初中数学新人教版七年级下册第八章 实数教案（2025春）

第八章实数8.1平方根第1课时平方根【素养目标】1.掌握平方根的概念.2.能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和平方运算之间的互逆关系.3.培养学生的探究能力和归纳问题的能力.【教学重点】平方根的概念和求数的平方根.【教学难点】求数的平方根.【教学过程】活动一：复习回顾，提出问题我们知道，已知一个数，通过平方运算可以求这个数的平方.如：22=4，52=25，72=49……反过来，如果已知一个数的平方，那么怎样求这个数呢？比如：如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少呢？带着这个问题，让我们走入今天的学习吧.[教学建议]带领学生回顾常见整数的平方运算，12，22，32，…，为后面的开方运算作准备.[设计意图]通过回顾平方运算，引入本节课学习.活动二：问题引入，探究新知探究点1平方根的概念和计算（1）在前面，我们提到：“如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少呢？”请你回答这个问题.因为32=9，所以这个数可以是3；又因为(-3)2=9，所以这个数也可以是-3.（2）还可能是其他数吗？不可能是其他数.因为除3，-3以外，任何一个数的平方都不等于9.（3）填表：x21163649x±1±4±6±7[教学建议]教师引导学生作答，使学生经历观察、思考、交流、总结归纳出平方根的概念的过程，利用平方与开平方互逆揭示开平方运算的本质，培养学生用逆向思维[设计意图]通过阅读课本、填表，引出平方根的概念，并让学生体会根据平方的意义求出平方根.概念引入：一般地，如果一个数x的平方等于α，即x2=α，那么这个数x叫作α的平方根或二次方根.例如3和-3是9的平方根.通常把3和-3合在一起简记为“±3”，则±3是9的平方根.（4）求一个数的平方根的运算，叫作开平方.观察下图，你发现了什么？平方与开平方互为逆运算.（5）教材P40例1.[对应训练]教材P42练习第2题.解决问题的习惯.求一个正数的平方根的过程一般分为两步：（1）找出平方等于这个正数的数，这样的数有两个；（2）根据平方根的概念写出这个正数的平方根.[设计意图]探究点2平方根的特征与表示方法让我们一起观察探究点1中的图，想一想：（1）1,4,9的平方根分别是多少？正数的平方根有什么特点？1，4，9的平方根分别是±1，±2，±3.正数有两个平方根，它们互为相反数.（2）0有几个平方根？各是多少？为什么？0只有一个平方根，14 是0.因为02=0，并且任何一个不为0的数的平方都不等于0，所以0的平方根是0.（3）-1,-4，-9有平方根吗？为什么？没有.正数的平方是正数，0的平方是0，负数的平方也是正数，即在我们所认识的数中，任何一个数的平方都不是负数，所以负数没有平方根.归纳：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.概念引入：正数α的正的平方根记为“”，读作“根号α”，α叫作被开方数；正数α的负的平方根可以用“”表示，故正数α的平方根可以用“”表示，读作“正、负根号α”.例如，表示9的平方根，=±3.特别地，0的平方根记为.（4）只有当α大于或等于0时，α有意义；而当α小于0时，α没有意义.为什么？因为只有正数和0有平方根，负数没有平方根.（5）教材P41例2.[教学建议]教师提问，学生作答，由学生归纳出平方根的特征，教师总结、订正.解题时注意：已知一个数的两个平方根，根据两个平方根互为相反数列方程求解；如果题目只是叙述两个数均为一个数的平方根，则需要分相等和互为相反数两种情况进行讨论.用“由特殊到一般”的数学思想归纳出平方根的特征.[对应训练]1.教材P41练习第1题.2.已知一个正数的两个平方根分别是2α-1和α-5，则α=2.3.如果3x-2和5x+6都是一个非负数的平方根，求这个非负数.解：①若3x-2和5x+6相同，则3x-2=5x+6，解得x=-4，此时3x-2=-14，（-14）2=196；②若3x-2和5x+6不同，则它们互为相反数，即3x-2+5x+6=0，解得x=-0.5，此时3x-2=-3.5，（-3.5）2=12.25.综上可知，这个非负数是196或12.25.活动三：重点突破，提升探究例求下列各式中x的值：(1)3x2=48；(2)(x+1)2=4；(3)2(x-1)2-18=0.解:(1)原式可变形为x2=16.因为(±4)2=16，所以x=4或x=-4.(2)因为(±2)2=4，所以x+1=2或x+1=-2，所以x=1或x=-3.(3)原式可变形为(x-1)2=9.