∠4，即同位角相等，从而a∥b.这样，就得到了利用内错角判定两条直线平行的方法：判定方法2两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行.几何语言：如图，如果∠1=∠2，那么a∥b.[对应训练]1.如图是一条街道的两个拐角，若∠ABC与∠BCD均为140°，则街道AB与CD的位置关系是AB∥CD.[教学建议]学生独立思考完成，教师可提醒学生遇到一个新问题时，常常把它转化为已知的（或已解决的）问题.这里可以将条件转化，运用已经学过的方法来进行判定.以判定方法1为桥梁，探究内错角与两条直线平行之间的关系.2.将两个相同的三角尺按如图所示的方式摆放，画直线a，b，则a∥b，理由是：内错角相等，两直线平行.[设计意图]探究点3同旁内角互补，两直线平行问题结合前面的探究，如图，同旁内角∠1与∠3满足什么条件时，能得出a∥b？方法一：如果∠1和∠3互补，由判定方法1，能得到a∥b，理由如下：因为∠1+∠3=180°（补角的定义），而∠3+∠4=180°（邻补角的定义），所以∠1=∠4（同角的补角相等），即同位角相等，从而a∥b.方法二：如果∠1和∠3互补，由判定方法2，能得到a∥b，理由如下：因为∠1+∠3=180°（补角的定义），而∠2+∠3=180°（邻补角的定义），111 所以∠1=∠2（同角的补角相等），即内错角相等，从而a∥b.这样，就得到了利用同旁内角判定两条直线平行的方法：判定方法3两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.几何语言：如图，如果∠1+∠3=180°，那么a∥b.[对应训练]1.如图，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=110°，要使管道AB，CD保持平行，则∠BCD的度数应为（D）A.120°B.110°C.80°D.70°2.如图，一块折断的零件左边AC断口整齐，右边BD形状不规则，工人小李测得左边∠A=45°，∠C=135°，他由此断定这个零件另外的一组对边AB∥CD，他的依据是同旁内角互补，两直线平行.[教学建议]学生独立思考完成，教师可提醒学生类比探究点2的处理方式来解决问题.以判定方法1（或判定方法2）为桥梁，探究同旁内角与两条直线平行之间的关系.活动三：重点突破，提升探究例（1）如图，当∠1=∠3时，直线a，b平行吗？为什么？（2）当∠2+∠3=180°时，直线a，b平行吗？为什么？解：（1）a∥b.理由如下：因为∠1=∠3，∠3=∠4，所以∠1=∠4.所以a∥b（同位角相等，两直线平行）.（2）a∥b.理由如下：因为∠3=∠4，∠2=∠5，∠2+∠3=180°，所以∠5+∠4=180°.所以a∥b（同旁内角互补，两直线平行）.[教学建议]学生独立思考完成，教师引导、补充.当两角相等或互补时，要先确定两角的位置关系，如果不能直接推出结[设计意图]运用平行线的三种判定方法进行简单的推理论证.[对应训练]1.如图，若∠B=∠3，则AB∥CE，根据的是同位角相等，两直线平行；若∠2=∠A，则AB∥CE，根据的是内错角相等，两直线平行；若∠2=∠E，则AC∥DE，根据的是内错角相等，两直线平行；若∠B+∠BCE=180°，则AB∥CE，根据的是同旁内角互补，两直线平行.2.教材P14练习第1题.论，则需要代换转化.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.本节课学习了平行线的哪些判定方法？2.结合例题，你能用自己的语言说一说解决与平行线的判定有关的问题的思路吗？【作业布置】1.教材P19习题7.2第2，6，12题.【教学后记】111 第2课时平行线的判定的综合运用【素养目标】1.理解并掌握判定两条直线平行的方法.2.能灵活选用平行线的判定方法进行推理.【教学重点】掌握直线平行的条件，能熟练运用平行线的判定方法进行推理.【教学难点】运用平行线的判定方法进行推理的步骤和格式.【教学过程】活动一：创设情境，新课导入[情境导入]如图，装修工人正在往墙上钉木条，如果木条b与墙壁的边缘垂直，那么木条a与墙壁的边缘所夹的角为多少度时，才能使木条a与木条b平行？当木条a与墙壁边缘所夹的角为90°（即木条a与墙壁边缘垂直）时，木条a与木条b平行.木条a,b和墙壁边缘可以简化为一个“三线八角”模型.根据垂直的定义我们可以得到相关角的度数，再由相关角的数量关系，结合平行线的判定方法，即可推导出木条a与木条b所在的直线平行.[教学建议]教师引导学生得出结论即可，同时应对“垂直于同一直线的两条直线互相平行”这一重要结论进行强调.[设计意图]结合实际问题，引入本课时对平行线判定方法的强化训练.活动二：问题引入，自主探究探究点1平行线的判定方法的灵活运用例1（教材P14例1）在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？问题1由两条直线互相垂直，你能想到什么？两条直线形成的夹角均为90°.问题2两条直线互相垂直，你可以找到几个直角？两条直线垂直于同一条直线，你又可以找到几个直角？分别可以找到4个和8个直角.问题3如图，∠1和∠2，∠1和∠4，∠1和∠3，分别是什么位置关系的角？分别是同位角、内错角、同旁内角.问题4你认为这道题有几种解法？请选择一种方法解答这道题.此处符号“∵”表示“因为”，符号“∴”表示“所以”.[教学建议]学生分组讨论完成，教师鼓励学生多角度分析问题.要判定两条直线是否平行，首先要将题目给出的角转化为这两条直线被第三条直线所截得的同位角、内错角或同旁内角，再看这些角的关系[设计意图]强化学生对“三线八角”的识别和平行线判定方法的灵活选用.有三种方法.方法1：这两条直线平行.理由如下：如图，∵b⊥a，∴∠1=90°.同理∠2=90°.∴∠1=∠2.又∠1和∠2是同位角，∴b∥c(同位角相等，两直线平行).方法2：这两条直线平行.理由如下：如图，∵b⊥a，∴∠1=90°.同理∠4=90°.∴∠1=∠4.又∠1和∠4是内错角，∴b∥c(内错角相等，两直线平行).方法3：这两条直线平行.理由如下：如图∵b⊥a，∴∠1=90°.同理∠3=90°.∴∠1+∠3=180°.又∠1和∠3是同旁内角，∴b∥c(同旁内角互补，两直线平行).111 [对应训练]1.如图，有以下四个条件：①∠B＋∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5.其中能判定AB∥CD的有（C）A.1个B.2个C.3个D.4个2.教材P15练习第3,4题.是否满足平行线的判定方法.[设计意图]探究点2平行线的判定方法结合平行线基本事实Ⅰ的推论进行推理例2如图，直线AB，CD，EF被直线GH所截，∠1=70°，∠2=110°，∠2+∠3=180°.试说明：（1）EF∥AB；（2）CD∥AB.分析：（1）将直线AB，EF与截线GH组合，可以得到一组内错角：∠1和∠3，要说明EF∥AB，则需要说明∠1=∠3，根据已知条件可得∠3=70°，则∠1=∠3.（2）由∠2+∠3=180°可得CD∥EF，再结合（1）中所得结论EF∥AB，由平行线基本事实Ⅰ的推论即可得到CD∥AB.解：（1）∵∠2+∠3=180°，∠2=110°(已知)，∴∠3=180°-∠2=180°-110°=70°.又∠1=70°(已知)，∴∠1=∠3(等量代换).∴EF∥AB(内错角相等,两直线平行).（2）∵∠2+∠3=180°，∴CD∥EF(同旁内角互补，两直线平行).又EF∥AB，∴CD∥AB(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行).方法总结：判定两条直线平行的方法除了利用平行线的判定方法外，有时需要结合平行线基本事实Ⅰ的推论.[教学建议]学生独立思考完成，教师统一答案.平行线基本事实Ⅰ的推论也是判定平行线的常用方法之一，平行线的判定方法多种多样，应根据条件灵活选用，如例题中也可直接由∠2的对顶角和∠1互补判定CD∥AB.综合平行线的判定方法与平行线基本事实Ⅰ的推论解决问题.[对应训练]如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，∠1=∠2.CD与EF平行吗？为什么？解：CD∥EF.理由如下：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°.∴∠B+∠D=180°.∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）.∵∠1=∠2，∴AB∥EF（同位角相等，两直线平行）.∴CD∥EF（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）.活动三：重点突破，提升探究例3如图，如果∠1=60°，∠2=120°，∠D=60°，试找出图中有哪些平行线？并说明理由.分析：由对顶角相等可得∠ABC=∠1=60°，再由∠ABC与∠2的数量关系可得AB∥CD.由邻补角的定义可得∠BCD=180°-∠2=60°，则∠BCD=∠D，从而可判定BC∥DE.解：AB∥CD，BC∥DE.理由如下：∵∠1=60°（已知），∴∠ABC=∠1=60°（对顶角相等）.又∠2=120°（已知），教学建议∴∠ABC+∠2=60°+120°=180°.∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）.111 ∵∠2+∠BCD=180°（邻补角的定义），∴∠BCD=180°-∠2=180°-120°=60°.∵∠D=60°（已知），∴∠BCD=∠D（等量代换）.∴BC∥DE（内错角相等，两直线平行）.[对应训练]如图，如果∠1=72°，∠2=72°，∠3=108°，图中有哪些直线平行？请说明理由.解：DE∥BC，AB∥EF.理由如下：∵∠1=72°，∠2=72°（已知），∴∠1=∠2（等量代换）.∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）.∵∠3+∠BGD=180°（邻补角的定义），∠3=108°（已知），∴∠BGD=180°-∠3=180°-108°=72°.∴∠BGD=∠2（等量代换）.∴AB∥EF（同位角相等，两直线平行）.[教学建议]学生分组讨论完成，通过对顶角、邻补角中角度关系的转化，找出能够说明两条直线平行的条件.[设计意图]探究多组交错的直线中的平行线问题.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.平行线的判定方法有哪些？2.对于结论开放性问题，应如何寻找条件判定两直线平行？【作业布置】1.教材P19习题7.2第4，7题.【教学后记】7.2.3平行线的性质第1课时平行线的性质【素养目标】1.理解平行线的性质.2.能运用平行线的性质进行推理.【教学重点】理解平行线的性质.【教学难点】体会平行线的性质2和性质3推理过程的逻辑表述，能运用平行线的性质进行推理.【教学过程】活动一：旧知回顾，新课导入前面的课时，我们学习了利用角的数量关系判定两条直线平行的方法，分别是什么？（1）∵∠1=∠3（已知），∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.（2）∵∠2=∠4（已知），∴a∥b（内错角相等，两直线平行）.（3）∵∠2+∠3=180°（已知），∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）.111 在上面的三种判定方法中，由同位角、内错角、同旁内角的关系可以得到两条直线平行的结论；反过来，在两条直线平行的条件下，同位角、内错角、同旁内角又各有什么关系呢？这就是本节课要学习的内容.[教学建议]教师引导学生回顾对平行线判定方法的探究过程，为类比平行线性质的探究做好铺垫.[设计意图]由平行线的判定导入，复习旧知，为本节课扫清知识障碍.活动二：问题引入，自主探究探究点1两直线平行，同位角相等（教材P16探究）如图，画两条平行线a∥b，然后任意画一条截线c与这两条平行线相交.问题1度量所形成的八个角的度数，把结果填入下表：角∠1∠2∠3∠4度数100°80°100°80°角∠5∠6∠7∠8度数100°80°100°80°[教学建议]教师带领学生共同探究，通过改变截线的位置多次测量，总结出共性结论,并逆向探究，确认结论的唯一性，得出平行线中同位角的度数的数量关系.教学中可让学生归[设计意图]通过实际测量确认平行线中同位角的数量关系.问题2在∠1,∠2，…，∠8中，哪些是同位角？它们的度数有什么关系？由此猜想两条平行线被第三条直线截得的同位角有什么关系.∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8是同位角.每一对同位角的度数相等.猜想：两条平行线被第三条直线截得的同位角相等.问题3利用信息技术工具改变截线c的位置，同样度量并比较各对同位角的度数，你的猜想还成立吗？经过测量比较得出，猜想仍然成立.问题4当两条直线不平行时，同位角是否相等呢？请以直线c，d被直线a所截为例，比较各对同位角的度数.两条直线不平行时，同位角不相等.结合上述探究过程，我们可以得到平行线的性质：性质1两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.符号语言：如图，如果a∥b，那么∠1=∠5（或∠2=∠6，∠3=∠7，∠4=∠8）.[对应训练]1.如图，直线a∥b，直线c与a,b相交.若∠1=60°，则∠2的度数为120°.2.教材P17练习第2题.纳性质1并用符号语言表述，锻炼学生将图形语言转化为文字语言和符号语言的能力.[设计意图]探究点2两直线平行，内错角相等在前面探究点1的图中，内错角∠3和∠5，∠4和∠6的度数有什么关系？由此猜想两条平行线被第三条直线截得的内错角的关系.这两对内错角的度数相等.猜想：两条平行线被第三条直线截得的内错角相等.（教材P16思考）前面我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行”.类似地，你能由性质1推出两条平行线被第三条直线截得的内错角之间的关系吗？解：如图，∵a∥b(已知)，∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等).又∠2=∠3(对顶角相等)，∴∠1=∠3(等量代换).这样，我们得到平行线的另一个性质：性质2两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.111 简单说成：两直线平行，内错角相等.符号语言：如探究点1中图，如果a∥b，那么∠3=∠5（或∠4=∠6）.[对应训练]1.如图，AB∥CD，如果∠B=35°，那么∠C的度数为（C）A.25°B.30°C.35°D.55°[教学建议]根据探究点1中测得的数据直接得出结论，类比平行线的判定的探究过程，让学生以平行线的性质1为条件，独立推导出平行线中内错角的数量关系.教师可要求学生类比性质1归纳出性质2的文字语言和符号语言.通过类比平行线的判定的探究过程，推导出平行线中内错角的数量关系，并推理论证.2.如图，平行线AB，CD被直线EF所截，FG平分∠EFD.若∠EFD=70°，则∠EGF的度数是35°.[设计意图]探究点3两直线平行，同旁内角互补在前面探究点1的图中，同旁内角∠4和∠5，∠3和∠6的度数有什么关系？由此猜想两条平行线被第三条直线截得的同旁内角的关系，并仿照性质2写出推理的过程.这两对同旁内角的和为180°（即互补）.猜想：两条平行线被第三条直线截得的同旁内角互补.推理：方法一：如图，∵a∥b(已知)，∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等).又∠2+∠3=180°(邻补角的定义)，∴∠1+∠3=180°(等量代换).方法二：如图，∵a∥b（已知），∴∠1=∠4(两直线平行，内错角相等）.∵∠3+∠4=180°(邻补角的定义），∴∠1+∠3=180°(等量代换）.由此，我们得到平行线的第3个性质：性质3两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补.符号语言：如探究点1中图，如果a∥b，那么∠4+∠5=180°（或∠3+∠6=180°）.例1（教材P16例2）如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角∠D,∠C分别是多少度？解：因为梯形上、下两底DC与AB互相平行，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠A与∠D互补，∠B与∠C互补.于是∠D=180°-∠A=180°-100°=80°，∠C=180°-∠B=180°-115°=65°.所以梯形的另外两个角∠D,∠C分别是80°，65°.[对应训练]1.如图，直线m∥n，其中∠1=40°，则∠2的度数为（B）A.130°B.140°C.150°D.160°2.如图，直线l1∥l2，l3∥l4.若∠1=70°，则∠2的度数为110°.[教学建议]根据探究点1中测得的数据直接得出结论，类比平行线的判定的探究过程，让学生以平行线的性质1或性质2为条件，独立推导出平行线中同旁内角的数量关系.教师可要求学生类比性质1或性质2归纳出性质3的文字语言和符号语言.通过类比平行线的判定的探究过程，推导出平行线中同旁内角的数量关系，并推理论证.活动三：重点突破，提升探究例2端午节“赛龙舟，吃粽子”是中华民111 族的传统习俗，小青将图①中的某条龙舟的侧面示意图简化成图②，若a∥b∥c，∠1=132°，求∠2+2∠3的度数.解：∵a∥b∥c，∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补），∠2=∠4（两直线平行，同位角相等）.∴∠4=∠2=180°-∠1=180°-132°=48°.∵∠3=∠4，∴∠3=48°，∴∠2+2∠3=48°+2×48°=144°.[对应训练]1.如图，AB∥CD∥EF，∠A=54°，∠C=26°，则∠AFC=28°.2.教材P17练习第1,3题.3.如图，点E在线段AB上，D，F都在线段BC上，并且ED∥AC，EF∥AD.若∠1=20°，则∠2等于多少度？请说明理由.解：∠2=20°.理由如下：∵ED∥AC，∠1=20°，∴∠3=∠1=20°（两直线平行，内错角相等）.∵EF∥AD，∴∠2=∠3=20°（两直线平行，内错角相等）.[教学建议]学生独立思考完成，教师统一答案.教学中应强调本题有多种方法，随着数学知识的逐渐积累，解决数学问题的方法也变得多种多样，过程要简洁规范，依据要引用正确.[设计意图]对平行线的性质的运用进行强化训练，多次运用平行线的性质求角度.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.平行线的性质有哪些？2.如何用平行线的性质1推导出性质2和性质3？在推理中需要注意哪些问题？【作业布置】1.教材P19习题7.2第3，5，8，9，10，14题.【教学后记】第2课时平行线的判定与性质的综合运用【素养目标】1.掌握平行线的判定与性质的综合运用.2.体会平行线的判定与性质的区别与联系.【教学重点】利用平行线的性质进行简单的计算和推理.【教学难点】区分平行线的判定与性质，平行线的判定和性质的综合运用.【教学过程】活动一：旧知回顾，新课导入请同学们结合前面所学的内容，完成下面的表格.类别文字语言符号语言图形判定①同位角相等，两直线平行∵∠1=∠3，∴a∥b②内错角相等，两直线平行∵∠2=∠4，∴a∥b111 ③同旁内角互补，两直线平行∵∠2+∠3=180°，∴a∥b性质①两直线平行，同位角相等∵a∥b，∴∠1=∠3②两直线平行，内错角相等∵a∥b，∴∠2=∠4③两直线平行，同旁内角互补∵a∥b，∴∠2+∠3=180°思考：平行线的判定和性质有什么区别与联系？今天我们将深入研究综合运用平行线的判定与性质解决相关问题.[教学建议]由学生将表格补充完整，教师总结，平行线的判定和性质是因果互换的两类不同的定理，判定是由数量关系得出位置关系，性质是由位置关系得出数量关系.[设计意图]回顾平行线的判定与性质的相关知识，引入本课难点.活动二：问题引入，自主探究探究点平行线的判定与性质的综合运用1.先性质再判定例1（教材P17例3）如图，已知直线a∥b，∠1=∠3，那么直线c与d平行吗？为什么？问题1如果要让直线c与d平行，需要找到哪两个具有特殊位置关系的角？它们是一组什么角？∠2和∠3.它们是同位角.[教学建议]学生独立思考完成，教师统一答案.对于解题思路，直接由已知条件逐步推导出问题中的结论，[设计意图]在一组或多组平行线中综合运用平行线的判定与性质解决数学问题.问题2问题1中得到的这组角需具备怎样的数量关系？∠2=∠3.问题3问题2中的数量关系可以由题中的直线a∥b直接得到吗？不可以.问题4如何利用题中的条件转化出问题2中的结论？可以由a∥b得到∠1=∠2，再由题中的∠1=∠3即可进一步推得.问题5请写出具体的推导过程.直线c与d平行.理由如下：如图，∵a∥b，∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）.又∠1=∠3，∴∠2=∠3.∴c∥d（同位角相等，两直线平行）.问题6你能用其他方法判定直线c与d平行吗？如图，∵a∥b，∴∠1+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）.又∠1=∠3，∴∠3+∠4=180°.∴c∥d（同旁内角互补，两直线平行）.2.先判定再性质例2（教材P18例4）如图，∠1=∠2，∠3=50°，∠ABC等于多少度？分析：由于∠3的大小是已知的，所以可以尝试推导∠ABC与∠3的大小关系.而由已知条件∠1=∠2，可以推出a∥b，从而可以得到∠ABC=∠3.解：∵∠1=∠2，∴a∥b（内错角相等，两直线平行）.∴∠3=∠ABC（两直线平行，同位角相等）.111 又∠3=50°，∴∠ABC=50°.问题在例1和例2中，哪些属于平行线的判定？哪些又属于平行线的性质？如何区分平行线的判定与性质？从角的关系去得到两条直线平行，就是判定；由已知两条直线平行得到角的相等或互补关系，就是平行线的性质.[对应训练]1.如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，已知∠1=∠2=70°，GM平分∠HGB交直线CD于点M，则∠3=（B）A.50°B.55°C.60°D.65°2.教材P18练习第1,2题.或运用逆向思维由问题中的结论反向推导出所需条件并最终与已知条件联系，都是可行的，可根据题目和自身情况灵活选择；解题过程中运用的定理与括号中填写的依据要一致，不要张冠李戴.活动三：重点突破，提升探究例3补全下列推理过程：已知：如图，∠1+∠B=∠C.试说明：BD∥CE.解：如图，作射线AP，使AP∥BD，∴∠PAB=∠B（两直线平行，内错角相等）.又∠1+∠B=∠C（已知），∴∠1+∠PAB=∠C（等量代换），即∠PAC=∠C.∴AP∥CE（内错角相等，两直线平行）.又AP∥BD，∴BD∥CE（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）.[对应训练]1.一个大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直于地面AE于点A，CD平行于地面AE.若∠BCD=150°，则∠ABC=120°.2.如图，已知直线AB∥CD，点P位于AB，CD之间，则∠AEP，∠CFP，∠EPF之间存在怎样的数量关系，请说明理由.小明想到了以下方法，请帮助他完成推理过程：解：∠AEP+∠CFP=∠EPF.理由如下：如图，过点P作PG∥AB，则∠AEP=∠EPG（两直线平行，内错角相等）.∵AB∥CD，∴PG∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）.∴∠CFP=∠FPG（两直线平行，内错角相等）.又∠EPG+∠FPG=∠EPF，∴∠AEP+∠CFP=∠EPF.[教学建议]学生独立思考完成，教师统一答案.当一组平行线之间（或外部）出现一点分别与平行线上某两点相连，此时构成平行线的一种常见模型.解决此类问题可通过过拐点作其中一条直线的平行线，结合平行线基本事实Ⅰ的推论和平行线的性质得到角的数量关系，反之也可通过角的数量关系得出直线的平行关系.[设计意图]通过添加辅助线构造平行线解决数学问题.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.平行线的判定和性质的区别是什么？2.如何综合运用平行线的判定和性质解决相关问题？【教学后记】111 7.3定义、命题、定理【素养目标】1.了解定义、命题的概念及命题的构成.2.知道什么是真命题和假命题，并会判断命题的真假.3.理解什么是定理和证明，了解证明的意义.4.了解综合法证明的格式和步骤，通过一些简单命题的证明，初步训练学生的逻辑推理能力.5.通过举反例判定一个命题是假命题，使学生学会反面思考问题的方法.【教学重点】证明的步骤和格式.【教学难点】理解定义、命题，分清命题的题设和结论，正确对照命题画出图形，写出已知、求证.【教学过程】活动一：创设情境，新课导入[情境导入]我们日常讲话中，有些话是对某件事情作出判断的，有些话是对事物进行描述的，如：（1）鄱阳湖是中国最大的淡水湖.（判断）（2）今天的天气很好.（描述）（3）浪费是可耻的.（判断）（4）春天到了，花儿开了.（描述）在数学学习中，同样有判断和描述这两类语言，如：（5）画线段AB=3cm.（描述）（6）两条直线相交，只有一个交点.（判断）今天我们将对这类或判断或描述的句子进行学习，感受数学中文字语言的魅力.[教学建议]教师可引导学生分析两种句子在构成上的区别，找出能够确认句子类型的关键字.[设计意图]通过对常见句子的分类，为进入本课的学习做铺垫.活动二：问题引入，自主探究探究点1定义与命题问题1观察下列语句，回答问题.①规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴；②使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解；③从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.（1）它们有什么共同点？它们都对某个数学对象进行了清晰、准确的描述.[教学建议]学生分组讨论，总结出命题的结构.教师在教学中可对命题解释如下：①必须是一个完整的句子，而且是陈述句，疑问句和祈使句都[设计意图]通过实例让学生了解定义、命题以及命题的构成，通过分析语句找出命题的题设和结论，并判断命题是否正确.概念引入：这样的描述称为数学对象的定义.一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断.（2）你能根据某个数学对象的定义来作出某种判断吗？请举例说明.根据方程的解的定义，可以判断x=1.5是方程2x=3的解（答案不唯一）.问题2观察下列可以判断正确与否的陈述语句，回答问题.①等式两边加同一个数，结果仍相等；②对顶角相等；③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；④两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补；111 ⑤如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除.（1）哪些判断是正确的？哪些是错的？①②③④都是正确的，⑤是错误的.概念引入：像这样可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题.被判断为正确（或真）的命题叫作真命题，被判断为错误（或假）的命题叫作假命题.（2）比较①③④⑤，它们在结构和内容上有什么共同点？都是分为前后两个部分，前半部分是条件，后半部分是由条件得出的结论.命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.数学中的命常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.（3）请指出①②③④⑤中的题设和结论，并把其中不是“如果……那么……”形式的改写成“如果……那么……”的形式.①等式两边加同一个数结果仍相等如果等式两边加同一个数，那么结果仍相等②两个角是对顶角这两个角相等如果两个角是对顶角，那么这两个角相等③两条直线都与第三条直线平行这两条直线也互相平行④两条平行直线被第三条直线所截同旁内角互补如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补⑤一个数能被2整除这个数也能被4整除不是命题；②必须对某一件事作出肯定或否定的判断.[教学建议]教师提醒学生：有些命题的题设和结论不明显，要经过分析才能找出题设和结论，改写的时候需要将其条件补充完整.[教学建议]学生独立思考完成前几问，师生共同分析完成最后一问.对于真假命题的区别，教师可结合具体实例对照说明：真命题是无一例外，都是正确的；（4）我们在（1）中已经知道哪些判断是正确的，哪些是错误的，你是如何判断真假的呢？按照题设条件，去观察结论是否成立，能成立则为真，否则为假.归纳总结：由题设和结论组成的命题，如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题就是正确的，即真命题；如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题就是错误的，即假命题.判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.[对应训练]1.教材P23练习第1，2，3题.2.教材P24练习第2题.而假命题就不能保证总是正确的，只要举出反例就可以判断一个命题是假命题.[设计意图]探究点2定理与证明在前面，我们学过的一些图形的性质，它们都是真命题.其中有些命题是基本事实，如“两点确定一条直线”“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”等.还有一些命题，如“对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理.定理也可以作为继续推理的依据.问题根据定理的概念，同学们能说出我们学过的定理有哪些吗？平行线的判定定理、性质定理等.（教师可适当补充）概念引入：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.例1我们以证明命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”为例，来说明什么是证明.（1）这个命题是真命题还是假命题？解：真命题.111 （2）请将这个命题所叙述的内容用图形表示出来.解：如图.（3）写出这个命题的题设和结论，并用几何语言表述.解：题设：在同一平面内，一条直线垂直于两条平行线中的一条.结论：这条直线也垂直于两条平行线中的另一条.几何语言：如图，在同一平面内，如果a⊥b，b∥c，那么a⊥c.（4）下面已经给出了该命题的已知和求证，请利用已经学过的定义、定理、基本事实证明这个结论.已知：如图，直线a⊥b，b∥c，求证a⊥c.证明：∵a⊥b(已知)，∴∠1=90°(垂直的定义).[教学建议]教师结合所学知识，归纳出定理的概念，学生回顾学过的定理，加深对概念的理解.定理不仅揭示了客观事物的本质属性,还可以将它作为进一步判断其他命题真假的依据.引入定理和证明的概念，并展示如何证明一个命题为真命题.∵b∥c(已知)，∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等).∴∠2=90°(等量代换).∴a⊥c(垂直的定义).由此，我们归纳出几何证明的一般步骤：①根据题意画出图形；②根据命题的题设和结论，结合图形，写出已知、求证；③通过分析，找出证明的方法，写出证明过程.注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.[对应训练]1.教材P24练习第1题.2.如图，在三角形ABC中，点D在边BC的延长线上，CE平分∠ACD，AB∥CE，求证∠A=∠B.证明：∵CE平分∠ACD（已知），∴∠ACE=∠DCE（角平分线的定义）.∵AB∥CE（已知），∴∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等），∠B=∠DCE（两直线平行，同位角相等）.∴∠A=∠B（等量代换）.[教学建议]在证明几何命题时，要注意以下几点：①明确命题的题设和结论；②依据与过程要对应，不能张冠李戴；③证明过程应符合逻辑顺序，禁止用未学过的定理进行证明.活动三：重点突破,提升探究例2如图，现有以下三个条件：①AB∥CD；②∠B=∠D；③∠E=∠F.请以其中两个为题设，第三个为结论构造新的命题.（1）请写出所有的命题；（写成“如果……那么……”的形式）（2）请选择其中的一个真命题进行证明.解：（1）命题1：如果AB∥CD，∠B=∠D,那么∠E=∠F；命题2：如果AB∥CD,∠E=∠F，那么∠B=∠D;命题3：如果∠B=∠D，∠E=∠F,那么AB∥CD.（2）选择命题1.（答案不唯一）证明：∵AB∥CD（已知），∴∠B=∠DCF（两直线平行，同位角相等）.∵∠B=∠D（已知），∴∠D=∠DCF（等量代换）.∴DE∥BF（内错角相等，两直线平行）.∴∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）.[对应训练]如图，直线AB，CD被直线AE所截，直线AM，EN被直线MN所截.有以下三个条件：①AB∥CD；②AM∥EN；③∠BAM=∠CEN.请以其中两个作为题设，第三个作为结论，构造命题.[教学建议]111 学生分组讨论完成，教师统一答案.对于此类问题，开放性比较强，所以答案一般不唯一，可用列举法穷举出所有的命题，判断这些命题的真假，选择合适的真命题并按照要求严格证明.[设计意图]探索条件开放性问题的证明.