初中数学新人教版七年级下册第七章 相交线与平行线教案（2025春）

第七章相交线与平行线7.1相交线7.1.1两条直线相交【素养目标】1.理解邻补角和对顶角的概念，能在图形中辨认.2.掌握邻补角和对顶角的性质.3.通过在图形中辨认邻补角和对顶角，培养学生的识图能力.【教学重点】邻补角、对顶角的概念，对顶角的性质与应用.【教学难点】辨认较复杂图形中的邻补角和对顶角.【教学过程】活动一：创设情境，新课导入[情境导入]在我们生活的世界中，蕴含着大量的相交线和平行线.同学们对两条直线相交、平行一定不陌生，大桥上的钢梁和钢索，棋盘中的横线与竖线、笔直的高速公路……都给我们以相交线或平行线的形象，从这一章，我们正式开始研究平面内不重合的两条直线的位置关系.今天这节课，我们借助直线相交所成的角的位置关系和数量关系，研究相交线.[教学建议]鼓励学生发言，补充实例，激发学生兴趣，建立直观化、形象化的数学模型.[设计意图]列举日常生活中常见的相交线、平行线，引入本章内容.活动二：问题引入，自主探究探究点邻补角与对顶角的认识问题1如图①，取两根木条A，B，将它们钉在一起，你能想象出怎样的几何图形？在转动木条的过程中，它们所成的角也在变化，你能发现这些角之间不变的关系吗？如图②，把它们想象成两条直线，就得到一个相交线的模型.如果两条直线有一个公共点，就说这两条直线相交，公共点叫作这两条直线的交点.这个图形的几何描述为：直线AB，[教学建议]学生动手操作测量各个角的度数，再由教师带领学生将4个角两两配对，探究它们的位置和数量关系，最终得出邻补角和对顶角的概念与性质.[设计意图]从生活中的相交线，引申出相交线构成的角.CD相交于点O.问题2任意画两条相交的直线，在形成的四个角中，两两相配共能组成几对角？各对角存在怎样的位置关系？分别量出各个角的度数，它们存在什么样的数量关系？两条直线相交所形成的角两两配对位置关系数量关系∠1，∠2，∠3，∠4∠1和∠2，∠1和∠4，∠2和∠3，∠3和∠4相邻互补∠1和∠3，∠2和∠4相对相等概念引入：∠1和∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线（∠1和∠2互补），具有这种位置关系的两个角，互为邻补角.图中还有哪些角也是邻补角呢？∠1和∠4，∠2和∠3，∠3和∠4.因此，每个角的邻补角有2个.概念引入：∠1和∠3有一个公共顶点O，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.25 图中还有哪些角也是对顶角呢？∠2和∠4.问题3∠1和∠3有怎样的数量关系？你能说明其中的道理吗？在图中，∠1与∠2互补，∠3与∠2互补，由“同角的补角相等”，可以得出∠1=∠3.归纳总结：这样，我们得到对顶角的性质：对顶角相等.上面推出“对顶角相等”这个结论的过程，可以写成下面的形式：因为∠1与∠2互补，∠3与∠2互补（邻补角的定义），所以∠1=∠3（同角的补角相等）.问题4利用信息技术工具，改变两条直线相交所成的角的大小，上述∠1与∠2，∠1与∠3的关系还保持吗？为什么？还保持.因为无论直线怎样变化，∠1与∠2始终保持互为邻补角的关系，所以∠1与∠2始终互补；∠1与∠3始终保持互为对顶角的关系，所以∠1始终与∠3相等.例1（教材P3例1）如图，直线A，B相交，∠1=40°，求∠2，∠3，∠4的度数.角的位置关系指组成要素(顶点与顶点，边与边)之间的位置关系.邻补角和对顶角表示的是两个角之间的关系，故都是成对出现的；邻补角不仅仅是在两条直线相交时出现，如果一条直线与射线相交(端点在直线上)，也可以得到一对邻补角，“邻”“补”两字突出了其本质特征.解：由∠1和∠2互为邻补角，得∠2=180°-∠1=180°-40°=140°.由对顶角相等，得∠3=∠1=40°，∠4=∠2=140°.[对应训练]教材P3练习第1，2，3题.活动三：重点突破，提升探究例2如图，直线AB和CD相交于点O，OE平分∠AOD.若∠1+∠2=80°，求∠AOE的度数.解：由对顶角相等，得∠1=∠2.因为∠1+∠2=80°，所以∠1=∠2=×80°=40°.由邻补角的定义，得∠AOD=180°-∠1=180°-40°=140°.因为OE平分∠AOD，所以∠AOE=∠AOD=×140°=70°.[对应训练]如图，直线CD与EF相交于点O，OC平分∠AOF.若∠AOE=40°，求∠DOE的度数.解：因为∠AOE=40°，所以∠AOF=180°-∠AOE=140°.因为OC平分∠AOF，所以∠COF=∠AOF=70°.所以∠DOE=∠COF=70°.[教学建议]给学生总结邻补角、对顶角通常会与角的和差关系或角平分线结合，找出其中的数量关系，即可得到相应结果.[设计意图]巩固所学知识，强化学生对邻补角、对顶角的识别及性质的运用.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是邻补角？邻补角与补角有什么区别和联系？2.什么是对顶角？对顶角有什么性质？【作业布置】1.教材P8习题7.1第1，5，9题.7.1.2两条直线垂直【素养目标】1.了解垂直、垂线的概念，掌握垂线的基本事实“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.2.掌握垂线的性质“垂线段最短”，掌握点到直线的距离的概念，会度量点到直线的距离.【教学重点】掌握垂直中角度和位置的双重含义；理解垂线的基本事实并会利用所学知识进行简单的推理；理解“垂线段最短”，并能运用于生活实际.【教学难点】过直线上（外）一点作已知直线的垂线，对点到直线的距离的理解.25 【教学过程】活动一：回顾旧知，新课导入在前面我们学习了两条直线相交形成的四个角，这四个角形成了4对邻补角和2对对顶角.大家还记得邻补角和对顶角的定义吗？如果两条直线相交形成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线有怎样的特殊关系？下面的图片是日常生活中存在这种关系的一些实例.今天我们就来研究这个问题.[教学建议]教师带领学生回顾相交线的知识，以所成角的特殊情况引入对垂直的探究.[设计意图]回顾相交线所成的角，以生活实例引入垂直的概念.活动二：问题引入，自主探究探究点1认识垂线和垂直问题在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b.当b的位置变化时，a，b所成的∠α也会发生变化.在b转动的过程中，当∠α=90°时，木条a与b所形成的其他三个角的度数是多少？其他三个角的度数都是90°.概念引入：一般地，当两条直线a,b相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说a与b互相垂直，记作“a⊥b”.两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.[教学建议]学生动手探究两条直线垂直所形成的四个角之间的关系，“互相垂直”是指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名.如果两条直线“互相[设计意图]通过对相交线模型的探究，引入垂线的相关知识.由上可知，如果两条直线相交所成的四个角中有一个角等于90°，那么这两条直线互相垂直.如图，如果直线AB，CD相交于点O，∠AOD=90°，那么AB⊥CD.这个推理过程可写成什么形式？因为∠AOD=90°，所以AB⊥CD.反过来，如果AB⊥CD，那么∠AOD是多少度？写出这个推理过程.因为AB⊥CD，所以∠AOD=90°.这说明垂直的定义具有双重含义.请找出“活动一”图片中互相垂直的直线.学生自行回答即可.[对应训练]1.教材P6练习第1题.2.如图，OA⊥OB，若∠1=40°，则∠2的度数是（C）A.40°B.45°C.50°D.55垂直”，那么其中一条直线必定是另一条直线的“垂线”；如果一条直线是另一条直线的“垂线”，那么它们必定“互相垂直”.[设计意图]探究点2垂线的基本事实(垂线的性质1)问题如图，现有一条已知直线l，用三角尺或量角器分别过直线上一点A和直线外一点B，画l的垂线，这样的垂线你能画出几条？通过实际操作，我们得出：经过直线上一点能画1条直线与已知直线垂直；经过直线外一点能画1条直线与已知直线垂直.