因为(±3)2=9，所以x-1=3或x-1=-3，所以x=4或x=-2.[对应训练]教材P42练习第3课[教学建议]求类似于a（mx+b）2-c=0中x的值时，一般将其变形，利用整体思想将mx+b作为一个整体，再利用平方根的意义转化为一元一次方程，从而求出x的值.[设计意图]拓展提升，进一步巩固学生对平方根概念的理解，并灵活应用于解方程中.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么叫作一个数的平方根？2.平方根具有哪些性质？3.平方根怎样表示？【作业布置】1.教材P46习题8.1第1,3（1）（3）,6题.第2课时算术平方根【素养目标】1.了解算术平方根的概念及其非负性.2.能用夹逼法求一个数的算术平方根的近似值.3.体验无限不循环小数的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数.【教学重点】算术平方根的概念、用夹逼法求一个数的算术平方根的近似值.【教学难点】用夹逼法估算一个无限不循环小数的大小.14 【教学过程】活动一：创设情境，新知导入[情境导入]如图，一个正方形的边长为a.如果它的面积为3，那么a究竟是多少呢？根据正方形的面积公式，a2=3.再根据上节课学习的平方根的概念，由a2=3，可得a=.但一个正方形的边长不可能是负数，所以a=.在实际生活中，我们很多时候需要求解的都是一个数的正的平方根.此外，究竟有多大呢？这就是我们今天要学习的内容.[教学建议]引导学生体会是一个有着确定大小的数，再让学生猜测它的大致范围.[设计意图]借助实例让学生感受算术平方根的产生是实际生活的需要，也是数学运算的需要.活动二：问题引入，自主探究探究点1算术平方根的概念与求算术平方根概念引入：我们知道，正数a有两个平方根,其中正的平方根叫作a的算术平方根.正数a的算术平方根用来表示.规定：0的算术平方根是0.0的算术平方根也记为.例1（教材P42例3）求下列各数的算术平方根:(1)100；(2)；(3)0.0001.解：(1)因为102=100，所以100的算术平方根是10，即=10；[教学建议]可给学生总结算术平方根的双重非负性:对于，（1）要使有意义，则a≥0（“≥”读作“大于或等于”，后同）；[设计意图]引入算术平方根的概念,进一步巩固开平方运算的能力.(2)因为=，所以的算术平方根是，即=；(3)因为0.012=0.0001，所以0.0001的算术平方根是0.01，即=0.01.从例1可以看出：被开方数越大，对应的算术平方根就越大.这个结论对所有正数都成立，即若a>b>0，则>.[对应训练]教材P43练习第1，2题.（2）根据算术平方根本身的概念，可知≥0.[设计意图]探究点2通过夹逼法估算无限不循环小数的大小——估算的大小1.教材P42探究.2.（教材P43探究）通过夹逼法估算的大小，先定大范围，然后逐步缩小：用夹逼法估算的大小方法（对两个连续整数或小数用平方法逐步进行比较）步骤通过估算，确定在哪两个连续的整数之间因为12=1，22=4，所以1＜＜2通过估算，确定在哪两个连续的一位小数之间因为1.42=1.96，1.52=2.25，所以1.4＜＜1.5通过估算，确定在哪两个连续的两位小数之间因为1.412=1.9881，1.422=2.0164，所以1.41＜＜1.42通过估算，确定在哪两个连续的三位小数之间因为1.4142=1.999396，1.4152=2.002225，所以1.414＜＜1.415…………通过上述步骤，可以得到更精确的近似值，请问从中你发现了什么问题吗？无法得到的准确值，只能得到近似值.概念引入：14 事实上，=1.414213562373…，它是一个无限不循环小数(无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数).[教学建议]培养学生的估算能力，感受“夹逼法”，发展抽象思维，了解无限不循环小数的特征.在学生熟悉教材以后，可以试着让学生模仿教材估计或等无限不循环小数的近似值，不仅渗透类比思想，还能培养学生学以致用的能力.引入无限不循环小数的概念，引导学生经历“夹逼法”估算无限不循环小数的过程.实际上，很多正有理数的算术平方根(例如，，等)都是无限不循环小数.问题：你以前见过无限不循环小数吗？请举例说明.见过.如π（圆周率）.[对应训练]1.估计的值在（B）A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间2.已知a，b是两个连续整数，且a<<b，则a+b=9.活动三：综合训练，提升探究例2已知与互为相反数，求ab的算术平方根.解：根据题意，得1-3a=0，b-108=0，所以a=，b=108，所以ab=×108=36.