（1）请按照“如果……那么……”的形式，写出所有的命题；（2）在（1）所写的命题中选择一个加以证明.解：（1）命题1：如果AB∥CD，AM∥EN，那么∠BAM=∠CEN.命题2：如果AB∥CD，∠BAM=∠CEN，那么AM∥EN.命题3：如果AM∥EN，∠BAM=∠CEN，那么AB∥CD.（2）以命题1为例.（答案不唯一）证明：∵AB∥CD（已知），∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）.∵AM∥EN（已知），∴∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）.∵∠1+∠3+∠BAM=180°,∠2+∠4+∠CEN=180°(平角的定义)，∴∠BAM=180°-∠1-∠3,∠CEN=180°-∠2-∠4（等式的性质），∴∠BAM=∠CEN.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是定义？什么是命题？请举例说明,并结合例子说明命题的构成.2.什么是真命题？什么是假命题？3.什么是定理？你学过哪些定理？谈谈你对证明的理解.【作业布置】1.教材P24习题7.3第1，2，3，4题.【教学后记】7.4平移【素养目标】1.通过实例了解平移的概念.2.理解并掌握平移的性质.3.能按要求作出平移后的图形.【教学重点】1.理解并掌握平移的性质.2.能按要求作出平移后的图形.【教学难点】对平移特征的探索与理解.【教学过程】活动一：创设情境，新课导入[情境导入]在日常生活中，一些图案可以看成由其中的一部分平行移动得到，例如图中建筑物表面、瓷砖和织物上的图案等.这样的图案常常给人整齐、和谐的感觉.你能再举出一些类似的例子吗？[教学建议]学生观察图案找出共同特点，教师总结，初步发现平移的基本特征.[设计意图]用生活中的平移现象导入新课.活动二：问题引入，自主探究111 探究点1平移的概念与性质问题1仔细观察下面的图案，回答问题.（1）它们有什么共同特征？每个图案都是由一些相同的图形组成的.（2）能否根据其中的一部分绘制出整个图案？能，将其中的一个图形平行移动，就可以得到整个图案.例如将图①中的一个平行四边形平行移动，再涂上不同的颜色，就可以得到整个图案.概念引入：一般地，在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作平移.图形平移的方向不限于水平或竖直方向，图形可以沿平面内任何方向平移（如上图③）.[教学建议]学生按问题顺序进行探究，总结出平移的性质.也可让学生尝试多画一些图形进行研究，可以发现平移前后的图形都具有类似的规律.对于平移的性质2中的平行，可以让学生度量角度，结合平行线的判定进行验证.教[设计意图]通过实际动手操作，先引入平移的概念，再发现平移的性质并进行归纳总结.分析语句找出命题的题设和结论，并判断命题是否正确.问题2（1）如图①，把一张半透明的纸盖在一个四边形上，在纸上描出四边形，然后将这张纸沿着某一方向移动一定距离，得到图②.图②中两个四边形的形状、大小有什么关系？形状、大小完全相同.（2）在图②的两个四边形中，找出两组对应点A与A′，B与B′，连接它们得到线段AA′，BB′，AA′和BB′有什么位置关系？测量它们的长度，它们的长度有什么关系？AA′与BB′平行，并且它们的长度相等，即AA′∥BB′，并且AA′=BB′.（3）画出连接其他一些对应点的线段，它们仍有类似的关系吗？仍有类似的关系.归纳总结：把一个图形平移，得到的新图形具有下列特点：1.新图形与原图形的形状和大小完全相同.2.新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等.[对应训练]1.下列运动属于平移的是（B）A.树叶随风飘落B.电梯升降C.钟表指针转动D.车轮转动2.下列哪个图形是由左图平移得到的（C）3.如图，三角形ABC沿BC方向平移到三角形DEF的位置，若EF=7cm，CE=3cm，求平移的距离.解：观察图形可知，平移的距离可以看作是线段CF的长.∵EF=7cm，CE=3cm，∴CF=EF-CE=7-3=4(cm).∴平移的距离为4cm.师可通过让学生回顾点是构成图形的基本元素，来理解选择对应点研究平移性质的方法，由点及面将对应点的关系扩大到整个图形的关系.[教学建议]理解平移的性质应注意以下几点：①平移只是图形位置发生变化，不改变图形的形状和大小；②平移的方向不限于是水平的；③平移是由平移的方向和距离共同决定的；④图形中每个点移动的距离相同.[设计意图]探究点2平移作图例1（教材P27例题）如图，平移三角形ABC，使点A移动到点A′，画出平移后的三角形A′B′C′.在作图前，请先思考以下几个问题：111 （1）结合平移的性质，你是怎样理解由点A移动到点A′这个条件的？连接点A与点A′，点A到点A′的方向就是平移的方向，线段AA′的长度就是平移的距离.（2）三角形A′B′C′的一个顶点A′已经确定，你认为最少还需要找到几个对应点就可以画出三角形A′B′C′？由三个顶点可以确定三角形的形状，则最少还需要找到两个对应点，即点B′和点C′.（3）根据平移的性质，如何作出点B的对应点B′？根据平移前后的图形对应点的连线平行且相等，可以确定点B的对应点B′.按此方法也可以作出点C的对应点C′.（4）平移前后的“对应点”与“对应顶点”相同吗？它们有什么联系和区别？不相同，“对应顶点”是“对应点”中比较特殊的一部分点，起到决定图形形状的作用.请结合以上思考，画出平移后的图形.解：如图，连接AA′，过点B画AA′的平行线l，在l上截取BB′=AA′，则点B′就是点B的对应点.类似地，作出点C的对应点C′，连接A′B′，B′C′，C′A′，就得到了平移后的三角形A′B′C′.归纳总结：平移作图的一般思路：①确定平移的方向和距离；②找出表示图形的关键点（通常情况下是顶点）；③过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；④按原图形的顺序连接对应点.利用平移，人们可以设计出美丽的图案，许多装饰图案就是利用平移设计的.[对应训练]教材P29练习第2、3题.[教学建议]教师可带领学生进行图案设计方面的探究活动，如选择一个图形作为基本图形，利用平移设计一个图案，再给它们涂上颜色.让同学们互相交流自己的设计.教师也可利用信息技术工具方便地平移图形，设计图案，更直观地让学生感受平移.根据平移的性质，画出平移前或平移后的图形.活动三：重点突破,提升探究例2如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移，平移的距离等于AD的长，得到三角形DEF，已知∠ABC=90°，AD=6，EF=8，CG=3，求图中阴影部分的面积.解：根据平移的性质可知，BE=AD=6，BC=EF=8，S三角形ABC=S三角形DEF.∴BG=BC-CG=8-3=5.∵S三角形ABC=S阴影+S三角形BDG，S三角形DEF=S梯形BEFG+S三角形BDG，∴S阴影=S梯形BEFG.∵S梯形BEFG=(BG+EF)·BE=×(5+8)×6=39,∴故图中阴影部分的面积是39.例3如图，已知三角形ABC的周长为10cm，将三角形ABC沿边BC向右平移2.5cm得到三角形DEF，求四边形ABFD的周长.解：根据平移的性质可知，DF=AC，AD=CF=2.5cm.∵三角形ABC的周长=AB+BC+AC=10cm，∴四边形ABFD的周长=AB+BF+DF+AD=AB+(BC+CF)+AC+AD=AB+BC+AC+CF+AD=10+2.5+2.5=15（cm）.[对应训练]如图，在三角形ABC中，AC=4cm，BC=3cm，三角形ABC沿AB方向平移得到三角形DEF.若AE=8cm，BD=2cm.求：（1）三角形ABC沿AB方向平移的距离；（2）四边形AEFC的周长.解：（1）观察图形可知，线段AD的长即为平移的距离.根据平移的性质可知，AD=BE.∵AE=8cm，BD=2cm，∴AD=(AE-BD)=×(8-2)=3（cm），∴三角形ABC沿AB方向平移的距离是3cm.111 （2）由平移的性质可知，CF=AD=3cm，EF=BC=3cm.∵AE=8cm，AC=4cm，∴四边形AEFC的周长=AE+EF+CF+AC=8+3+3+4=18（cm）.[教学建议]学生独立思考完成，对于例2教师可适当提示将所求图形的面积转化为其他规则图形的面积.平移前后，图形的面积不变，对应线段相等，平移距离相等，由此可得到相关条件.[设计意图]利用平移的性质解决面积问题或周长问题.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.平移是什么？平移具有哪些性质？2.画平移图形时需要注意哪些地方？【作业布置】1.教材P29习题7.4第1，2，3，4，5，6题.【教学后记】第八章实数8.1平方根第1课时平方根【素养目标】1.掌握平方根的概念.2.能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和平方运算之间的互逆关系.3.培养学生的探究能力和归纳问题的能力.【教学重点】平方根的概念和求数的平方根.【教学难点】求数的平方根.【教学过程】活动一：复习回顾，提出问题我们知道，已知一个数，通过平方运算可以求这个数的平方.如：22=4，52=25，72=49……反过来，如果已知一个数的平方，那么怎样求这个数呢？比如：如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少呢？带着这个问题，让我们走入今天的学习吧.[教学建议]带领学生回顾常见整数的平方运算，12，22，32，…，为后面的开方运算作准备.[设计意图]通过回顾平方运算，引入本节课学习.活动二：问题引入，探究新知探究点1平方根的概念和计算（1）在前面，我们提到：“如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少呢？”请你回答这个问题.因为32=9，所以这个数可以是3；又因为(-3)2=9，所以这个数也可以是-3.（2）还可能是其他数吗？不可能是其他数.因为除3，-3以外，任何一个数的平方都不等于9.（3）填表：111 x21163649x±1±4±6±7[教学建议]教师引导学生作答，使学生经历观察、思考、交流、总结归纳出平方根的概念的过程，利用平方与开平方互逆揭示开平方运算的本质，培养学生用逆向思维[设计意图]通过阅读课本、填表，引出平方根的概念，并让学生体会根据平方的意义求出平方根.概念引入：一般地，如果一个数x的平方等于α，即x2=α，那么这个数x叫作α的平方根或二次方根.例如3和-3是9的平方根.通常把3和-3合在一起简记为“±3”，则±3是9的平方根.（4）求一个数的平方根的运算，叫作开平方.观察下图，你发现了什么？平方与开平方互为逆运算.（5）教材P40例1.[对应训练]教材P42练习第2题.解决问题的习惯.求一个正数的平方根的过程一般分为两步：（1）找出平方等于这个正数的数，这样的数有两个；（2）根据平方根的概念写出这个正数的平方根.[设计意图]探究点2平方根的特征与表示方法让我们一起观察探究点1中的图，想一想：（1）1,4,9的平方根分别是多少？正数的平方根有什么特点？1，4，9的平方根分别是±1，±2，±3.正数有两个平方根，它们互为相反数.（2）0有几个平方根？各是多少？为什么？0只有一个平方根，是0.因为02=0，并且任何一个不为0的数的平方都不等于0，所以0的平方根是0.（3）-1,-4，-9有平方根吗？为什么？没有.正数的平方是正数，0的平方是0，负数的平方也是正数，即在我们所认识的数中，任何一个数的平方都不是负数，所以负数没有平方根.归纳：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.概念引入：正数α的正的平方根记为“”，读作“根号α”，α叫作被开方数；正数α的负的平方根可以用“”表示，故正数α的平方根可以用“”表示，读作“正、负根号α”.例如，表示9的平方根，=±3.特别地，0的平方根记为.（4）只有当α大于或等于0时，α有意义；而当α小于0时，α没有意义.为什么？因为只有正数和0有平方根，负数没有平方根.（5）教材P41例2.[教学建议]教师提问，学生作答，由学生归纳出平方根的特征，教师总结、订正.解题时注意：已知一个数的两个平方根，根据两个平方根互为相反数列方程求解；如果题目只是叙述两个数均为一个数的平方根，则需要分相等和互为相反数两种情况进行讨论.用“由特殊到一般”的数学思想归纳出平方根的特征.[对应训练]1.教材P41练习第1题.2.已知一个正数的两个平方根分别是2α-1和α-5，则α=2.3.如果3x-2和5x+6都是一个非负数的平方根，求这个非负数.解：①若3x-2和5x+6相同，则3x-2=5x+6，解得x=-4，此时3x-2=-14，（-14）2=196；②若3x-2和5x+6不同，则它们互为相反数，即3x-2+5x+6=0，解得x=-0.5，此时3x-2=-3.5，（-3.5）2=12.25.综上可知，这个非负数是196或12.25.活动三：重点突破，提升探究例求下列各式中x的值：(1)3x2=48；(2)(x+1)2=4；(3)2(x-1)2-18=0.解:(1)原式可变形为x2=16.因为(±4)2=16，所以x=4或x=-4.111 (2)因为(±2)2=4，所以x+1=2或x+1=-2，所以x=1或x=-3.(3)原式可变形为(x-1)2=9.因为(±3)2=9，所以x-1=3或x-1=-3，所以x=4或x=-2.[对应训练]教材P42练习第3课[教学建议]求类似于a（mx+b）2-c=0中x的值时，一般将其变形，利用整体思想将mx+b作为一个整体，再利用平方根的意义转化为一元一次方程，从而求出x的值.[设计意图]拓展提升，进一步巩固学生对平方根概念的理解，并灵活应用于解方程中.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么叫作一个数的平方根？2.平方根具有哪些性质？3.平方根怎样表示？【作业布置】1.教材P46习题8.1第1,3（1）（3）,6题.【教学后记】第2课时算术平方根【素养目标】1.了解算术平方根的概念及其非负性.2.能用夹逼法求一个数的算术平方根的近似值.3.体验无限不循环小数的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数.【教学重点】算术平方根的概念、用夹逼法求一个数的算术平方根的近似值.【教学难点】用夹逼法估算一个无限不循环小数的大小.【教学过程】活动一：创设情境，新知导入[情境导入]如图，一个正方形的边长为a.如果它的面积为3，那么a究竟是多少呢？根据正方形的面积公式，a2=3.再根据上节课学习的平方根的概念，由a2=3，可得a=.但一个正方形的边长不可能是负数，所以a=.在实际生活中，我们很多时候需要求解的都是一个数的正的平方根.此外，究竟有多大呢？这就是我们今天要学习的内容.[教学建议]引导学生体会是一个有着确定大小的数，再让学生猜测它的大致范围.[设计意图]借助实例让学生感受算术平方根的产生是实际生活的需要，也是数学运算的需要.活动二：问题引入，自主探究探究点1算术平方根的概念与求算术平方根概念引入：我们知道，正数a有两个平方根,其中正的平方根叫作a的算术平方根.正数a的算术平方根用来表示.规定：0的算术平方根是0.0的算术平方根也记为.例1（教材P42例3）求下列各数的算术平方根:111 (1)100；(2)；(3)0.0001.解：(1)因为102=100，所以100的算术平方根是10，即=10；[教学建议]可给学生总结算术平方根的双重非负性:对于，（1）要使有意义，则a≥0（“≥”读作“大于或等于”，后同）；[设计意图]引入算术平方根的概念,进一步巩固开平方运算的能力.(2)因为=，所以的算术平方根是，即=；(3)因为0.012=0.0001，所以0.0001的算术平方根是0.01，即=0.01.从例1可以看出：被开方数越大，对应的算术平方根就越大.这个结论对所有正数都成立，即若a>b>0，则>.[对应训练]教材P43练习第1，2题.（2）根据算术平方根本身的概念，可知≥0.[设计意图]探究点2通过夹逼法估算无限不循环小数的大小——估算的大小1.教材P42探究.2.（教材P43探究）通过夹逼法估算的大小，先定大范围，然后逐步缩小：用夹逼法估算的大小方法（对两个连续整数或小数用平方法逐步进行比较）步骤通过估算，确定在哪两个连续的整数之间因为12=1，22=4，所以1＜＜2通过估算，确定在哪两个连续的一位小数之间因为1.42=1.96，1.52=2.25，所以1.4＜＜1.5通过估算，确定在哪两个连续的两位小数之间因为1.412=1.9881，1.422=2.0164，所以1.41＜＜1.42通过估算，确定在哪两个连续的三位小数之间因为1.4142=1.999396，1.4152=2.002225，所以1.414＜＜1.415…………通过上述步骤，可以得到更精确的近似值，请问从中你发现了什么问题吗？无法得到的准确值，只能得到近似值.概念引入：事实上，=1.414213562373…，它是一个无限不循环小数(无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数).[教学建议]培养学生的估算能力，感受“夹逼法”，发展抽象思维，了解无限不循环小数的特征.在学生熟悉教材以后，可以试着让学生模仿教材估计或等无限不循环小数的近似值，不仅渗透类比思想，还能培养学生学以致用的能力.引入无限不循环小数的概念，引导学生经历“夹逼法”估算无限不循环小数的过程.实际上，很多正有理数的算术平方根(例如，，等)都是无限不循环小数.问题：你以前见过无限不循环小数吗？请举例说明.见过.如π（圆周率）.[对应训练]1.估计的值在（B）A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间2.已知a，b是两个连续整数，且a<<b，则a+b=9.活动三：综合训练，提升探究例2已知与互为相反数，求ab的算术平方根.解：根据题意，得1-3a=0，b-108=0，所以a=，b=108，所以ab=×108=36.因为62=36，所以ab的算术平方根是6.111 [对应训练]若|x+1|+=0，求2y+x的算术平方根.解：由|x+1|+=0，可知x+1=0，y-8=0，所以x=-1，y=8，所以2y+x=2×8+(-1)=15.故2y+x的算术平方根是.[教学建议]学生自主探究，对此类算术平方根综合其非负性类型题目进行练习巩固，加深理解，这也有利于为以后学习二次根式的性质打下坚实的基础.[设计意图]巩固加深对于算术平方根及其非负性的理解.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是算术平方根？什么是算术平方根的双重非负性？2.怎样求一个数的算术平方根的近似值？3.什么是无限不循环小数？【作业布置】1.教材P46习题8.1第2，3（2）（4），7，10题.【教学后记】第3课时用计算器求一个正数的算术平方根【素养目标】1.会用计算器求一个数的算术平方根.2.理解被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律.3.体会算术平方根在实际问题中的应用.【教学重点】用计算器求一个数的算术平方根，算术平方根的实际应用.【教学难点】利用计算器探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律.【教学过程】活动一：动手操作，新知导入[情境导入]“当天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v(单位：m/s）时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星.v的大小满足v2=2gR，其中g是地球表面的重力加速度，g≈9.8（单位：m/s2），R是地球半径，R≈6.4×106（单位：m）.v有多大呢？让我们开始今天的学习吧.[教学建议]此内容富有感染力，使学生感性认识本节知识的应用价值.对第二宇宙速度讲解不宜过多，重在借此公式引出求v的值.[设计意图]借助实例让学生感受求算术平方根的大小是实际生活的需要，也是数学运算的需要.活动二：方法引入，探究新知探究点1利用计算器计算一个正数的算术平方根1.利用计算器计算一个正数的算术平方根见教材P44相关内容.2.利用计算器探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律（教材P44探究）（1）用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中,你发现了什么规律？111 ……0.250.7912.5…7.912579.1250…[教学建议]通过用计算器求算术平方根，使学生进一步体会无限不循环小数的现实性和存在性，发展数感.结合教材P44探究，学生利用计算器进行计算，[设计意图]引导学生使用计算器计算算术平方根，并探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律.从运算结果可以发现，被开方数的小数点向右或向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位.（2）用计算器计算(结果保留小数点后三位)，并利用你在(1)中发现的规律求出,,的近似值,你能根据的值求出的近似值吗？由≈1.732，得≈0.1732，≈17.32，≈173.2.根据的值不能求出的近似值.因为规律是被开方数扩大100倍（或缩小到原来的时），它的算术平方根才扩大10倍（或缩小到原来的），而3到30扩大的是10倍，所以不能由此规律求出.[对应训练]1.教材P46练习第1题.2.（1）已知≈1.164，则≈11.64，116.42≈13540；（2）若≈10.1，≈3.19，则≈1.01；（3）已知≈45.0111,≈14.2338,则≈-4.50(结果保留小数点后两位).小组讨论结果并展示，然后教师纠正总结.有针对性地练习被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律，强化学生记忆，通过训练突破本课时难点.[设计意图]探究点2利用估算比较大小例（教材P45例5）小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长与宽的比为3∶2.但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗？问题1求长方形纸片的长.设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm.根据边长与面积的关系，得3x·2x=300，6x2=300，x2=50.由边长的实际意义，得x=.因此长方形纸片的长为cm.因为50＞49，所以50＞7.[教学建议]教师结合教材P45例5进行讲述，使学生了解并学会运用估算进行数的比较，增强估算能力，发展符号意识，加入背景材料可使学生感受到估算能力是生活中需要的一种能力.引导学生经历运用估算比较其中带根号的两个数的大小的过程.问题2这里是利用什么来比较大小的？这里利用的是与被开方数比较接近的完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小，依据是“被开方数越大，对应的算术平方根就越大”.由上可知＞21，即长方形纸片的长应该大于21cm.问题3根据结果作出判断.因为=20，所以正方形纸片的边长只有20cm.这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长.不同意小明的说法,小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片.教师补充：我们知道就是，根据乘法的意义可知即为3个相加；而21=3×7，即3个7相加，根据经验容易得出＞21，这里不需利用不等式进行严格证明.[对应训练]教材P46练习第2，3题.111 活动三：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.你可以利用计算器求出任意正数的算术平方根的近似值吗？2.被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样的？3.你能利用估算来对两个含根号的数进行大小比较吗？【作业布置】1.教材P46习题8.1第4，5，8，9，11题.【教学后记】8.2立方根第1课时立方根【素养目标】1.了解立方根的概念及特征，会用根号表示一个数的立方根.2.了解开立方与立方是互逆运算，会用开立方运算求一个数的立方根.【教学重点】了解立方根的概念及特征，会用根号表示一个数的立方根.【教学难点】了解开立方与立方是互逆运算，会用开立方运算求一个数的立方根.【教学过程】活动一：复习回顾，提出问题1.一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根.2.正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.3.填空：(1)0.13=0.001，33=27，(-3)3=-27；(2)0.13=0.001，33=27，（-3）3=-27.4.想一想：2的平方等于4，2叫作4的一个平方根.2的立方等于8，那么2叫作8的什么根呢？[教学建议]教师引导学生作答，启发学生思考.采用类比学习的方法使学生对于立方根有一个初步感知，有利于学生快速进入后续学习.[设计意图]通过复习平方根，为引入立方根的概念进行铺垫.活动二：问题引入，探究新知探究点立方根的概念及特征问题1如果一个数的立方等于8，那么这个数是多少？这个数是2.问题2除2以外，还有其他数的立方等于8吗？没有.（1）结合“活动一”中平方根的概念，类比来看，我们如何定义立方根？一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x叫作a的立方根或三次方根.例如，2是8的立方根.（2）同样地，你能类比开平方的概念说说什么是开立方吗？求一个数的立方根的运算，叫作开立方.（3）类比开平方与平方，开立方与立方也互为逆运算.111 探究（教材P48探究）根据立方根的意义填空：因为13=1，所以1的立方根是(1)；因为(0.4)3=0.064，所以0.064的立方根是(0.4)；[教学建议]学生分组讨论，自行归纳，再由教师汇总整理，对不全面的地方加以补充.在学生类比学习的过程中，培养学生自行解决问题的能力和意识.教师注意强调：①任何数都有且只有一个立方根，且符[设计意图]引入立方根的概念，并引导学生归纳立方根的性质.因为(-2)3=-8，所以-8的立方根是(-2)；因为=，所以的立方根是()；因为（0)3=0，所以0的立方根是（0).你能发现正数的立方根有什么特点吗？负数呢？0的立方根是多少？归纳：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.类似于平方根，一个数a的立方根记为“”，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数.例如，表示8的立方根，=2；表示-8的立方根，=-2.中的根指数“3”不能省略.（注：算术平方根的符号，实际上省略了中的根指数“2”，因此也可以读作“二次根号a”）你能说一说数的立方根与数的平方根有什么区别和联系吗？平方根与立方根的区别与联系：例1见教材P49例1.[对应训练]1.下列说法中正确的是（C）A.负数没有立方根B.8的立方根是±2C.任意有理数有且只有一个立方根D.立方根等于本身的数只有±12.教材P49练习第1，2，3题.号与原数相同.②立方根等于本身的数有0，±1.③在求解立方根时，如果被开方数是带分数，应先将其化为假分数；如果是一个算式，应先计算出结果再进行开立方运算.在计算时尤其要注意结果的符号.活动三：综合训练，提升探究例2已知x-2的平方根是±2，2x+2y+7的立方根是3，求x2+7y的立方根.解：因为x-2的平方根是±2，所以x-2=4，所以x=6.因为2x+2y+7的立方根是3，所以2x+2y+7=27.把x=6代入，得12+2y+7=27,解得y=4.所以x2+7y=62+7×4=64，所以x2+7y的立方根为4.[对应训练]已知y的立方根是2,2x-y是16的算术平方根，求：(1)x,y的值；(2)x2+y2的平方根.解：(1)由于y的立方根是2,2x-y是16的算术平方根，所以y=23=8,2x-y=4,所以x=6.(2)由(1)知x=6,y=8,所以x2+y2=62+82=100,所以x2+y2的平方根为±10.[教学建议]学生独立作答，将之前学过的知识与本节课所学汇总出题，检验学生对概念的掌握程度、理解能力与运用能力.[设计意图]融合算术平方根、平方根及立方根，进行综合训练.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是立方根？立方根有什么特征？2.立方根与平方根之间有哪些区别和联系？【作业布置】1.教材P51习题8.2第1，4题.【教学后记】111 第2课时立方根的相关性质及估算【素养目标】1.了解互为相反数的两个数的立方根的关系.2.会用计算器求一个数的立方根.3.理解被开方数扩大（或缩小）与它的立方根扩大（或缩小）的规律.【教学重点】求一个数的立方根.【教学难点】探究被开方数的小数点与立方根的小数点的移动规律.【教学过程】活动一：创设情境，引入新知图①是一个大正方体，图②是一个小正方体.已知大正方体的体积是小正方体体积的27倍，那么大正方体的棱长是小正方体的棱长的多少倍？带着这个疑问，让我们进一步学习立方根的有关知识吧.[教学建议]让学生自由讨论，暂不给出答案，在后面的学习中适时联系这个问题.[设计意图]通过思考正方体的体积变化与棱长变化的关系，引入立方根的进一步学习.活动二：问题引入，探究新知探究点1互为相反数的两个数的立方根之间的关系探究（教材P49探究）计算38和3-8,它们有什么关系？和呢？你能从中发现什么规律？分析：因为=-2，=2，所以=；因为=-3，=3，所以=.归纳：一般地，=.拓展：=a，=a.例1（教材P50例2）求下列各式的值：（1）；（2）；（3）.解：（1）==-8；[教学建议]教师引导学生作答，培养学生归纳总结的能力.归纳如下：①开立方时被开方数的负号可以移到根号外，结果不变；②“先开立方，再立方”与“先立方,再[设计意图]探索被开方数互为相反数的立方根之间的关系.（2）==0.1；（3）==-4.[对应训练]1.下列式子正确的是（C）A.=B.=11C.=D.=2.教材P50练习第1题.开立方”的结果相同，都等于原数.[设计意图]探究点2用计算器求立方根及探究规律实际上，很多有理数的立方根（如，,等）是无限不循环小数，我们可以用有理数近似地表示它们.探究（教材P50探究）用计算器计算…，，，，，…，你能发现什么规律？用计算器计算(结果保留小数点后三位)，并利用你发现的规律求出，，的近似值.解：列表如下：发现规律：被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位.用计算器计算：≈4.642.根据上面发现的规律，可得：≈0.4642，≈0.04642，≈46.42.[对应训练]教材P50练习第2,3题.[教学建议]教师指导学生利用计算器进行计算，小组讨论结果并展示，然后教师纠正总结.有针对性地111 练习被开方数扩大（或缩小）与它的立方根扩大（或缩小）的规律，亦可对照算术平方根的相应课时类比学习，突破教学难点.用计算器求立方根并寻找规律，强化学生使用计算器的能力，并加深对于立方根的理解.活动三：知识巩固，综合运用例2要制造一个高与底面直径相等的圆柱形储油罐，储油罐的设计容积为5m3，这个储油罐的底面半径应是多少？(π取3，结果保留小数点后两位)解：设这个储油罐的底面半径应是xm.由题意，得π·x2·2x=5.π取3，可得x3=.[教学建议]给学生强调，在实际应用中，有些条件并不是直接给出的，要读懂题意，找到[设计意图]通过实际应用，进一步加深对开立方运算的理解，同时巩固对计算器的使用.用计算器算得x=≈0.94.答：这个储油罐的底面半径约是0.94m.[对应训练]把两个棱长分别是2.15cm和3.24cm的正方体铁块熔化，制造成一个大的正方体铁块，那么这个大正方体的棱长是多少厘米（结果保留小数点后一位）？解：设这个大正方体的棱长是xcm.根据题意，得x3=2.153+3.243.用计算器算得x≈3.5.答：这个大正方体的棱长约是3.5cm.关键信息再列方程（如例题中，储油罐的高等于直径，即等于半径的2倍），同时计算时不要出错.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.互为相反数的两个数的立方根有怎样的关系？2.怎样用计算器求一个数的立方根？3.被开方数扩大（或缩小）时，它的立方根有怎样的变化规律？【作业布置】1.教材P51习题8.2第2，3，5，6，7，8，9题.【教学后记】8.3实数及其简单运算第1课时实数的概念及意义【素养目标】1.理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数.2.理解有理数和无理数的区别，会把实数进行分类.3.理解实数与数轴的关系，并进行相关运用.4.了解实数的大小比较的方法.【教学重点】1.理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数.2.理解有理数和无理数的区别，会把实数进行分类.【教学难点】理解实数与数轴的关系，并进行相关运用.【教学过程】活动一：复习回顾，问题引入请同学们回顾下面这两个问题：111 什么是有理数？有理数怎样分类？什么是无限不循环小数？无限不循环小数都有哪些形式？小数位数无限，且小数部分不循环的小数叫作无限不循环小数.很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数.[教学建议]教师指定学生代表作答.[设计意图]学生回忆有理数及无限不循环小数的概念，为学习实数做铺垫.活动二：问题引入，探究新知探究点1实数的概念及分类（教材P52探究）把下列有理数写成小数的形式，你发现了什么？