归纳总结：将上述结论合并在一起，我们得到关于垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.例1（教材P5例2）如图，过点P画出射线AB或线段AB的垂线.解：如图所示.[对应训练]1.下列说法正确的有（B）①在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知[教学建议]学生独立思考并动手操作，教师总结常规画法.画垂线的方法多种多样，对于学生使用的其他25 正确的方法，教师应予以肯定与鼓励.画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，垂足可以在线段（射线）上，也可以在线段的延长线（射线的反向延长线）上.通过回顾垂线的画法，引入对垂线性质的探究.直线垂直；③在同一平面内，过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线；④在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直.A.1个B.2个C.3个D.4个2.教材P6练习第2题.[设计意图]探究点3垂线的性质2——垂线段最短如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？对于这个问题，我们可以将其简化为求点P到直线l的最短路线.对此，我们进行如下探究：如图，P是直线l外一点，PO⊥l，垂足为O.A是直线l上除点O外一点，连接PA.测量并比较线段PO与PA的长度，你能得到什么结论？改变点A的位置呢？PO的长度小于PA的长度.改变点A的位置后，测量各线段的长度，比较得出：线段PO的长度最短，即当点P与直线l上的点的连线与直线l垂直时，点P到直线l的距离最短.也就是过点P作直线l的垂线，点P与垂足之间的线段即为最短路线.归纳总结：如果我们规定，当PO⊥直线l时，线段PO为点P到直线l的垂线段，即可得出如下结论（垂线的性质2）：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.问题1我们学习了垂线段，认识了垂线，这两种图形有什么区别与联系？垂线段是一条线段，而垂线是一条直线；垂线段是垂线上的一部分.问题2以前我们学习过两点之间的距离，大家还记得怎样才能得到两点之间的距离吗？测量连接两个点的线段的长度.问题3类比两点之间的距离，一个点到一条直线的距离又该如何确定？确定点到直线的距离，应该测量点到直线的垂线段的长度.概念引入：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.[对应训练]1.现在，你知道本探究点中如何挖渠能使渠道最短吗？解：应从点P处向河岸作垂线，这样得到的垂线段即为最短的渠道.2.教材P6练习第3题.[教学建议]教师先引导学生将实际问题抽象成几何图形，然后通过图形探究垂线的性质，得出结论，最后可让学生举例说明“垂线段最短”在日常生活中的应用.教师也可以利用几何画板构图，在直线l上拖动点A，改变点A的位置，探究PO与PA的长度关系，让学生有更直观地感受.对于“点到直线的距离”应强调说明：距离指的是长度，是一个数量，而垂线段是图形，两者不能混淆.以实际生活问题为例，引出垂线段及点到直线的距离的概念并探究其性质.活动三：重点突破，提升探究例2如图，直线AB,CD相交于点O，MO⊥AB于点O.(1)若∠1=∠2,求∠NOD的度数;(2)若∠BOC=4∠1,求∠AOC与∠MOD的度数.解：(1)因为MO⊥AB,所以∠AOM=90°.所以∠1+∠AOC=90°.又∠1=∠2,所以∠2+∠AOC=90°.所以∠NOD=180°-(∠2+∠AOC)=180°-90°=90°.(2)由已知条件∠BOC=4∠1,即90°+∠1=4∠1,可得∠1=30°,所以∠AOC=∠AOM-∠1=90°-30°=60°.由邻补角的定义，得∠MOD=180°-∠1=180°-30°=150°.[对应训练]25 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，FO⊥AB于点O.（1）若∠COF=50°，求∠COE的度数；（2）若∠DOE=2∠BOD，求∠COF的度数.解：（1）因为FO⊥AB，所以∠AOF=90°.因为∠COF=50°，所以∠AOC=∠AOF-∠COF=90°-50°=40°.由邻补角的定义，得∠AOD=180°-∠AOC=180°-40°=140°.因为OE平分∠AOD，所以∠AOE=∠AOD=×140°=70°.所以∠COE=∠AOE+∠AOC=70°+40°=110°.（2）因为OE平分∠AOD，所以∠AOD=2∠DOE.又∠DOE=2∠BOD，所以∠AOD=4∠BOD.因为∠AOD+∠BOD=180°，所以4∠BOD+∠BOD=180°，所以∠BOD=36°.由对顶角相等，得∠AOC=∠BOD=36°，所以∠COF=∠AOF-∠AOC=90°-36°=54°.[教学建议]学生独立思考作答，教师统一答案.教师应提醒学生注意：垂直和直线夹角成90°是相互对应的关系，但两者存在一定的区别，垂直是两条直线的位置关系，90°是角的度数.[设计意图]利用垂直的定义，结合邻补角、对顶角等知识解决角度问题.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是垂线？如何用三角尺或量角器过一点画已知直线、射线、线段的垂线？垂线的基本事实是什么？2.“垂线段最短”和点到直线的距离的含义是什么？垂线段和垂线之间有哪些区别和联系？【作业布置】1.教材P8习题7.1第2，3，4，6，8题.7.1.3两条直线被第三条直线所截【素养目标】1.理解“三线八角”中没有公共顶点的角的位置关系，知道什么是同位角、内错角、同旁内角.2.通过比较、观察，掌握同位角、内错角、同旁内角的特征.3.能在复杂图形中正确识别图形中的同位角、内错角和同旁内角.【教学重点】理解同位角、内错角、同旁内角的概念.【教学难点】在稍复杂的图形中找出同位角、内错角或同旁内角，并说出它们分别是哪两条直线被第三条直线所截形成的.【教学过程】活动一：旧知拓展，新课导入如果有两条直线和另一条直线相交，可以得到几个角？八个角.通常说：两条直线被第三条直线所截.如图，直线AB，CD被直线EF所截.在得到的八个角中，不同顶点处的两个角有什么关系呢？这就是我们这节课研究的内容.[教学建议]教师带领学生认识“三线八角”并解释图中截线、被截直线与所成角的关系.[设计意图]以相交线进行拓展，引出新课.活动二：问题引入，自主探究探究点1同位角的概念在上图中，直线AB,CD是被截直线，直线EF是截线.观察图中的∠1和∠5，它们与截线及两条被截直线在位置上有什么特点？特点：∠1和∠5分别在直线AB，CD的同一侧（上方），并且都在直线EF的同侧（右侧）.我们把具有上面这种位置关系的一对角叫作同位角.图中还有其他的同位角吗？请写出来.∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8都是同位角.25 上面的4组同位角的简化图形如图所示，它们有什么特征？几组同位角的简化图形都形如大写的英文字母F（一般地，在形如字母“F”的图形中存在同位角）.[教学建议]学生按问题自主探索，找出作为例子的一对角在位置上的特点并找出其他具有相同位置关系的角，教师适时归纳总结同位角的概念.引导学生通过简化图形，发现同位角的图形特征.[设计意图]以∠1和∠5为例，探究其位置关系，引出同位角的概念.[对应训练]1.如图，与∠1是同位角的是（D）A.∠2B.∠3C.∠4D.∠52.如图，∠1和∠2是直线CD和EF被直线AB所截形成的同位角；∠1和∠3是直线AB和CD被直线EF所截形成的同位角.[设计意图]探究点2内错角的概念观察活动一图中的∠3和∠5，它们与截线及两条被截直线在位置上有什么特点？特点：∠3和∠5都在直线AB，CD之间，并且分别在直线EF的两侧（∠3在直线EF的左侧，∠5在直线EF的右侧.我们把具有上面这种位置关系的一对角叫作内错角.图中还有其他的内错角吗？请写出来.∠4和∠6也是一对内错角.