因为62=36，所以ab的算术平方根是6.[对应训练]若|x+1|+=0，求2y+x的算术平方根.解：由|x+1|+=0，可知x+1=0，y-8=0，所以x=-1，y=8，所以2y+x=2×8+(-1)=15.故2y+x的算术平方根是.[教学建议]学生自主探究，对此类算术平方根综合其非负性类型题目进行练习巩固，加深理解，这也有利于为以后学习二次根式的性质打下坚实的基础.[设计意图]巩固加深对于算术平方根及其非负性的理解.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是算术平方根？什么是算术平方根的双重非负性？2.怎样求一个数的算术平方根的近似值？3.什么是无限不循环小数？【作业布置】1.教材P46习题8.1第2，3（2）（4），7，10题.第3课时用计算器求一个正数的算术平方根【素养目标】1.会用计算器求一个数的算术平方根.2.理解被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律.3.体会算术平方根在实际问题中的应用.【教学重点】用计算器求一个数的算术平方根，算术平方根的实际应用.【教学难点】利用计算器探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律.【教学过程】活动一：动手操作，新知导入[情境导入]“当天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v(单位：m/s）时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星.v的大小满足v2=2gR，其中g是地球表面的重力加速度，g≈9.8（单位：m/s2），R是地球半径，R≈6.4×106（单位：m）.v有多大呢？让我们开始今天的学习吧.[教学建议]此内容富有感染力，使学生感性认识本节知识的应用价值.对第二宇宙速度讲解不宜过多，重在借此公式引出求v的值.14 [设计意图]借助实例让学生感受求算术平方根的大小是实际生活的需要，也是数学运算的需要.活动二：方法引入，探究新知探究点1利用计算器计算一个正数的算术平方根1.利用计算器计算一个正数的算术平方根见教材P44相关内容.2.利用计算器探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律（教材P44探究）（1）用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中,你发现了什么规律？……0.250.7912.5…7.912579.1250…[教学建议]通过用计算器求算术平方根，使学生进一步体会无限不循环小数的现实性和存在性，发展数感.结合教材P44探究，学生利用计算器进行计算，[设计意图]引导学生使用计算器计算算术平方根，并探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律.从运算结果可以发现，被开方数的小数点向右或向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位.（2）用计算器计算(结果保留小数点后三位)，并利用你在(1)中发现的规律求出,,的近似值,你能根据的值求出的近似值吗？由≈1.732，得≈0.1732，≈17.32，≈173.2.根据的值不能求出的近似值.因为规律是被开方数扩大100倍（或缩小到原来的时），它的算术平方根才扩大10倍（或缩小到原来的），而3到30扩大的是10倍，所以不能由此规律求出.[对应训练]1.教材P46练习第1题.2.（1）已知≈1.164，则≈11.64，116.42≈13540；（2）若≈10.1，≈3.19，则≈1.01；（3）已知≈45.0111,≈14.2338,则≈-4.50(结果保留小数点后两位).小组讨论结果并展示，然后教师纠正总结.有针对性地练习被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律，强化学生记忆，通过训练突破本课时难点.[设计意图]探究点2利用估算比较大小例（教材P45例5）小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长与宽的比为3∶2.但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗？问题1求长方形纸片的长.设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm.根据边长与面积的关系，得3x·2x=300，6x2=300，x2=50.由边长的实际意义，得x=.因此长方形纸片的长为cm.因为50＞49，所以50＞7.[教学建议]教师结合教材P45例5进行讲述，使学生了解并学会运用估算进行数的比较，增强估算能力，发展符号意识，加入背景材料可使学生感受到估算能力是生活中需要的一种能力.引导学生经历运用估算比较其中带根号的两个数的大小的过程.问题2这里是利用什么来比较大小的？14 这里利用的是与被开方数比较接近的完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小，依据是“被开方数越大，对应的算术平方根就越大”.由上可知＞21，即长方形纸片的长应该大于21cm.问题3根据结果作出判断.因为=20，所以正方形纸片的边长只有20cm.这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长.不同意小明的说法,小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片.教师补充：我们知道就是，根据乘法的意义可知即为3个相加；而21=3×7，即3个7相加，根据经验容易得出＞21，这里不需利用不等式进行严格证明.[对应训练]教材P46练习第2，3题.活动三：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.你可以利用计算器求出任意正数的算术平方根的近似值吗？2.被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样的？3.你能利用估算来对两个含根号的数进行大小比较吗？【作业布置】1.教材P46习题8.1第4，5，8，9，11题.8.2立方根第1课时立方根【素养目标】1.了解立方根的概念及特征，会用根号表示一个数的立方根.2.了解开立方与立方是互逆运算，会用开立方运算求一个数的立方根.【教学重点】了解立方根的概念及特征，会用根号表示一个数的立方根.【教学难点】了解开立方与立方是互逆运算，会用开立方运算求一个数的立方根.【教学过程】活动一：复习回顾，提出问题1.一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根.2.正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.3.填空：(1)0.13=0.001，33=27，(-3)3=-27；(2)0.13=0.001，33=27，（-3）3=-27.4.想一想：2的平方等于4，2叫作4的一个平方根.2的立方等于8，那么2叫作8的什么根呢？[教学建议]教师引导学生作答，启发学生思考.采用类比学习的方法使学生对于立方根有一个初步感知，有利于学生快速进入后续学习.[设计意图]通过复习平方根，为引入立方根的概念进行铺垫.活动二：问题引入，探究新知探究点立方根的概念及特征问题1如果一个数的立方等于8，那么这个数是多少？这个数是2.问题2除2以外，还有其他数的立方等于8吗？没有.（1）结合“活动一”中平方根的概念，类比来看，我们如何定义立方根？一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x叫作a的立方根或三次方根.例如，2是8的立方根.（2）同样地，你能类比开平方的概念说说什么是开立方吗？求一个数的立方根的运算，叫作开立方.（3）类比开平方与平方，开立方与立方也互为逆运算.14 探究（教材P48探究）根据立方根的意义填空：因为13=1，所以1的立方根是(1)；因为(0.4)3=0.064，所以0.064的立方根是(0.4)；[教学建议]学生分组讨论，自行归纳，再由教师汇总整理，对不全面的地方加以补充.在学生类比学习的过程中，培养学生自行解决问题的能力和意识.教师注意强调：①任何数都有且只有一个立方根，且符[设计意图]引入立方根的概念，并引导学生归纳立方根的性质.因为(-2)3=-8，所以-8的立方根是(-2)；因为=，所以的立方根是()；因为（0)3=0，所以0的立方根是（0).你能发现正数的立方根有什么特点吗？负数呢？0的立方根是多少？归纳：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.类似于平方根，一个数a的立方根记为“”，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数.例如，表示8的立方根，=2；表示-8的立方根，=-2.中的根指数“3”不能省略.（注：算术平方根的符号，实际上省略了中的根指数“2”，因此也可以读作“二次根号a”）你能说一说数的立方根与数的平方根有什么区别和联系吗？