4，，，，，.可以发现，上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，即4=4.0，=2.5，=-0.6，=6.75，=，=.[教学建议]学生先自主探究，然后交流讨论，教师再订正、归纳.先通过复习有理数的概念，再经过类比学习的方法引入无理数的概念，体会两者[设计意图]通过探究有理数的形式引入无理数的概念，将数系扩充至实数，达到整体认识，形成知识迁移.问题1（1）任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式吗？（2）任何有限小数或无限循环小数都是有理数吗？（1）是的.（2）是的.问题2我们学过的所有数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式吗？如果不是，你能举例说明吗？不是.很多数的平方根、立方根是无限不循环小数，例如，，，，等，π=3.14159265…也是无限不循环小数.概念引入：无限不循环小数都不是有理数.无限不循环小数又叫作无理数.像有理数一样，无理数也有正负之分.例如,,π是正无理数，,,-π是负无理数.拓展：常见的无理数的形式有：①开方开不尽的数，如，等；②π及含π的式子，如π，2+π等；③结构特殊且不循环的小数，如1.01001000100001…（相邻的两个1之间依次多一个0）等.概念引入：有理数和无理数统称实数.问题3仿照有理数的分类，你能对实数进行分类吗？实数分类的原则是：按照同一标准，不重不漏.[对应训练]1.教材P54练习第1（1）（2）（3），2题.2.下列说法正确的是（D）A.正实数和负实数统称实数B.正数、0和负数统称有理数C.带根号的数和分数统称实数D.无理数和有理数统称实数3.把下列各数填在相应的集合内：-3.1415，，，，，，0，，,0.2020020002…(相邻的两个2之间依次多一个0).之间的区别，最后给出实数的概念，层层设问，发展学生的探究意识.注意强调：无限小数既可能是有理数，也可能是无理数，因为无限小数有无限循环小数和无限不循环小数两种形式.[教学建议]对实数分类时，可让学生类比有理数的分类，并进一步体会无理数的特征.在自主探究的过程中，发展学生的类比思想和分类思想.分类原则是不重不漏，注意有时分类的数会同时属于多个集合，要特别注意不要漏写.[设计意图]探究点2实数与数轴上的点的对应关系111 我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示.无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？（1）（教材P53思考）以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于π.如图，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点O′，点O′对应的数是多少？从图中可以看出，OO′的长是这个圆的周长π，所以点O′对应的数是π.（2）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点就表示.为什么？在学习算术平方根的估算时，我们知道，用两个面积为1的小正方形剪拼成一个面积为2的大正方形，这个大正方形的边长就是小正方形的对角线长，因此图中正方形的对角线长是2.所以以原点为圆心，以小正方形的对角线长为半径画弧，与数轴的两个交点分别表示数，.事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来.总结：当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.因此，实数与数轴上的点是一一对应的.[对应训练]1.教材P54练习第1（4）（5）题.2.如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1.若点E在数轴上（点E在点A左侧），且AD=AE，则点E所表示的数为（D）A.B.C.D.[教学建议]学生在讨论合作的基础上动手操作，教师利用多媒体课件进行动态演示，并对学生讨论交流的结果进行总结.注意使学生感受当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点才是一一对应的，而有理数不是.通过具体实例，让学生直观感受无理数可用数轴上的点表示，从而深化扩展到实数与数轴上的点的一一对应关系.[设计意图]探究点3实数的大小比较（1）回想一下，在数轴上如何比较两个有理数的大小？左边的数小于右边的数.（2）猜想一下，和谁比较大？为什么？大.因为在数轴上对应的点在原点的右边，而在数轴上对应的点在原点的左边.（3）你能总结出两个实数比较大小的方法吗？与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.用数轴比较实数的方法只是其中一种（更直观），实际上，有理数的大小比较的法则对于实数同样适用：(1)正数大于0，负数小于0，正数大于负数；(2)两个正数，绝对值大的较大；(3)两个负数，绝对值大的反而小.（4）请结合教材P54练习第3题，将这4个实数用“<”连接起来.-π＜＜＜.[对应训练]1.比较大小：（填“>”“<”或“=”）（1）>；（2）<-3.1.2.将-2,,0,,-π与图中数轴上标有字母的各点对应起来，并用“<”连接这些数.解：-2对应点B,对应点D,0对应点C,对应点E,-π对应点A.由图可知-π<-2<0<<.[教学建议]教师引导学生自主学习，通过实数的大小比较，学生会自然类比联想到有理数的运算法则及运算性质在实数范围内是否适用，从而为后面的学习做好铺垫.在比较实数的大小时，除了利用数轴和法则，还可以利用估算法、平（立）方法、作差法等.通过有理数的大小比较，类比学习实数的大小比较.活动三：重点突破，综合探究例如图，数轴上A,B两点表示的数分别为和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有（C）111 A.6个B.5个C.4个D.3个[对应训练]如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足|a+3|+(b-6)2=0.（1）点A表示的数为-3，点B表示的数为6；（2）若点C到原点的距离为，求点C到点B的距离.[教学建议]学生分组交流，讨论作答.鼓励学生动手操作，画图描点，有助于厘清思路.此类题目较好地将知识进行了综合，并有一定的拓展，能培养学生大胆[设计意图]强化巩固对于实数与数轴上的点的一一对应关系的理解，并能在实践中灵活运用，解决综合类型题目.解：当点C在原点的右边时，点C表示的数为，此时点C到点B的距离为；当点C在原点的左边时，点C表示的数为，此时点C到点B的距离为.尝试、勇于探索的精神，提高学生的思维能力.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是无理数？什么是实数？实数怎么分类？2.数轴上的点与实数有怎样的对应关系？【作业布置】1.教材P57习题8.3第1,2,6,9题.【教学后记】第2课时实数的简单运算【素养目标】1.理解实数范围内的相反数、绝对值的意义.2.了解有理数的运算法则和运算性质在实数范围内仍适用，能利用化简对实数进行简单的四则运算.【教学重点】实数的运算.【教学难点】了解有理数的运算法则和运算性质在实数范围内仍适用，能利用化简对实数进行简单的四则运算.【教学过程】活动一：旧知回顾，问题引入请同学们复习回顾下面两个问题：1.对于有理数a,它的相反数和绝对值分别是什么？2.有理数的运算顺序是怎样的？（1）先乘方，再乘除，最后加减；（2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.[教学建议]在复习过程中根据学生对知识的掌握情况，适当纠正与补充.[设计意图]通过回顾有理数的相关概念和运算引导学生进入实数的学习.活动二：问题引入，探究新知探究点1实数的相反数、绝对值思考（教材P55思考）111 (1)2的相反数是，-π的相反数是π，0的相反数是0；(2)=，|-π|=π，|0|=0.你能得出实数的相反数和绝对值的意义吗？相反数的意义：数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数.绝对值的意义：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.[教学建议]教师可引导学生通过复习有理数的相反数、绝对值，类比得出实数的相反数、绝对值.教师只需引导，以学生为主体，讨论交流，发展学生认知的类比迁移能力.应使学生明确，在数的范[设计意图]通过具体练习使学生体会到有理数关于相反数和绝对值的意义同样适用于实数.由上可知，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适用于实数.例1（教材P55例1）(1)分别写出，π-3.14的相反数；（2）指出，分别是什么数的相反数；(3)求的绝对值；(4)已知一个数的绝对值是3，求这个数.解：(1)因为，-(π-3.14)=3.14-π，所以，π-3.14的相反数分别为，3.14-π.(2)因为，，所以，分别是，的相反数.(3)因为==-4，所以=|-4|=4.(4)因为=，=，所以绝对值为3的数是3或-3.[对应训练]1.教材P56练习第1题.2.填表：围扩充至实数后，数的绝对值的最小值依然是0，因为绝对值都是非负实数.[设计意图]探究点2实数的运算与近似计算1.实数的运算性质(1)当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.(2)在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.①交换律：加法a+b=b+a乘法a×b=b×a②结合律：加法(a+b)+c=a+(b+c)乘法(a×b)×c=a×(b×c)③分配律：a×(b+c)=a×b+a×c例2（教材P56例2）计算：(1)；(2).[教学建议]学生以练为主，从做题中感受实数的运算，从而更深刻地体会到有理数的运算法则及运算性质仍然成立.对于实数的混合运算，整式的加减运算中的去括号、合并同类项等都可以类比运用到实数的运算使学生体会有理数的运算法则及运算性质在实数范围内同样适用.解：2.求实数的近似值在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数（例如，比计算结果要求的精确度多取一位）去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五入.注意：在近似计算时，计算过程中有时也使用“去尾法”,即用近似有限小数去代替无理数时，直接舍去要保留数位的下一位数字，最后对计算结果四舍五入.如≈2.236-2.645≈-0.41.例3（教材P56例3）计算(结果保留小数点后两位)：111 （1）;（2）.解：（1）≈2.236-2.646=-0.41；（2）≈3.142×1.442≈4.53.[对应训练]教材P56练习第2，3题.中.活动三：重点突破，提升探究例4计算：（1）；（2）.解：(1)原式==;[教学建议]学生独立思考作答，教师对学生的计算进行归总，分析出错的原因，指出高频出错的位置集中讲解.注意提醒学生，除了相反数和绝对值，倒数的意义在实数范围内也是一样适用的.[设计意图]对实数的混合运算进行巩固强化.[对应训练]活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.实数的相反数和绝对值的意义是什么？2.实数的运算法则及运算性质是什么？你会进行实数的运算吗？近似计算呢？【作业布置】1.教材P57习题8.3第3,4,5,7，8题.【教学后记】第九章　平面直角坐标系9.1　用坐标描述平面内点的位置9.1.1　平面直角坐标系的概念【素养目标】1.认识平面直角坐标系、原点、横轴、纵轴和象限.2.能正确画出平面直角坐标系，经历由点写出坐标、由坐标描点，体会数形结合思想.【教学重点】正确认识平面直角坐标系，会准确地由点写出坐标、由坐标描点.【教学难点】平面内点的坐标的有序性.【教学过程】活动一：创设情境，新课导入[设计意图]提出问题引导学生回顾旧知，为引入平面直角坐标系做铺垫.(1)生活中如何确定一个具体位置？如图是一个小组进行表演训练的模拟情形，有一个人的动作不规范，你能表示出他的位置吗？可用小学学过的有序数对确定.这个人位于第2行第3列，若把行数、列数编号，可用有序数对记为(2，3).111 (2)什么是数轴？规定了原点、正方向、单位长度的直线就构成了数轴.(3)如图，数轴上的点A表示数1.反过来，数1就是点A的位置.我们说数1是点A在数轴上的坐标.同理可知，点B在数轴上的坐标是－3；点C在数轴上的坐标是2.5；点D在数轴上的坐标是0.(4)数轴上的点与实数之间存在着一一对应的关系.[教学建议]学生回忆并作答，为本课的学习提供迁移或类比方法.活动二：交流合作，探究新知[设计意图]通过与数轴类比的实例进行引入，在此基础上抽象出平面直角坐标系的概念.探究点1　平面直角坐标系问题1　(教材P64思考)类似于上面利用数轴确定直线上点的位置，能不能找到一种办法来确定平面内的点的位置呢(请以图①中的点A为例说明)?如图①，我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，习惯上取向上为正方向；两坐标轴的交点O称为平面直角坐标系的原点.有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示了.如图②，由点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是3，垂足N在y轴上,的坐标是4，我们说点A的横坐标是3，纵坐标是4，有序数对(3，4)就叫作点A的坐标，记作A(3，4).问题2　结合图②和上面的知识，请你写出B，C，D，E的坐标.B(－3，－4)，C(0，2)，D(0，－3)，E(－2，0).[对应训练]1.下列选项中，平面直角坐标系的画法正确的是（D）2.教材P66练习第1题.[教学建议]教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流，教师最后进行总结并引入平面直角坐标系的概念.注意引导学生学会利用有序数对表示出点的坐标.通过与数轴类比可以更好地理解点与坐标的对应关系，从而实现一维到二维的过渡.注意强调平面直角坐标系的画法规则.[设计意图]使学生进一步了解平面直角坐标系，加深理解.探究点2　平面直角坐标系中的点的坐标特征问题1　(教材P65思考)原点O的坐标是什么？x轴和y轴上的点的坐标有什么特点？原点O的坐标为(0，0)；x轴上的点的纵坐标为0，例如(1，0)，(－1，0)，…；y轴上的点的横坐标为0，例如(0，1)，(0，－1)，….如图①，A(3，0)，B(－2，0)，C(0，2)，D(0，－3).概念引入：建立平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分(如图②)，每个部分称为象限，它们分别叫作第一象限、第二象限、第三象限和第四象限.问题2　各部分及坐标轴上的点的坐标有什么特点？注意：坐标轴上的点不属于任何象限.例1　(教材P65例1)在平面直角坐标系中描出下列各点：A(4，5)，B(－2，3)，C(－2.5，－2)，D(4，－2)，E(0，－4).[教学建议]教师引导学生思考，对于回答不完善的地方予以补充，注意引导学生学会画出用坐标表示的点的位置，对于各象限的点的坐标特点有清晰的了解.注意强调表示坐标时横、纵坐标顺序不可颠倒，及位于坐标轴上的点不属于任何象限.解：如图①，先在x轴上找出表示4的点，再在y轴上找出表示5的点，过这两个点分别作x轴和y轴的垂线，垂线的交点就是点A.类似地，可在图中描出点B，C，D，E.归纳总结：如图②，类比数轴上的点与实数是一一对应的，对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一个有序实数对(111 x，y)(即点M的坐标)和它对应；反过来，对于任意一个有序实数对(x，y)，在坐标平面内都有唯一的一点M(即坐标为(x，y)的点)和它对应.也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.这样，利用坐标平面内点的坐标，可以确定平面内点的位置.拓展：平面直角坐标系中的点到坐标轴的距离：点到x轴的距离是该点纵坐标的绝对值；点到y轴的距离是该点横坐标的绝对值.[对应训练]教材P66练习第2，3题.活动三：重点突破，巩固提升[设计意图]针对平面直角坐标系中的点的坐标特征出题，加深学生对于概念的理解和相应的运用能力.例2　已知点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1.如果过点P作两坐标轴的垂线，垂足分别在x轴的正半轴上和y轴的负半轴上，那么点P的坐标是（B）A.(2，－1)B.(1，－2)C.(－2，－1)D.(1，2)例3　(1)如果点M(－5，2＋b)在x轴上，那么b＝－2.(2)如果点N(a－3，2a)在y轴上，那么点N的坐标是(0，6).(3)平面直角坐标系中有点M(a，b).①当a＞0，b＜0时，点M位于第几象限？②当ab＞0时，点M位于第几象限？③当a为任意有理数，且b＜0时，点M位于第几象限？解：①点M位于第四象限；②点M位于第一象限(a＞0，b＞0)或者第三象限(a＜0，b＜0)；③点M位于第三象限(a＜0，b＜0)或者第四象限(a＞0，b＜0)或者y轴负半轴上.[对应训练]若点P(m，m－4)到x轴的距离为a，到y轴的距离为b.(1)当m＝3时，a＋b＝4；(2)若a＋b＝10，求出点P的坐标；(3)若点P在第三象限，且3a＋kb＝12(k为常数)，求出k的值.解：(2)因为a＋b＝10，所以|m|＋|m－4|＝10.①当m＜0时，－m－m＋4＝10，解得m＝－3，所以P(－3，－7)；②当0≤m≤4时，m－m＋4＝10，无解，舍去；③当m>4时，m＋m－4＝10，解得m＝7，所以P(7，3).综上所述，点P的坐标为(－3，－7)或(7，3).(3)因为点P在第三象限，所以m＜0，m－4＜0，所以a＝|m－4|＝4－m，b＝|m|＝－m.因为3a＋kb＝12，所以3(4－m)－km＝12，所以－3m－km＝0，所以k＝－3.[教学建议]当题目涉及平面直角坐标系的各个象限内的点的符号特征时，注意不要混淆正负号，如例3中ab>0可得同正或同负，注意不要漏掉后一种情况.而根据点到坐标轴的距离解题时，若不确定点所在的象限，则绝对值符号不可省略，于是不可忽视分类讨论.活动四：随堂训练，课堂总结【作业布置】1.教材P69习题9.1第1，3，4，5，8题.【教学后记】111 9.1.2　用坐标描述简单几何图形【素养目标】能根据平面直角坐标系中的点的位置描述图形，发展几何直观感知能力.【教学重点】用坐标描述简单几何图形.【教学难点】在坐标平面内描画简单图形及相应计算.【教学过程】活动一：创设情境，新课导入[设计意图]通过设问的方式引入本节课内容.几何图形都是由点组成的，坐标可以描述平面内点的位置，因而就可以描述一些几何图形.(1)如图，请说出点A，B，C的坐标；A(1，2)，B(0，－1)，C(－1，2).(2)顺次连接A，B，C三点，你能得到什么图形？如图，能得到一个三角形.[教学建议]学生自主作答，自己动手画一画加深感受.对于几何图形的描述，学生可以表达得更准确一些，如等腰三角形等.活动二：交流合作，探究新知[设计意图]使学生经历用坐标描述简单几何图形的过程，并直观体会若建立不同的平面直角坐标系，则图形中点的坐标会发生变化.探究点　用坐标描述简单几何图形问题　(教材P67探究)(1)如图①，正方形ABCD的边长为6，如果以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，那么以哪条线为y轴？写出正方形的顶点A，B，C，D的坐标.如图①，以AD所在直线为y轴.当取1个单位长度代表长度“1”时，正方形的顶点A，B，C，D的坐标分别是(0，0)，(6，0)，(6，6)，(0，6).(2)另建立一个平面直角坐标系，这时正方形的顶点A，B，C，D的坐标又分别是什么？如图②，以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，当取1个单位长度代表长度“1”时，则正方形的顶点A，B，C，D的坐标分别是(－3，0)，(3，0)，(3，6)，(－3，6).归纳总结：一般地，可以建立平面直角坐标系来描述一些简单几何图形.在用坐标描述简单几何图形时，只需用坐标描述这些图形上关键点的位置.这时，建立的平面直角坐标系不同，图形上点的坐标也不同.为了能方便地写出图形上点的坐标，在建立平面直角坐标系时，要考虑图形的形状特征.例1　(教材P67例2)在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点坐标分别为A(－3，2)，B(－3，－2)，C(3，－2)，D(3，2).画出长方形ABCD.分析：一个长方形四个顶点的位置确定了，这个长方形就确定了.在平面直角坐标系中，由顶点坐标描出长方形ABCD的四个顶点，就可以画出这个长方形.解：如图，由长方形ABCD的顶点坐标分别为A(－3，2)，B(－3，－2)，C(3，－2)，D(3，2)，描出点A，B，C，D，连接AB，BC，CD，DA，就可以画出长方形ABCD.[对应训练]教材P68练习第1，2，3题.[教学建议]教师尽量列举更多可能情况，也可引导学生自行作图进行描述，加深对于平面直角坐标系中的点的坐标特征的理解，体会建立不同的平面直角坐标系则点的坐标会有所不同.[教学建议]与上节课学习点和坐标的位置关系类似，在平面直角坐标系中可以由简单几何图形的形状和位置确定其一些关键点(例如顶点)的坐标，反过来，也可以由图形的一些关键点的坐标，确定这些关键点的位置，进而确定这个简单几何图形.活动三：重点突破，巩固提升111 [设计意图]巩固学生对于平面直角坐标系的认识，能根据点的坐标的描述准确找到点的位置，并描述图形的形状.例2　在平面直角坐标系中，描出下列各点：点A在y轴上，位于原点上方，距离原点2个单位长度；点B在x轴上，位于原点右侧，距离原点1个单位长度；点C在x轴上方，y轴右侧，距离每条坐标轴都是2个单位长度；点D在x轴上，位于原点右侧，距离原点3个单位长度；点E在x轴上方，y轴右侧，距离x轴2个单位长度，距离y轴4个单位长度.依次连接这些点，你能得到什么图形？并写出这些点的坐标.解：如图，得到一个类似于字母“W”的图形.A(0，2)，B(1，0)，C(2，2)，D(3，0)，E(4，2).[对应训练]在平面直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来.①(2，0)，(4，0)，(6，2)，(6，6)，(5，8)，(4，6)，(2，6)，(1，8)，(0，6)，(0，2)，(2，0)；②(1，3)，(2，2)，(4，2)，(5，3)；③(1，4)，(2，4)，(2，5)，(1，5)，(1，4)；④(4，4)，(5，4)，(5，5)，(4，5)，(4，4)；⑤(3，3).像什么图形？解：如图，像一个猫脸.[教学建议]学生自主作答，锻炼学生根据点的坐标的描述准确画出点的能力，熟练掌握各个象限的点的坐标特征.当需要描述图形形状时，可根据个人理解自行描述，答案可以是多样化的，只要符合即可.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：你能用坐标描述简单几何图形吗？请举例.【作业布置】1.教材P69习题9.1第2，6，7，9，10题.【教学后记】9.2　坐标方法的简单应用9.2.1　用坐标表示地理位置【素养目标】1.掌握根据实际问题情境，建立适当的平面直角坐标系描述地理位置的方法.2.了解用方向和距离表示地理位置的方法，在平面上，能用方向和距离刻画两个物体的相对位置.【教学重点】掌握建立适当的平面直角坐标系描述地理位置的方法.【教学难点】了解用方向和距离表示地理位置的方法.【教学过程】活动一：创设情境，新知引入[设计意图]直切主题，提出用坐标表示地理位置的观点，为引入新课做铺垫.111 [情境导入]在实际生活中，不管是出差办事，还是出去旅游，经常需要准确描述一些地点的位置，所以人们都愿意带上一幅地图，它给人们出行带来了很大方便.如图是北京市地图的一部分，你知道通过怎样建立平面直角坐标系，用坐标表示地理位置吗？[教学建议]教师引导学生观察图片，引发学生思考，明确本节课的重点学习内容，直观感受平面图，初步发展空间观念.活动二：实践交流，探究方法[设计意图]引导学生用平面直角坐标系表示地理位置.探究点1　用点的坐标表示地理位置(教材P72探究)根据以下条件画一幅示意图，画出天安门、国家体育场、中国人民抗日战争纪念馆、北京朝阳火车站、首钢滑雪大跳台、颐和园的位置.国家体育场：在天安门以北约9km处.中国人民抗日战争纪念馆：在天安门以西约14.5km，再往南约6km处.北京朝阳火车站：在天安门以东约9.5km，再往北约4km处.首钢滑雪大跳台：在天安门以西约21km处.颐和园：在天安门以西约11km，再往北约10km处.如图，选天安门所在位置为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表1km长.依题目所给条件，点(0，0)就是天安门的位置，点(0，9)就是国家体育场的位置，点(－14.5，－6)就是中国人民抗日战争纪念馆的位置.类似地，北京朝阳火车站、首钢滑雪大跳台、颐和园的位置及坐标如图所示.选取天安门所在位置为原点，并分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，有什么优点？其他场馆的位置均是以天安门为参照物进行描述的，这样可以方便得出位置坐标.归纳：利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布平面图的过程如下：(1)建立平面直角坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；(2)根据具体问题，确定单位长度；(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称.例1　如图是某市旅游景点的示意图.(1)怎样确定各个景点的位置？(2)如果以“中心广场”为原点建立平面直角坐标系，一个方格的边长代表1个单位长度，那么你能写出各个景点的坐标吗？(3)如果规定1个单位长度代表1km，那么雁塔到影月湖的距离是多少？解：(1)选择一个适当的参照物为原点，确定x轴、y轴的正方向及单位长度，建立平面直角坐标系，从而确定各个景点的位置.(2)能.中心广场(0，0)，雁塔(0，3)，碑林(3，1)，钟楼(－2，1)，大成殿(－2，－2)，科技大学(－5，－7)，影月湖(0，－5).(3)雁塔到影月湖的距离为3－(－5)＝8(km).方法总结：选取适当的点为原点，在建立平面直角坐标系时，应使尽可能多的点落在坐标轴上，使点的坐标更简单.[对应训练]教材P74练习第1，2题.[教学建议]学生分组进行讨论交流，教师适当引导后得到结论.注意强调：①选择适当的位置为坐标原点，通常是较明显的地点或较居中的位置；②坐标轴通常以正北为y轴正方向，以正东为x轴正方向，这样与地理方向一致；③注意规定适当的单位长度；④有时地点比较集中，坐标平面较小，可以在图上用代号标出，在图外另附名称.[设计意图]引导学生用方向和距离表示地理位置.111 探究点2　用方向和距离表示地理位置我们知道，通过建立平面直角坐标系，可以用坐标表示平面内点的位置.还有其他方法吗？(教材P73思考)如图，一艘船在A处遇险后向相距35nmile位于B处的救生船报警，如何用方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置？救生船接到报警后准备前往救援，如何用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置？由图可知，救生船在遇险船北偏东60°的方向上，与遇险船的距离是35nmile，用北偏东60°，35nmile就可以确定救生船相对于遇险船的位置.无论是救生船还是遇险船，它们的正北方向线是平行的，根据“两直线平行，内错角相等”可知，反过来，用南偏西60°，35nmile就可以确定遇险船相对于救生船的位置.归纳总结：一般地，可以建立平面直角坐标系，用坐标表示平面内的地理位置，还可以用表示方向的角和距离表示平面内物体的位置.[教学建议]学生分组思考、讨论，然后回答，教师适当引导后归纳，引导学生灵活运用知识，思考针对不同的问题采用不同的解决方式，积累解题经验.注意强调：方向和距离是相对于参照物而言的，两者缺一不可；当计算距离时要根据比例尺对图上距离和实际距离进行换算，注意单位不要出错.用方向和距离表示物体位置的步骤：①确定参照物，确定要表示位置的物体，以及要表示位置的物体相对于参照物的方向；②测定物体和参照物的距离；③用方向和距离描述物体的位置.例2　(教材P73例1)某海警舰艇编队在巡航时，舰艇观察员观测到一座东西向的海岛，海岛的西端位于舰艇的北偏西60°，1.38nmile处，东端位于舰艇北偏东45°方向.请你根据以上信息，估算这座海岛东西向的长度.(1nmile＝1.852km)解：如图，根据题目信息，画出表示舰艇和海岛相对位置的示意图.量得AB≈4.0cm，BC≈5.5cm.由于AB的长度代表实际距离1.38nmile(约2.56km)，可知图中1cm代表实际距离约0.64km，所以海岛东西向的实际长度约为0.64×5.5≈3.5(km).[对应训练]教材P74练习第3题.活动三：重点突破，提升探究[设计意图]对根据图上两点还原平面直角坐标系，确定坐标原点类型的题目进行挖掘探究，强化学生实际应用的能力.例3　如图是传说中的一个藏宝岛地图，藏宝人生前用平面直角坐标系的方法画了这幅图，现今的寻宝人没有原来的地图，但知道在该图上有两块大石头A(2，1)，B(8，2)，而藏宝地点的坐标是(6，6)，试设法在地图上找到藏宝地点.解：建立如图所示的平面直角坐标系，并找到坐标为(6，6)的点，就可以找到藏宝地点.[对应训练]小杰与同学去游乐城游玩，以下是游乐城的平面示意简图.(1)如果用(8，5)表示入口处的位置，(6，1)表示高空缆车的位置，那么攀岩的位置如何表示？(4，6)表示哪个地点？(2)你能找出哪个游乐设施离入口处最近，哪个游乐设施离入口处最远吗？解：(1)根据(8，5)表示入口处的位置，(6，1)表示高空缆车的位置，可建立如图所示的平面直角坐标系，则攀岩可表示为(0，7)，(4，6)表示海底世界.(2)测量各位置到入口处的距离可知，天文馆离入口处最近，攀岩离入口处最远.[教学建议]教师引导学生自主讨论交流，动手画图，提高操作能力，巩固用平面直角坐标系表示位置的方法，加强学生实际应用的能力.注意强调解决此类型题目时，确定1个单位长度所代表的图上距离是关键.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.建立适当的平面直角坐标系表示地理位置的一般过程是什么？111 2.怎么用方向和距离表示地理位置？【作业布置】1.教材P79习题9.2第2，3，6，7，10题.【教学后记】9.2.2　用坐标表示平移第1课时　用坐标的变化表示平移【素养目标】1.掌握图形平移与坐标变化的关系，能利用点的平移规律将平面图形进行平移.2.能根据图形平移方式，写出平移后(前)对应点的坐标.【教学重点】掌握图形平移与坐标变化的关系.【教学难点】根据图形平移探究坐标变化规律的过程.【教学过程】活动一：创设情境，新知引入[设计意图]将平移变换融入情境中，启发学生思考.[情境导入]如图，三架飞机P，Q，R保持编队飞行，它们的坐标分别是(－1，1)，(－3，1)，(－1，－1).30s后，飞机P飞到P′位置，则飞机Q，R飞到了什么位置？你能写出这三架飞机新位置的坐标吗？同学们，想知道如何解答上述问题吗？让我们带着疑问赶快进入本节课的学习吧！[教学建议]以多媒体呈现动态视频为最佳，让学生感悟平移，调动积极性，为后续的探究学习打下基础.活动二：问题引入，探究新知[设计意图]自主探究，交流总结出点的平移坐标变化规律.[设计意图]由点的平移规律进而探索图形的平移规律，由浅入深，由易到难.探究点1　平面直角坐标系中点的平移规律如图，在平面直角坐标系中有A，B，C三点，请你分别将这三点向左、向右、向上、向下平移，观察它们的坐标是否按一定的规律变化呢？(1)如图①，将图中各点向左平移2个单位长度，观察它们的坐标的变化.　　――→向左平移2个单位长度后A(－2，－1)―→A1(－4，－1)B(－4，2)―→B1(－6，2)C(2，1)―→C1(0，1)归纳(x，y)――→向左平移a个单位长度后(x－a，y)(2)如图②，将图中各点向右平移5个单位长度，观察它们的坐标的变化.――→向右平移5个单位长度后A(－2，－1)―→A1(3，－1)B(－4，2)―→B1(1，2)C(2，1)―→C1(7，1)归纳111 (x，y)――→向右平移a个单位长度后(x＋a，y)(3)如图③，将图中各点向上平移4个单位长度，观察它们的坐标的变化.――→向上平移4个单位长度后A(－2，－1)―→A1(－2，3)B(－4，2)―→B1(－4，6)C(2，1)―→C1(2，5)归纳(x，y)――→向上平移b个单位长度后(x，y＋b)(4)如图④，将图中各点向下平移2个单位长度，观察它们的坐标的变化.――→向下平移2个单位长度后A(－2，－1)―→A1(－2，－3)B(－4，2)―→B1(－4，0)C(2，1)―→C1(2，－1)归纳(x，y)――→向下平移b个单位长度后(x，y－b)归纳总结：一般地，在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)(或(x－a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)(或(x，y－b)).[对应训练]1.