上面两对内错角的简化图形如图所示，它们有什么特征？两对内错角的简化图形都形如大写的英文字母Z（一般地，在形如字母“Z”的图形中存在内错角）.[对应训练]1.如图，下列各组角中，是内错角的是（B）A.∠1和∠2B.∠2和∠3C.∠1和∠3D.∠2和∠52.如图，∠1和∠2是由直线AB和CD被直线AC所截形成的内错角.[教学建议]教师引导学生按问题顺序类比同位角的探索过程得出内错角的概念及图形特征.以∠3和∠5为例，探究其位置关系，引出内错角的概念.[设计意图]探究点3同旁内角的概念观察活动一图中的∠3和∠6，它们与截线及两条被截直线[教学建议]由学生以∠3和∠6为例，探究其位置关系，引出同旁内角的概念.在位置上有什么特点？特点：∠3和∠6都在直线AB,CD之间，并且都在直线EF的同一旁（左侧）.我们把具有上面这种位置关系的一对角叫作同旁内角.图中还有其他的同旁内角吗？请写出来.∠4和∠5也是一对同旁内角.上面两对同旁内角的简化图形如图所示，它们有什么特征？两对同旁内角的简化图形都形如大写的英文字母U（一般地，在形如字母“U”的图形中存在同旁内角）.回顾同位角、内错角和同旁内角的位置与结构特征，完成下列表格.位置特征基本图形结构特征同位角在两条被截直线同一侧，在截线同侧形如字母“F”内错角内错角在两条被截直线之间，在截线两侧（交错）形如字母“Z”同旁内角在两条被截直线之间，在截线同一旁形如字母“U”25 例1（教材P7例3）如图，直线DE，BC被直线AB所截.（1）∠1和∠2，∠1和∠3，∠1和∠4各是什么位置关系的角？（2）如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？解：（1）∠1和∠2是内错角，∠1和∠3是同旁内角，∠1和∠4是同位角.（2）如果∠1=∠4，又由对顶角相等，可得∠2=∠4，因此∠1=∠2.因为∠4和∠3互补，所以∠4+∠3=180°.又因为∠1=∠4，所以∠1+∠3=180°，即∠1和∠3互补.[对应训练]1.如图，下列两个角是同旁内角的是（B）A.∠1和∠2B.∠1和∠3C.∠1和∠4D.∠2和∠42.教材P8练习第1，2题.自行探索得出同旁内角的概念和图形特征.教师再结合图形说明“同”“内”“错”等关键字的意义，加强学生对三种角的理解和辨析能力.注意：同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的，单独一个角不存在上述位置关系.活动三：重点突破，提升探究例2如图.（1）指出DC和AB被AC所截形成的内错角；（2）指出AD和BC被AE所截形成的同位角；（3）∠4和∠7，∠2和∠6，∠ADC和∠DAB各是什么位置关系的角？分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？解：（1）∠1和∠5.（2）∠DAB和∠9.（3）∠4和∠7是内错角，是直线DC和AB被DB所截形成的；∠2和∠6是内错角，是直线AD和BC被AC所截形成的；∠ADC和∠DAB是同旁内角，是直线DC和AB被AD所截形成的.[对应训练]如图.（1）直线CE，BC被直线BE所截形成的同旁内角是∠CBE与∠BEC；（2）直线AC，BC被直线BE所截形成的内错角是∠AEB与∠CBE；（3）∠BED与∠CBE是直线DE，BC被直线BE所截形成的内错角；（4）∠A与∠CED是直线AB，DE被直线AC所截形成的同位角.[教学建议]学生分小组讨论解答，教师统一答案.在确定两个角的位置关系时，正确找出截线与被截直线并分离出图形是辨别位置关系的关键.[设计意图]强化对三种角的辨别，并判断它们的形成.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.本节课根据位置关系学习了哪几种角？2.如何识别这几种角？【作业布置】1.教材P9习题7.1第7题.7.2平行线7.2.1平行线的概念【素养目标】1.在丰富的现实情境中,进一步了解两条直线的平行关系,掌握有关的符号表示.2.会用三角尺、直尺、方格纸等画平行线,积累操作活动的经验.3.在操作活动中,探索并了解平行线基本事实Ⅰ及其推论.【教学重点】1.了解平行线的概念,并能用符号表示；能借助三角尺、直尺、方格纸等画平行线.25 2.探索和掌握平行线基本事实Ⅰ及其推论.【教学难点】理解平行线基本事实Ⅰ.【教学过程】活动一：创设情境,新课导入[情境导入]你喜欢滑雪运动吗？早在5000年前,人们就把滑雪作为雪上旅行的一种方式,今天滑雪在许多国家和地区都是一项十分普及的运动.你知道滑雪运动最关键的是什么吗？滑雪运动最关键的是要保持两只滑雪板平行！本节课我们将对两条直线不相交的情况进行研究.[教学建议]教师可简单介绍平行,让学生列举生活中与平行有关的例子.[设计意图]用体育运动项目引入平行.活动二：问题引入,自主探究探究点1平行线的概念问题（教材P11思考）如图,将两根木条a,b分别与木条c钉在一起,并把它们想象成在同一平面向两端无限延伸的三条直线.固定木条b和c,转动木条a,直线a从在c的左侧与直线b相交逐步变为在c的右侧与直线b相交.[教学建议]教师使用教具带领学生共同探究,找出a,b不相交的情况.教学中应注意：①平行是直线间的位置关系,通常我们所说[设计意图]引入平行线的相关概念及符号表示方法.（1）想象一下,在这个过程中,有没有直线a与直线b不相交的位置呢？这种位置关系是什么？有,如图②,在木条a转动的过程中,存在直线a与b不相交的位置,这时我们说直线a与b互相平行.我们可以这么定义：在同一平面内,不相交的两条直线叫作平行线.（2）我们知道了平行线的概念后,如何用几何语言来描述平行线呢？通常用“∥”表示平行,读作“平行于”.如图,直线AB与直线CD平行,记作AB∥CD.如果用l,m表示这两条直线,那么直线l与m平行记作l∥m.（3）对于平行线这个几何图形,它最主要的特征是什么？①在同一平面内；②两条直线；③不相交（即没有交点）.（4）在同一平面内,不重合的两条直线有哪些位置关系?相交和平行.试一试：平行线在生活中是很常见的,你能在下面的图片中找出平行线吗？学生自行回答即可.[对应训练]两条直线相交,交点的个数是1；两条直线平行,交点的个数是0.的射线(线段)平行指的是它们所在的直线平行；②以长方体等立体图形为例,简单介绍直线不相交的另一种情况(异面),故平行线需要强调是“在同一平面内”.[设计意图]探究点2平行线的画法问题想一想,画平行线需要哪几步？序号步骤简称具体内容图示①“画”沿三角尺的一边画一条直线a②“靠”用直尺紧靠三角尺的另一边③“推”保持直尺不动,沿直尺推动三角尺④“画”仍沿三角尺第一次画直线a的那条边画直线b,则a∥b[对应训练]教材P12练习.[教学建议]教师带领学生共同回顾,并总结用直尺、三角尺画平行线的一般步骤.[设计意图]25 回顾平行线的画法,为后续画图探究做准备.探究点3平行线基本事实Ⅰ及其推论问题1在活动二转动木条a的过程中,有几个位置使得直线a与b平行？只有一个位置能使a与b平行.问题2如图,过点B画直线a的平行线,能画出几条？只能画一条.通过观察和画图,可以发现一个关于平行线的基本事实(平行线基本事实Ⅰ)：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.问题3再过点C画直线a的平行线,它和前面过点B画出的直线平行吗？平行.由平行线基本事实Ⅰ,可以进一步得到如下结论：如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.几何语言：如果b∥a,c∥a,那么b∥c.[对应训练]1.下列说法中正确的有（A）①一条直线的平行线只有一条；②过一点与已知直线平行的直线有且只有一条；③因为a∥b,c∥d,所以a∥d；④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.A.1个B.2个C.3个D.4个2.平面内有A,B,C三点,且三点不在同一条直线上,过这三点画两条平行线,这样的平行线能画出几种？解：如图①②③,有三种.[教学建议]先借助模型来引入平行线基本事实Ⅰ,再通过画图验证,使学生对平行线基本事实Ⅰ的认识由感性上升到理性.平行线基本事实Ⅰ中的“有且只有”具有两层含义：①表明存在与已知直线平行的直线（存在性）；②表明与已知直线平行的直线是唯一的（唯一性）.