平方根与立方根的区别与联系：例1见教材P49例1.[对应训练]1.下列说法中正确的是（C）A.负数没有立方根B.8的立方根是±2C.任意有理数有且只有一个立方根D.立方根等于本身的数只有±12.教材P49练习第1，2，3题.号与原数相同.②立方根等于本身的数有0，±1.③在求解立方根时，如果被开方数是带分数，应先将其化为假分数；如果是一个算式，应先计算出结果再进行开立方运算.在计算时尤其要注意结果的符号.活动三：综合训练，提升探究例2已知x-2的平方根是±2，2x+2y+7的立方根是3，求x2+7y的立方根.解：因为x-2的平方根是±2，所以x-2=4，所以x=6.因为2x+2y+7的立方根是3，所以2x+2y+7=27.把x=6代入，得12+2y+7=27,解得y=4.所以x2+7y=62+7×4=64，所以x2+7y的立方根为4.[对应训练]已知y的立方根是2,2x-y是16的算术平方根，求：(1)x,y的值；(2)x2+y2的平方根.解：(1)由于y的立方根是2,2x-y是16的算术平方根，所以y=23=8,2x-y=4,所以x=6.(2)由(1)知x=6,y=8,所以x2+y2=62+82=100,所以x2+y2的平方根为±10.[教学建议]学生独立作答，将之前学过的知识与本节课所学汇总出题，检验学生对概念的掌握程度、理解能力与运用能力.[设计意图]融合算术平方根、平方根及立方根，进行综合训练.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是立方根？立方根有什么特征？2.立方根与平方根之间有哪些区别和联系？【作业布置】1.教材P51习题8.2第1，4题.第2课时立方根的相关性质及估算14 【素养目标】1.了解互为相反数的两个数的立方根的关系.2.会用计算器求一个数的立方根.3.理解被开方数扩大（或缩小）与它的立方根扩大（或缩小）的规律.【教学重点】求一个数的立方根.【教学难点】探究被开方数的小数点与立方根的小数点的移动规律.【教学过程】活动一：创设情境，引入新知图①是一个大正方体，图②是一个小正方体.已知大正方体的体积是小正方体体积的27倍，那么大正方体的棱长是小正方体的棱长的多少倍？带着这个疑问，让我们进一步学习立方根的有关知识吧.[教学建议]让学生自由讨论，暂不给出答案，在后面的学习中适时联系这个问题.[设计意图]通过思考正方体的体积变化与棱长变化的关系，引入立方根的进一步学习.活动二：问题引入，探究新知探究点1互为相反数的两个数的立方根之间的关系探究（教材P49探究）计算38和3-8,它们有什么关系？和呢？你能从中发现什么规律？分析：因为=-2，=2，所以=；因为=-3，=3，所以=.归纳：一般地，=.拓展：=a，=a.例1（教材P50例2）求下列各式的值：（1）；（2）；（3）.解：（1）==-8；[教学建议]教师引导学生作答，培养学生归纳总结的能力.归纳如下：①开立方时被开方数的负号可以移到根号外，结果不变；②“先开立方，再立方”与“先立方,再[设计意图]探索被开方数互为相反数的立方根之间的关系.（2）==0.1；（3）==-4.[对应训练]1.下列式子正确的是（C）A.=B.=11C.=D.=2.教材P50练习第1题.开立方”的结果相同，都等于原数.[设计意图]探究点2用计算器求立方根及探究规律实际上，很多有理数的立方根（如，,等）是无限不循环小数，我们可以用有理数近似地表示它们.探究（教材P50探究）用计算器计算…，，，，，…，你能发现什么规律？用计算器计算(结果保留小数点后三位)，并利用你发现的规律求出，，的近似值.解：列表如下：发现规律：被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位.用计算器计算：≈4.642.根据上面发现的规律，可得：≈0.4642，≈0.04642，≈46.42.[对应训练]教材P50练习第2,3题.[教学建议]教师指导学生利用计算器进行计算，小组讨论结果并展示，然后教师纠正总结.有针对性地练习被开方数扩大（或缩小）与它的立方根扩大（或缩小）的规律，亦可对照算术平方根的相应课时类比学习，突破教学难点.14 用计算器求立方根并寻找规律，强化学生使用计算器的能力，并加深对于立方根的理解.活动三：知识巩固，综合运用例2要制造一个高与底面直径相等的圆柱形储油罐，储油罐的设计容积为5m3，这个储油罐的底面半径应是多少？(π取3，结果保留小数点后两位)解：设这个储油罐的底面半径应是xm.由题意，得π·x2·2x=5.π取3，可得x3=.[教学建议]给学生强调，在实际应用中，有些条件并不是直接给出的，要读懂题意，找到[设计意图]通过实际应用，进一步加深对开立方运算的理解，同时巩固对计算器的使用.