在平面直角坐标系中，把点P(－3，2)向右平移2个单位长度后，得到的对应点的坐标是（D）A.(－5，2)B.(－1，4)C.(－3，4)D.(－1，2)2.在平面直角坐标系中，把点P(2，1)向下平移3个单位长度，所得的点位于(D)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.在平面直角坐标系中，已知点M(3a－9，1－a)，若把点M向上平移6个单位长度后落在了x轴上，则a＝7；4.若点A向下平移3个单位长度得到点A′(－4，－2)，则点A的坐标为(－4，1).[教学建议]学生动手实践，独立思考，相互交流，通过自主探索获得知识和技能，掌握数形结合的数学思想方法.关键指出：①看清平移的方向，它决定是改变横坐标还是纵坐标，并决定是加还是减；②看清平移的距离，它决定坐标改变的数量.[教学建议]对应的练习使学生掌握点的平移坐标变化规律，并培养一定的逆向思维.探究点2　平面直角坐标系中图形的平移规律(教材P75探究)如图，正方形ABCD四个顶点的坐标分别是A(－2，4)，B(－2，3)，C(－1，3)，D(－1，4)，将正方形ABCD先向下平移7个单位长度，再向右平移8个单位长度，两次平移后四个顶点相应地变为点E，F，G，H，它们的坐标分别是什么？如果直接平移正方形ABCD，使点A移到点E，它和前面得到的正方形位置相同吗？点E，F，G，H的坐标分别是(6，－3)，(6，－4)，(7，－4)，(7，－3).如果直接平移正方形ABCD，使点A移到点E，它和前面得到的正方形位置相同.归纳总结：一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到.例1　(教材P76例2)(1)如图，长方形A′B′C′D′可以由长方形ABCD经过怎样的平移得到？对应点的坐标有什么变化？(2)点P(－3，1)是长方形ABCD上一点，写出点P的对应点P′的坐标.解：(1)将长方形ABCD先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，可以得到长方形A′B′C′D′.把长方形ABCD各个点的横坐标都加3，纵坐标都加2，就得到了它们在长方形A′B′C′D′上对应点的坐标.(2)由于点P是长方形ABCD上一点，将点P的横坐标加3，纵坐标加2，就得到对应点P′111 的坐标(0，3).[对应训练]教材P76练习第1，2题.,[教学建议]学生自主探究图形的平移，可以两次平移，也可以一次平移，理解平移结果的一致性.教师着重强调：图形的平移实质上就是图形上所有点的平移；根据平移的方向和距离确定数的符号时不要出错.活动三：综合演练，巩固提升[设计意图]综合考查图形的平移规律，要求根据平移画出图形并写出对应点的坐标，以及计算图形面积，巩固本课时所学.例2　如图，在平面直角坐标系中，已知三角形ABC的三个顶点坐标分别是A(2，－1)，B(1，－2)，C(3，－3).(1)将三角形ABC先向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度得到三角形A1B1C1，请画出三角形A1B1C1；(2)写出点A1，B1，C1的坐标；(3)求出三角形A1B1C1的面积.解：(1)如图所示.(2)A1(－3，3)，B1(－4，2)，C1(－2，1).(3)S三角形A1B1C1＝2×2－12×1×1－2×12×1×2＝1.5.[对应训练]如图，三角形A′B′C′的顶点坐标分别是A′(3，1)，B′(0，－4)，C′(5，－2)，已知三角形A′B′C′是由三角形ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的.(1)画出三角形ABC，并直接写出点C的坐标；(2)若三角形ABC内有一点P(a，b)经过以上平移后的对应点为P′，直接写出点P′的坐标；(3)求三角形ABC的面积.解：(1)如图所示，C(1，1).(2)P′(a＋4，b－3).(3)S三角形ABC＝5×5－12×3×5－12×2×3－12×5×2＝9.5.[教学建议]三角形是较为基础的几何图形，也是初中阶段研究最多的，在解决关于三角形的平移问题时，往往借助于网格，这样可以根据平移的距离，通过数方格的形式快速得到对应点的坐标，从而直观作出图形.同时也可能涉及一些面积计算，大多时候需要利用前面学到的“割补法”来求解.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.点沿坐标轴方向平移后坐标的变化规律是什么？2.将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到吗？【作业布置】1.教材P79习题9.2第1，4，5，9，11题.【教学后记】111 第2课时　由坐标变化判断图形平移【素养目标】1.进一步掌握坐标变化与图形平移的关系，会根据图形上点的坐标的变化，来判断图形的移动过程.2.通过教学使学生掌握平面直角坐标系中的三角形、四边形及多边形的面积的算法.【教学重点】掌握坐标变化与图形平移的关系.【教学难点】利用坐标变化与图形平移的关系解决实际问题.【教学过程】活动一：创设情境，新课导入[设计意图]以熟知的游戏为引入新课做准备.中国象棋中的马颇有骑士风度，自古以来便有“马踏八方”之说，形容其不凡的姿态.如图，将部分棋盘放入平面直角坐标系中，根据马的走法发现它移动了一次，那这种走法究竟是什么呢？你能根据坐标变化将其描述出来吗？[教学建议]教师可用多媒体展示，或实物展示其移动过程，让学生感受平移的变化，加深对于物体在坐标平面内平移的理解.活动二：交流合作，探究新知[设计意图]体会由坐标变化引起的图形位置变化，从而判断图形进行了怎样的平移.探究点　由坐标变化判断图形平移对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标的某种变化，也可以看出对这个图形进行了怎样的平移.问题　(教材P77探究)如图①，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A(4，3)，B(3，1)，C(1，2).(1)将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6，纵坐标不变，分别得到点A1，B1，C1，依次连接A1，B1，C1各点，所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状和位置有什么关系？如图②，所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状完全相同，三角形A1B1C1可以看作将三角形ABC向左平移6个单位长度得到.(2)将三角形ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到点A2，B2，C2，依次连接A2，B2，C2各点，所得三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状和位置有什么关系？如图②，三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状完全相同，它可以看作将三角形ABC向下平移5个单位长度得到.(3)将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6，同时纵坐标都减去5，画出得到的图形，你有什么发现？如图③，三角形的大小、形状不发生变化，位置沿AA3(或BB3，CC3)方向平移了AA3(或BB3，CC3)的长度.归纳总结：一般地，在平面直角坐标系中，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形可以看作把原图形向右(或左)平移a个单位长度得到；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形可以看作把原图形向上(或下)平移a个单位长度得到.例1　(教材P78例3)如图，将三角形ABC平移，得到三角形A1B1C1，其中任意一点P(x0，y0)平移后的对应点为P1(x0＋5，y0＋3).写出三角形ABC的一种沿坐标轴方向的平移方式，以及点A1，B1，C1的坐标.解：由平移前后的对应点P和P1的坐标关系可知，将三角形ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，可以得到三角形A1B1C1.同时，还可以得到点A，B，C的对应点A1，B1，C1的坐标分别为(3，6)，(1，2)，(7，3).[对应训练]111 教材P78练习第1，2，3题.[教学建议]学生自主探究点的坐标加、减一个数后图形的变化规律，培养数学语言表达能力.注意强调：①图形的平移只改变图形的位置及表示位置的坐标，不改变图形的形状、大小；②图形中所有对应点的坐标都做相同的加减时，说明两个图形之间是平移的关系.完成练习时学生可以自主讨论交流，必要时动手画图，提高操作能力，加强对于图形平移的理解.注意强调根据数的变化判断平移方向，不要弄反.活动三：重点突破，巩固提升[设计意图]巩固由坐标变化判断图形平移的方法，动手操作画图，对坐标平面内求图形面积的方法进行综合性考察.　例2　如图，已知点A(－4，－1)，B(－5，－4)，C(－1，－3)，三角形ABC经过平移得到三角形A1B1C1，三角形ABC中任意一点P(x1，y1)平移后的对应点为P1(x1＋4，y1－1).(1)写出三角形A1B1C1各顶点的坐标；(2)画出平移后的三角形A1B1C1；(3)求三角形ABC的面积.解：(1)A1(0，－2)，B1(－1，－5)，C1(3，－4).(2)如图所示.(3)S三角形ABC＝3×4－12×1×3－12×1×4－12×2×3＝5.5.[对应训练]如图，在平面直角坐标系中，P(a，b)是三角形ABC的边AC上一点，三角形ABC经平移后点P的对应点为P1(a＋6，b＋2).(1)请画出上述平移后的三角形A1B1C1，并写出点A，C，A1，C1的坐标；(2)求出以A，C，A1，C1为顶点的四边形的面积.解：(1)三角形A1B1C1如图所示.A(－3，2)，C(－2，0)，A1(3，4)，C1(4，2).(2)如图，连接AA1，CC1，AC1.S四边形ACC1A1＝S三角形AC1A1＋S三角形AC1C＝12×7×2＋12×7×2＝14.[教学建议]教师指导，学生交流后作答，引导学生对之前所学内容进行回顾梳理，体会用“割补法”求坐标平面内图形的面积，进一步加强学生的动手能力和逻辑思维能力，并熟练掌握点的平移的坐标变化规律.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：由坐标变化可以判断图形发生了怎样的平移吗？举例说明.【作业布置】1.教材P79习题9.2第8题.【教学后记】第十章　二元一次方程组10.1　二元一次方程组的概念【素养目标】111 1.认识二元一次方程和二元一次方程组，体会二元一次方程和二元一次方程组都是反映数量关系的重要数学模型.2.了解二元一次方程和二元一次方程组的解，会检验所给的一对未知数的值是否为二元一次方程或二元一次方程组的解.3.会求二元一次方程的正整数解.【教学重点】理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的意义.【教学难点】1.感知二元一次方程解的不确定性和二元一次方程组解的确定性.2.求二元一次方程的正整数解.【教学过程】活动一：旧知回顾，新课导入[设计意图]回顾方程知识，为突破本课时重难点做准备.同学们，在七年级上册，我们学习了一元一次方程，你还记得什么是一元一次方程吗？“元”“次”分别表示什么含义？请举例说明.一般地，如果方程中只含有一个未知数(元)，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程.如：2x＋3＝5，y＋6＝8.用一元一次方程可以解决许多实际生活问题.请大家思考教材P87引言中的问题，对于此类含有两个未知量的问题，我们能否根据题意设出两个未知数，并列出方程解决问题呢？本节课我们将对该问题进行探究与学习.[教学建议]学生代表独立回答，教师提示并总结，引出二元一次方程(组)的有关知识.活动二：问题引入，自主探究[设计意图]以实际问题为例，进行分析探究，引入二元一次方程(组)的概念.探究点1　认识二元一次方程(组)某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了8hm2棉田的采摘.如果大型采棉机1h完成2hm2棉田的采摘，小型采棉机1h完成1hm2棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台？问题1　问题中包含了哪些必须同时满足的相等关系？①大型采棉机台数＋小型采棉机台数＝总台数；②大型采棉机1h采摘面积＋小型采棉机1h采摘面积＝1h采摘总面积.问题2　设这个种棉大户租用了x台大型采棉机，y台小型采棉机，你能用方程把这些相等关系表示出来吗？这两个相等关系可以分别用方程x＋y＝6，2x＋y＝8表示.问题3　上面的两个方程有什么特点？它们与一元一次方程有什么不同？这两个方程都含有两个未知数，左边都是整式，所含未知数的项的次数都是1.与一元一次方程的不同点：比一元一次方程多一个次数为1的未知数，即有两个未知数.概念引入：一个方程中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作二元一次方程.上面的问题中包含两个必须同时满足的相等关系，也就是未知数x，y必须同时满足方程x＋y＝6和2x＋y＝8.把这两个方程合在一起，写成x＋y＝6，2x＋y＝8，就组成了一个方程组.[教学建议]学生独立思考并完成相应的问题，教师引导学生一起得出二元一次方程和二元一次方程组的概念.在识别二元一次方程(组)时，应提醒学生注意二元一次方程(组)的三个特征：①“二元”，即方程(组)中含有两个未知数；②(方程组中的两个)方程的两边都是整式；③“一次”，即方程(组)所含未知数的项的次数都是1.概念引入：111 一个方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组.[对应训练]1.下列方程中，是二元一次方程的是（D）A.3x－2y＝4zB.6xy＋9＝0C.1x＋4y＝6D.4x＝y－242.下列方程组中，是二元一次方程组的是(A)[设计意图]结合问题中未知数的实际意义，列举出所有满足方程的未知数的值，引入二元一次方程(组)的解的概念.探究点2　二元一次方程(组)的解下面我们继续来探究上个探究点中的问题.问题1　满足方程x＋y＝6，且符合问题的实际意义的x，y的值有哪些？把它们填在表中.结合问题的实际意义，采棉机台数均为正整数.x12345y543212x＋y7891011如果不考虑方程x＋y＝6与前面实际问题的联系，那么x＝－1，y＝7；x＝0.1，y＝5.9；…也都是这个方程的解.概念引入：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解.问题2　一个一元一次方程有几个解？一个二元一次方程呢？一个一元一次方程只有一个解，一个二元一次方程有无数对解.问题3　结合在上表中填入的x，y的值，计算2x＋y的值并填在表中.上表中哪对x，y的值同时满足方程2x＋y＝8.x＝2，y＝4同时满足方程2x＋y＝8.x＝2，y＝4既满足方程x＋y＝6，又满足方程2x＋y＝8.也就是说，x＝2，y＝4是方程x＋y＝6与方程2x＋y＝8的公共解.我们把x＝2，y＝4叫作二元一次方程组x＋y＝6，2x＋y＝8的解，这个解通常记作x＝2，y＝4.概念引入：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解.问题4　请联系上面的问题，确认这个种棉大户租用了多少台大、小型采棉机.这个种棉大户租用了2台大型采棉机，4台小型采棉机.[对应训练]1.教材P90习题10.1第1题.2.若x＝2，y＝5是关于x，y的方程kx－2y＝－2的一个解，则k的值为4.[教学建议]学生独立思考并完成表格，教师引导学生得出二元一次方程(组)的解的概念，加深对该概念的理解.二元一次方程组的解的特点：①是一对数值，即x＝a，y＝b.②同时满足方程组中的每一个方程.活动三：重点突破，提升探究[设计意图]以实际问题为例，让学生独立完成由实际问题建立方程模型，并结合实际意义求方程组的解的过程.例　观察小红与小明的对话，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，确定成人、儿童的人数.解：设成人的人数为x，儿童的人数为y.根据题意，得x＋y＝8，5x＋3y＝34.①②因为x，y均表示人数，所以x，y都是非负整数.在方程①中，满足条件的x，y的值有111 x012345678y876543210经验证，x＝5，y＝3也是方程②的解.则二元一次方程组的解是x＝5，y＝3.答：他们去了5个成人，3个儿童.[对应训练]教材P89练习.[教学建议]学生分小组讨论解答.教师适时引导学生根据问题的实际意义确定未知数的取值.通常此类问题中未知数是非负整数(或正整数)，要具体问题具体分析.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.如何判断一个方程(组)是不是二元一次方程(组)?2.如何判断一对数值是不是二元一次方程(组)的解？【作业布置】1.教材P90习题10.1第2，3，4，5题.【教学后记】10.2　消元——解二元一次方程组10.2.1　代入消元法第1课时　用代入消元法解简单的二元一次方程组【素养目标】1.了解解二元一次方程组的“消元”思想，体会学习数学中的“化未知为已知”，“化复杂为简单”的化归思想.2.了解代入消元法的概念，掌握代入法的基本步骤.3.会用代入消元法求简单的二元一次方程组的解.【教学重点】了解代入法的一般步骤，会用代入法解简单的二元一次方程组.【教学难点】对代入消元法解方程组的过程的理解.【教学过程】活动一：回顾旧知，新课导入[设计意图]回顾上节课的内容，为引入新课做准备.在上节课中，我们探究了教材P87的问题，通过设租用的大型采棉机的台数为x，小型采棉机的台数为y，结合问题中的相等关系，列出了二元一次方程组x＋y＝6，2x＋y＝8.①②之后我们又结合未知数的实际意义，通过逐一尝试的方法，找出了方程组的解.很明显这种方法较为受限且求解过程比较烦琐，那有没有一种简单的方法解方程组呢？这节课我们继续研究怎样解二元一次方程组.[教学建议]教师直接列举不适合列表求公共解的实际问题，激发学生探究方程组其他解法的兴趣.活动二：问题引入，自主探究[设计意图]将解二元一次方程组与解一元一次方程相比较，引入将“二元”转化为“一元”的“消元”111 思想，总结出用代入消元法解二元一次方程组的步骤.探究点　用代入法解简单的二元一次方程组问题1　对于教材P87的租用大、小型采棉机问题，你能否列一元一次方程求解？设这个种棉大户租用了大型采棉机x台，则租用了小型采棉机(6－x)台.根据题意，得2x＋(6－x)＝8.③解得x＝2.则6－x＝4.这个种棉大户租用了大型采棉机2台，小型采棉机4台.问题2　对于教材P87的问题，采用不同的设未知数的方法，由问题中的相等关系，可以分别列出二元一次方程组和一元一次方程③.你能由所列出的二元一次方程组得到所列出的一元一次方程③吗？方程①可以写为y＝6－x，因为方程①②中的y都表示租用小型采棉机的台数，所以可以通过等量代换，把方程②中的y换为6－x，即可得到方程③.解方程③，得x＝2.把x＝2代入y＝6－x，得y＝4，从而得到这个方程组的解.概念引入：将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想.把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法.例1　(教材P92例1)用代入法解方程组　问题1　选择哪个方程进行变形会比较简便，为什么？选择方程①进行变形会比较简便，因为方程①中x，y的系数的绝对值都是1.问题2　用含y的式子表示x，写出解答过程.问题3　问题2中的方程③可以代入方程①吗？为什么？不能.把方程③代入方程①后，会得到不含未知数的恒等式3＝3，无法继续求解.方程③由方程①变形得到，不能代入原方程.问题4　问题2中的y＝－1代入方程①或方程②，能求得x的值吗？能.代入方程①，②还需要进一步变形才能求得x的值，代入方程③更简便.问题5　方程①能否用含x的式子表示y来求解？试试看.能.解：由①，得y＝x－3.③把③代入②，得3x－8(x－3)＝14.解这个方程，得x＝2.把x＝2代入③，得y＝－1.所以这个方程组的解是x＝2，y＝－1.例2　(教材P92例2)用代入法解方程组3x－5y＝3，①2x－y＝16.②分析：方程②中y的系数是－1，用含x的式子表示y，再代入方程①，比较简便.解：由②，得y＝2x－16.③把③代入①，得3x－5(2x－16)＝3.解这个方程，得x＝11.把x＝11代入③，得y＝6.所以这个方程组的解是x＝11，y＝6.[对应训练]教材P93练习第1，2题.[教学建议]学生分组讨论合作完成问题，感悟探究过程中所蕴含的化归思想.教师适时予以提示或指导，最终引导学生得出代入消元法的概念.[教学建议]教师注意规范学生的解题格式，并强调二元一次方程组的解是一对，应写成x＝a，y＝b的形式.在用代入法解二元一次方程组时，若未知数的系数比较复杂，可将求得的解回代入方程组进行检验.活动三：重点突破，提升探究111 [设计意图]将二元一次方程组的解与解二元一次方程组结合，加深对概念的理解，强化解方程组的方法的应用.例3　已知x＝2，y＝1是二元一次方程组mx＋ny＝8，nx－my＝1的解，求m，n的值.解：把x＝2，y＝1代入原方程组中，得到关于m，n的二元一次方程组2m＋n＝8，2n－m＝1.①②由②，得m＝2n－1.③把③代入①，得2(2n－1)＋n＝8.解这个方程，得n＝2.把n＝2代入③，得m＝3.所以这个方程组的解为m＝3，n＝2.所以m的值为3，n的值为2.[对应训练]已知x＝2，y＝1是二元一次方程组ax＋by＝7，ax－by＝1的解，求a－b的值.解：把x＝2，y＝1代入原方程组中，得到关于a，b的二元一次方程组2a＋b＝7，2a－b＝1.解这个方程组，得a＝2，b＝3.所以a－b＝2－3＝－1.[教学建议]学生独立思考完成，教师提醒学生，方程组的解必定满足方程组中每一个方程，故将方程组的解回代，即可得到关于其他字母的方程(组).活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.解二元一次方程组的基本思想是什么？2.用代入法解二元一次方程组的一般步骤是怎样的？3.用代入法解二元一次方程组时，有哪些技巧？(以变形和代入两方面为例)【作业布置】1.教材P99习题10.2第2(1)(2)，4，8题.【教学后记】第2课时　用代入消元法解稍复杂的二元一次方程组【素养目标】会用代入消元法求稍复杂的二元一次方程组的解，进一步体会“消元”思想.【教学重点】用代入消元法解稍复杂的二元一次方程组.【教学难点】方程组中未知数的系数都不为1(或－1)时，如何用一个未知数表示另一个未知数从而实现代入消元的灵活运用.【教学过程】活动一：旧知回顾，新课导入[设计意图]通过回忆上节课所学，引出稍复杂的二元一次方程组的形式，为新课进行铺垫.(1)什么是二元一次方程组？方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组.(2)①y＝3x，2x－y＝9，②x＋5y＝8，2x－y＝5，③111 2x＋7y＝11，3x－4y＝6是二元一次方程组吗？①②和③有什么不同？都是二元一次方程组.①②的两个方程中有一个未知数的系数为1或－1，③的两个方程中未知数的系数都不为1或－1.(3)如何用代入法解方程组①②？试着做一做.解方程组①，得x＝－9，y＝－27.解方程组②，得x＝3，y＝1.像③这样的方程组也可以用代入法求解吗？这就是我们这节课将要学习的内容.[教学建议]教师提问，学生代表进行回答，重点在于引导学生观察方程组中未知数的系数特征.也可在进入正课之前给学生时间自行尝试仿照上节课的代入法解一解，有助于体会方程形式上的特点，并对于解题难度上的区别有一个初步认知.活动二：交流合作，探究新知[设计意图]通过例题逐步设问，引导学生利用代入法解稍复杂的二元一次方程组.探究点1　用代入法解稍复杂的二元一次方程组例1　(教材P93例3)用代入法解方程组2x－5y＝－11，①9x＋7y＝39.②问题1　类比上节课所学，用代入法求解这种未知数的系数都不为1或－1的二元一次方程组时，第一步应做些什么？应对某个方程进行变形，把一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，并注意将被表示的未知数的系数化为1.问题2　对于这个方程组，选择表示出哪个方程中的哪个未知数会使计算更简便？为什么？由于方程①中的x的系数的绝对值最小，所以在方程①中用含y的式子表示x会使计算更简便.问题3　根据你在问题2中的结论，写出解答过程.解：由①，得x＝52y－112.③(1)变形把③代入②，得9(52y－112)＋7y＝39.(2)代入解这个方程，得y＝3.(3)求解把y＝3代入③，得x＝2.(4)回代所以这个方程组的解是x＝2，y＝3.(5)写解问题4　解这个方程组时，可以先消去y吗？试试看.可以.解：由①，得y＝25x＋115.③把③代入②，得9x＋7(25x＋115)＝39.解这个方程，得x＝2.把x＝2代入③，得y＝3.所以这个方程组的解是x＝2，y＝3.[对应训练]教材P95练习第1题.[教学建议]这部分采用上节课的教学模式，将例题分解成多个小问，学生分组讨论，合作完成解答，感悟探究过程中所蕴含的化归思想，教师适时予以提示或指导.由于本节课涉及的方程组的系数较为复杂，学生在解答完毕后可将解代回进行检验.教师也可对学生提问不同的变形方式会不会改变方程的解，鼓励学生用不同的方式去解方程，并让学生从中自行感悟缘由.[设计意图]通过运用代入法解决实际问题，提高解方程组的能力和应用意识.探究点2　代入法解二元一次方程组的实际应用例2　(教材P94例4)快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件.111 某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为90件和25件，报酬为185元.如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？问题1　写出题中所包含的相等关系.相等关系1：送120件的报酬＋揽45件的报酬＝270元；相等关系2：送90件的报酬＋揽25件的报酬＝185元.问题2　设这名快递员每送一件的报酬是x元，每揽一件的报酬是y元，请用含x，y的式子表示你在问题1中得到的相等关系.120x＋45y＝270，90x＋25y＝185.问题3　请根据你在问题2中的设元，及本节课学过的用代入法解稍复杂的二元一次方程组，完成本题的解答.解：根据问题2中的设元，列得方程组120x＋45y＝270，①90x＋25y＝185.②由①，得x＝94－38y.③把③代入②，得90(94－38y)＋25y＝185.解这个方程，得y＝2.把y＝2代入③，得x＝1.5.所以这个方程组的解是x＝1.5，y＝2.答：这名快递员每送一件的报酬是1.5元，每揽一件的报酬是2元.[对应训练]教材P95练习第2题.[教学建议]教师引导学生分析题中的两个相等关系，从而列出方程组，并独立完成解答过程.教师可引导学生对用代入法解二元一次方程组的实际问题的一般步骤进行总结：①审题，找出题中的相等关系；②设元，设出两个未知数；③列式，根据两个相等关系列出二元一次方程组；④求解，解方程组；⑤检验：有些情况下要检验方程组的解是否符合实际意义；⑥作答：最后要写出实际问题的答案.活动三：变式训练，巩固提升[设计意图]考查构造稍复杂的二元一次方程组并进行计算，强化本节课所学内容.例3　对于实数x，y，定义新运算x*y＝ax＋by＋1，其中a，b为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算.若3*5＝15，4*7＝28，求5*9的值.解：根据题意得3a＋5b＋1＝15，4a＋7b＋1＝28，即3a＋5b＝14，4a＋7b＝27.解这个方程组，得a＝－37，b＝25.所以5*9＝5×(－37)＋9×25＋1＝41.[对应训练]若|3a＋2b＋7|＋（5a－3b＋1）2＝0，求a，b的值.解：根据题意，得3a＋2b＋7＝0，5a－3b＋1＝0，解这个方程组，得a＝－2319，b＝－3219.所以a的值为－2319，b的值为－3219.[教学建议]解决此类求值问题，通常是根据式子中隐含的相等关系构造二元一次方程组，然后解方程组得到未知数的值，再代入所要求的式子中求值.形式多样，包括但不限于例题中的新定义运算与对应训练中的利用非负性列方程组.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.你能用代入法解稍复杂的二元一次方程组吗？如何变形方程能使计算更简便？举例说明.2.你能用代入法解决与二元一次方程组有关的实际问题吗？【作业布置】1.教材P99习题10.2第1，2(3)(4)，11题.【教学后记】111 10.2.2　加减消元法第1课时　用加减消元法解简单的二元一次方程组【素养目标】1.体验加减消元法，在此基础上学习加减消元法的概念，理解加减消元法.2.会运用加减消元法求二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解简单的二元一次方程组的一般步骤.【教学重点】掌握用加减法解简单的二元一次方程组.【教学难点】对于运用加减消元法，把“二元”转化为“一元”，从而正确求解二元一次方程组的理解.【教学过程】活动一：旧知回顾，新课导入[设计意图]复习等式的性质，方便引入加减消元法.在前面的课时，我们研究了用代入法解二元一次方程组，这种方法的基本思想是消元，即把二元一次方程组转化为一元一次方程.除了用代入法消元外，还有没有其他的方法消元呢？大家看下面3个问题：①如果a＝b，那么a±c＝b±c.②如果a＝b，那么ac＝bc.③如果a＝b，c＝d，那么a±c＝b±d成立吗？为什么？以上这些性质运用在方程上，是否有助于解方程组呢？本节课我们将对该问题进行探讨.[教学建议]教师带领学生一起回顾等式的性质，引出方程的变形、加减法解二元一次方程组有关知识.活动二：问题引入，自主探究[设计意图]通过探究的方式，让学生初步体会到用加减消元法解二元一次方程组的思想、方法和步骤.探究点　用加减消元法解简单的二元一次方程组1.同一未知数的系数相等——两个方程相减(教材P95上方的思考)前面我们用代入法求出了方程组x＋y＝6，①2x＋y＝8②的解.除此之外，还有没有别的方法呢？问题1　这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系并结合“活动一”中的问题，你能发现新的消元方法吗？这两个方程中未知数y的系数相等，我们可以通过两个方程相减，即②－①(或①－②)来消去未知数y.问题2　②－①的意义是什么？为什么要②－①？②－①就是用方程②的左边减去方程①的左边，方程②的右边减去方程①的右边.解二元一次方程组需要“消元”，通过②－①可以消去未知数y，得到关于x的一元一次方程.问题3　②－①的理论依据是什么？等式的性质.等式两边都加(或减)相等的量，结果仍相等.问题4　请用②－①的方式解方程组.解：②－①，得x＝2.把x＝2代入①，得y＝4.所以这个方程组的解是x＝2，y＝4.问题5　①－②也能消去未知数y，求得x吗？(请学生上台板演)能.①－②，得－x＝－2，即x＝2.把x＝2代入①，得y＝4.所以这个方程组的解是x＝2，y＝4.2.同一未知数的系数互为相反数——两个方程相加111 (教材P95下方的思考)联系前面的探索过程，想一想怎样解方程组3x＋10y＝2.8，15x－10y＝8.①②问题1　这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？该如何消元？两个方程中未知数y的系数互为相反数，则两个方程相加即可消去未知数y.问题2　根据你的消元思路解方程组.解：①＋②，得18x＝10.8，x＝0.6.把x＝0.6代入①，得3×0.6＋10y＝2.8，y＝0.1.所以这个方程组的解是x＝0.6，y＝0.1.概念引入：当二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解.这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法.例1　(教材P96例5)用加减法解方程组3x＋y2＝0，①2x－y2＝15.②解：①＋②，得5x＝15，x＝3.把x＝3代入①，得3×3＋y2＝0，y＝－18.所以这个方程组的解是x＝3，y＝－18.问题　把x＝3代入例1中的方程②，可以解得y吗？可以.把x＝3代入②，得2×3－y2＝15，y＝－18.[对应训练]教材P96练习.[教学建议]学生分组讨论完成加减法的探究过程.教师适时予以提示或指导，最终引导学生得出加减消元法的概念，并结合“活动一”说明加减法的理论依据就是等式的性质.初学加减法时，涉及的方程中未知数的系数或者相等，或者互为相反数，对于不是这两种的稍复杂情形，在下节课再进行深入学习.活动三：强化训练，巩固提升[设计意图]设置利用加减法解方程组求参数的值或取值范围的题目，强化学生学以致用的能力.例2　已知x＋y＝0，且x，y满足二元一次方程组2x＋5y＝k，x－4y＝15，求k的值.解：根据题意，可得x＋y＝0，x－4y＝15.解这个方程组，得x＝3，y＝－3.把x＝3，y＝－3代入方程2x＋5y＝k，得k＝2×3＋5×(－3)＝－9.例3　已知关于x，y的方程组2x＋y＝2a＋1，①x＋2y＝a－1②的解满足x－y＝4，求a的值.解：①－②，得x－y＝a＋2.又关于x，y的方程组2x＋y＝2a＋1，x＋2y＝a－1的解满足x－y＝4，所以a＋2＝4，所以a＝2.[对应训练]已知关于x，y的方程组2m－5n＝2a－3，①m＋3n＝5a②的解满足3m－2n＝4，求a的值.