通过模型和画图验证,总结出平行线基本事实Ⅰ及其推论.活动三：重点突破,提升探究例如图,直线a∥b,b∥c,d与a相交于点M.（1）判断直线a,c的位置关系：a∥b,b∥c,根据平行线基本事实Ⅰ的推论,得a∥c；（2）判断c与d的位置关系：直线a与d可以看作经过直线c外一点M的两条直线,根据平行线基本事实Ⅰ和问题（1）可知c与d不平行(填“平行”或“不平行”）.[对应训练]如图,若AB∥CD,经过点E可画EF∥AB,则EF与CD的位置关系是EF∥CD,理由是如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.[教学建议]学生独立思考作答,对于平行线基本事实Ⅰ的推论,要掌握并灵活运用.教师可适当介绍,该推论中的三条直线并不要求位于同一平面中.[设计意图]强化对平行线基本事实Ⅰ的推论的理解和应用.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：平行线的概念是什么？平行线基本事实Ⅰ及其推论是什么？如何画已知直线的平行线？【作业布置】1.教材P19习题7.2第1，11，13题.7.2.2平行线的判定第1课时平行线的判定【素养目标】1.掌握两直线平行的判定方法.2.了解两直线平行的判定方法的推理过程.3.灵活运用两直线平行的判定方法说明直线平行.【教学重点】掌握两直线平行的三种判定方法.【教学难点】灵活运用两直线平行的判定方法说明直线平行.25 【教学过程】活动一：创设情境，新课导入[情境导入]我们已经知道，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行.但是，由于直线是无限延伸的，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据两条直线不相交来判断它们是否平行.那么，有没有其他判定方法呢？[教学建议]教师引导学生思考目前已知方法判断两条直线平行的局限性，因此，寻找平行线的其他判定方法是十分必要的.[设计意图]以实际问题为例，引入平行线的判定.活动二：问题引入，自主探究探究点1同位角相等，两直线平行如图，回忆并叙述上节课中用三角尺和直尺画平行线的过程，回答下列问题.（1）如图③，将平行的两条直线分别记作a，b，将紧贴三角尺的直尺的边所在直线记为c.画图过程中直尺起到了什么作用？∠1和∠2是什么位置关系的角？在画图过程中，直尺起固定作用，让三角尺沿一条直线移动.∠1和∠2是同位角.[教学建议]教师引导学生结合平行线的画法，归纳出“同位角相等，两直线平行”.判定方法1的条件中有两层意思：①这两个角是两条直线被第三条直线所截而成的一对同位角；[设计意图]回顾并观察画平行线的方法，引出平行线的判定方法1.（2）在移动三角尺的过程中，∠1和∠2的大小发生变化了吗？三角尺起着什么作用？在移动三角尺的过程中，∠1和∠2的大小不变，∠1和∠2始终相等.三角尺的作用是确保∠1=∠2.（3）由上面的操作过程，你能发现判定两条直线平行的方法吗？利用同位角相等，可以判定两条直线平行.判定方法1（平行线基本事实Ⅱ）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行.几何语言：如图③，如果∠1=∠2，那么a∥b.[对应训练]1.如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1=55°，下列条件中能判定AB∥CD的是（C）A.∠2=35°B.∠2=45°C.∠2=55°D.∠2=125°2.如图，若∠1=∠2，则AB∥DE；若∠2=∠3，则BC∥EF.3.教材P15练习第2题.两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和同旁内角.由同位角相等，可以判定两条直线平行，能否利用内错角或同旁内角来判定两条直线平行呢？②这两个角相等.[设计意图]探究点2内错角相等，两直线平行问题如图，直线a，b被直线c所截.内错角∠1与∠2满足什么条件时，能得出a∥b？如果∠1=∠2，由判定方法1，能得到a∥b，理由如下：因为∠1=∠2，而∠2=∠4(对顶角相等)，所以∠1=∠4，即同位角相等，从而a∥b.这样，就得到了利用内错角判定两条直线平行的方法：判定方法2两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行.几何语言：如图，如果∠1=∠2，那么a∥b.[对应训练]25 1.如图是一条街道的两个拐角，若∠ABC与∠BCD均为140°，则街道AB与CD的位置关系是AB∥CD.[教学建议]学生独立思考完成，教师可提醒学生遇到一个新问题时，常常把它转化为已知的（或已解决的）问题.这里可以将条件转化，运用已经学过的方法来进行判定.以判定方法1为桥梁，探究内错角与两条直线平行之间的关系.2.将两个相同的三角尺按如图所示的方式摆放，画直线a，b，则a∥b，理由是：内错角相等，两直线平行.[设计意图]探究点3同旁内角互补，两直线平行问题结合前面的探究，如图，同旁内角∠1与∠3满足什么条件时，能得出a∥b？方法一：如果∠1和∠3互补，由判定方法1，能得到a∥b，理由如下：因为∠1+∠3=180°（补角的定义），而∠3+∠4=180°（邻补角的定义），所以∠1=∠4（同角的补角相等），即同位角相等，从而a∥b.方法二：如果∠1和∠3互补，由判定方法2，能得到a∥b，理由如下：因为∠1+∠3=180°（补角的定义），而∠2+∠3=180°（邻补角的定义），所以∠1=∠2（同角的补角相等），即内错角相等，从而a∥b.这样，就得到了利用同旁内角判定两条直线平行的方法：判定方法3两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.几何语言：如图，如果∠1+∠3=180°，那么a∥b.[对应训练]1.如图，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=110°，要使管道AB，CD保持平行，则∠BCD的度数应为（D）A.120°B.110°C.80°D.70°2.如图，一块折断的零件左边AC断口整齐，右边BD形状不规则，工人小李测得左边∠A=45°，∠C=135°，他由此断定这个零件另外的一组对边AB∥CD，他的依据是同旁内角互补，两直线平行.[教学建议]学生独立思考完成，教师可提醒学生类比探究点2的处理方式来解决问题.以判定方法1（或判定方法2）为桥梁，探究同旁内角与两条直线平行之间的关系.活动三：重点突破，提升探究例（1）如图，当∠1=∠3时，直线a，b平行吗？为什么？（2）当∠2+∠3=180°时，直线a，b平行吗？为什么？解：（1）a∥b.理由如下：因为∠1=∠3，∠3=∠4，所以∠1=∠4.所以a∥b（同位角相等，两直线平行）.（2）a∥b.理由如下：因为∠3=∠4，∠2=∠5，∠2+∠3=180°，所以∠5+∠4=180°.所以a∥b（同旁内角互补，两直线平行）.[教学建议]学生独立思考完成，教师引导、补充.当两角相等或互补时，要先确定两角的位置关系，如果不能直接推出结[设计意图]运用平行线的三种判定方法进行简单的推理论证.[对应训练]1.如图，若∠B=∠3，则AB∥CE，根据的是同位角相等，两直线平行；若∠2=∠A，则AB∥CE，根据的是内错角相等，两直线平行；若∠2=∠E，则AC∥DE，根据的是内错角相等，两直线平行；若∠B+∠BCE=180°，则AB∥CE，根据的是同旁内角互补，两直线平行.2.教材P14练习第1题.论，则需要代换转化.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：25 1.本节课学习了平行线的哪些判定方法？2.结合例题，你能用自己的语言说一说解决与平行线的判定有关的问题的思路吗？【作业布置】1.教材P19习题7.2第2，6，12题.第2课时平行线的判定的综合运用【素养目标】1.理解并掌握判定两条直线平行的方法.2.能灵活选用平行线的判定方法进行推理.【教学重点】掌握直线平行的条件，能熟练运用平行线的判定方法进行推理.【教学难点】运用平行线的判定方法进行推理的步骤和格式.