用计算器算得x=≈0.94.答：这个储油罐的底面半径约是0.94m.[对应训练]把两个棱长分别是2.15cm和3.24cm的正方体铁块熔化，制造成一个大的正方体铁块，那么这个大正方体的棱长是多少厘米（结果保留小数点后一位）？解：设这个大正方体的棱长是xcm.根据题意，得x3=2.153+3.243.用计算器算得x≈3.5.答：这个大正方体的棱长约是3.5cm.关键信息再列方程（如例题中，储油罐的高等于直径，即等于半径的2倍），同时计算时不要出错.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.互为相反数的两个数的立方根有怎样的关系？2.怎样用计算器求一个数的立方根？3.被开方数扩大（或缩小）时，它的立方根有怎样的变化规律？【作业布置】1.教材P51习题8.2第2，3，5，6，7，8，9题.8.3实数及其简单运算第1课时实数的概念及意义【素养目标】1.理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数.2.理解有理数和无理数的区别，会把实数进行分类.3.理解实数与数轴的关系，并进行相关运用.4.了解实数的大小比较的方法.【教学重点】1.理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数.2.理解有理数和无理数的区别，会把实数进行分类.【教学难点】理解实数与数轴的关系，并进行相关运用.【教学过程】活动一：复习回顾，问题引入请同学们回顾下面这两个问题：什么是有理数？有理数怎样分类？什么是无限不循环小数？无限不循环小数都有哪些形式？小数位数无限，且小数部分不循环的小数叫作无限不循环小数.很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数.[教学建议]教师指定学生代表作答.[设计意图]学生回忆有理数及无限不循环小数的概念，为学习实数做铺垫.活动二：问题引入，探究新知探究点1实数的概念及分类（教材P52探究）把下列有理数写成小数的形式，你发现了什么？14 4，，，，，.可以发现，上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，即4=4.0，=2.5，=-0.6，=6.75，=，=.[教学建议]学生先自主探究，然后交流讨论，教师再订正、归纳.先通过复习有理数的概念，再经过类比学习的方法引入无理数的概念，体会两者[设计意图]通过探究有理数的形式引入无理数的概念，将数系扩充至实数，达到整体认识，形成知识迁移.问题1（1）任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式吗？（2）任何有限小数或无限循环小数都是有理数吗？（1）是的.（2）是的.问题2我们学过的所有数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式吗？如果不是，你能举例说明吗？不是.很多数的平方根、立方根是无限不循环小数，例如，，，，等，π=3.14159265…也是无限不循环小数.概念引入：无限不循环小数都不是有理数.无限不循环小数又叫作无理数.像有理数一样，无理数也有正负之分.例如,,π是正无理数，,,-π是负无理数.拓展：常见的无理数的形式有：①开方开不尽的数，如，等；②π及含π的式子，如π，2+π等；③结构特殊且不循环的小数，如1.01001000100001…（相邻的两个1之间依次多一个0）等.概念引入：有理数和无理数统称实数.问题3仿照有理数的分类，你能对实数进行分类吗？实数分类的原则是：按照同一标准，不重不漏.[对应训练]1.教材P54练习第1（1）（2）（3），2题.2.下列说法正确的是（D）A.正实数和负实数统称实数B.正数、0和负数统称有理数C.带根号的数和分数统称实数D.无理数和有理数统称实数3.把下列各数填在相应的集合内：-3.1415，，，，，，0，，,0.2020020002…(相邻的两个2之间依次多一个0).之间的区别，最后给出实数的概念，层层设问，发展学生的探究意识.注意强调：无限小数既可能是有理数，也可能是无理数，因为无限小数有无限循环小数和无限不循环小数两种形式.[教学建议]对实数分类时，可让学生类比有理数的分类，并进一步体会无理数的特征.在自主探究的过程中，发展学生的类比思想和分类思想.分类原则是不重不漏，注意有时分类的数会同时属于多个集合，要特别注意不要漏写.[设计意图]探究点2实数与数轴上的点的对应关系我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示.