解：①＋②，得3m－2n＝7a－3.因为3m－2n＝4，所以7a－3＝4，所以a＝1.[教学建议]教师讲解例题，重点关注学生对于解题思路的把握.在例2中学生可能采用先解原方程的方法，但这样的解题过程会比较烦琐，应启发学生构建新的方程组从而简化解题过程.例3同样如此，若把x，y用含a的式子表示出来再代入会比较复杂，可引导学生观察，把x－y看成整体，用加减法得到用参数表示的相关形式的式子，即可进一步得到参数值.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.用加减法解二元一次方程组的一般步骤是什么？2.如果直接用加减消元法解方程组，未知数的系数应满足什么条件？111 【作业布置】1.教材P99习题10.2第3(1)(2)，5，9题【教学后记】第2课时　用加减消元法解稍复杂的二元一次方程组【素养目标】1.会用加减消元法求稍复杂的二元一次方程组的解，进一步体会“消元”思想.2.能运用合适的方法解二元一次方程组，体验先观察，再选择合适的方法是做数学题的重要技巧.【教学重点】用加减消元法解稍复杂的二元一次方程组.【教学难点】方程组中未知数的系数既不相等，也不互为相反数时，如何运用等式的性质对方程进行适当变形，从而实现加减消元的灵活运用.【教学过程】活动一：悬疑设置，新课导入[设计意图]引出稍复杂的二元一次方程组的形式，为新课中学习用加减法求解进行铺垫.(1)观察方程：①x＋6y＝0，2x－6y＝9；②3x＋5y＝7，3x－4y＝－11；③2x＋7y＝10，4x－5y＝6.①②和③有什么不同？①②的两个方程中都有一个未知数的系数相等或互为相反数，③的两个方程中未知数的系数不具备这种特征.(2)如何用加减法解方程组①②？试着做一做.解方程组①，得x＝3，y＝－12.解方程组②，得x＝－1，y＝2.像③这样的方程组也可以用加减法求解吗？这就是我们这节课将要学习的内容.[教学建议]与学习用代入法求解稍复杂的二元一次方程组时类似，以设问的方法导入新课，教师提问，学生代表进行回答，重点在于引导学生观察方程组中未知数的系数特征.活动二：交流合作，探究新知[设计意图]通过例题逐步设问，引导学生利用加减法解稍复杂的二元一次方程组.探究点1　用加减法解稍复杂的二元一次方程组例1　(教材P96例6)用加减法解方程组3x－2y＝4，①7x＋4y＝18.②问题1　观察方程组两个方程中未知数的系数，这个方程组能否直接加减消元？这两个方程中没有同一个未知数的系数相等或互为相反数，直接加减这两个方程不能消元.问题2　怎样对方程①②变形，才能使得这两个方程中某个未知数的系数相等或互为相反数，从而用加减法求解呢？观察这两个方程中未知数y的系数之间的关系，将①×2可以使两个方程中y的系数互为相反数.问题3　根据你在问题2中的结论，写出解答过程.解：①×2，得6x－4y＝8.③(1)变形②＋③，得13x＝26，(2)加减x＝2.(3)求解把x＝2代入①，得3×2－2y＝4，y＝1.(4)回代所以这个方程组的解是x＝2，y＝1.(5)写解问题4　如果用加减法消去x，应该怎样解？解得的结果一样吗？与消去y相比，哪个计算更简便？如果用加减法消去x，需要对两个方程都进行变形，使两个方程中x的系数相等，可以①×7，②×3.解：①×7，得21x－14y＝28.③②×3，得21x＋12y＝54.④(1)变形111 ④－③，得26y＝26，(2)加减y＝1.(3)求解把y＝1代入①，得3x－2×1＝4，x＝2.(4)回代所以这个方程组的解是x＝2，y＝1.(5)写解解得的结果一样.用加减法消去y比用加减法消去x计算更简便.归纳总结：解方程组时，先消去哪个未知数都可以，结果是确定的，不会因为先消去哪个未知数而产生变化.一般地，先消去哪个未知数简便就先消去哪个.[对应训练]教材P98练习第1题.[教学建议]这部分采用上节课的教学模式，将例题分解成多个小问，学生分组讨论，合作完成解答，感悟探究过程中所蕴含的化归思想，教师适时予以提示或指导，要使学生理解加减消元的本质是利用等式的性质，将未知数的系数化为相等或互为相反数，从而将方程组演变为上节课所学的形式.通过整个探究过程，使学生发现规律：消去哪个未知数，就找寻两个方程中该未知数系数的最小公倍数.[设计意图]通过运用加减法解决实际问题，强化解方程组的技巧和应用意识.探究点2　加减法解二元一次方程组的实际应用例2　(教材P97例7)我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两.问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两.那么每头牛、每只羊分别值金多少两？你能解答这个问题吗？问题1　写出题中所包含的相等关系.相等关系1：5头牛的价格＋2只羊的价格＝10两金；相等关系2：2头牛的价格＋5只羊的价格＝8两金.问题2　设每头牛值金x两，每只羊值金y两，请用含x，y的式子表示你在问题1中得到的相等关系.5x＋2y＝10，2x＋5y＝8.问题3　请根据你在问题2中的设元，及本节课学过的用加减法解稍复杂的二元一次方程组，完成本题的解答.解：根据问题2中的设元，列得方程组5x＋2y＝10，①2x＋5y＝8.②①×2，得10x＋4y＝20.③②×5，得10x＋25y＝40.④④－③，得21y＝20，y＝2021.把y＝2021代入①，得x＝3421.所以这个方程组的解是x＝3421，y＝2021.答：每头牛和每只羊分别值金3421两和2021两.[对应训练]教材P98练习第2题.[教学建议]教师引导学生分析题中的两个相等关系，从而列出方程组，并独立完成解答过程.注意提醒学生，在用加减消元法解方程组时，通常要先将得到的二元一次方程组整理成ax＋by＝m，cx＋dy＝n的形式，再求解.在关于例题的教学中，也可让学生上台板演，自己尝试用加减法消去y，并计算出结果，看是否一致.活动三：交流新知，灵活运用[设计意图]强化学生对二元一次方程组解法的认识，能够选择合适的方法解方程组.(教材P98思考)(1)怎样解下面的方程组？问题1　观察上面的两个方程组，你分别选择用什么方法求解？为什么？111 方程组Ⅰ中方程①中y的系数是1，选择用代入法；方程组Ⅱ中y的系数互为相反数，选择用加减法.问题2　方程组Ⅰ能直接用加减法求解吗？若不能，要如何变形才能使用加减法？不能.如果要消去x，可以②×5－①×2；如果要消去y，可以①×3－②×5.问题3　求出方程组的解.解：(Ⅰ)由①，得y＝1.5－2x.③把③代入②，得0.8x＋0.6(1.5－2x)＝1.3，－0.4x＝0.4，x＝－1.把x＝－1代入③，得y＝3.5.所以这个方程组的解是x＝－1，y＝3.5.(Ⅱ)①＋②，得4x＝8，x＝2.把x＝2代入①，得2＋2y＝3，y＝0.5.所以这个方程组的解是x＝2，y＝0.5.(2)选择你认为简便的方法解习题10.1的第4题(“鸡兔同笼”问题).解：设笼中有鸡x只，兔子y只.根据题意，得x＋y＝35，2x＋4y＝94.①②①×2，得2x＋2y＝70.③②－③，得2y＝24，y＝12.把y＝12代入①，得x＋12＝35，x＝23.所以这个方程组的解是x＝23，y＝12.答：笼中有鸡23只，兔子12只.[对应训练]1.用合适的方法解下列方程组：(1)3x－y＝2，6x－3y＝5；①②　　　(2)2x－5y＝－21，4x＋3y＝23.①②解：(1)由①，得y＝3x－2.③把③代入②，得6x－3(3x－2)＝5，x＝13.把x＝13代入③，得y＝－1.所以这个方程组的解是x＝13，y＝－1.(2)①×2，得4x－10y＝－42.③②－③，得13y＝65，y＝5.把y＝5代入②，得4x＋15＝23，x＝2.所以这个方程组的解是x＝2，y＝5.2.某商场第一次用10000元购进甲、乙两种商品共180件，其中甲种商品每件进价60元，乙种商品每件进价50元.该商场购进甲、乙两种商品各多少件？解：设该商场购进甲种商品x件，乙种商品y件.根据题意，得x＋y＝180，60x＋50y＝10000.解这个方程组，得x＝100，y＝80.答：该商场购进甲种商品100件，乙种商品80件.[教学建议]学生独立思考作答，教师统一答案.加减法和代入法都是通过消元解方程组，对一个方程组用哪种方法解都可以，但是不同的解法在难度上会有差异，应根据方程组的具体情况，选择适合它的解法.当方程组中任意一个未知数的系数的绝对值不是1，且相同未知数的系数不成整数倍关系时，一般经过变形，利用加减法会使过程更简便.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.你能用加减法解稍复杂的二元一次方程组吗？你能用加减法解决与二元一次方程组有关的实际问题吗？2.对于一个二元一次方程组，你能选择最适合它的解法吗？【作业布置】1.教材P99习题10.2第3(3)(4)，6，7，10，12题.【教学后记】111 10.3　实际问题与二元一次方程组第1课时　和差倍分问题【素养目标】1.能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组.2.学会比较估算与精确计算以及检验方程组的解是否符合题意并正确作答.3.在用二元一次方程组解决实际问题的过程中，培养应用数学的意识，体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣.【教学重点】以方程组为工具，分析、解决含有多个未知数的实际问题.【教学难点】确定解题策略，比较估算与精确计算.【教学过程】活动一：旧知回顾，新课导入[设计意图]复习二元一次方程组的解法及列一元一次方程解应用题的步骤，引入本节课内容.结合之前所学的知识，回答下面的问题.(1)解二元一次方程组的基本思想是什么？常见方法有哪些？解二元一次方程组的基本思想是消元，常见方法有代入消元法和加减消元法.(2)列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？一般步骤是审、设、列、解、验、答.即(1)审清题意，找出已知量和未知量；(2)设未知数，并用含未知数的式子表示出相关的量；(3)根据题中的相等关系列出方程；(4)解方程；(5)检验所得结果是否满足所设方程且具有实际意义；(6)根据提问作答.前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组.本节课我们继续探究如何用方程组解决实际问题.[教学建议]教师可让学生结合教材P94例4和P97例7，初步探究列二元一次方程组解应用题与列一元一次方程解应用题的共性问题.活动二：问题引入，自主探究[设计意图]以教材探究题为例，探讨用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤和方法，引入和差倍分问题.探究点　和差倍分问题例1　(教材P101探究1)养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天需饲料18～20kg，每头小牛1天需饲料7～8kg.你能通过计算检验他的估计吗？我们分步来解决这个问题：问题1　怎样判断李大叔的估计是否正确？根据题中给出的数量关系求出每头大牛和每头小牛1天各约需饲料用量，再来判断李大叔的估计是否正确.问题2　写出题中的已知量和未知量.已知量：购进前后大牛和小牛的数量，购进前后每天饲料的用量.未知量：大牛1天饲料的消耗量和小牛1天饲料的消耗量.问题3　设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料xkg和ykg.写出题中的相等关系并用含未知数的等式表示.问题4　请将下面的解答过程补充完整.设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料xkg和ykg.根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，列得方程组解这个方程组，得这就是说，每头大牛1天约需饲料20kg，每头小牛1天约需饲料5kg.111 问题5　饲养员李大叔的估计正确吗？根据问题4的结果可知，饲养员李大叔对大牛的食量估计较准确，对小牛的食量估计偏高.归纳总结：列二元一次方程组解应用题的一般步骤：审审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系设设未知数(分直接设元和间接设元)，用含未知数的式子表示出相关量列根据相等关系列出两个方程，组成方程组解解方程组，求出未知数的值验检验所求未知数的值是否满足题意和实际意义答根据问题作答(包括单位名称)和差倍分问题中常见的相等关系：较大量＝较小量＋多余量；总量＝一份的量×倍数；各分量相加＝总量.[对应训练]教材P101练习第1，2，3题.[教学建议]学生可以先独立分析问题中的数量关系，列出方程组，得出问题的解答，再与同学交流，教师注意规范解题过程.对于学生列出的其他正确方程，如12x＋5y＝265，教师可让学生介绍自己的想法并予以肯定，指出列方程组时应尽量使用原题中的数据，如265应写成940－675；对于同一问题的不同解法，结果应一致，若不一致，则需仔细检查过程是否有纰漏.活动三：知识延伸，举一反三[设计意图]引导学生用二元一次方程组解决配套问题.例2　某瓷器厂共有120名工人，每名工人一天能生产200只茶杯或50只茶壶，8只茶杯和1只茶壶为一套.要使每天生产的茶杯和茶壶配套，应如何安排生产？问题1　写出题中的已知量和未知量.已知量：工人总数，每名工人一天能生产茶杯或茶壶的数量，组成一套茶具所需茶杯和茶壶的数量.未知量：生产茶杯的工人数量，生产茶壶的工人数量.(1)审问题2　应如何设元？设安排x名工人生产茶杯，y名工人生产茶壶.(2)设问题3　找出题中的相等关系并用含未知数的等式表示.①生产茶杯的工人数量＋生产茶壶的工人数量＝120；x＋y＝120②茶杯的数量∶茶壶的数量＝8∶1.200x∶50y＝8∶1(可变形为200x＝8×50y)(3)列问题4　写出完整的解题过程.解：设安排x名工人生产茶杯，y名工人生产茶壶.根据工人总数，茶杯、茶壶的生产量与配比的数量关系，列方程组x＋y＝120，200x＝8×50y.解这个方程组，得x＝80，y＝40.(4)解(5)验答：要使每天生产的茶杯和茶壶配套，应安排80名工人生产茶杯，40名工人生产茶壶.(6)答归纳总结：配套问题中常见的相等关系：数量较少量×相应倍数＝数量较多量；总量各部分之间的比例＝每一套各部分之间的比例.[对应训练]某家具厂接到了一笔定制方桌的订单，下面是两位木匠师傅的对话.如何分配木料才能完成这笔订单？这笔订单需要方桌多少张？解：设用xm3木料做桌面，ym3木料做桌腿.根据题意，得x＋y＝5.5，4×50x＝300y＋100.解这个方程组，得x＝3.5，y＝2.所以50×3.5＝175(张).答：用3.5m3木料做桌面、2m3木料做桌腿即可完成这笔订单，这笔订单需要方桌175张.111 [教学建议]学生独立思考作答，解决配套问题的关键就是找出各部件之间的数量关系，通过比例的性质将比例式转化为等积式.在用二元一次方程组解决实际问题时，审、验这两个步骤通常是在草稿纸上进行.活动四：强化训练，学以致用[设计意图]进一步巩固用二元一次方程组解应用题的思想，强化对列二元一次方程组解应用题的方法和步骤的掌握.例3　为支援抗洪救灾工作，甲、乙两运输队接受了运输20000箱救灾物资的任务，任务要求在15天内(包含15天)完成.已知两队共有18辆汽车，甲队每辆车每天能够运输120箱救灾物资，乙队每辆车每天能够运输100箱救灾物资，前4天两队一共运输了8000箱.4天后，乙队临时被调派去执行更为紧急的任务，在规定的时间内甲队能否单独完成剩下的运输任务？解：设甲队有x辆汽车，乙队有y辆汽车.结合汽车辆数与所运物资的数量关系，列方程组x＋y＝18，4（120x＋100y）＝8000.解这个方程组，得x＝10，y＝8.则甲队完成剩余运输任务所需时间为(20000－8000)÷(120×10)＝10(天).因为10＋4<15，所以在规定的时间内甲队能单独完成剩下的运输任务.[对应训练]各级教育部门高度重视中小学生安全教育，各学校也时常开展应急安全防护和撤离的演练.某校有一栋教学大楼，进出这栋大楼共有五道门，有大小相同的两道正门，大小相同的三道侧门，经安全检测得知：开启两道正门和一道侧门，每分钟可以通过600人；开启一道正门和两道侧门，每分钟可以通过540人.若紧急情况下，通过正门、侧门的效率均降低为原来的80%，该校要求大楼内1656名全体师生必须通过这五道门紧急撤离.那么全体师生全部撤离该栋教学大楼需要多少分钟？解：设正常情况下，平均每分钟一道正门、一道侧门分别可以通过x人，y人.由题意列方程组2x＋y＝600，x＋2y＝540.解这个方程组，得x＝220，y＝160.1656÷[(2×220＋3×160)×80%]＝2.25(min).答：全体师生全部撤离该栋教学大楼需要2.25min.[教学建议]学生独立思考作答，教师统一答案.例题需要先根据已知条件求出甲、乙两队所拥有的汽车数，再计算出甲队完成剩余任务所需的时间，最后确定是否超出规定时间.活动五：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.在结合实际问题列方程组之前我们需要先做哪些工作？2.列方程组解决实际问题的一般步骤是什么？【作业布置】1.教材P105习题10.3第1，3，4，9题.【教学后记】第2课时　几何图形与图文信息问题【素养目标】1.进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的有效数学模型.111 2.实际问题与图形相关时，则可以绘制出简图，根据图形特点寻找相等关系，列出方程组.【教学重点】借助几何图形分析题目中的各个量之间的关系.【教学难点】借助图形分析问题中所蕴含的数量关系.【教学过程】活动一：创设情境，新课导入[设计意图]以图形问题为例，引出本节课所要学习的内容.1.把长方形纸片折成面积相等的两个小长方形，有哪些折法？2.把长方形纸片折成面积之比为1∶2的两个小长方形，又有哪些折法？在实际生活中，经常会遇到像上面这样如何对几何图形进行分割的问题，本节课我们一起来探讨下.[教学建议]通过折叠长方形纸片，按要求分配长方形的面积，引入本节课对几何图形问题的探究.活动二：问题引入，自主探究[设计意图]以教材探究题为例，引入几何图形问题，探究如何分析、解答此类问题.探究点　几何图形问题例1　(教材P102探究2)据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶2.现要把一块长200m、宽100m的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物.怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4?我们一起来分析探讨下：问题1　把一个大长方形分割成两个小长方形，可能有哪些划分方案？可能有如图所示的两种划分方案.问题2　如果是按如图所示方案来划分，两种作物的总产量大小与哪些量有关系？总产量的大小与种植面积、单位面积的产量有关.问题3　以图①为例，要表示种植面积需设哪些量？要表示单位面积产量呢？可设这两块地的长AE，BE分别为xm，ym.可设甲种作物每平方米产量为a(a≠0)，则乙种作物每平方米产量为2a.问题4　结合问题3中所设的未知数，找出相等关系并列方程组求解.如图，设甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和长方形EBCF.根据题意可找出下列相等关系：①AE＋BE＝AB，即x＋y＝200.②产量＝单位面积产量×种植面积，则甲种作物总产量为a·AE·AD，即100ax；乙种作物总产量为2a·BE·AD，即200ay.③甲种作物的总产量∶乙种作物的总产量＝3∶4，即100ax∶200ay＝3∶4.根据题意，得整理，得解这个方程组，得问题5　如何表述你的种植方案？过长方形土地的长边上离一端120m处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地.较大一块土地种植甲种作物，较小一块土地种植乙种作物.问题6　(教材P103练习T1)如果利用第二种划分方案，分别在长方形DMNC和MABN土地中种植甲、乙两种作物，那么AM的长度是多少？解：如图，设DM＝xm，AM＝ym.可得方程组整理，得解这个方程组，得所以AM＝40m.答：AM的长度是40m.[对应训练]1.教材P103练习第2题.2.小明在探究完上面的例题后，提出这样一个想法：如果把原题中“分为两块小长方形土地”改为“分为两块梯形土地”，其他条件不变，还能否通过划分土地使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4?111 小明作出如下探究：如图，若甲、乙两种作物的种植区域分别为梯形AEFD和梯形BEFC，DF＝CF＝100m.如何划分AB，可使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4?解：设甲种作物每平方米产量为a，则乙种作物每平方米产量为2a.设AE＝xm，BE＝ym.根据题意，可列方程组整理，得解这个方程组，得因此，过AB上距离A端140m的E处，连接EF，将这块土地分为两块梯形土地，可使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4.[教学建议]由学生按问题顺序分析题目，确定未知数及相等关系，厘清解题思路.在寻找相等关系时，问题4中的相等关系①与两个小长方形的面积之和＝大长方形的面积是等效的.在一些较复杂的问题中，部分条件未明确给出时，可尝试设辅助元(如例1问题3中所设的a)以表示出相关量，之后对方程进行整理化简即可消去辅助元.几何类问题通常在边长或者面积上存在一个相等关系.活动三：知识延伸，举一反三[设计意图]以实际问题为例，引入图文信息问题.例2　根据图中提供的信息，解答后面的问题：(1)求水瓶和水杯的单价；(2)王老师购买了6只水瓶和20只水杯，商家给予八折优惠，则王老师共需付款多少钱？问题1　观察上图，你能获得哪些信息？①1只水瓶和1只水杯共需48元；②3只水瓶和4只水杯共需152元.问题2　设每只水瓶的价格为x元，每只水杯的价格为y元，请将获取的信息表示成含未知数的等式.①1×水瓶单价＋1×水杯单价＝48元，即x＋y＝48；②3×水瓶单价＋4×水杯单价＝152元，即3x＋4y＝152.问题3　第(2)小问中的付款金额应如何求解？根据(1)中求得的水瓶与水杯的单价，计算6只水瓶和20只水杯的总价后乘以0.8即可.问题4　请写出完整的解答过程.解：(1)设水瓶的单价为每只x元，水杯的单价为每只y元.根据图中水瓶、水杯的价格关系，列方程组解这个方程组，得答：水瓶的单价为每只40元，水杯的单价为每只8元.(2)(6×40＋20×8)×0.8＝320(元).答：王老师共需付款320元.[对应训练]1.教材P103练习第3题.2.王老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处赵主任交账，以下是两人的对话：赵主任为什么说他记错了，请你用方程组的知识给予解释.解：设单价为8元的书购买了x本，单价为12元的书购买了y本.根据题意，得解这个方程组，得因为x，y作为书本的数量，必须是正整数，所以赵主任说王老师记错了.[教学建议]学生独立思考作答，解决此类问题的关键是正确理解题意，从图中找出相等关系，分析出数量关系并列出方程组.活动四：强化训练，学以致用[设计意图]列举具体图形的例子，强化学生解决几何问题的能力.例3　如图，宽为50cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，则每个小长方形的长和宽分别是多少？解：设每个小长方形的长为xcm，宽为ycm.根据图中长度的相等关系，列方程组解这个方程组，得答：每个小长方形的长为40cm，宽为10cm.[对应训练]111 小东在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成如图①所示的一个大的长方形.小林看见了说：“我也来试一试.”结果小林七拼八凑，拼成了如图②所示的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为3mm的小正方形.你能求出这些长方形的长和宽吗？解：设长方形的长和宽分别为xmm和ymm.根据图中长度的相等关系，列方程组解这个方程组，得答：这些长方形的长为15mm，宽为9mm.[教学建议]学生独立思考作答，教师统一答案.在此类问题中，拼成的大长方形的长、宽可用小长方形的长、宽表示，然后再通过已知量或把大长方形的长、宽作为中间量，即可得到相应的相等关系.对应训练中学生可能会由图②中面积的和差关系得到关于x，y的二次方程，教师应注意引导学生转而观察线段间的关系.活动五：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.如何从几何图形或图文对话中提取有效信息，获取相等关系？2.如何用画图或列表的方法分析数量关系？【作业布置】1.教材P105习题10.3第5，6题.【教学后记】第3课时　调配问题与行程问题【素养目标】1.会用列表的方式分析问题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程组.2.进一步经历用二元一次方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.3.培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会二元一次方程组的应用价值.【教学重点】用列表的方式分析题目中各个量的关系.【教学难点】借助列表的方式分析问题中所蕴含的数量关系.【教学过程】活动一：旧知回顾，新课导入[设计意图]以经济问题为例，列出二元一次方程，进而引入新课.填一填：(1)某工厂去年的总产值是x万元，今年的总产值比去年增加了20%，则今年的总产值是(1＋20%)x万元；(2)若该厂去年的总支出是y万元，今年的总支出比去年减少了10%，则今年的总支出是(1－10%)y万元；(3)若该厂今年的利润比去年增加了50%，则结合(1)(2)可列方程为(1＋20%)x－(1－10%)y＝(1＋50%)(x－y).在上册我们已经学习了用一元一次方程解决销售问题，本节课我们将探究学习如何用二元一次方程组解决实际销售问题.[教学建议]教师引导学生回顾销售利润相关公式，将填空补充完整，引入本节课对销售问题的探究.活动二：问题引入，自主探究111 [设计意图]以教材探究题为例，引入销售问题，运用间接设元法解决实际问题.探究点　调配问题例1　(教材P103探究3)如图，丝路纺织厂与A，B两地由公路、铁路相连.这家纺织厂从A地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往B地.已知长绒棉的进价为3.08万元/t，纺织面料的出厂价为4.25万元/t，公路运价为0.5元/(t·km)，铁路运价为0.2元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费5200元，铁路运费16640元.那么这批纺织面料的销售额比原料费(原料费只计长绒棉的价格)与运输费的和多多少元？我们通过问题串的形式一起来探究下：问题1　本题最终要解决的问题是什么？纺织面料的销售额－(原料费＋运输费)＝？，即求这批纺织面料的净利润.问题2　销售额、原料费、运输费各是多少？它们与哪些量有关？是什么关系？销售额和原料费无法直接求出，运输费为(5200＋16640)元.①销售额＝产品数量×产品单价，②原料费＝原料数量×原料单价，③运输费＝运价×货物质量×路程.上述相等关系中，产品数量和原料数量为未知量.问题3　我们设购买xt长绒棉，制成yt纺织面料.请根据题中数量关系填写下表：问题4　根据上表中运费之间的关系，列出方程组，求出未知数的值.根据题意，得0.5（10x＋20y）＝5200，0.2（120x＋110y）＝16640.整理，得x＋2y＝1040，12x＋11y＝8320.解这个方程组，得x＝400，y＝320.问题5　求这个实际问题的最终答案.42500×320－30800×400－5200－16640＝1258160(元).因此，这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多1258160元.[对应训练]1.教材P104练习第1，2题.2.如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的路程是到A地路程的2倍.该食品厂从A地收购一批食材运回食品厂，全部加工成食品(制作过程中有损耗)运到B地销售，两次运输(第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂→B地)共支出公路运费15600元，铁路运费20600元.已知公路运费为1.5元/(t·km)，铁路运费为1元/(t·km).(1)这家食品厂到A，B两地的路程分别是多少千米？(2)若这家食品厂此次收购的食材每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，则这批食品每吨的售价应为多少元？(利润＝总售价－总成本－总运费)解：(1)设这家食品厂到A地的路程是xkm，到B地的路程是ykm.根据题意，得x＋y＝20＋100＋30，y＝2x.解这个方程组，得x＝50，y＝100.答：这家食品厂到A地的路程是50km，到B地的路程是100km.(2)食品厂到A地的铁路路程为50－20＝30(km)，食品厂到B地的铁路路程为100－30＝70(km).设这家食品厂此次收购食材mt，销售食品nt.根据题意，得1.5×（20m＋30n）＝15600，1×（30m＋70n）＝20600.解这个方程组，得m＝220，n＝200.这批食品每吨的售价应为(863800＋15600＋20600＋220×5000)÷200＝10000(元).答：要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，则这批食品每吨的售价应为10000元.[教学建议]教师带领学生共同完成问题1～3，分析出题中各个量之间的相等关系并用含未知数的式子表示出关键量，之后由学生独立完成问题4和5.注意强调：当直接将所求的结果当作未知数无法列出方程时，可把关键量设为间接未知数列方程组求解，再求得问题的答案.对于数量关系比较复杂的应用题，可采用列表法进行分析，进而列出方程.活动三：知识延伸，举一反三111 [设计意图]以实际问题为例，引入行程问题.例2　小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min.小华家离学校多远？问题1　请分析小华从家到学校和从学校到家的路况.如图，小华家到学校的路程分为两段：平路与坡路.小华从家到学校的路况是先走平路再走下坡路；小华从学校到家的路况是先走上坡路再走平路.问题2　为什么题干中从家到学校和从学校到家所花费的时间不一样？因为去学校时的坡路是下坡，回家时的坡路是上坡，坡路的路程固定，但下坡和上坡的速度不一样，所以花费的时间也不一样，故往返花费的时间不一样.问题3　该问题应如何设元？设小华家到学校平路长xm，坡路长ym.问题4　请找出题中的相等关系，并用含x，y的等式表示出来.①往：走平路的时间＋走下坡的时间＝10min，即x60＋y80＝10；②返：走上坡的时间＋走平路的时间＝15min，即y40＋x60＝15.问题5　请写出完整的解答过程.解：设小华家到学校平路长xm，坡路长ym.根据相等关系，得x60＋y80＝10，y40＋x60＝15.解这个方程组，得x＝300，y＝400.小华家到学校的路程为300＋400＝700(m).答：小华家离学校700m远.[对应训练]教材P104练习第3题.[教学建议]学生独立思考作答，教师统一答案.本题的重点在于分析出往程的下坡在返程会变成上坡，结合对应的速度即可表示出相应路段所花费的时间，进而由相等关系构建出方程组.虽然往返时，上下坡会发生转换，但对应路段的路程始终是不变的.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：在用二元一次方程组解决实际问题时，你会怎样设定未知数？可借助哪些方式辅助分析问题中的相等关系？【作业布置】1.教材P105习题8.3第2，7，8题.【教学后记】*10.4　三元一次方程组的解法第1课时　三元一次方程组的解法【素养目标】1.了解三元一次方程组的概念.2.会运用“代入法”或“加减法”对三元一次方程组逐步消元，进而求解.3.能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法.【教学重点】三元一次方程组的解法及“消元”思想.111 【教学难点】根据方程组的特点，选择合适的未知数和方法消元.【教学过程】活动一：创设情境，新课导入[设计意图]列举实际问题，为引入三元一次方程(组)做准备.[情境导入](教材P107问题)请大家看下面这一问题：在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场？我们可以通过设元解一元一次方程或二元一次方程组，得到上面问题的答案为胜14场，平5场，负3场.观察上述问题，我们发现：这道题中一共有三个未知量和三个相等关系.参考二元一次方程组，我们能否把这三个未知量都设出来，然后通过方程求出它们的值呢？今天我们将学习如何通过列三元一次方程组来解决此类问题.[教学建议]教师引导学生思考两种解法应如何设元和列方程(组)，不必写出解方程(组)的过程.活动二：问题引入，自主探究[设计意图]结合解二元一次方程组的“消元”方法，探索三元一次方程组的解法.探究点　三元一次方程组的有关概念及解法问题1　对于“活动一”中的问题，请结合已知条件写出相等关系：①胜的场数＋平的场数＋负的场数＝22；②胜场积分＋平场积分＋负场积分＝47；③胜的场数＝负的场数×4＋2.问题2　设这个球队胜、平、负的场数分别为x，y，z.根据题意，可以得到哪三个方程？x＋y＋z＝22，①　3x＋y＝47，②　x＝4z＋2.