【教学过程】活动一：创设情境，新课导入[情境导入]如图，装修工人正在往墙上钉木条，如果木条b与墙壁的边缘垂直，那么木条a与墙壁的边缘所夹的角为多少度时，才能使木条a与木条b平行？当木条a与墙壁边缘所夹的角为90°（即木条a与墙壁边缘垂直）时，木条a与木条b平行.木条a,b和墙壁边缘可以简化为一个“三线八角”模型.根据垂直的定义我们可以得到相关角的度数，再由相关角的数量关系，结合平行线的判定方法，即可推导出木条a与木条b所在的直线平行.[教学建议]教师引导学生得出结论即可，同时应对“垂直于同一直线的两条直线互相平行”这一重要结论进行强调.[设计意图]结合实际问题，引入本课时对平行线判定方法的强化训练.活动二：问题引入，自主探究探究点1平行线的判定方法的灵活运用例1（教材P14例1）在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？问题1由两条直线互相垂直，你能想到什么？两条直线形成的夹角均为90°.问题2两条直线互相垂直，你可以找到几个直角？两条直线垂直于同一条直线，你又可以找到几个直角？分别可以找到4个和8个直角.问题3如图，∠1和∠2，∠1和∠4，∠1和∠3，分别是什么位置关系的角？分别是同位角、内错角、同旁内角.问题4你认为这道题有几种解法？请选择一种方法解答这道题.此处符号“∵”表示“因为”，符号“∴”表示“所以”.[教学建议]学生分组讨论完成，教师鼓励学生多角度分析问题.要判定两条直线是否平行，首先要将题目给出的角转化为这两条直线被第三条直线所截得的同位角、内错角或同旁内角，再看这些角的关系[设计意图]强化学生对“三线八角”的识别和平行线判定方法的灵活选用.有三种方法.方法1：这两条直线平行.理由如下：如图，∵b⊥a，∴∠1=90°.同理∠2=90°.∴∠1=∠2.又∠1和∠2是同位角，∴b∥c(同位角相等，两直线平行).方法2：这两条直线平行.理由如下：如图，∵b⊥a，∴∠1=90°.同理∠4=90°.∴∠1=∠4.又∠1和∠4是内错角，∴b∥c(内错角相等，两直线平行).25 方法3：这两条直线平行.理由如下：如图∵b⊥a，∴∠1=90°.同理∠3=90°.∴∠1+∠3=180°.又∠1和∠3是同旁内角，∴b∥c(同旁内角互补，两直线平行).[对应训练]1.如图，有以下四个条件：①∠B＋∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5.其中能判定AB∥CD的有（C）A.1个B.2个C.3个D.4个2.教材P15练习第3,4题.是否满足平行线的判定方法.[设计意图]探究点2平行线的判定方法结合平行线基本事实Ⅰ的推论进行推理例2如图，直线AB，CD，EF被直线GH所截，∠1=70°，∠2=110°，∠2+∠3=180°.试说明：（1）EF∥AB；（2）CD∥AB.分析：（1）将直线AB，EF与截线GH组合，可以得到一组内错角：∠1和∠3，要说明EF∥AB，则需要说明∠1=∠3，根据已知条件可得∠3=70°，则∠1=∠3.（2）由∠2+∠3=180°可得CD∥EF，再结合（1）中所得结论EF∥AB，由平行线基本事实Ⅰ的推论即可得到CD∥AB.解：（1）∵∠2+∠3=180°，∠2=110°(已知)，∴∠3=180°-∠2=180°-110°=70°.又∠1=70°(已知)，∴∠1=∠3(等量代换).∴EF∥AB(内错角相等,两直线平行).（2）∵∠2+∠3=180°，∴CD∥EF(同旁内角互补，两直线平行).又EF∥AB，∴CD∥AB(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行).方法总结：判定两条直线平行的方法除了利用平行线的判定方法外，有时需要结合平行线基本事实Ⅰ的推论.[教学建议]学生独立思考完成，教师统一答案.平行线基本事实Ⅰ的推论也是判定平行线的常用方法之一，平行线的判定方法多种多样，应根据条件灵活选用，如例题中也可直接由∠2的对顶角和∠1互补判定CD∥AB.综合平行线的判定方法与平行线基本事实Ⅰ的推论解决问题.[对应训练]如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，∠1=∠2.CD与EF平行吗？为什么？解：CD∥EF.理由如下：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°.∴∠B+∠D=180°.∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）.∵∠1=∠2，∴AB∥EF（同位角相等，两直线平行）.∴CD∥EF（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）.活动三：重点突破，提升探究例3如图，如果∠1=60°，∠2=120°，∠D=60°，试找出图中有哪些平行线？并说明理由.分析：由对顶角相等可得∠ABC=∠1=60°，再由∠ABC与∠2的数量关系可得AB∥CD.由邻补角的定义可得∠BCD=180°-∠2=60°，则∠BCD=∠D，从而可判定BC∥DE.解：AB∥CD，BC∥DE.理由如下：∵∠1=60°（已知），25 ∴∠ABC=∠1=60°（对顶角相等）.又∠2=120°（已知），教学建议∴∠ABC+∠2=60°+120°=180°.∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）.∵∠2+∠BCD=180°（邻补角的定义），∴∠BCD=180°-∠2=180°-120°=60°.∵∠D=60°（已知），∴∠BCD=∠D（等量代换）.∴BC∥DE（内错角相等，两直线平行）.[对应训练]如图，如果∠1=72°，∠2=72°，∠3=108°，图中有哪些直线平行？请说明理由.解：DE∥BC，AB∥EF.理由如下：∵∠1=72°，∠2=72°（已知），∴∠1=∠2（等量代换）.∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）.∵∠3+∠BGD=180°（邻补角的定义），∠3=108°（已知），∴∠BGD=180°-∠3=180°-108°=72°.∴∠BGD=∠2（等量代换）.∴AB∥EF（同位角相等，两直线平行）.[教学建议]学生分组讨论完成，通过对顶角、邻补角中角度关系的转化，找出能够说明两条直线平行的条件.[设计意图]探究多组交错的直线中的平行线问题.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.平行线的判定方法有哪些？2.对于结论开放性问题，应如何寻找条件判定两直线平行？【作业布置】1.教材P19习题7.2第4，7题.7.2.3平行线的性质第1课时平行线的性质【素养目标】1.理解平行线的性质.2.能运用平行线的性质进行推理.【教学重点】理解平行线的性质.【教学难点】体会平行线的性质2和性质3推理过程的逻辑表述，能运用平行线的性质进行推理.【教学过程】活动一：旧知回顾，新课导入前面的课时，我们学习了利用角的数量关系判定两条直线平行的方法，分别是什么？（1）∵∠1=∠3（已知），∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.（2）∵∠2=∠4（已知），∴a∥b（内错角相等，两直线平行）.（3）∵∠2+∠3=180°（已知），∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）.在上面的三种判定方法中，由同位角、内错角、同旁内角的关系可以得到两条直线平行的结论；反过来，在两条直线平行的条件下，同位角、内错角、同旁内角又各有什么关系呢？这就是本节课要学习的内容.[教学建议]教师引导学生回顾对平行线判定方法的探究过程，为类比平行线性质的探究做好铺垫.25 [设计意图]由平行线的判定导入，复习旧知，为本节课扫清知识障碍.活动二：问题引入，自主探究探究点1两直线平行，同位角相等（教材P16探究）如图，画两条平行线a∥b，然后任意画一条截线c与这两条平行线相交.