无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？（1）（教材P53思考）以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于π.如图，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点O′，点O′对应的数是多少？从图中可以看出，OO′的长是这个圆的周长π，所以点O′对应的数是π.（2）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点就表示.为什么？在学习算术平方根的估算时，我们知道，用两个面积为1的小正方形剪拼成一个面积为2的大正方形，这个大正方形的边长就是小正方形的对角线长，因此图中正方形的对14 角线长是2.所以以原点为圆心，以小正方形的对角线长为半径画弧，与数轴的两个交点分别表示数，.事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来.总结：当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.因此，实数与数轴上的点是一一对应的.[对应训练]1.教材P54练习第1（4）（5）题.2.如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1.若点E在数轴上（点E在点A左侧），且AD=AE，则点E所表示的数为（D）A.B.C.D.[教学建议]学生在讨论合作的基础上动手操作，教师利用多媒体课件进行动态演示，并对学生讨论交流的结果进行总结.注意使学生感受当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点才是一一对应的，而有理数不是.通过具体实例，让学生直观感受无理数可用数轴上的点表示，从而深化扩展到实数与数轴上的点的一一对应关系.[设计意图]探究点3实数的大小比较（1）回想一下，在数轴上如何比较两个有理数的大小？左边的数小于右边的数.（2）猜想一下，和谁比较大？为什么？大.因为在数轴上对应的点在原点的右边，而在数轴上对应的点在原点的左边.（3）你能总结出两个实数比较大小的方法吗？与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.用数轴比较实数的方法只是其中一种（更直观），实际上，有理数的大小比较的法则对于实数同样适用：(1)正数大于0，负数小于0，正数大于负数；(2)两个正数，绝对值大的较大；(3)两个负数，绝对值大的反而小.（4）请结合教材P54练习第3题，将这4个实数用“<”连接起来.-π＜＜＜.[对应训练]1.比较大小：（填“>”“<”或“=”）（1）>；（2）<-3.1.2.将-2,,0,,-π与图中数轴上标有字母的各点对应起来，并用“<”连接这些数.解：-2对应点B,对应点D,0对应点C,对应点E,-π对应点A.由图可知-π<-2<0<<.[教学建议]教师引导学生自主学习，通过实数的大小比较，学生会自然类比联想到有理数的运算法则及运算性质在实数范围内是否适用，从而为后面的学习做好铺垫.在比较实数的大小时，除了利用数轴和法则，还可以利用估算法、平（立）方法、作差法等.通过有理数的大小比较，类比学习实数的大小比较.活动三：重点突破，综合探究例如图，数轴上A,B两点表示的数分别为和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有（C）A.6个B.5个C.4个D.3个[对应训练]如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足|a+3|+(b-6)2=0.（1）点A表示的数为-3，点B表示的数为6；（2）若点C到原点的距离为，求点C到点B的距离.[教学建议]学生分组交流，讨论作答.鼓励学生动手操作，画图描点，有助于厘清思路.此类题目较好地将知识进行了综合，并有一定的拓展，能培养学生大胆[设计意图]强化巩固对于实数与数轴上的点的一一对应关系的理解，并能在实践中灵活运用，解决综合类型题目.14 解：当点C在原点的右边时，点C表示的数为，此时点C到点B的距离为；当点C在原点的左边时，点C表示的数为，此时点C到点B的距离为.尝试、勇于探索的精神，提高学生的思维能力.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是无理数？什么是实数？实数怎么分类？2.数轴上的点与实数有怎样的对应关系？【作业布置】1.教材P57习题8.3第1,2,6,9题.