③问题3　大家知道，方程②③是二元一次方程，观察方程①，结合二元一次方程的定义，方程①有什么特点？方程①中含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1.概念引入：一个方程中含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作三元一次方程.这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成概念引入：一个方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组.问题4　这个方程组能用代入法解吗？如果能，请写出解题过程.(请学生上台板演)解：把③分别代入①②，得到关于y，z的二元一次方程组解这个方程组，得把z＝3代入③，得x＝14.因此，这个三元一次方程组的解为问题5　你还能用其他方法解这个三元一次方程组吗？解：可以用加减法解这个三元一次方程组.因为方程③中不含未知数y，故考虑通过方程①②消去y.②－①，得2x－z＝25.④③与④组成方程组解这个方程组，得把x＝14，z＝3代入①，得y＝5.因此，原方程组的解为(方法不唯一)归纳总结：解三元一次方程组的基本思路与解二元一次方程组的基本思路一样.例　(教材P108例1)解三元一次方程组3x＋4z＝7，2x＋3y＋z＝9，5x－9y＋7z＝8.①②③问题1　观察方程组中的各个方程的未知数，你有什么发现？111 方程①中，不含未知数y；方程②和方程③中，三个未知数均含有.问题2　根据上面的发现，你认为选择哪种方法解方程组较简便，请写出解答过程.用加减法较简便.解：②×3＋③，得11x＋10z＝35.④①与④组成方程组解这个方程组，得把x＝5，z＝－2代入②，得2×5＋3y－2＝9，y＝13.因此，这个三元一次方程组的解为问题3　你还有其他解法吗？试一试，并与上面的解法进行比较.解：由①，得x＝7－4z3.④把④分别代入②③，得到关于y，z的二元一次方程组[对应训练]1.下列是三元一次方程组的是（D）2.解方程组(1)若先消去x，得到关于y，z的方程组是(2)若先消去y，得到关于x，z的方程组是(3)若先消去z，得到关于x，y的方程组是(答案均不唯一)3.教材P109练习.[教学建议]学生分组讨论合作完成问题，得出三元一次方程(组)的概念，类比二元一次方程组的解法，将三元一次方程组消元后求解，体会方程组解法的多样性.当三元一次方程组中有二元一次方程时，可将二元一次方程变形后代入(或直接代入)另两个方程，运用代入法消元；也可对另外两个方程运用加减法消去二元一次方程中不含的未知数.活动三：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是三元一次方程组？解三元一次方程组的基本思想是什么？方法有哪些？2.解三元一次方程组时有哪些需要注意的问题？如何消元可以使过程更简便？【作业布置】1.教材P111习题10.4第1，2题.【教学后记】第2课时　三元一次方程组的应用【素养目标】会利用三元一次方程组解决实际问题，进一步提高分析问题、通过建立方程组模型解决问题的能力.【教学重点】三元一次方程组的应用.【教学难点】由问题情境构建三元一次方程组，解三元一次方程组的方法选择.【教学过程】活动一：悬疑设置，新课导入[设计意图]以学生熟悉的三角形进行举例为新课做铺垫.上节课我们学习了三元一次方程组的解法，现在我们来看下面这道题目：已知某个三角形的周长为18cm，其中两条边的长度之和等于第三条边长度的2倍，而它们的差等于第三条边长度的13，求这个三角形三边的长.这道题要用方程的知识来解决，题目中有3个相等关系，故需列出三元一次方程组.111 同学们，上面这个问题你会解答了吗？还想了解更多方程组的应用问题吗？让我们开始新课的学习吧！[教学建议]学生自主交流探索，不需解答，有解题思路即可.三角形的三条边长均未知，可顺其自然想到需设三个未知数，从而列三元一次方程组解决问题.活动二：交流合作，探究新知[设计意图]由问题条件抽象出三元一次方程组，从而应用其解决问题.探究点　三元一次方程组的应用例1　(教材P109例2)在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60.求a，b，c的值.问题1　要想求a，b，c三个未知数的值，一般要列一个三元一次方程组，根据题意，你能否列出此方程组.根据题中给出的三组x，y的对应值，把它们代入等式y＝ax2＋bx＋c中，即可得到三个关于a，b，c的三元一次方程a－b＋c＝0，4a＋2b＋c＝3和25a＋5b＋c＝60，从而组成一个三元一次方程组问题2　怎样消元解方程组最简便？观察方程组中三个未知数系数的特点，发现c的系数都是1，故先消去c最容易.问题3　请写出解答过程.解：根据题意，得三元一次方程组②－①，得a＋b＝1.④③－①，得4a＋b＝10.⑤④与⑤组成二元一次方程组解这个方程组，得把a＝3，b＝－2代入①，得c＝－5.因此a，b，c的值分别为3，－2，－5.例2　(教材P110例3)一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的13.如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99.求这个三位数.问题1　如何设元可以正确地反映题目中的数量关系？直接设一个未知数表示这个三位数可以解题吗？把这个三位数各数位上的数看成三个未知数，可以正确地反映题目中的数量关系.直接设一个未知数表示这个三位数无法解题.问题2　题目中有几个相等关系？请根据你在问题1中的设元方法将它们表示出来，并列出方程组.题目中有三个相等关系.设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z.相等关系1：各数位上的数的和为14→x＋y＋z＝14；相等关系2：百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的13→2x－y＝13z；相等关系3：如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99→100z＋10y＋x＋99＝100x＋10y＋z.列得三元一次方程组问题3　请根据你在问题2中列出的方程组继续完成本题的解答.[对应训练]1.尝试解决活动一中的问题.2.教材P111练习第1，2题.[教学建议]教师引导学生观察未知数系数的关系，考虑解此类由三个一次方程组成的方程组时，怎么消元，先消哪个元，可使过程更简便.[教学建议]通过设问逐步引导学生列出三元一次方程组，从而解决实际问题.数字问题是方程学习中的经典问题，通过三位数的三个数位，学生容易想到可设三个元，并发掘题目中隐含的三个相等关系，从而列出方程组.活动三：变式训练，灵活运用[设计意图]考查根据题意构造三元一次方程组解题，巩固本节课所学.例3　若(a＋2c－2)2＋|4b－3c－4|＋a2－4b－1＝0，其中a，b，c是有理数，试求a，b，c的值.111 [教学建议]学生自主完成解题，教师根据学生的完成情况进行有针对性的点评.解此类题时要注意审题，明确题意是隐含列三元一次方程组，并能够正确地计算出结果.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：你能根据实际问题中的相等关系构建三元一次方程组吗？能解决实际问题吗？【作业布置】1.教材P111习题10.4第3，4，5题.【教学后记】第十一章　不等式与不等式组11.1　不等式11.1.1　不等式及其解集【素养目标】1.理解不等式的概念，理解不等式的解与解集的意义，知道它们的区别与联系.2.经历现实生活中不等关系的探究过程，体会建模思想.3.会用数轴表示简单不等式的解集，渗透数形结合思想.【教学重点】正确理解不等式、不等式的解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示在数轴上.【教学难点】理解不等式解集的意义以及在数轴上正确表示不等式的解集.【教学过程】活动一：创设情境，新知导入[设计意图]通过实例创设情境，从“等”过渡到“不等”，激发学生的学习兴趣，引入新课.我们学过等式，知道利用等式可以解决许多问题.同时，我们也知道在现实生活中还存在许多不等关系，利用不等关系同样可以解决实际问题.(1)猜大小.同学们知道图①中的两个苹果谁的体积比较大吗？左边的苹果的体积比较大.(2)猜体重.同学们知道图②中的小明和小颖谁的体重比较大吗？小明的体重比较大.[教学建议]利用学生感兴趣的图片、游戏，使学生体会到在现实生活中存在着许多不等关系，比如身高、体重、分数等，从而引入不等式的概念.活动二：问题引入，探究新知[设计意图]通过问题引入不等式的概念，使学生体会不等式是表示不等关系的式子，并能根据问题描述列出简单的不等式.探究点1　不等式的概念与列不等式阅读教材P121至例1之前，想一想：(1)对于课本中的“问题”，若设车速为xkm/h，则：①从时间的角度看，因为时间＝路程速度，所以不等关系可以表示为210x＜2.111 ②从路程的角度看，因为路程＝时间×速度，所以不等关系可以表示为2x＞210.(2)像①②这样用符号“＜”或“＞”表示不等关系的式子，叫作不等式.像a＋2≠a－2这样用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.“≠”是不等于号，读作“不等于”，它表示两个量不相等(填“相等”或“不相等”).表示不等关系的“＞”“＜”“≠”都是不等号.我们常用不等式来表示不等关系.(3)在下列所给式子：①a＋3≠1；②12x＞2；③3＜5；④3x＋1；⑤－2＞－1；⑥1x＜－1；⑦a＋b＝b＋a中，属于不等式的有①②③⑤⑥.例1　(教材P121例1)用不等式表示下列不等关系：(1)a与15的和大于27；(2)b的一半与3的差是负数；(3)某县在乡村振兴项目的援助下，共种植1333hm2猕猴桃，种植面积超过全县原有猕猴桃种植面积的18倍.解：(1)a＋15>27；(2)b2－3＜0；(3)设这个县原有猕猴桃种植面积为xhm2，那么1333>18x，也可以表示为18x＜1333.[对应训练]1.如图，身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，那么这个式子可以表示成x＜y.(填“＞”“＜”或“＝”)2.教材P123练习第1题.[教学建议]教师引导学生观察思考，从实际问题出发，得出不等式的概念，再以实际问题为归宿，让学生学会列简单的不等式.注意强调：判断一个式子是不是不等式，关键看是否含表示不等关系的符号，与式子的正确性，是不是整式，或者是否含未知数都无关.[设计意图]通过列举满足实际问题条件的数值使学生感受不等式的解的概念.探究点2　不等式的解阅读教材P121例1之后至P122探究之前，想一想：(1)要使汽车在8：00之前驶过A地，车速可以是110km/h吗？107km/h呢？105km/h呢？90km/h呢？车速可以是110km/h或107km/h，不能是105km/h或90km/h.(2)请你类比方程的解的概念，归纳一下何谓不等式的解.使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解.(3)根据你归纳的不等式的解的概念，判断一下(1)中给出的数哪些是不等式2x＞210的解，哪些不是.110，107是不等式2x＞210的解，105，90不是不等式20x＞210的解.[对应训练]1.下列不是不等式5x－3＜6的解的是（B）A.1B.2C.－1D.－22.教材P123练习第2题.[教学建议]教师引导学生类比方程的解的概念，确定不等式的解的概念，让学生充分发表意见，并通过计算、动手验证、动脑思考加深理解.提醒学生注意：①验证不等式的解时，将其代入看不等式是否成立即可判断；②有时候题目讨论的是不等式的特殊解，如整数解等.[设计意图]引入不等式的解集和解不等式的概念，探究在数轴上表示不等式的解集的方法.探究点3　不等式的解集阅读教材P122探究至本页末尾，想一想：(1)再取x的一些值试一试：95，100，104，106，108，109，哪些是不等式2x＞210的解？观察不等式2x＞210的解，它们都满足什么条件？111 106，108，109是不等式2x＞210的解.可以发现，当x＞105时，不等式2x＞210总成立；而当x＜105或x＝105时，不等式2x＞210不成立.这就是说，任何一个大于105的数都是不等式2x＞210的解，这样的解有无数个；任何一个小于或等于105的数都不是不等式2x＞210的解.(2)什么叫作不等式的解集？它与不等式的解有何区别与联系？什么叫作解不等式？一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.不等式的解与不等式的解集的区别与联系如下表：区别不等式的解集是能使不等式成立的所有未知数的值的集合，不等式的解是能使不等式成立的未知数的值联系解集包含所有的解，所有的解组成解集求不等式的解集的过程叫作解不等式.(3)不等式的解集有哪几种情况？在数轴上如何表示？空心圆圈表示什么意思？画线方向怎样确定？不等式的解集有以下四种情况，在数轴上的表示如下(a＞0)：不等式的解集x＞ax＞－ax＜ax＜－a用数轴表示在数轴上表示不等式的解集时，先画数轴，再寻找临界点，最后画方向线.空心圆圈表示解集不包含这一临界点.画线时，大于临界点向右画，小于临界点向左画，且要与数轴平行.(4)根据以上探究总结一下，要使汽车在8：00之前驶过A地，对于车速有什么要求？不等式2x＞210的解集是什么？表示在数轴上是怎样的？由教材P121给出的不等式①能得出这个结果吗？车速必须大于105km/h.不等式的解集是x＞105.表示在数轴上如图所示.由教材P121给出的不等式①能得出这个结果.[对应训练]1.下列说法中，错误的是(B)A.不等式x＜5的整数解有无数个B.不等式x＞－5的负数解有有限个C.不等式x＋4＞0的解集是x＞－4D.－40是不等式2x＜－8的一个解2.教材P123练习第3题.拓展设问：把上题中得到的各解集分别表示在数轴上.解：(1)x＞3；(2)x＜4；(3)x＞2.解集在数轴上的表示如图所示.[教学建议]通过大量列举不等式的解引导学生归纳得出不等式的解集的概念.教学过程中不仅要考虑到数学概念本身的特点，更要注意遵循学生学习数学的规律，努力为学生创造自主探究、合作交流的空间.同时，引导学生体验用数轴表示不等式的解集，以增强学生数形结合的意识.有时候在数轴上表示不等式的解集会遇到是否包含临界点这一问题，可以跟学生强调包含时则画成实心圆点，表示“≥”或“≤”，这在下一课时将会学到.活动三：难点突破，提升探究[设计意图]强化根据实际问题中的不等关系列不等式的能力，理解不等式的特殊解的意义.例2　如图，小明和爸爸妈妈玩跷跷板游戏，如果爸爸的体重是72kg，小明的体重是妈妈体重的一半，妈妈手中的哑铃重6kg.(1)设妈妈的体重为xkg，请你根据图中的不等关系列式.(2)妈妈的体重可以是40kg吗？45kg呢？50kg呢？解：(1)x＋x2＋6＞72.(2)把x＝40，45，50分别代入(1)中的不等式，发现当x＝40时，不等式不成立；当x＝45或50时，不等式成立.所以妈妈的体重不可以是40kg，可以是45kg或50kg.[对应训练]111 某校要购买一批羽毛球拍和羽毛球，现有经费700元，已知一副羽毛球拍的价格为150元，一筒羽毛球的价格为30元，该校计划购买羽毛球拍4副，且购买后经费要有剩余.(1)若购买羽毛球x筒，请根据以上描述列出数学关系式；(2)该校计划至少购买一筒羽毛球，有几种购买方案？解：(1)150×4＋30x＜700.(2)当x＝1，2，3时，分别代入不等式，不等式成立；当x＝4时，代入不等式，不等式不成立.所以有3种购买方案.[教学建议]学生分组讨论交流，教师指定学生代表作答，并对学生的作答予以指导和订正，使学生经历现实生活中不等关系的探究过程，体会建立不等模型的思想，并能根据题目中的限制条件，求出不等式的特殊解，掌握验证解的方法.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是不等式？你会用不等式表示简单问题中的不等关系吗？2.什么是不等式的解？什么是不等式的解集？不等式的解与解集有什么区别与联系？什么是解不等式？你能在数轴上表示不等式的解集吗？【作业布置】1.教材P128习题11.1第1，2，3，6题.【教学后记】11.1.2　不等式的性质第1课时　不等式的性质【素养目标】1.通过类比、猜测、验证发现不等式的性质，并掌握不等式的性质.2.初步体会不等式与等式的异同.【教学重点】理解并掌握不等式的性质.【教学难点】探究不等式的性质的过程.【教学过程】活动一：旧知回顾，复习导入[设计意图]因为不等式与等式一样，都是对大小关系的刻画，所以类比等式的性质研究不等式的性质，启发学生对不等式的性质进行初步思考.对于某些简单的不等式，可以直接得出它们的解集，例如不等式x＋4＞10的解集是x＞6，不等式2x＜6的解集是x＜3.但是对于比较复杂的不等式，例如5x＋16－2＞x－54，直接得出它的解集就比较困难.因此，还要讨论怎样解不等式.与解方程需要依据等式的性质一样，解不等式需要依据不等式的性质.回想一下，等式有哪些性质？分别用文字语言和符号语言表示出来.等式的性质文字语言符号语言性质1等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等如果a＝b，那么a±c＝b±c性质2等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等如果a＝b，那么ac＝bc；如果a＝b，c≠0，那么ac＝bc等式有上述性质，那不等式是否也应该同样具备类似的性质呢？[教学建议]111 通过引导学生回顾旧知，为下一步类比学习不等式的性质做好铺垫和准备，并使学生明确本节课的学习目标，自然而然地进入新知识的学习.教师也可让学生类比等式的性质，在进入正课之前猜想不等式有哪些性质.活动二：问题引入，探究新知[设计意图]引导学生通过类比、归纳的数学思想总结出不等式的性质，培养学生的逻辑思维能力和分析总结能力.　探究点不等式的性质(1类比等式的性质l,我们来看看下列问题:a.用“>”或“<”完成下列两组填空:第一组:5>3,5＋2>3＋2,5十0_>3十0,5＋(—2)>3十(一2);第二组:一1<3,一1+4<3十4,—1＋0<3＋0，—1十(一7)<3十(—7).b.观察不等号的方向,你发现了什么规律?换一些其他的数,这个规律仍然成立吗?不等式两边加同一个数,不等号的方向不变.仍然成立.c.这个规律对于不等式两边减去同一个数的情形仍然成立吗?为什么?仍然成立.由于减法可以转化为加法,因而这个规律对于不等式两边减去同一个数的情形仍然成立.d.请你类比等式的性质1归纳出不等式的性质1.不等式的性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.如果a>b,那么a士c>b士c.e.我们也可以从实际角度解释不等式的性质1.如今年老师的年龄为a岁,学生的年龄为b岁(a>b),5年前老师的年龄为_(a—5)岁,学生的年龄为_(b一5)岁,不等关系表示为_a一5>b一5_;10年后老师的年龄为_(a+10)岁，学生的年龄为_(b＋10)岁,不等关系表示为_a＋10>b＋10.(2)类比等式的性质2，我们来看看下列问题：a.用“＞”或“＜”完成下列两组填空：第一组：6＞2，6×5＞2×5，6×(－5)＜2×(－5)；第二组：－2＜3，－2×4＜3×4，－2×(－0.5)＞3×(－0.5).b.观察不等号的方向，你发现了什么规律？换一些其他的数，这个规律仍然成立吗？不等式两边乘同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘同一个负数，不等号的方向改变.仍然成立.c.这个规律对于不等式两边除以同一个不为0的数的情形仍然成立吗？为什么？仍然成立.由于除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，并且这个数的倒数和它的符号相同，因而这个规律对于不等式两边除以同一个不为0的数的情形仍然成立.d.请你类比等式的性质2归纳出不等式的性质2和性质3.不等式的性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或ac＞bc).不等式的性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或ac＜bc).(3)比较不等式的性质2和性质3，指出它们有什么区别.再比较不等式的性质和等式的性质，它们有什么异同？不等式的性质2和性质3的区别是在不等式两边乘(或除以)的数一个是正数，一个是负数，性质2中不等号的方向不变，性质3中不等号的方向改变.不等式的性质有三条，它们表明了不等式两边进行同样的加(减)、乘(除)运算时，大小关系有时不变，有时改变；等式的性质有两条，它们表明了等式两边进行同样的加(减)、乘(除)运算时，相等关系不变.对于乘法运算，不等式的性质要分乘数的正、负分别论述，两者的结果不同.例1　(教材P125例2)已知a>b，比较下列两个式子的大小，并说明依据.(1)a＋3与b＋3；　　　　　　(2)－2a与－2b.解：(1)因为a>b，所以a＋3>b＋3(不等式的性质1).(2)因为a>b，所以－2a＜－2b(不等式的性质3).[对应训练]111 1.教材P125练习第1，2题.2.根据不等式的性质，下列变形正确的是（B）A.由a＞b得ac2＞bc2　　B.由ac2＞bc2得a＞bC.由－12a＞2得a＜2D.由2x＋1＞x得x＜－1[教学建议]教师引导学生通过类比思想进行迁移，使学生经过计算、观察、分析、猜想、验证等过程，体会不等式的性质的结论形成的推理过程，并通过创设生活中的实际情境解释不等式的性质1，再加上与等式的性质比较，加深学生的理解和记忆.[教学建议]教师提问不等式两边乘0，结果是怎样的，学生发现两边都为0，而0不可以作除数，所以在归纳不等式的性质2，3时，是需要排除0的情况的，另外，教学中还应强调：(1)在运用不等式的性质对不等式进行变形时，两边要“同时”进行“相同”的变形，且要注意符号的方向是否需要改变.(2)不等式还具备其他性质，比如：①对称性；②传递性。[设计意图]对不等式的性质进行逆向考查，求参数的值，使学生在练习中巩固本节课所学.例2　如果关于x的不等式(m＋1)x>3的解集为x＜3m＋1，求m的取值范围.解：由题意，可得m＋1＜0.由不等式的性质1，可得m＋1－1＜0－1，所以m＜－1.[对应训练][题组训练]已知a>b.(1)若a＋x>b＋x，则x的取值范围为全体实数；(2)若ax<bx，则x的取值范围为x＜0；(3)若ax2>bx2，则x的取值范围为x≠0；(4)若ax2＋1＞bx2＋1，则x的取值范围为全体实数.[教学建议]学生分组交流，自主完成本题，启发学生的逆向思维：变形前后不等号的方向不变，说明两边乘(或除以)的数是正数；变形前后不等号的方向改变，说明两边乘(或除以)的数是负数.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.不等式的性质有几条？各是什么？2.你能利用不等式的性质对不等式进行变形吗？【作业布置】1.教材P128习题11.1第4，7题.【教学后记】第2课时　用不等式的性质解不等式【素养目标】1.能运用不等式的性质解简单的不等式，对比方程的解法，感知其内在联系，体会其中渗透的类比思想.2.会运用不等式的性质解决简单的问题，强化运用能力，初步认识不等式的应用价值.【教学重点】用不等式的性质解简单的不等式.111 【教学难点】用不等式的性质解决实际问题，在数轴上表示不等式的解集.【教学过程】活动一：温故知新，新课导入[设计意图]回顾之前所学，为进入正课做好知识储备.问题1　上节课我们已经知道，解不等式需要依据不等式的性质，那么不等式有哪些性质呢？请回答.问题2　请简述解一元一次方程的本质.解一元一次方程就是借助等式的性质，将方程逐步化为x＝m(m为常数)的形式.类似于解一元一次方程，我们该如何解不等式呢？这就是我们将要探究的内容.[教学建议]教师提问，学生代表作答，先复习上节课学过的不等式的性质，再通过分析解方程的本质，类比启发学生对解不等式进行探索，从而使学生在进入新课之前有思路，明确学习目标，将知识点更快地融合在一起.活动二：交流合作，探究新知[设计意图]类比解方程的方法引导学生利用不等式的性质解简单的不等式，引入符号“≤”“≥”，为后面学习一元一次不等式的解法做铺垫.探究点1　用不等式的性质解不等式通过活动一我们知道，与解方程类似，解不等式的本质就是将不等式逐步化为x＞m或x＜m(m为常数)的形式.例1　(教材P126例3)利用不等式的性质解下列不等式：(1)x－7＞26；　　(2)3x＜2x＋1；　　(3)23x＞50；　　(4)－4x＞3.解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边加7，不等号的方向不变，所以x－7＋7＞26＋7，x＞33.(2)根据不等式的性质1，不等式两边减2x，不等号的方向不变，所以3x－2x＜2x＋1－2x，x＜1.(3)根据不等式的性质2，不等式两边乘32，不等号的方向不变，所以32×23x＞32×50，x＞75.(4)根据不等式的性质3，不等式两边除以－4，不等号的方向改变，所以－4x－4＜3－4，x＜－34.问题1　我们还可以在数轴上直观地表示不等式的解集，请你在数轴上表示例1中不等式的解集.序号解集在数轴上的表示(1)x＞33(2)x<1(3)x＞75(4)x<－34概念引入：除了含有＜，＞，≠的不等式，像a≥b或a≤b这样的式子，也经常用来表示两个数量的大小关系，它们也是不等式.例如，x≥3表示x＞3或x＝3，即x可以取3和大于3的所有值.符号“≥”读作“大于或等于”，也可以说是“不小于”；符号“≤”读作“小于或等于”，也可以说是“不大于”.问题2　符号“≥”与“＞”的含义有什么区别呢？“≤”与“＜”呢？x≥a表示x＞a或x＝a，即x可以取a和大于a的所有值，而x＞a表示x只能取大于a的所有值，于是“≥”比“＞”多了一个等于的含义；“≤”与“＜”同理.a≥b或a≤b形式的不等式，具有与前面所说的不等式的性质类似的性质，即：如果a≥b，那么a±c≥b±c；如果a≥b，c>0，那么ac≥bc(或ac≥bc)；如果a≥b，c<0，那么ac≤bc(或ac≤bc).[对应训练]教材P128练习第1，2题.[教学建议]提醒学生：①111 初学解不等式时与解方程类似，每一步之前要写上变形的依据，有利于加深记忆；②有时需要多次运用性质才能求得结果，此时尤其注意每一步变形都要看清符号；③在数轴上表示解集时注意方向，不要出错.[教学建议]教师引导学生自主思考，培养学生主动参与、合作交流的意识，提高学生的观察、分析、概括和抽象能力，并注意强调“≤”“≥”与“＜”“＞”在意义上的区别，以及用“≤”“≥”连接的不等式也具有其他性质，如上节课学到的对称性、传递性.[设计意图]引入实际问题，通过问答的形式逐步解决，培养学生实际应用的能力，同时引入含“≥”或“≤”的解集在数轴上的表示方法.探究点2　用不等式的性质解决实际问题生活中也有很多不等关系可以用形如a≥b或a≤b的不等式表示.如图所示的高速公路的限速标志，表示在此道路上行驶的汽车的最低车速应为80km/h，最高车速应为100km/h.如果用v(单位：km/h)表示汽车的速度，则v应满足：v≥80且v≤100，或表示为80≤v≤100.问题　如果汽车所行驶道路的最高限速是120km/h，那么车速x应满足什么条件？车速x应满足0≤x≤120.例2　(教材P127例4)如图，一个长方体形状的鱼缸长10dm，宽3.5dm，高7dm.若鱼缸内已有水的高度为1dm，现准备向鱼缸内继续注水.用V(单位：dm3)表示新注入水的体积，写出V的取值范围并在数轴上表示.问题1　本题中的不等关系是什么？已有水的体积与新注入水的体积之和不能超过鱼缸的容积.问题2　新注入水的体积V可以是负数吗？不能.问题3　请根据以上条件写出V的取值范围.因为“已有水的体积＋新注入水的体积V≤鱼缸的容积”，所以10×3.5×1＋V≤10×3.5×7，解得V≤210.又由于新注入水的体积V不能是负数，所以V的取值范围是0≤V≤210.问题4　怎样将V的取值范围在数轴上表示出来？试一试.在数轴上表示V的取值范围如图所示.问题5　用数轴表示不等式的解集时，实心圆点和空心圆圈有什么区别？不等式的解集中含“≥”“≤”时在数轴上如何表示？实心圆点表示取值范围内包含这个数，而空心圆圈则表示不包含这个数.不等式的解集中含“≥”“≤”时在数轴上的表示如下(a>0)：[对应训练]1.教材P128练习第3题.2.用炸药爆破时，如果导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是4m/s，为了让点导火索的人在爆破时能够跑到100m以外(不含100m)的安全区域，这个导火索的长度应大于多少厘米？请将解集在数轴上表示出来.解：设导火索的长度是xcm.根据题意，得x0.8×4＞100，解得x＞20.故导火索的长度应大于20cm.在数轴上表示x的取值范围如图所示.[教学建议]此类实际问题容易引起学生关注，激发他们参与学习的热情.教学中应让学生体会到生活中蕴含着数学知识，反过来数学知识又帮助我们解决生活中的许多实际问题，从而感受到知识的应用价值.注意提醒学生：在数轴上表示解集时注意方向，并根据结果确定是选用空心圆圈还是实心圆点，强调“≥”“≤”与“＞”“＜”在数轴表示上的区别.活动三：难点突破，提升探究[设计意图]强化学生根据题意列不等式，并能根据不等式的性质求未知数的取值范围的能力.例3　若不等式2x＜4的解都能使关于x的不等式3x＜a＋5成立，求a的取值范围.111 解：对于不等式2x＜4，根据不等式的性质2，不等式两边除以2，不等号的方向不变，所以2x2<42，x＜2.对于不等式3x＜a＋5，根据不等式的性质2，不等式两边除以3，不等号的方向不变，所以3x3<a＋53，x＜a＋53.根据题意，得a＋53≥2.根据不等式的性质2，不等式两边乘3，不等号的方向不变，所以a＋53×3≥2×3，a＋5≥6.根据不等式的性质1，不等式两边减5，不等号的方向不变，所以a＋5－5≥6－5，a≥1.所以a的取值范围是a≥1.[对应训练]二元一次方程组2x＋3y＝10，4x－3y＝2的解满足不等式ax＞4－y，求a的取值范围.解：解方程组2x＋3y＝10，4x－3y＝2，得x＝2，y＝2.把x＝2，y＝2代人不等式ax＞4－y，得2a＞4－2，即2a＞2.根据不等式的性质2，不等式两边除以2，不等号的方向不变，所以2a2>22，a＞1.所以a的取值范围是a＞1.[教学建议]学生先自行探索解决，教师汇总后集中讲解.最后提醒学生解决此类型题目的关键在于题目的解读，挖掘出隐含的不等关系，列出不等式后再利用不等式的性质解决问题.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：你能用不等式的性质解简单的不等式吗？能解决一些简单的实际问题吗？【作业布置】1.教材P128习题11.1第5，8，9，10，11题.【教学后记】11.2　一元一次不等式第1课时　解一元一次不等式【素养目标】1.了解一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的解法.2.会用不等式的性质，对比一元一次方程的解法得到一元一次不等式的解法，体会知识的迁移.【教学重点】1.一元一次不等式的概念.2.一元一次不等式的解法.【教学难点】一元一次不等式的解法.【教学过程】活动一：旧知回顾，复习导入[设计意图]通过问答形式回顾旧知，为后续进行类比学习做铺垫.本节课将进入一元一次不等式的学习，先回顾以下问题：(1)什么是一元一次方程？一般地，如果方程中只含有一个未知数(元)，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程.(2)解一元一次方程的依据是什么？步骤是什么？依据：等式的性质1，2.111 步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.(3)一元一次方程一定有解吗？有几个解？一定有解.只有一个解.通过以上问题，猜测一下：什么是一元一次不等式？它的解法是什么？让我们赶紧进入本节课的学习吧！[教学建议]教师提问，指定学生代表回答.回顾一元一次方程的有关概念，有利于学生类比一元一次方程展开一元一次不等式的学习.活动二：问题引入，探究新知[设计意图]引入一元一次不等式的概念.探究点1　一元一次不等式的概念(教材P131思考)观察下面的不等式：x－7＞26，3x＜2x＋1，23x＞50，－4x＞3.(1)它们有哪些共同特征？上述每个不等式都只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1.(2)你能否根据它们的共同特征，类比一元一次方程给它们起个名字？类似于一元一次方程，只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1的不等式，叫作一元一次不等式.[对应训练]1.下列不等式中，是一元一次不等式的是（A）A.5x－2＞0　　　　B.－3＜2＋1xC.6x－3y≤－2D.y2＋1＞22.已知－13x2a－1＋5＞0是关于x的一元一次不等式，则a的值是1[教学建议]教师引导学生通过观察、类比，自行归纳得到一元一次不等式的概念，培养学生主动参与、合作交流、归纳总结的意识.[设计意图]通过对比方程与不等式的解法，使学生思考与感悟解不等式的过程与步骤，从而获得解一元一次不等式的思路.探究点2　一元一次不等式的解法阅读教材P131思考下方第2段至例1之前，然后对照下面解方程的步骤，类比写出有关解不等式的步骤：问题1　你认为解一元一次不等式有哪些基本步骤？每一步变形的依据是什么？去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.去分母的依据是不等式的性质2或3，去括号的依据是去括号法则，移项的依据是不等式的性质1，合并同类项的依据是合并同类项法则，系数化为1的依据是不等式的性质2或3.问题2　解一元一次不等式与解一元一次方程有何异同？