问题1度量所形成的八个角的度数，把结果填入下表：角∠1∠2∠3∠4度数100°80°100°80°角∠5∠6∠7∠8度数100°80°100°80°[教学建议]教师带领学生共同探究，通过改变截线的位置多次测量，总结出共性结论,并逆向探究，确认结论的唯一性，得出平行线中同位角的度数的数量关系.教学中可让学生归[设计意图]通过实际测量确认平行线中同位角的数量关系.问题2在∠1,∠2，…，∠8中，哪些是同位角？它们的度数有什么关系？由此猜想两条平行线被第三条直线截得的同位角有什么关系.∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8是同位角.每一对同位角的度数相等.猜想：两条平行线被第三条直线截得的同位角相等.问题3利用信息技术工具改变截线c的位置，同样度量并比较各对同位角的度数，你的猜想还成立吗？经过测量比较得出，猜想仍然成立.问题4当两条直线不平行时，同位角是否相等呢？请以直线c，d被直线a所截为例，比较各对同位角的度数.两条直线不平行时，同位角不相等.结合上述探究过程，我们可以得到平行线的性质：性质1两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.符号语言：如图，如果a∥b，那么∠1=∠5（或∠2=∠6，∠3=∠7，∠4=∠8）.[对应训练]1.如图，直线a∥b，直线c与a,b相交.若∠1=60°，则∠2的度数为120°.2.教材P17练习第2题.纳性质1并用符号语言表述，锻炼学生将图形语言转化为文字语言和符号语言的能力.[设计意图]探究点2两直线平行，内错角相等在前面探究点1的图中，内错角∠3和∠5，∠4和∠6的度数有什么关系？由此猜想两条平行线被第三条直线截得的内错角的关系.这两对内错角的度数相等.猜想：两条平行线被第三条直线截得的内错角相等.（教材P16思考）前面我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行”.类似地，你能由性质1推出两条平行线被第三条直线截得的内错角之间的关系吗？解：如图，∵a∥b(已知)，∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等).又∠2=∠3(对顶角相等)，∴∠1=∠3(等量代换).这样，我们得到平行线的另一个性质：性质2两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.符号语言：如探究点1中图，如果a∥b，那么∠3=∠5（或∠4=∠6）.[对应训练]1.如图，AB∥CD，如果∠B=35°，那么∠C的度数为（C）25 A.25°B.30°C.35°D.55°[教学建议]根据探究点1中测得的数据直接得出结论，类比平行线的判定的探究过程，让学生以平行线的性质1为条件，独立推导出平行线中内错角的数量关系.教师可要求学生类比性质1归纳出性质2的文字语言和符号语言.通过类比平行线的判定的探究过程，推导出平行线中内错角的数量关系，并推理论证.2.如图，平行线AB，CD被直线EF所截，FG平分∠EFD.若∠EFD=70°，则∠EGF的度数是35°.[设计意图]探究点3两直线平行，同旁内角互补在前面探究点1的图中，同旁内角∠4和∠5，∠3和∠6的度数有什么关系？由此猜想两条平行线被第三条直线截得的同旁内角的关系，并仿照性质2写出推理的过程.这两对同旁内角的和为180°（即互补）.猜想：两条平行线被第三条直线截得的同旁内角互补.推理：方法一：如图，∵a∥b(已知)，∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等).又∠2+∠3=180°(邻补角的定义)，∴∠1+∠3=180°(等量代换).方法二：如图，∵a∥b（已知），∴∠1=∠4(两直线平行，内错角相等）.∵∠3+∠4=180°(邻补角的定义），∴∠1+∠3=180°(等量代换）.由此，我们得到平行线的第3个性质：性质3两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补.符号语言：如探究点1中图，如果a∥b，那么∠4+∠5=180°（或∠3+∠6=180°）.例1（教材P16例2）如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角∠D,∠C分别是多少度？解：因为梯形上、下两底DC与AB互相平行，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠A与∠D互补，∠B与∠C互补.于是∠D=180°-∠A=180°-100°=80°，∠C=180°-∠B=180°-115°=65°.所以梯形的另外两个角∠D,∠C分别是80°，65°.[对应训练]1.如图，直线m∥n，其中∠1=40°，则∠2的度数为（B）A.130°B.140°C.150°D.160°2.如图，直线l1∥l2，l3∥l4.若∠1=70°，则∠2的度数为110°.[教学建议]根据探究点1中测得的数据直接得出结论，类比平行线的判定的探究过程，让学生以平行线的性质1或性质2为条件，独立推导出平行线中同旁内角的数量关系.教师可要求学生类比性质1或性质2归纳出性质3的文字语言和符号语言.通过类比平行线的判定的探究过程，推导出平行线中同旁内角的数量关系，并推理论证.活动三：重点突破，提升探究例2端午节“赛龙舟，吃粽子”是中华民族的传统习俗，小青将图①中的某条龙舟的侧面示意图简化成图②，若a∥b∥c，∠1=132°，求∠2+2∠3的度数.解：∵a∥b∥c，∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补），∠2=∠4（两直线平行，同位角相等）.∴∠4=∠2=180°-∠1=180°-132°=48°.25 ∵∠3=∠4，∴∠3=48°，∴∠2+2∠3=48°+2×48°=144°.[对应训练]1.如图，AB∥CD∥EF，∠A=54°，∠C=26°，则∠AFC=28°.2.教材P17练习第1,3题.3.如图，点E在线段AB上，D，F都在线段BC上，并且ED∥AC，EF∥AD.若∠1=20°，则∠2等于多少度？请说明理由.解：∠2=20°.理由如下：∵ED∥AC，∠1=20°，∴∠3=∠1=20°（两直线平行，内错角相等）.∵EF∥AD，∴∠2=∠3=20°（两直线平行，内错角相等）.[教学建议]学生独立思考完成，教师统一答案.教学中应强调本题有多种方法，随着数学知识的逐渐积累，解决数学问题的方法也变得多种多样，过程要简洁规范，依据要引用正确.[设计意图]对平行线的性质的运用进行强化训练，多次运用平行线的性质求角度.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.平行线的性质有哪些？2.如何用平行线的性质1推导出性质2和性质3？在推理中需要注意哪些问题？【作业布置】1.教材P19习题7.2第3，5，8，9，10，14题.第2课时平行线的判定与性质的综合运用【素养目标】1.掌握平行线的判定与性质的综合运用.2.体会平行线的判定与性质的区别与联系.【教学重点】利用平行线的性质进行简单的计算和推理.【教学难点】区分平行线的判定与性质，平行线的判定和性质的综合运用.【教学过程】活动一：旧知回顾，新课导入请同学们结合前面所学的内容，完成下面的表格.类别文字语言符号语言图形判定①同位角相等，两直线平行∵∠1=∠3，∴a∥b②内错角相等，两直线平行∵∠2=∠4，∴a∥b③同旁内角互补，两直线平行∵∠2+∠3=180°，∴a∥b性质①两直线平行，同位角相等∵a∥b，∴∠1=∠3②两直线平行，内错角相等∵a∥b，∴∠2=∠4③两直线平行，同旁内角互补∵a∥b，∴∠2+∠3=180°思考：平行线的判定和性质有什么区别与联系？今天我们将深入研究综合运用平行线的判定与性质解决相关问题.25 [教学建议]由学生将表格补充完整，教师总结，平行线的判定和性质是因果互换的两类不同的定理，判定是由数量关系得出位置关系，性质是由位置关系得出数量关系.[设计意图]回顾平行线的判定与性质的相关知识，引入本课难点.活动二：问题引入，自主探究探究点平行线的判定与性质的综合运用1.先性质再判定例1（教材P17例3）如图，已知直线a∥b，∠1=∠3，那么直线c与d平行吗？为什么？