第2课时实数的简单运算【素养目标】1.理解实数范围内的相反数、绝对值的意义.2.了解有理数的运算法则和运算性质在实数范围内仍适用，能利用化简对实数进行简单的四则运算.【教学重点】实数的运算.【教学难点】了解有理数的运算法则和运算性质在实数范围内仍适用，能利用化简对实数进行简单的四则运算.【教学过程】活动一：旧知回顾，问题引入请同学们复习回顾下面两个问题：1.对于有理数a,它的相反数和绝对值分别是什么？2.有理数的运算顺序是怎样的？（1）先乘方，再乘除，最后加减；（2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.[教学建议]在复习过程中根据学生对知识的掌握情况，适当纠正与补充.[设计意图]通过回顾有理数的相关概念和运算引导学生进入实数的学习.活动二：问题引入，探究新知探究点1实数的相反数、绝对值思考（教材P55思考）(1)2的相反数是，-π的相反数是π，0的相反数是0；(2)=，|-π|=π，|0|=0.你能得出实数的相反数和绝对值的意义吗？相反数的意义：数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数.绝对值的意义：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.[教学建议]教师可引导学生通过复习有理数的相反数、绝对值，类比得出实数的相反数、绝对值.教师只需引导，以学生为主体，讨论交流，发展学生认知的类比迁移能力.应使学生明确，在数的范[设计意图]通过具体练习使学生体会到有理数关于相反数和绝对值的意义同样适用于实数.由上可知，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适用于实数.例1（教材P55例1）(1)分别写出，π-3.14的相反数；（2）指出，分别是什么数的相反数；(3)求的绝对值；(4)已知一个数的绝对值是3，求这个数.解：(1)因为，-(π-3.14)=3.14-π，所以，π-3.14的相反数分别为，3.14-π.(2)因为，，14 所以，分别是，的相反数.(3)因为==-4，所以=|-4|=4.(4)因为=，=，所以绝对值为3的数是3或-3.[对应训练]1.教材P56练习第1题.2.填表：围扩充至实数后，数的绝对值的最小值依然是0，因为绝对值都是非负实数.[设计意图]探究点2实数的运算与近似计算1.实数的运算性质(1)当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.(2)在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.①交换律：加法a+b=b+a乘法a×b=b×a②结合律：加法(a+b)+c=a+(b+c)乘法(a×b)×c=a×(b×c)③分配律：a×(b+c)=a×b+a×c例2（教材P56例2）计算：(1)；(2).[教学建议]学生以练为主，从做题中感受实数的运算，从而更深刻地体会到有理数的运算法则及运算性质仍然成立.对于实数的混合运算，整式的加减运算中的去括号、合并同类项等都可以类比运用到实数的运算使学生体会有理数的运算法则及运算性质在实数范围内同样适用.解：2.求实数的近似值在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数（例如，比计算结果要求的精确度多取一位）去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五入.注意：在近似计算时，计算过程中有时也使用“去尾法”,即用近似有限小数去代替无理数时，直接舍去要保留数位的下一位数字，最后对计算结果四舍五入.如≈2.236-2.645≈-0.41.例3（教材P56例3）计算(结果保留小数点后两位)：（1）;（2）.解：（1）≈2.236-2.646=-0.41；（2）≈3.142×1.442≈4.53.[对应训练]教材P56练习第2，3题.中.活动三：重点突破，提升探究例4计算：（1）；（2）.解：(1)原式==;[教学建议]学生独立思考作答，教师对学生的计算进行归总，分析出错的原因，指出高频出错的位置集中讲解.注意提醒学生，除了相反数和绝对值，倒数的意义在实数范围内也是一样适用的.[设计意图]对实数的混合运算进行巩固强化.[对应训练]活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.实数的相反数和绝对值的意义是什么？14 2.实数的运算法则及运算性质是什么？你会进行实数的运算吗？近似计算呢？【作业布置】1.教材P57习题8.3第3,4,5,7，8题.14