例1　(教材P131例1)解下列不等式，并在数轴上表示解集：[对应训练]1.在下列解不等式2＋x3＞2x－15的过程中，错误的一步是（D）A.去分母，得5(2＋x)＞3(2x－1)　　B.去括号，得10＋5x＞6x－3C.移项，得5x－6x＞－3－10D.合并同类项、系数化为1，得x＞132.教材P132练习第1，2题.[教学建议]把一元一次方程和一元一次不等式进行对比，实现了知识的自然迁移，使学生在自主探索和合作交流的过程中不知不觉地学到了新知识，理解并掌握了一元一次不等式的解法，教学重点得以基本达成，教学难点也取得相应突破.在归纳出一元一次不等式的解法之后，引导学生将一元一次方程的解法与其进行对比，加深理解，体会化归思想和类比思想.111 注意强调：解一元一次不等式的五个步骤不一定全都用到，要灵活选用.要特别注意，当不等式的两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向改变.活动三：重点突破，提升探究[设计意图]对于求不等式的特殊解的题型进行巩固强化练习.　例2　y为何值时，式子5y＋46的值不大于式子78－1－y3的值？并求出满足条件的最大整数.解：依题意，得5y＋46≤78－1－y3.去分母，得4(5y＋4)≤21－8(1－y).去括号，得20y＋16≤21－8＋8y.移项，得20y－8y≤21－8－16.合并同类项，得12y≤－3.系数化为1，得y≤－14.所以当y≤－14时，式子5y＋46的值不大于式子78－1－y3的值.这个不等式的解集y≤－14在数轴上的表示如图所示.由图可知，满足条件的最大整数是－1.[对应训练]解不等式x＋12＞2x＋23－1，并写出它的正整数解.解：去分母，得3(x＋1)＞2(2x＋2)－6.去括号，得3x＋3＞4x＋4－6.移项，得3x－4x＞4－6－3.合并同类项，得－x＞－5.系数化为1，得x＜5.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.所以不等式的正整数解有1，2，3，4.[教学建议]学生分组讨论探究作答，教师汇总后订正.提醒学生：此类求不等式的特殊解的题目，先要准确求出不等式的解集，然后确定特殊解.在确定特殊解时，一定要注意是否包括端点的值，一般可以结合数轴，形象直观、一目了然.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是一元一次不等式？怎么解一元一次不等式？2.解一元一次不等式和解一元一次方程有何异同？解一元一次不等式运用了哪些数学思想？【作业布置】1.教材P136习题11.2第1，2，3，4，9题.【教学后记】第2课时　一元一次不等式的应用(1)【素养目标】1.掌握用一元一次不等式解决实际问题的步骤，会用一元一次不等式解简单的实际问题.2.寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型.3.初步认识一元一次不等式的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力.【教学重点】由实际问题中的不等关系列出不等式.【教学难点】列一元一次不等式描述实际问题中的不等关系.【教学过程】活动一：情境建模，问题导入[设计意图]抛出问题，为后续学习不等式的应用做铺垫.[情境导入]某商店在一次促销活动中规定：消费者消费满200元就可享受打折优惠.111 一名同学为班级买奖品，准备买6本影集和若干支钢笔.已知影集每本15元，钢笔每支8元，他至少买多少支钢笔才能享受打折优惠？我们知道，这道题蕴含的是不等关系，用不等式表示这样的关系，就能把实际问题转化为数学问题，从而通过解不等式得到实际问题的答案.那么列一元一次不等式解应用题的步骤是什么？这道题该如何解答呢？让我们在本节课的学习中一起来探讨吧！[教学建议]通过商品销售中的不等关系，渗透数学建模思想，启发学生思考解题思路.活动二：实践交流，探究方法[设计意图]引导学生找出问题中表示不等关系的“关键词”，根据题目中蕴含的不等关系列出不等式，类比归纳利用一元一次不等式解应用题的一般步骤，并据此解决实际问题.探究点　一元一次不等式的实际应用在解决实际问题时，若题目中含有“多于、少于、高于、低于、超过、不多于、不少于、不高于、不低于、不超过、至多、至少”等字眼，则指明问题中蕴含着不等关系，根据这个关系，可以设未知数列出不等式.拓展：各词汇所对应的不等号类型如下：词汇不等号大于、多于、高于、超过等>小于、少于、低于、不足等<不小于、不少于、不低于、不亚于、至少等≥不大于、不多于、不高于、不超过、至多等≤例1　(教材P133例2)七年级举办古诗词知识竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分.如果规定初赛成绩超过90分晋级决赛，那么至少要答对多少道题才能成功晋级？问题1　例1中未知数的设法与列方程解应用题中未知数的设法有没有区别？题中的不等关系应如何体现？没有区别.题中的不等关系是通过不等号来体现的，而设未知数时与列方程解应用题时设未知数相同，只是不可出现“至少”两字.问题2　类比设未知数列一元一次方程解应用题的步骤，下表归纳了设未知数列一元一次不等式解应用题的一般步骤，请在表格中完成对例1的逐步拆解，找到相应的过程，完成解答.问题3　请参照例1解决“活动一”中的问题.解：设他购买了x支钢笔.根据题意，得15×6＋8x≥200.移项，合并同类项，得8x≥110.系数化为1，得x≥13.75.由x应为正整数，可得x至少为14.答：他至少买14支钢笔才能享受打折优惠.[对应训练]教材P134练习第1，2题.[教学建议]学生分组讨论总结，使学生经历由实际问题到建立一元一次不等式的数学模型的探索过程，提高分析解决问题的能力.注意强调：①题目中有“超过”等字眼，这表示应建立不等式模型，通过不等号来体现.②设未知数时不可出现“至少”“至多”等字眼.③列不等式是解题过程中的关键步骤，因此题中的不等关系一定要找准.④在某些特殊情况下，设未知数的角度可能不止一种，且不同的设元方法可能对应不同的解题难度，但无论选用哪种，其关键依然是要找准不等关系进行列式.活动三：巩固提升，强化运用[设计意图]设置题目进一步巩固学生利用不等式解决实际问题的能力.例2　(教材P133例3)某市去年万元地区生产总值能耗为0.320t标准煤，如果计划使今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%，那么这个市今年万元地区生产总值能耗至多为多少？分析：“今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%”是问题中蕴含的不等关系，即去年万元地区生产总值能耗－今年万元地区生产总值能耗去年万元地区生产总值能耗×100%111 ≥5%.解：设这个市今年万元地区生产总值能耗为xt标准煤.根据题意，列得不等式0.320－x0.320×100%≥5%.去分母，得0.320－x≥0.320×5%.移项，合并同类项，得－x≥－0.304.系数化为1，得x≤0.304.答：这个市今年万元地区生产总值能耗至多为0.304t标准煤.[对应训练]周末小明在家开启日常锻炼，他只做开合跳和深蹲两个动作，每做一个开合跳耗时5s，消耗热量0.5大卡(大卡是热量单位)；每做一个深蹲也耗时5s，但消耗热量0.8大卡.若小明打算通过10min的锻炼，消耗至少75大卡热量，则他至少要做多少个深蹲？(每个动作之间的衔接时间忽略不计)解：设小明做m个深蹲.根据题意，列得不等式0.8m＋0.5×10×60－5m5≥75.解得m≥50.答：他至少要做50个深蹲.[教学建议]本活动设置的题目相较于上一活动难度略有拔高，主要体现于根据不等关系列出的不等式的形式会更复杂，其中涉及去分母解一元一次不等式，会比去括号解一元一次不等式多一些步骤，其次在符号处理方面需要多留心，避免出错.建议学生分组交流，自主完成题目的解答，教师进行集中点评，对学生在解题过程中存在的误区和盲区着重处理，使学生的实际应用能力得以加强.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：利用一元一次不等式解决实际问题的步骤是什么？你会列一元一次不等式解决简单的实际问题吗？【作业布置】1.教材P136习题11.2第5，6，7，8题.【教学后记】第3课时　一元一次不等式的应用(2)【素养目标】会用一元一次不等式解稍复杂的实际问题，进一步认识一元一次不等式的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力.【教学重点】列一元一次方程解决实际问题.【教学难点】解决分段计费问题、方案选择问题.【教学过程】活动一：悬疑设置，新课导入[设计意图]以实际情境激起学生的兴趣，为新课做铺垫.某景区售出的门票分为成人票和儿童票，成人票每张100元，儿童票每张50元.若干家庭结伴到该景区旅游，成人和儿童共30人.售票处规定：一次性购票数量达到30张，可购买团体票，每张票均按成人票价的八折出售.同学们，选择何种方式购票可以花费较少？111 [教学建议]从实际出发以小见大，让学生在潜移默化中进行比较，建议学生自主探究和讨论，为下面学习新知打下基础.活动二：交流合作，探究新知[设计意图]引入分段计费和方案选择问题模型，并将实际问题进行拆解，引导学生分析和解决问题.探究点　用一元一次不等式解稍复杂的实际问题例1　(教材P134例4)甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费.顾客到哪家超市购物花费较少？问题1　设累计购物花费x元，使用含x的式子填写下表：问题2　你能根据表格分析在哪家超市购物花费较少吗？(1)当累计购物不超过50元，即x≤50时，在甲、乙两超市购物花费相同，因为在甲、乙两超市购物都不享受优惠，而两家超市以同样价格出售同样的商品.(2)当累计购物超过50元而不超过100元，即50＜x≤100时，到乙超市购物花费较少，因为在甲超市购物不享受优惠，但在乙超市购物能享受优惠.(3)当累计购物超过100元，即x＞100时，在甲、乙两超市购物都能享受优惠.①若到甲超市购物花费较少，则100＋0.9(x－100)＜50＋0.95(x－50).解得x＞150.即x>150时，到甲超市购物花费较少.②若到乙超市购物花费较少，则100＋0.9(x－100)＞50＋0.95(x－50).解得x＜150.即100<x<150时，到乙超市购物花费较少.③若到两超市购物花费相同，则100＋0.9(x－100)＝50＋0.95(x－50).解得x＝150.即x＝150时，到甲、乙两家超市购物花费相同.问题3　你能综合上面的分析，给出一个合理化消费方案吗？当累计购物花费不超过50元或等于150元时，到两家超市购物花费相同；当累计购物超过50元而不到150元时，到乙超市购物花费较少；当累计购物超过150元时，到甲超市购物花费较少.问题4　此类型题目属于实际问题中的分段计费问题和方案选择问题，其中涉及了哪些数学思想？分类讨论思想和数学建模思想.[对应训练]教材P136练习第1，2题.活动三：难点突破，提升探究[教学建议]学生分组讨论，教师总结，把一个较难的问题采用表格的形式进行分解，层层递进引导，提高学生分析问题的能力.提醒学生：在这类问题中，一般以花费相同为“界点”，再分大于或小于“界点”的情况进行讨论.[设计意图]对本节课的难点，方案选择问题进行强化训练.例2　为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备.现有A，B两种型号的污水处理设备，其中每台的价格、月处理污水量如下表.经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元.设备类型A型B型价格/(万元/台)1210月处理污水量/t240200(1)该企业有哪几种购买方案？(2)若企业每月产生的污水量为2040t，为了节约资金，应选择哪种购买方案？解：(1)设购买A型污水处理设备x台，则购买B型污水处理设备(10－x)台.由题意得12x＋10(10－x)≤105，解得x≤2.5.因为x取非负整数，所以x可取0，1，2.所以有三种购买方案：①购买B型污水处理设备10台；②购买A型污水处理设备1台，B型污水处理设备9台；③购买A型污水处理设备2台，B型污水处理设备8台.111 (2)由题意得240x＋200(10－x)≥2040，解得x≥1，所以x为1或2.当x＝1时，购买资金为12×1＋10×9＝102(万元)；当x＝2时，购买资金为12×2＋10×8＝104(万元).因为102＜104，所以为了节约资金，应购买A型污水处理设备1台，B型污水处理设备9台.[教学建议]学生自主解答，教师适时提醒学生：较复杂实际问题的解题关键依然是从题中提取描述不等关系的信息，从而建立不等式模型解题.此类型题目一般要进行方案的比较，涉及的是不等式的特殊解，解题时注意未知数的取值范围，再把符合限制条件的几种方案进行比较，找出最大或最小值，从而确定最佳方案.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：你会列一元一次不等式解决稍复杂的实际问题吗？【作业布置】1.教材P136习题11.2第10题.【教学后记】11.3　一元一次不等式组【素养目标】1.理解一元一次不等式组及其解集的意义，学习解一元一次不等式组的步骤和方法.2.会用数轴表示不等式的解集，会找不等式组的公共解.3.学会找到实际生活中的不等关系，构建一元一次不等式组解决实际生活问题.【教学重点】1.理解相关概念并掌握解一元一次不等式组的方法，正确用数轴表示不等式组的解集.2.建立用一元一次不等式组解决实际问题的数学模型.【教学难点】1.正确用数轴表示不等式的解集，会找不等式组的公共解.2.正确分析实际问题中的不等关系，理解不等关系的相关词语，列出一元一次不等式组.【教学过程】活动一：创设情境，引入新知[设计意图]使学生感受同一个量需同时满足两个不等关系，为引入不等式组做准备.[情境导入]如图，一个长方形足球场的宽为70m，如果它的周长大于350m，面积小于7630m2，求这个足球场的长的取值范围，并判断这个足球场是否可以进行国际足球比赛(用于国际比赛的足球场的长在100m至110m之间，宽在64m至75m之间).这道题中存在几个不等关系呢？这道题又该如何求解呢？让我们一起进入本节课的学习吧！[教学建议]教师引导学生分析题意，判断出题中存在两个不等关系，启发学生思考和列式.从实例引入既可引起学生的兴趣，也是知识拓展的需要.活动二：问题引入，探究新知[设计意图]111 通过实例列式，引入一元一次不等式组的概念.探究点1　一元一次不等式组的概念阅读教材P138“怎样确定不等式组中x的取值的范围呢？”上方的内容，想一想：(1)设“活动一”中足球场的长是xm，可列出几个不等式？分别是什么？两个.分别是2(x＋70)＞350，70x＜7630.(2)什么叫作一元一次不等式组？(1)中的不等式表示成不等式组是怎样的？类似于方程组，把几个含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组.(1)中的不等式表示成不等式组是(3)不等式组中的不等式的位置可以改变吗？其中的未知数可以只满足一个不等式吗？可以改变.不能只满足一个不等式，不等式组中所有的不等式必须同时满足.[对应训练]下列不等式组中是一元一次不等式组的是（A）[教学建议]学生自行归纳总结，教师给出点评意见并指正.教学中提醒学生：重点在于概念的理解，可把大括号看作“且”，所以不等式组中所有不等式的“地位”都相同，位置可以变化，且必须同时满足，其中包含的不等式数量也可以不仅限于两个，判别时注意不等号两边都是整式.[设计意图]引出一元一次不等式组的解集的概念，引导学生掌握一元一次不等式组的解法.探究点2　一元一次不等式组的解集及解不等式组阅读教材从P138“怎样确定不等式组中x的取值范围呢？”开始至P139例1上方的部分，想一想：(1)什么是一元一次不等式组的解集？什么是解不等式组？一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫作由它们所组成的不等式组的解集.解不等式组就是求它的解集.(2)你认为解一元一次不等式组的步骤是什么？①求出不等式组中每个不等式的解集；②借助数轴法或口诀法找出各解集的公共部分；③写出不等式组的解集.拓展：确定不等式的解集的公共部分的两种方法：①数轴法：即把不等式组中各不等式的解集分别表示在同一条数轴上，再找出其公共部分.②口诀法：分4种情况，如下表所示：(3)比较一下，解不等式组与解方程组有什么区别？不同于解方程组，解不等式组既不能用代入法，也不能用加减法，而是分别求出每个不等式的解集，再找出它们的公共部分.(4)请把“活动二”中“探究点1”里的不等式组的解集求出来，并根据你求得的结果回答“活动一”中的问题.解不等式组2（x＋70）＞350，70x＜7630.①②解不等式①，得x＞105.解不等式②，得x＜109.把它们的解集在数轴上表示出来，图略.则不等式组的解集为105＜x＜109.由105＜x＜109知足球场的长在100m至110m之间，而宽为70m，在64m至75m之间，所以这个足球场可以进行国际足球比赛.例1　(教材P139例1)解下列不等式组：(1)2x－1＞x＋1，①x＋8＜4x－1；②　　　　　　(2)2x＋3≥x＋11，　①2x＋53－1＜2－x.②[对应训练]1.确定下列不等式组的解集：(1)x＞－4，x＞－2的解集为x＞－2；　　(2)x＜－4，x＞－2的解集为无解；(3)x＞－4，x＜－2的解集为－4＜x＜－2;(4)x＜－4，x＜－2的解集为x＜－4.2.教材P140练习第1题.3.已知关于x的不等式组x－a＞0，①5－2x≥－1②无解，求a的取值范围.111 解：解不等式①，得x＞a.解不等式②，得x≤3.因为不等式组无解，所以a≥3.[教学建议]学生先自主探究，然后小组交流讨论，一元一次不等式组解集的确定方法中，口诀法可由教师直接进行讲述.注意强调：若采用数轴法确定不等式组的解集，则需注意端点处是画空心圆圈还是实心圆点，且不要标错方向，以免确定公共解集时出错；若采用口诀法，则要注意“两看”：一看不等号的类型，二看端点处的大小.这部分是本节课教学的重点内容，为了加深学生的理解，关于解不等式组的练习的类型应面面俱到，既应设置有不等式组有解的题目，又应设置无解的题目，这样可使学生认识到不等式组并非总是有解，而是取决于各不等式的解集有无公共部分.活动三：拓展训练，提升探究[设计意图]对不等式组的特殊解类型题目进行拓展练习，强化巩固解不等式组的能力.例2　(教材P140例2)x取哪些整数值时，不等式5x＋2＞3(x－1)与12x－1≤7－32x都成立？解：解不等式组5x＋2＞3（x－1），12x－1≤7－32x，得－52＜x≤4.所以x可取的整数值是－2，－1，0，1，2，3，4.[对应训练]1.教材P140练习第2题.2.解不等式组2x＋3＞3x，①x＋33－x－16≥12，②并求出它的整数解的和.解：解不等式①，得x＜3.解不等式②，得x≥－4.把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，就可以找出两个不等式解集的公共部分.所以不等式组的解集为－4≤x＜3.所以这个不等式组的整数解为－4，－3，－2，－1，0，1，2，它们的和为－4－3－2－1＋0＋1＋2＝－7.[教学建议]借助教材例题进行讲述，体现一元一次不等式组的应用方面的数学建模思想.提醒学生：①在解答关于此类不等式组的特殊解方面的问题时，应先求出解集，再确定特殊解；②必要时可借助数轴，这样可使问题更加直观；③端点值的取舍是易错点，应重点关注.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是一元一次不等式组？2.什么是一元一次不等式组的解集？在数轴上如何表示？3.什么是解一元一次不等式组？其步骤又是什么？你会解关于一元一次不等式组的应用类型题目吗？【作业布置】1.教材P141习题11.3全部题目.【教学后记】111 综合与实践　低碳生活【素养目标】1.培养获取信息和资料的能力，加强自主学习和合作探究的能力.2.根据信息和资料设计数学问题或方案，强化数学思维和实际应用能力.3.提升撰写研究报告的能力和语言表达能力.【活动目标】1.通过对“碳达峰”“碳中和”等相关知识的学习，以及对身边“碳足迹”计算的认识，建立低碳生活的理念.2.设计自己的低碳生活行动方案.【活动重点】计算生活中的“碳足迹”，结合低碳生活设计数学问题并解答，设计低碳生活行动方案.【活动难点】结合低碳生活设计数学问题并解答，设计低碳生活行动方案.【教学过程】活动一：创设情境，新课导入[设计意图]激发学生兴趣，引起学生思考，为后面实践活动做铺垫.全球气候正在变暖，科学家认为，这与大气中二氧化碳等温室气体的浓度变化有关.2020年，我国承诺，二氧化碳排放力争于2030年前“碳达峰”，2060年前实现“碳中和”.什么是“碳达峰”“碳中和”？我们每个人能作出什么贡献呢？该进行怎样的低碳生活呢？让我们带着这些问题进入今天的探究与实践活动吧.[教学建议]本节实践课前应要求学生分成各研究小组，以团队协作方式做好资料收集整理工作.课堂引入时教师可使用多媒体教具展示资料，快速进入正题.活动二：循序渐进，探究实践[设计意图]学生交流分享资料，共同学习“碳中和”方面知识，为后面的实践学习做好理论准备.探究点1　学习“碳中和”等相关知识“碳中和”“碳交易”等是落实《巴黎协定》要求并促进各国低碳绿色发展活动的重要概念，要建立低碳生活的理念，需深入学习相关知识.任务1　分享交流分享课前查阅的相关资料，对“碳中和”“碳交易”等相关概念，以及在当前国际、国内背景下二氧化碳减排发展情况等进行组内交流分享.“碳中和”指国家、企业、产品、活动或个人在一定时间内直接或间接产生的二氧化碳或温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳或温室气体排放量，实现正负抵消，达到相对“零排放”.“碳交易”指把二氧化碳或温室气体排放权作为一种商品，买方通过向卖方支付一定金额从而获得一定数量的二氧化碳或温室气体排放权，形成二氧化碳或温室气体排放权的交易.当前国际背景下碳排放总量仍在增长，但增速有波动，不同地区和国家的碳排放情况存在差异，一些发展中国家由于经济发展需求，碳排放增长较快，而发达国家的碳排放增长相对较为缓慢.国内方面减排政策持续推进，我国政府高度重视二氧化碳减排，制定了一系列的政策与目标，通过能源结构不断优化，产业结构调整加速，碳市场逐步完善来积极推动减排.任务2　问题探究在我们生活的大气层中，二氧化碳虽然只约占大气体积的0.03%，但其对气温有较大的影响.根据此信息，你能提出哪些问题？你能解决其中的哪些问题？学生自主作答，答案不限，下面列举几种：提出问题：二氧化碳是如何影响气温的？如果不对碳排放加以控制，会有怎样的结果？111 减少二氧化碳排放的益处有哪些？解决问题：(1)二氧化碳会吸收地面辐射，使大气增温，就像给地球盖了一层被子，保存热量，从而对气温产生较大影响.(2)一方面，人类燃烧化石燃料(如煤、石油、天然气)、砍伐森林等活动导致大气中二氧化碳浓度上升，会使它对气温升高的影响加剧；另一方面，全球气候变暖会使北极地区海冰融化，海冰面积减少会降低地球反射太阳辐射的能力，进而使气温进一步升高.(3)缓解气候变化、生态系统改善、人类健康受益等.[教学建议]学生相互交流分享查阅到的信息和资料，信息收集越多，了解越深刻，越有利于开展后面的实践学习.通过这样的主动学习，学生了解到二氧化碳的过度排放会造成“温室效应”，而通过分析国际、国内碳排放情况可了解到碳减排是大势所趋，是减缓气候变化、保护地球的重要举措.对于个人来讲，可以从身边做起，减少日常行为产生的碳排放，从而明确“低碳生活”的重要意义，同时激发学生的探究学习欲望.[设计意图]让学生根据各自家庭情况计算符合实际的“碳足迹”，并思考如何植树来中和家庭一年的碳排放.探究点2　计算生活中的“碳足迹”每个人的日常消费都会产生二氧化碳(温室气体都可转化为二氧化碳当量计算)排放.积极倡导并实践“低碳”生活是我们每一个人的社会责任.任务1　计算“碳足迹”查阅、收集相关资料，计算你的家庭某月的“碳足迹”.学生根据自己家庭情况填写，举例可扫码获取.任务2根据完成的任务1，你有哪些思考？学生根据自己在任务1中的填表作答，以下是举例：计算周小刚家庭一个月的耗碳总量为731.86kg，换算为年碳排放量为731.86×12＝8782.32(kg)，人均年碳排放量为8782.32÷3＝2927.44(kg)≈2.93t.查阅资料，根据《联合国气候变化框架公约》的数据，平均每人每年排放约9.34t二氧化碳，而我国东部沿海发达地区人均年碳排放量介于5.7～11.4t，中部地区人均年碳排放量相对较低，介于2.8～5.7t，根据以上数据可知周小刚家庭的人均年碳排放量2.93t较低，属于合适范畴.[教学建议]学生收集各自家庭的一些日常生活数据进行填表，包括但不限于举例中的列表类目，统计越详尽越好，这样更接近于真实数据.在各项数据转换为耗碳量时，标准要统一，如查阅资料可知消耗1kW·h电产生0.785kg二氧化碳，消耗1L汽油产生2.254kg二氧化碳.[设计意图]根据教材材料以及学生自己查阅的资料，引导学生发散思维，设计有关数学问题，并解答.探究点3　认识、分析我国“碳达峰”“碳中和”目标阅读教材P148“活动三”下面的第一段，完成以下任务：任务1　提出问题要实现我国“碳达峰”的目标，你能从碳排放强度、二氧化碳排放量、国内生产总值(GDP)等方面提出哪些数学问题？学生自主作答，以下是举例：要实现我国“碳达峰”目标，碳排放强度相对于2005年的年均下降率至少是多少？任务2　解决问题请解决你在任务1中提出的数学问题.学生根据自己在任务1中的设问作答，以下是举例：阅读教材可知2020年我国碳排放强度(单位国内生产总值二氧化碳排放)比2005年下降48.4%，而“碳达峰”目标是中国二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，单位国内生产总值二氧化碳排放将比2005年下降65%以上.111 据此可设碳排放强度相对于2005年的年均下降率为x%，于是得48.4＋(2030－2020)x≥65，解得x≥1.66.因此，要实现我国“碳达峰”目标，碳排放强度相对于2005年的年均下降率至少是1.66%.任务3　自主研究根据你查阅得到的资料，你还能结合低碳生活提出一些数学问题吗？试解决你提出的问题.学生自主作答，以下是举例：提出问题：为了倡导低碳出行，某城市计划建设一些共享单车租赁点.已知建设一个小型租赁点的成本是5000元，建设一个大型租赁点的成本是8000元，若该城市计划投入资金不超过50000元，建设大、小两种租赁点一共8个(两种租赁点都至少有一个)，则有多少种建设方案？解决问题：设建设x个大型租赁点，则建设(8－x)个小型租赁点.根据题意，得8000x＋5000(8－x)≤50000，解得x≤103.又x为正整数，所以x可以取1，2，3.因此，共有3种建设方案：①建设1个大型租赁点，7个小型租赁点；②建设2个大型租赁点，6个小型租赁点；③建设3个大型租赁点，5个小型租赁点.[教学建议]设计问题属于开放性的思维拓展，根据教材展示材料中的一些措辞如“达到”“以上”等，可以设计与不等式相关的题目，从而通过计算得到一些具有参考价值的统计指标.自主查阅资料结合低碳生活设计数学问题，学生相互之间讨论交流，设计的题目形式可不限于不等式，重在以结合实际的方式让学生都参与进来，在实践中提升，自己做学习的主人.[设计意图]根据之前的探究结果让各小组就自己力所能及的低碳生活目标设计一些具有指导性的行动方案.探究点4　设计低碳生活行动方案任务　选择低碳生活是我们每个人的责任与义务，从身边做起，请设计你们小组的低碳生活行动方案.学生各小组交流讨论，汇总作答，以下是举例：小组低碳生活行动方案：公共交通优先：鼓励小组成员在短距离出行时选择步行或骑自行车，中长距离出行尽量乘坐公共交通工具，如地铁、公交.公共区域节能：教室里的教学设备如投影仪等不使用时设置为节能模式或关机，减少待机消耗.电灯、电扇、空调、饮水器等也要合理使用，避免出现教室无人时还存在用电器仍在运行的情况.资源循环利用：用过的纸张可收集起来用作草稿纸或再利用于其他合适场景.对于可回收物品，如塑料瓶、易拉罐等进行分类收集.低碳健康饮食：鼓励小组成员适当增加素食比例，减少肉类摄入，外出饮食可自带环保餐具，减少一次性餐具使用.分享低碳知识：小组成员定期组织活动，分享低碳生活小贴士、新的环保政策等，提高成员低碳意识.[教学建议]小组成员进行充分的讨论与交流，集思广益，教师指定小组负责人进行展示，并让对此主题感兴趣的同学写文章，供大家交流讨论，拓宽思维.活动三：随堂提问，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节综合与实践课的主要内容，请学生回答问题：1.通过本节课的学习，对于“碳达峰”“碳中和”等方面的知识你了解了吗？2.你会计算自己的“碳足迹”吗？能设计相应植树方案来中和“碳排放”吗？3.你能结合“碳达峰”“碳中和”或是生活中的低碳行为设计数学问题并解答吗？4.可以采取哪些行动来实践低碳生活？谈谈你的想法.【作业布置】111 根据活动中各种提问及解答，分组制作一份完整的研究报告.【教学后记】第十二章　数据的收集、整理与描述12.1　统计调查12.1.1　全面调查【素养目标】1.了解全面调查的概念，总体和个体的概念.2.会设计简单的调查问卷，收集数据；掌握划记法，会用表格整理数据.3.能用统计图描述数据.【教学重点】经历数据收集、整理、描述的过程，了解统计调查的一般步骤.【教学难点】收集数据、整理数据、描述数据.【教学过程】活动一：创设情境，导入新课[设计意图]调动学生的应用意识，引出课题.[情境导入](教材P151问题1)如果要了解全班同学对文学、科技、体育、艺术、劳技五类课外活动的喜爱情况，你会怎么做？进行统计调查，收集数据.[教学建议]让学生自由表达、互动探讨后，再引入“统计调查”的主题.活动二：逐步引导，注重实操[设计意图]让学生学会用问卷调查的方法收集数据，用表格整理数据，让学生体会用条形图、扇形图等工具描述数据，更具直观性.探究点1　统计调查的步骤统计调查有一系列的步骤，下面我们依次展开.步骤一：收集数据收集数据的方式有很多，如采访、举手表决、问卷调查等，其中问卷调查是一种比较常用的方式.(1)请大家先想想调查问卷应包含哪些内容，再针对活动一中的问题设计一份调查问卷.教师引导学生设计出比较合理的调查问卷(类似于教材P151的调查问卷)，然后让全班同学填写各自的答案并上交.(2)如果想了解男、女生喜爱课外活动的差异，问卷中还应该包含什么内容？问卷中还应包含“性别”选项.(3)根据大家填写的调查问卷，我们收集到了全班每位同学最喜爱的课外活动的编号(字母)，我们把它们称为数据.CEACDCDCBDCADCDDCDCA111 BCABCDCACCDCDECABBEABDCEBDBDCD根据这些数据，你能看出全班同学对各类课外活动的喜爱情况吗？很难看出.步骤二：整理数据像上面那样杂乱无章的数据不利于我们发现其中的规律，为了更清楚地了解数据所蕴含的规律，需要对数据进行整理.统计中经常用表格整理数据.(1)先用划记法统计喜爱每一类课外活动的人数，其中“正”字的每一划(笔画)代表一名同学.(2)再计算出各类人数占总人数的百分比，从而得到下面的表格.全班同学最喜爱的课外活动的人数统计表课外活动类型划记人数百分比文学(A)正714%科技(B)正816%体育(C)正正正1734%艺术(D)正正1428%劳技(E)48%合计50100%(3)现在能看出全班同学喜爱各类课外活动的情况吗？能.从表格可以清楚地看出，最喜爱文学类课外活动的同学有7人，占全班人数的14%；最喜爱科技类课外活动的同学有8人，占全班人数的16%；等等.(对于具体情况的描述，答案不唯一，合理即可)步骤三：描述数据为了更直观地表示前面表格中的信息，还可以用条形图和扇形图来描述数据.步骤四：分析数据，得出结论你能结合前面的表格、条形图和扇形图，说一说全班同学对五类课外活动的喜爱情况吗？全班同学喜爱体育类课外活动的人数最多，有17人；喜爱劳技类课外活动的人数最少，只有4人；喜爱体育类、艺术类课外活动的人数之和，占比超过一半……(答案不唯一，合理即可).[对应训练]1.教材P153练习第1，2题.2.在某公益活动中，小明对本年级50名同学的捐款情况进行了统计，因缺失部分数据，得到了不完整的统计图(如图)，则本次捐款20元的人数为5.3.为了解某校全体同学喜欢去本市游玩的特色景点的情况，小明抽取了七年级(3)班32名同学进行调查，得到最喜欢的特色景点的调查结果如下，其中A代表天井峡景区，B代表威远楼，C代表渭河源头，D代表贵清山.AABCDABAACBAACBCAABCAABACDBACDBA(1)填表：(画正字表示划记)特色景点划记人数A正正14B正8C正7D3(2)该班同学喜欢去哪里游玩的最多？解：由统计表可知该班同学喜欢去天井峡景区游玩的最多.[教学建议]提醒学生设计调查问卷应注意的一些事项：①问题不能带有诱导性、倾向性(如：难道你不觉得动画片比新闻更好看吗？)；②选项、答案要互斥.[教学建议](1)提醒学生检查各类人数的统计是否有误，可以将各类人数加总，再与全班实际总人数对比，看是否一致.111 (2)对于表格的制作，可师生互动，一起完成.[教学建议](1)给学生说明，用统计图描述数据，印象更直观，容易比较数量的大小或所占百分比的大小.(2)适当总结不同图形蕴含的数量关系：条形图中，各部分的数量之和等于总数；扇形图中，各部分所占的百分比之和为1.[设计意图]引出全面调查的概念.探究点2　全面调查在前面的调查中，我们利用调查问卷得到全班同学喜爱课外活动的数据，利用表格整理数据，并用统计图对数据进行直观形象的描述.通过分析这些表和图，了解全班同学喜爱课外活动的情况.在这个调查中，全班同学是要考察的全体对象，我们对全体对象都进行了调查.像这样考察全体对象的调查叫作全面调查.例如，2020年我国进行的第七次全国人口普查，就是一次全面调查.在上面的调查中，全班同学是要考察的全体对象，称为总体，组成总体的每一名同学称为个体.为了强调调查目的，有时也把全班每一名同学喜爱的课外活动类型的全体作为总体，每一名同学喜爱的课外活动类型作为个体.