问题1如果要让直线c与d平行，需要找到哪两个具有特殊位置关系的角？它们是一组什么角？∠2和∠3.它们是同位角.[教学建议]学生独立思考完成，教师统一答案.对于解题思路，直接由已知条件逐步推导出问题中的结论，[设计意图]在一组或多组平行线中综合运用平行线的判定与性质解决数学问题.问题2问题1中得到的这组角需具备怎样的数量关系？∠2=∠3.问题3问题2中的数量关系可以由题中的直线a∥b直接得到吗？不可以.问题4如何利用题中的条件转化出问题2中的结论？可以由a∥b得到∠1=∠2，再由题中的∠1=∠3即可进一步推得.问题5请写出具体的推导过程.直线c与d平行.理由如下：如图，∵a∥b，∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）.又∠1=∠3，∴∠2=∠3.∴c∥d（同位角相等，两直线平行）.问题6你能用其他方法判定直线c与d平行吗？如图，∵a∥b，∴∠1+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）.又∠1=∠3，∴∠3+∠4=180°.∴c∥d（同旁内角互补，两直线平行）.2.先判定再性质例2（教材P18例4）如图，∠1=∠2，∠3=50°，∠ABC等于多少度？分析：由于∠3的大小是已知的，所以可以尝试推导∠ABC与∠3的大小关系.而由已知条件∠1=∠2，可以推出a∥b，从而可以得到∠ABC=∠3.解：∵∠1=∠2，∴a∥b（内错角相等，两直线平行）.∴∠3=∠ABC（两直线平行，同位角相等）.又∠3=50°，∴∠ABC=50°.问题在例1和例2中，哪些属于平行线的判定？哪些又属于平行线的性质？如何区分平行线的判定与性质？从角的关系去得到两条直线平行，就是判定；由已知两条直线平行得到角的相等或互补关系，就是平行线的性质.[对应训练]1.如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，已知∠1=∠2=70°，GM平分∠HGB交直线CD于点M，则∠3=（B）A.50°B.55°C.60°D.65°2.教材P18练习第1,2题.或运用逆向思维由问题中的结论反向推导出所需条件并最终与已知条件联系，都是可行的，可根据题目和自身情况灵活选择；解题过程中运用的定理与括号中填写的依据要一致，不要张冠李戴.活动三：重点突破，提升探究例3补全下列推理过程：25 已知：如图，∠1+∠B=∠C.试说明：BD∥CE.解：如图，作射线AP，使AP∥BD，∴∠PAB=∠B（两直线平行，内错角相等）.又∠1+∠B=∠C（已知），∴∠1+∠PAB=∠C（等量代换），即∠PAC=∠C.∴AP∥CE（内错角相等，两直线平行）.又AP∥BD，∴BD∥CE（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）.[对应训练]1.一个大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直于地面AE于点A，CD平行于地面AE.若∠BCD=150°，则∠ABC=120°.2.如图，已知直线AB∥CD，点P位于AB，CD之间，则∠AEP，∠CFP，∠EPF之间存在怎样的数量关系，请说明理由.小明想到了以下方法，请帮助他完成推理过程：解：∠AEP+∠CFP=∠EPF.理由如下：如图，过点P作PG∥AB，则∠AEP=∠EPG（两直线平行，内错角相等）.∵AB∥CD，∴PG∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）.∴∠CFP=∠FPG（两直线平行，内错角相等）.又∠EPG+∠FPG=∠EPF，∴∠AEP+∠CFP=∠EPF.[教学建议]学生独立思考完成，教师统一答案.当一组平行线之间（或外部）出现一点分别与平行线上某两点相连，此时构成平行线的一种常见模型.解决此类问题可通过过拐点作其中一条直线的平行线，结合平行线基本事实Ⅰ的推论和平行线的性质得到角的数量关系，反之也可通过角的数量关系得出直线的平行关系.[设计意图]通过添加辅助线构造平行线解决数学问题.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.平行线的判定和性质的区别是什么？2.如何综合运用平行线的判定和性质解决相关问题？7.3定义、命题、定理【素养目标】1.了解定义、命题的概念及命题的构成.2.知道什么是真命题和假命题，并会判断命题的真假.3.理解什么是定理和证明，了解证明的意义.4.了解综合法证明的格式和步骤，通过一些简单命题的证明，初步训练学生的逻辑推理能力.5.通过举反例判定一个命题是假命题，使学生学会反面思考问题的方法.【教学重点】证明的步骤和格式.【教学难点】理解定义、命题，分清命题的题设和结论，正确对照命题画出图形，写出已知、求证.【教学过程】活动一：创设情境，新课导入[情境导入]我们日常讲话中，有些话是对某件事情作出判断的，有些话是对事物进行描述的，如：（1）鄱阳湖是中国最大的淡水湖.（判断）（2）今天的天气很好.（描述）（3）浪费是可耻的.（判断）25 （4）春天到了，花儿开了.（描述）在数学学习中，同样有判断和描述这两类语言，如：（5）画线段AB=3cm.（描述）（6）两条直线相交，只有一个交点.（判断）今天我们将对这类或判断或描述的句子进行学习，感受数学中文字语言的魅力.[教学建议]教师可引导学生分析两种句子在构成上的区别，找出能够确认句子类型的关键字.[设计意图]通过对常见句子的分类，为进入本课的学习做铺垫.活动二：问题引入，自主探究探究点1定义与命题问题1观察下列语句，回答问题.①规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴；②使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解；③从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.（1）它们有什么共同点？它们都对某个数学对象进行了清晰、准确的描述.[教学建议]学生分组讨论，总结出命题的结构.教师在教学中可对命题解释如下：①必须是一个完整的句子，而且是陈述句，疑问句和祈使句都[设计意图]通过实例让学生了解定义、命题以及命题的构成，通过分析语句找出命题的题设和结论，并判断命题是否正确.概念引入：这样的描述称为数学对象的定义.一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断.（2）你能根据某个数学对象的定义来作出某种判断吗？请举例说明.根据方程的解的定义，可以判断x=1.5是方程2x=3的解（答案不唯一）.问题2观察下列可以判断正确与否的陈述语句，回答问题.①等式两边加同一个数，结果仍相等；②对顶角相等；③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；④两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补；⑤如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除.（1）哪些判断是正确的？哪些是错的？①②③④都是正确的，⑤是错误的.概念引入：像这样可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题.被判断为正确（或真）的命题叫作真命题，被判断为错误（或假）的命题叫作假命题.（2）比较①③④⑤，它们在结构和内容上有什么共同点？都是分为前后两个部分，前半部分是条件，后半部分是由条件得出的结论.命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.数学中的命常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.（3）请指出①②③④⑤中的题设和结论，并把其中不是“如果……那么……”形式的改写成“如果……那么……”的形式.