[对应训练]以下调查中，是全面调查的有①④.(填序号)①在某班调查全体学生的视力情况；②为了解一批灯管的平均使用寿命，从中抽取几根进行检测；③为了解全国中小学生每天运动的时间，在不同省市各选取几所学校进行调查；④为了杜绝隐患，对载人航天器的所有零部件进行检查.[教学建议]在对应训练中，给学生介绍，除了全面调查，还有其他的调查方式，后面会学到.活动三：提炼重点，巩固提升[设计意图]加强从统计图中获取信息的能力.例　如图分别是某班全体学生上学时乘车、步行、骑车人数分布的条形图和扇形图.(1)求总人数和步行人数；(2)将条形图补充完整.解：(1)总人数是25÷50%＝50.步行人数是50×30%＝15.(2)骑车人数为50－25－15＝10.补充条形图如图所示.[教学建议]给学生指明，条形图与扇形图结合时，找到数量和百分比都已知的一项是关键：该项数量÷该项所占百分比＝总数.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.今天的调查最初是以什么形式展开的？2.我们是以什么形式对数据进行整理的？我们是以什么形式对数据进行直观描述的？3.什么叫全面调查？什么是总体和个体？【作业布置】1.教材P157习题12.1第1，5，7题.【教学后记】111 12.1.2　抽样调查【素养目标】1.经历数据的收集、整理和分析的模拟过程，了解抽样调查、样本等统计概念.2.初步感受抽样调查的必要性，初步体会用样本估计总体的思想.3.学会从样本中分析、归纳出较为正确的结论，增强用统计方法解决问题的意识.【教学重点】抽样调查、样本等概念以及用样本估计总体的思想，样本的分析、归纳.【教学难点】合理抽取样本.【教学过程】活动一：创设情境，导入新课[设计意图]根据实际生活情境，引出抽样调查.[情境导入]你在日常生活中，是否有经历过下面的情况？1.厨师在煮汤时，尝一口就能知道整锅汤的味道，原因是什么？2.如果厨师觉得味道淡了一些，怎么办？3.为什么可以这么做呢？为了回答上面的问题，今天我们学习另外一种调查方法——抽样调查.[教学建议]让学生根据生活经验，自由讨论.活动二：引入新知，探究学习[设计意图]让学生感受引进抽样调查的必要性，并了解抽样调查的相关概念，让学生学会合理抽样，学会用样本估计总体.探究点1　抽样调查1.抽样调查及相关概念(教材P153问题2)育人中学有2000名学生，要想了解全校学生对文学、科技、体育、艺术和劳技五类课外活动的喜爱情况，应该怎样进行调查？(1)与教材P151问题1相比，这个问题有何区别？教材P151问题1是调查全班同学，这里是调查全校2000名学生.(2)要调查2000名学生，采用全面调查方式是否合适？不合适，如果采用全面调查的方式收集数据，不仅花费的时间长，而且消耗的人力、物力也非常大.(3)你能找出既省时省力又能解决问题的办法吗？可以抽取一部分学生进行调查.概念引入：只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况，这种方法就是抽样调查.在上面的问题中，全校学生是要考察的总体，而被抽取调查的那部分学生构成总体的一个样本.结合这个例子，总体与样本的关系可用下面的图示来说明：2.样本的抽取(1)在上面的问题中，我们要抽取部分学生进行调查，你认为抽取多少名学生进行调查比较合适？可抽取100名学生(学生回答的数量合适即可).教师总结：抽取的学生数量要适当.数量过少，样本就不容易具有代表性，也就不能客观地反映总体的情况；数量过多，达不到省时省力的目的.概念引入：一个样本中包含的个体的数目称为样本容量，样本容量没有单位.如抽取100名学生，则样本容量为100.(2)抽取样本时，除了数量外还应该注意什么问题？111 不能偏向某些学生，应使学校中的每一名学生都有相等的机会被抽到.概念引入：在抽取样本的过程中，使总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到，像这样的抽样方法称为简单随机抽样.3.样本处理抽取100名学生进行调查.根据调查结果，绘制统计表如下.抽样调查100名学生最喜爱课外活动的人数统计表课外活动类型划记人数百分比文学(A)正正1313%科技(B)正正正1818%体育(C)正正正正正正3232%艺术(D)正正正正正2727%劳技(E)正正1010%合计100100%4.用样本估计总体从表中可以看出，样本中最喜爱体育类课外活动的学生最多，所占百分比为32%.据此可以估计，这所学校的学生中，最喜爱体育类课外活动的学生最多，约占全校学生的32%.类似地，由表可以估计育人中学最喜爱其他类课外活动的学生占全校学生的百分比，如图所示.估计全校2000名学生中，喜爱科技类课外活动的人数约为多少？估计全校2000名学生中，喜爱科技类课外活动的人数约占18%，2000×18%＝360(人)，即估计全校2000名学生中，喜爱科技类课外活动的人数约为360.[对应训练]1.要调查某校九年级学生星期日的睡眠时间，选取的调查对象最合适的是（D）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.选取一个班级的学生B.选取50名男生C.选取50名学生D.随机选取50名九年级学生2.为了解学生每天的自主学习时间，某校抽取了100名学生每天的自主学习时间作为样本进行调查，在这个问题中，样本容量是100.3.某校关注学生的用眼健康，从七年级400名学生中随机抽取了50名学生进行视力检查，发现有20名学生近视，据此估计这400名学生中，近视的学生人数约是（B）A.140B.160C.180D.2004.教材P155练习第1，2，3题.[教学建议]教科书通过一个图示说明“总体”“样本”“抽样”之间的关系，教学中要让学生在具体问题中理解概念，不要追究严格的定义.[教学建议]关于简单随机抽样，可结合教材上的例子给学生解释清楚(例如，上学时在学校门口随意调查100名学生…).[教学建议]用简单随机样本估计总体时，要让学生明白样本是总体的一部分，样本中喜爱各类课外活动的比例不是总体的比例.同时要让学生认识到样本结果带有随机性，样本结果也会出现偏离总体较大的情况，但是大多数情况下对总体会有一个比较好的估计，这样的估计是有意义的.[设计意图]让学生学会合理选择调查方式.探究点2　选择合适的调查方式1.抽样调查与全面调查各有何优缺点？全面调查收集到的数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查.抽样调查具有花费少、省时省力的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度.2.在实际调查中，具体采用全面调查还是抽样调查，你是怎样选择的？采用全面调查还是抽样调查，要根据考察对象的特征灵活选用，如表所示.调查方式全面调查抽样调查111 特征涉及面较小、事关重大、精确度要求较高涉及面太广、调查有破坏性、无法进行全面调查、全面调查的意义或价值不大[对应训练]1.以下调查中，适宜采用抽样调查的是(C)A.了解七年级(1)班学生的身高情况B.企业招聘，对应聘人员进行面试C.检测某城市的空气质量D.检测“神舟十九号”载人飞船零件的质量2.教材P156练习第4题.[教学建议]在对应训练中，针对每个选项，给学生讲解不适合另外一种调查方式的原因.活动三：重点突破，提升探究[设计意图]强化由统计图分析数据的能力.例　某校为满足学生的阅读需求，欲购买一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“社科类”“文史类”“生活类”“小说类”中选择自己喜欢的一类.根据调查结果绘制了如图所示的统计图(未完成).请根据图中信息，解答下列问题：(1)此次共调查了200名学生；(2)将条形图补充完整；(3)若该校共有学生2000人，估计该校喜欢“社科类”图书的学生人数.解：(2)选择“生活类”图书的学生人数为200×15%＝30，选择“小说类”图书的学生人数为200－24－76－30＝70，则补全条形图如图所示.(3)2000×24200＝240(人).答：估计该校喜欢“社科类”图书的学生人数为240.[教学建议]给学生指出解此类题常用的两个等量关系：①某一项的数量÷该项所占百分比＝总数；②各项数量之和＝总数.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是抽样调查？抽样调查中样本的选取应该注意什么？2.怎样根据样本估计总体的情况？怎样判断选用全面调查还是抽样调查？【作业布置】1.教材P157习题12.1第2，3，4，6，8，9题.【教学后记】12.2　用统计图描述数据12.2.1　扇形图、条形图和折线图第1课时　用扇形图描述数据【素养目标】1.会制作扇形图.2.能根据需要使用恰当的统计图表整理和表示数据.3.能根据统计图表中蕴含的信息解决相应的问题.【教学重点】扇形图的制作、用统计图表整理和表示数据.111 【教学难点】使用恰当的统计图表整理和表示数据.【教学过程】活动一：创设情境，引入新知[设计意图]通过熟悉的情境，引出扇形图的制作.在上一节中，我们通过扇形图直观描述了全班同学或全校同学喜爱各类课外活动的情况，你知道上一节中的扇形图是如何画出来的吗？今天我们就来学习扇形图的制作，并结合实际问题，学习如何选择合适的统计图来描述数据.[教学建议]可带领学生回顾扇形的有关知识.活动二：交流讨论，探究新知[设计意图]学习扇形图的制作.探究点1　扇形图的制作问题1　在扇形图中，整个圆表示什么？各个扇形表示什么？整个圆表示总体，每一个扇形表示总体中的一部分.问题2　各个扇形的大小反映了各部分与总体之间的什么关系？各个扇形的大小反映了各部分占总体的百分比.问题3　画扇形图时，确定一个圆后，每一个扇形的大小怎样确定？确定了一个扇形的圆心角度数，这个扇形的大小就确定了.问题4　怎样得出每一个扇形的圆心角度数？请以图②为例，算出每一个扇形的圆心角度数.扇形的圆心角度数＝360°×对应项占总体的百分比.在图②中，“文学”对应扇形的圆心角为360°×13%≈47°.同样可以计算出“科技”“体育”“艺术”“劳技”对应扇形的圆心角分别约为65°，115°，97°，36°.问题5　画出了每一个扇形后，你认为还应该在图形上做怎样的标记，才算画出了一个完整的扇形图？还应该在图上注明各类别的名称及其相应的百分比.[对应训练]教材P162练习第2题.[教学建议]给学生说明：①画扇形图不必考虑各个扇形的相对位置，任一块扇形都可以被移到其他位置而不改变扇形图的意义；②各扇形所代表的名称可以像教科书中这样以图例说明，也可以直接注在相应的扇形上.[设计意图]体会条形图与扇形图在描述数据方面的不同特点，提升应用意识.探究点2　用扇形图描述数据例　(教材P160例1)问题1　绘制一个表格，统计各类别体重指数的员工人数和所占的百分比.分类划记人数百分比体重过低正正1016.7%体重正常正正正正正正正3863.3%超重正711.7%肥胖正58.3%合计60100%问题2　为了直观表示这个公司各类别体重指数的员工人数，应该采用什么形式的统计图？应该采用条形图，如图所示.问题3　为了直观表示这个公司各类别体重指数的员工人数占总人数的百分比，应该采用什么形式的统计图？应该采用扇形图，如图所示.111 问题4　说一说从绘制的统计图中，能获得哪些信息.从条形图和扇形图中可以看出，这个公司60名员工中体重正常的人数最多，有38人，所占百分比为63.3%；体重过低的人数次之，有10人，所占百分比为16.7%；超重的有7人，所占百分比为11.7%；肥胖的人数最少，有5人，所占百分比为8.3%.由此可以推断这个公司员工的胖瘦状况.例如，这个公司大多数员工的体重正常，但仍有大约8%的员工肥胖，需要引起注意.[对应训练]教材P162练习第1，3题[教学建议]提醒学生，选用什么样的统计图描述数据取决于两个方面：一是你面对的是什么样的数据，二是你要用统计图展示什么信息.活动三：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.绘制扇形图的步骤是怎样的？2.什么样的情形适合用条形图描述数据？什么样的情形适合用扇形图描述数据？【作业布置】1.教材P174习题12.2第1，5题.【教学后记】第2课时　用条形图和折线图描述数据【素养目标】1.会用条形图和折线图描述数据.2.会用复合统计图描述两组(或两组以上)数据并进行比较.3.了解条形图、扇形图和折线图在描述数据方面的不同特点，能根据具体需求选用合适的统计图描述数据.【教学重点】用折线图表示数据的增减变化情况、用复合统计图比较两组数据.【教学难点】选用合适的统计图描述数据.【教学过程】活动一：创设情境，引入新知[设计意图]通过新的情境，引出更多类型的统计图学习.上节课我们学习了用条形图和扇形图描述数据.除此之外，我们以前还接触过折线图，它在描述数据方面有什么特点呢？另外，有时我们需要在一幅统计图中同时记录两组数据，并对这两组数据进行比较，那么这时应该怎样绘制统计图呢？A，B两市2017—2024年PM2.5的年均浓度折线图让我们带着这些问题，走入今天的学习吧.[教学建议]给学生展示一幅折线图，并适当回顾折线图的内容，为后面的学习预热.活动二：交流讨论，探究新知[设计意图]让学生学会用折线图来表示数据的增减变化情况，用复合统计图对两组数据进行比较，会总结不同类型的统计图的特点，学会如何选择统计图，增强学生对数据的处理能力和表达能力.探究点　用条形图和折线图描述数据111 例　(教材P163例2)下表是2013－2022年我国货物出口总额与进口总额的数据，请选择合适的统计图，描述这十年我国货物进、出口总额的变化情况，并对它们进行比较.2013－2022年我国货物进、出口总额问题1　要描述这十年我国货物进、出口总额的变化情况，采用什么统计图比较合适？折线图或条形图.问题2　要对这十年我国货物进、出口总额进行比较，应该怎样绘制统计图？应该将货物出口总额和进口总额的数据表示在同一幅统计图中，绘制复合折线图或复合条形图.问题3　请你根据问题1，2的分析，绘制出合适的统计图.可以绘制复合折线图，如图所示.也可以绘制复合条形图，如图所示.问题4　这十年我国货物进、出口总额的变化情况如何？每年的进口总额和出口总额相比，大小关系如何？从绘制的统计图可以看出，除2014，2015，2016年外，2013—2022年这十年间，我国的货物出口总额与进口总额基本上都保持逐年增长的趋势，而且每年的出口总额都大于进口总额.思考　比较扇形图、条形图和折线图，它们在描述数据方面各有什么特点？三种统计图的特点各不相同，它们的优缺点如下：[对应训练]教材P164练习第1，2题.[教学建议]给学生强调，统计图类型的选择，要与想表达的意图吻合.这里要表示进、出口总额的变化情况，所以选择折线图或条形图.[教学建议]给学生强调，在绘制复合统计图时，不同组别的数据标记方法应该作明显的区分，同一组数据的标记方法要一致.[教学建议]给学生强调：选择统计图描述数据时，要根据具体要求，结合三种统计图的优缺点进行选择.有些情况下，可行的选择不止一种.活动三：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.要描述数据的变化情况，绘制什么样的统计图比较合适？2.要对两组数据进行比较，绘制什么样的统计图比较合适？3.扇形图、条形图和折线图在描述数据方面各有什么特点？【作业布置】1.教材P174习题12.2第2，3，6题.【教学后记】12.2.2　直方图【素养目标】1.能画频数分布直方图，能利用频数分布直方图解释数据中蕴含的信息.2.通过小组合作与交流，经历数据的收集与处理的过程，学会分析数据的方法.【教学重点】画频数分布直方图的步骤.【教学难点】画频数分布直方图，从频数分布直方图中读取正确的信息.【教学过程】活动一：旧知回顾，导入新课[设计意图]111 回顾前面学过的统计图，引出新的统计图.在前面我们学习了哪几种描述数据的统计图？它们各自的优点是什么？前面学习的描述数据的统计图主要有条形图、扇形图、折线图.其中，条形图易于比较每组数据之间的差别，扇形图易于显示每组数据占总体的百分比，折线图易于显示数据的变化趋势.今天我们要学习一种新的统计图：直方图.[教学建议]先给学生展示一幅直方图，形成一定的直观印象.活动二：引入新知，探究学习[设计意图]计算数据的变化范围，适当分组，做好绘制直方图的前期准备工作.引导学生整理数据，准确列出频数分布表.学习频数分布直方图的绘制，感受它的特点，巩固学生对频数分布直方图的掌握.探究点　频数分布直方图阅读教材P165的问题1.(1)为了解决教材上的问题，选择一个合适的身高范围，我们要知道什么？要知道63名同学的身高分布情况.(2)你能用前面学过的统计图解决这个问题吗？不能.一共有63个数据，数据较多，直接用前面学过的统计图来描述数据，难以看出数据分布的特征和规律.为了更好地描述这些数据的分布情况，我们可以通过对这些数据适当分组来进行整理.今天要学习的直方图，正是在此基础上绘制的.下面我们按步骤介绍直方图的绘制过程.步骤1：计算最大值与最小值的差最大值－最小值＝172－149＝23，说明身高的变化范围是23.步骤2：决定组距和组数分组时，每个小组的两个端点间的距离(组内数据的取值范围)称为组距.根据问题的需要，各组的组距可以相同或不同.在本问题中，我们作等距分组，即令各组的组距相同.如果从最小值起每隔3作为一组，那么由于最大值－最小值组距＝233＝723，所以要将数据分成8组：149≤x＜152，152≤x＜155，…，170≤x＜173，其中x表示身高值，这里组距和组数分别为3和8.补充说明：组距和组数的确定没有固定的标准，要凭借经验和所研究的具体问题来决定.将一批数据分组，一般数据越多，分的组数也越多.当数据在100个以内时，按照数据的多少，常分成5～12组.步骤3：列频数分布表对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组内的数据的个数叫作频数.整理可以得到后面的频数分布表：(1)根据表格，你知道该从身高在哪个范围的同学中挑选仪仗队队员吗？从表中可以看出，身高在155≤x＜158，158≤x＜161，161≤x＜164三个组的人数最多，共有12＋19＋10＝41(人).因此，可以从身高在155cm至164cm(不含164cm)范围的同学中挑选仪仗队队员.(2)上面对数据进行分组时，组距取3，把数据分成8组.如果组距取2或4，那么数据分成几个组？这样能否选出需要的40名同学呢？组距取2时，分成12个组，能选出需要的40名同学；组距取4时，分成6个组，不能很好地选出需要的40名同学.步骤4：画频数分布直方图前面对63名同学的身高做了数据的整理，并且也列出了频数分布表，为了更直观形象地看出频数分布的情况，可以根据表中的数据画出频数分布直方图，如图所示.观察频数分布直方图，图中以什么来表示各组频数的大小？频数分布直方图中，以小长方形的面积来表示各组频数的大小.如图，以155～158对应的小长方形为例说明：小长方形的面积＝底×高＝组距×频数组距＝频数.111 等距分组时，各小长方形的面积(频数)与高的比是常数(组距).因此，画等距分组的频数分布直方图时，为画图与看图方便，通常直接用小长方形的高表示频数.前面的各组数据可按如图的方式表示.注意：例1　阅读教材P168例3，将下面的过程补充完整.(1)在样本数据中，最大值是7.4，最小值是4.0，它们的差是3.4.(2)取组距为0.3，则组数为12.(3)列频数分布表.(4)画频数分布直方图.从频数分布表和频数分布直方图可以看到，麦穗长度大部分落在5.2cm至7.0cm(不含7.0cm)的范围，落在其他范围的较少.长度在5.8≤x＜6.1范围的麦穗根数最多，有28根，而长度在4.0≤x＜4.3，4.3≤x＜4.6，4.6≤x＜4.9，7.0≤x＜7.3，7.3≤x＜7.6范围的麦穗根数很少，总共只有7根.由此可以估计这种大麦穗长主要分布在5.2cm至7.0cm(不含7.0cm)的范围，其中穗长在5.8cm至6.1cm(不含6.1cm)范围的大麦最多.[对应训练]1.一组数据有90个，其中最大值为141，最小值为40，取组距为10，则可以分成(C)A.9组　　　　B.10组　　　　C.11组　　　D.12组2.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽取了20根棉花纤维进行测量，其长度x(单位：mm)的数据分布如下表所示，则棉花纤维长度在16≤x＜32这个范围的占比为70%.3.教材P170练习第1，2题.[教学建议]给学生说明，数据分组时，可以先确定组距，再根据组距确定组数；也可以先确定组数，再根据组数确定组距.[教学建议]数据分组时，对数据要遵循“不重不漏”的原则.“不重”是指一个数据只能分在其中的一个组，不能在其他组中重复出现；“不漏”是指在所分成的所有组别中，每个数据都能分在其中的某一组中，不能遗漏.分组时，为了使数据“不重不漏”，统计中有不同的方法.教材中采用了“上限不在内”的原则.[教学建议]不必过多涉及一般直方图，重点介绍用长方形的高表示频数的直方图.[教学建议]给学生强调，频数分布直方图反映的是数据的分布状况.另外，若抽样合理，则可用样本的分析结果估计总体的情况.活动三：重点突破，提升探究[设计意图]巩固对直方图的理解，学会根据直方图作决策.例2　某中学为了解该校1200名学生在校午餐所需的时间，随机抽查了50名学生在校吃午餐所花的时间，并绘制成如图所示的频数分布直方图(其中A组：5＜x≤10；B组：10＜x≤15；C组：15＜x≤20；D组：20＜x≤25；E组：25＜x≤30，x(单位：min)为午餐时间).根据频数分布直方图提供的信息解答下列问题：(1)补全频数分布直方图.(2)估计该校1200名学生午餐所花时间在B组的人数.(3)在既考虑学生午餐用时需求，又考虑食堂运行效率的情况下，校方准备在15min，20min，25min，30min中选择一个作为午餐时间，你认为应选择多少分钟为宜？请说明理由.解：(1)C组(15＜x≤20)的频数为50－4－12－2－2＝30，补全频数分布直方图如图所示.(2)B组(10＜x≤15)对应的频数为12，则1200×1250＝288(名).故估计该校1200名学生午餐所花时间在B组的人数为288.(3)选择20min.理由如下：样本中有46人能在20min内完成用餐，占比92%.可以鼓励20min没有完成用餐的同学适当加快用餐速度，有利于食堂提高运行效率.[教学建议]给学生介绍，从直方图可以看出数据的整体分布情况，其中最集中的数据分布范围，往往可以给调查者的决策起到参考作用.活动四：随堂训练，课堂总结111 [课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.频数分布直方图的绘制要经历哪几个步骤？组数和组距是怎样确定的？2.频数分布直方图有什么特点，它的作用主要体现在哪里？【作业布置】1.教材P174习题12.2第4，7，10题.【教学后记】12.2.3　趋势图【素养目标】1.通过绘制趋势图，感受随机现象的变化趋势.2.能根据统计图表分析随机现象的变化趋势.【教学重点】趋势图的绘制.【教学难点】趋势图的绘制，根据趋势图作预测.【教学过程】活动一：创设情境，引入新知[设计意图]提出新问题，触发学生思考，引出新课题.前面，我们用折线图表示了与时间有关的量(如2013－2022年我国货物进、出口总额)的发展趋势.在现实生活中，还经常需要研究更广泛的两个量之间的关系，如GDP随时间的变化趋势、学生体重与身高的关系、商品销售收入与广告支出的关系等.用什么统计图描述它们之间的关系呢？这就是我们今天要学习的内容：趋势图.[教学建议]给学生说明趋势图与折线图之间的一个重要区别是研究的范围不同，趋势图研究的范围比折线图更广.活动二：交流讨论，探究新知[设计意图]通过数据分析和图形直观感知，探究两个随机变量之间的关系.通过绘画表示趋势的直线，更明确地显示两个量之间的关系，同时提升主观动手的能力.让学生学习根据趋势图作预测.探究点　用趋势图描述数据(教材P171问题2)为了研究气温对冷饮销售的影响，一家饮品店经过一段时间的统计，得到一组卖出的冷饮杯数与当天最高气温的数据，如表所示.问题1　观察表中数据，请你谈一谈：随着最高气温的逐渐升高，每天卖出的冷饮杯数有怎样的变化趋势？有逐渐上升的趋势.问题2　为了更直观地表示每天卖出的冷饮杯数与当天最高气温之间的关系，我们可以采用什么方式来描述？可以用图形来描述.如图①所示，用横轴表示最高气温，用纵轴表示冷饮杯数，描出表中各对值(12，50)，(13，69)，…，(28，154)所对应的点.观察图中散点的分布情况，可以发现，这些散点大致落在一条呈上升趋势的直线附近.问题3　(教材P171探究)如果用一条尽可能靠近所有散点的直线来表示一天卖出的冷饮杯数与当天最高气温之间的关系，你能试着在图①中画出这条直线吗？如图②，有111 如图③，有的同学可能会画出这样一条直线，让它两侧的点的个数大致相等.如图④，有的同学可能会画出多条直线，然后测量各点到这些直线的距离和，选取距离和最小的直线作为所求的直线.要画出“尽可能靠近所有散点的直线”，可以有很多种画法，上面的几种画法都有一定的道理.到了高中，我们将学习计算“竖直距离”的平方和，当这个平方和最小时，可以求出一条直线来描述饮品店一天卖出的冷饮杯数与当天最高气温之间的关系(如图⑤所示).概念引入：像上面这样，用一条线(直线或曲线)来描述一个量与另一个量之间关系的统计图，叫作趋势图.问题4　根据上图中的趋势图，请你预测一下：当一天的最高气温为30℃时，饮品店当天大约能卖出多少杯冷饮？155杯.思考：结合具体问题，说一说趋势图在描述数据方面有什么特点.趋势图比较清楚地表示了两个量之间的关系，有利于根据一个量的变化，预测另一个量的变化趋势.[对应训练]教材P173练习第1，2题.[教学建议](1)给学生适当分析两个量之间的因果关系：如本问题中，是天气的炎热程度影响了冷饮的销售量，即当日最高气温是因，卖出的冷饮杯数是果.(2)让学生体会，虽然根据表中的数据，一般也能大致看出一个量随另一个量变化的趋势，但是单纯的数据不如图形直观，所以我们要绘制趋势图.[教学建议]在绘制这条表示趋势的直线时，保持一定的开放性，只要学生遵循了“尽可能靠近所有散点”这一原则，都应给予肯定.[教学建议]根据趋势图作预测时，由于没有具体的算式，只能根据图形位置去取数值，所以不同的人所取的结果可能会不同.只要结果符合大致情况，都应给予认可.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：趋势图适合用来描述什么？绘制趋势图的关键步骤有哪些？你能根据趋势图作出什么类型的判断？【作业布置】1.教材P174习题12.2第8，9题.【教学后记】综合与实践　白昼时长规律的探究【素养目标】1.通过综合与实践课题，提升用数学知识探索现实世界的综合能力.2.提升数据的收集与处理能力.3.提升统计模型的构建能力.4.加强创新意识、探索意识.【教学重点】111 1.利用统计图表探究某地白昼时长的变化规律.2.通过对比数据，分析影响白昼时长变化的因素.【教学难点】1.根据统计图表描述数据的变化规律.2.通过对比数据分析不同因素对数据变化的影响大小.【教学过程】活动一：创设情境，引入新课[设计意图]通过升国旗时间，引出关于白昼时长的课题.北京天安门广场上，五星红旗每天都会早晨升起，傍晚降落.有同学可能会问：天安门广场上，每天国旗的升降时刻都是一样的吗？其实，天安门广场上每天升降旗的时刻并不是固定不变的，而是根据北京的日出、日落时刻变动的.根据生活经验，我们知道：一年四季中白昼时长(白昼时长是指从日出到日落的时间长度)并不是固定不变的.那么，一座城市每天的日出、日落时刻有什么规律呢？下面我们就来共同探究这个问题吧.[教学建议]可让学生结合生活经验，谈谈自己对本地一年四季日出、日落时刻的体验.活动二：交流讨论，探究新知[设计意图]通过制作统计表，为绘制统计图作准备，同时检验和巩固对数据的收集和整理能力；通过绘制统计图，为完成数据的分析作准备，同时检验和巩固对复合统计图的掌握；通过分析数据，得出相关结论，提升对数据的提炼和概括能力.探究点1　北京白昼时长的变化规律(阅读教材P188～190活动一的有关资料)任务1　整理数据利用收集到的北京2024年全年日出、日落时刻的数据，计算北京2024年二十四节气日的白昼时长，完成表格.北京2024年二十四节气日白昼时长任务2　描述数据利用信息技术工具绘制出北京2024年二十四节气日的日出、日落时刻的散点图.任务3　分析数据(1)你能推断北京2024年日出、日落时刻有什么规律吗？2024年，北京的日出时间先逐渐提前再逐渐推迟，日落时间先逐渐推迟再逐渐提前.(2)北京2024年中哪一天的白昼最长？这一天是否也是日出最早、日落最晚的一天？夏至这天的白昼最长.这一天也是日出最早、日落最晚的一天.(3)北京2024年白昼时长是如何变化的？请用数据和适当的统计图说明.将白昼时长转化为以小时为单位的数据如下：绘制条形图如图所示.根据图表可以看出，北京2024年白昼时长先逐渐变大，再逐渐变小，在夏至这一天白昼时间最长.[教学建议]数据较多，提醒学生注意仔细检查，不要出错.在绘制统计图之前，也可根据表中数据，先从数的角度感受日出、日落时刻的变化规律.[教学建议]绘制完统计图后，让学生从形的角度再感受日出、日落时刻变化的规律.[教学建议](1)从图形上看，有的散点所处的高度差不多一样，这时为了进一步区分细小的差异，可从表格中找对应的数据确认大小，再进行比较.(2)根据数据总结规律时，学生的表达可能会有更多的角度，对于合理的，都应给予肯定和表扬.[设计意图]绘制统计图，对不同组的数据进行比较，提升学生的自主探究能力.结合数据的地理属性和季节变化特征进行对比分析，提升用数学语言表达现实世界的能力.通过相对开放的案例考查学生对直方图的应用.111 探究点2　不同纬度、不同经度地区白昼时长的变化规律每天的日出、日落时刻受地球的自转与公转影响.同一日期，不同地点每天日出、日落的时刻各不相同；同一地点，日出、日落的时刻也随日期的变化而变化.为了探究不同纬度和不同经度地区白昼时长的变化规律，我们选择北京(基准城市)、新疆阿图什(与北京纬度大致相同但经度不同)、广东揭阳(与北京经度大致相同但纬度不同)三个城市，探究它们白昼时长的变化规律.任务1　比较研究(1)收集北京、新疆阿图什、广东揭阳三地2024年二十四节气日的白昼时长数据.观察这些数据，你能发现这三地的白昼时长是如何变化的吗？请用适当的统计图说明.三地的白昼时长如下.绘制成复合折线图如图所示.观察图表可知，北京与新疆阿图什的白昼时长几乎相同，北京与广东揭阳的白昼时长一般都不相同.三地的白昼时长，都是先逐渐变大，到夏至这一天达到最大，再逐渐变小；但一年四季中，广东揭阳的白昼时长变化范围比北京(以及新疆阿图什)小.(2)观察统计图，你认为影响白昼时长变化的因素有哪些？这些因素又是如何影响白昼时长的？影响白昼时长变化的因素有节气和纬度.①从小寒到夏至，白昼时长逐渐变长；从夏至到冬至，白昼时长逐渐变短.②在北半球，纬度越高，白昼时长的变化范围越大.③在春分和秋分，不同纬度地区的白昼时长大致相等.在春分和秋分以外的其他时段，从小寒到春分，纬度越高白昼时长越短；从春分到秋分，纬度越高，白昼时长越长；从秋分到冬至，纬度越高，白昼时长越短.(3)2024年这三地的平均白昼时长是多少？这三地的白昼时长是否具有12h附近的天数多，其他时长的天数少的特点？请用适当的统计图说明.北京的平均白昼时长约是12.16h，新疆阿图什的平均白昼时长约是12.16h，广东揭阳的平均白昼时长约是12.13h.这三地白昼时长的频数分布表如下：[教学建议]向学生建议，此项内容绘制复合折线图能更好地得出结论，如有学生绘制了其他类型的统计图，可让学生比较它们之间的优劣.[教学建议]提醒学生注意这三地经度、纬度的异同，以及白昼时长的变化范围.[教学建议]对“12h附近”的理解，不同的人可能存在差异，对数据分布特征的结论应保持一定的开放性.[设计意图]通过任务探索，提升对新知识的理解能力与推理能力.从这三地白昼时长的频数分布直方图可以看出，北京和新疆阿图什，白昼时长在14.5～15.5h范围的最多；广东揭阳的白昼时长在10.5～11.5h范围的最多，这三地并非12h附近的天数多，其他时长的天数少.总的来看，这三地白昼时长的分布范围离12h都不是太远.任务2　日出、日落时刻与正午时刻的关系当某地太阳高度达到一天中的最大值时，就是一天的正午时刻.理论上，一个地区日出、日落时刻相对于当天的正午时刻应该是“对称”的(如图①)，于是就能得到一个简单的计算公式：白昼时长＝(正午时刻－日出时刻)×2＝(日落时刻－正午时刻)×2.通常情况下，公式中的“正午时刻”为当地的正午12时整.根据上述计算公式，如果已知某地某天的日出时刻或日落时刻，就能推算出当天的白昼时长；反过来，如果已知此地某天的白昼时长，也能推算出当天的日出时刻与日落时刻.(1)根据以上公式，如果某地的白昼时长在某个阶段逐日变得越长时，那么此地的日出时刻与日落时刻在那个阶段会如何变化？为什么？日出时刻会越来越早，日落时刻会越来越晚.原因：白昼时长越长，那么(12时－日出时刻)的值会越大111 ，而0～12时的时长固定，为12个小时，所以(日出时刻－0时)的值会越小，所以日出时刻会越来越早.与此同时，白昼时长越长，(日落时刻－12时)的值会越大，所以日落时刻会越来越晚.(2)类比上述计算方法，如果已知某地后一天的日出时刻或前一天的日落时刻，如何计算此地这两日之间的黑夜时长？已知后一天的日出时刻，这两日之间的黑夜时长为2×日出时刻.已知前一天的日落时刻，这两日之间的黑夜时长为2×(24－日落时刻).(3)观察前面表格中收集的北京日出、日落时刻数据，我们发现，日出、日落时刻并不是关于北京时间正午12时整对称的(也就是说，正午时刻不是北京时间正午12时整)，而是存在一定的误差.请以小组为单位，从报刊、图书、网络等查阅资料或咨询专业人士，了解造成这种现象的原因.[教学建议]可让学生结合实际生活体验，验证结论的正确性.活动三：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.北京2024年的日出、日落时刻有什么规律？2.白昼时长有什么样的变化规律？2024年，北京、新疆阿图什、广东揭阳的白昼时长是如何变化的？有什么异同？3.你能根据日出或日落时刻推算当天的白昼时长吗？你能根据白昼时长推算当天的日出与日落时刻吗？【作业布置】查阅相关资料，了解智能手机是如何智能地识别出日出、日落时刻的变化的.【教学后记】111