①等式两边加同一个数结果仍相等如果等式两边加同一个数，那么结果仍相等②两个角是对顶角这两个角相等如果两个角是对顶角，那么这两个角相等③两条直线都与第三条直线平行这两条直线也互相平行④两条平行直线被第三条直线所截同旁内角互补如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补⑤一个数能被2整除这个数也能被4整除25 不是命题；②必须对某一件事作出肯定或否定的判断.[教学建议]教师提醒学生：有些命题的题设和结论不明显，要经过分析才能找出题设和结论，改写的时候需要将其条件补充完整.[教学建议]学生独立思考完成前几问，师生共同分析完成最后一问.对于真假命题的区别，教师可结合具体实例对照说明：真命题是无一例外，都是正确的；（4）我们在（1）中已经知道哪些判断是正确的，哪些是错误的，你是如何判断真假的呢？按照题设条件，去观察结论是否成立，能成立则为真，否则为假.归纳总结：由题设和结论组成的命题，如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题就是正确的，即真命题；如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题就是错误的，即假命题.判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.[对应训练]1.教材P23练习第1，2，3题.2.教材P24练习第2题.而假命题就不能保证总是正确的，只要举出反例就可以判断一个命题是假命题.[设计意图]探究点2定理与证明在前面，我们学过的一些图形的性质，它们都是真命题.其中有些命题是基本事实，如“两点确定一条直线”“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”等.还有一些命题，如“对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理.定理也可以作为继续推理的依据.问题根据定理的概念，同学们能说出我们学过的定理有哪些吗？平行线的判定定理、性质定理等.（教师可适当补充）概念引入：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.例1我们以证明命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”为例，来说明什么是证明.（1）这个命题是真命题还是假命题？解：真命题.（2）请将这个命题所叙述的内容用图形表示出来.解：如图.（3）写出这个命题的题设和结论，并用几何语言表述.解：题设：在同一平面内，一条直线垂直于两条平行线中的一条.结论：这条直线也垂直于两条平行线中的另一条.几何语言：如图，在同一平面内，如果a⊥b，b∥c，那么a⊥c.（4）下面已经给出了该命题的已知和求证，请利用已经学过的定义、定理、基本事实证明这个结论.已知：如图，直线a⊥b，b∥c，求证a⊥c.证明：∵a⊥b(已知)，∴∠1=90°(垂直的定义).[教学建议]教师结合所学知识，归纳出定理的概念，学生回顾学过的定理，加深对概念的理解.定理不仅揭示了客观事物的本质属性,还可以将它作为进一步判断其他命题真假的依据.引入定理和证明的概念，并展示如何证明一个命题为真命题.∵b∥c(已知)，∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等).∴∠2=90°(等量代换).∴a⊥c(垂直的定义).由此，我们归纳出几何证明的一般步骤：①根据题意画出图形；②根据命题的题设和结论，结合图形，写出已知、求证；③通过分析，找出证明的方法，写出证明过程.25 注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.[对应训练]1.教材P24练习第1题.2.如图，在三角形ABC中，点D在边BC的延长线上，CE平分∠ACD，AB∥CE，求证∠A=∠B.证明：∵CE平分∠ACD（已知），∴∠ACE=∠DCE（角平分线的定义）.∵AB∥CE（已知），∴∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等），∠B=∠DCE（两直线平行，同位角相等）.∴∠A=∠B（等量代换）.[教学建议]在证明几何命题时，要注意以下几点：①明确命题的题设和结论；②依据与过程要对应，不能张冠李戴；③证明过程应符合逻辑顺序，禁止用未学过的定理进行证明.活动三：重点突破,提升探究例2如图，现有以下三个条件：①AB∥CD；②∠B=∠D；③∠E=∠F.请以其中两个为题设，第三个为结论构造新的命题.（1）请写出所有的命题；（写成“如果……那么……”的形式）（2）请选择其中的一个真命题进行证明.解：（1）命题1：如果AB∥CD，∠B=∠D,那么∠E=∠F；命题2：如果AB∥CD,∠E=∠F，那么∠B=∠D;命题3：如果∠B=∠D，∠E=∠F,那么AB∥CD.（2）选择命题1.（答案不唯一）证明：∵AB∥CD（已知），∴∠B=∠DCF（两直线平行，同位角相等）.∵∠B=∠D（已知），∴∠D=∠DCF（等量代换）.∴DE∥BF（内错角相等，两直线平行）.∴∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）.[对应训练]如图，直线AB，CD被直线AE所截，直线AM，EN被直线MN所截.有以下三个条件：①AB∥CD；②AM∥EN；③∠BAM=∠CEN.请以其中两个作为题设，第三个作为结论，构造命题.[教学建议]学生分组讨论完成，教师统一答案.对于此类问题，开放性比较强，所以答案一般不唯一，可用列举法穷举出所有的命题，判断这些命题的真假，选择合适的真命题并按照要求严格证明.[设计意图]探索条件开放性问题的证明.（1）请按照“如果……那么……”的形式，写出所有的命题；（2）在（1）所写的命题中选择一个加以证明.解：（1）命题1：如果AB∥CD，AM∥EN，那么∠BAM=∠CEN.命题2：如果AB∥CD，∠BAM=∠CEN，那么AM∥EN.命题3：如果AM∥EN，∠BAM=∠CEN，那么AB∥CD.（2）以命题1为例.（答案不唯一）证明：∵AB∥CD（已知），∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）.∵AM∥EN（已知），∴∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）.∵∠1+∠3+∠BAM=180°,∠2+∠4+∠CEN=180°(平角的定义)，∴∠BAM=180°-∠1-∠3,∠CEN=180°-∠2-∠4（等式的性质），∴∠BAM=∠CEN.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是定义？什么是命题？请举例说明,并结合例子说明命题的构成.2.什么是真命题？什么是假命题？3.什么是定理？你学过哪些定理？谈谈你对证明的理解.25 【作业布置】1.教材P24习题7.3第1，2，3，4题.7.4平移【素养目标】1.通过实例了解平移的概念.2.理解并掌握平移的性质.3.能按要求作出平移后的图形.【教学重点】1.理解并掌握平移的性质.2.能按要求作出平移后的图形.【教学难点】对平移特征的探索与理解.【教学过程】活动一：创设情境，新课导入[情境导入]在日常生活中，一些图案可以看成由其中的一部分平行移动得到，例如图中建筑物表面、瓷砖和织物上的图案等.这样的图案常常给人整齐、和谐的感觉.你能再举出一些类似的例子吗？[教学建议]学生观察图案找出共同特点，教师总结，初步发现平移的基本特征.[设计意图]用生活中的平移现象导入新课.活动二：问题引入，自主探究探究点1平移的概念与性质问题1仔细观察下面的图案，回答问题.（1）它们有什么共同特征？每个图案都是由一些相同的图形组成的.（2）能否根据其中的一部分绘制出整个图案？能，将其中的一个图形平行移动，就可以得到整个图案.例如将图①中的一个平行四边形平行移动，再涂上不同的颜色，就可以得到整个图案.概念引入：一般地，在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作平移.图形平移的方向不限于水平或竖直方向，图形可以沿平面内任何方向平移（如上图③）.[教学建议]学生按问题顺序进行探究，总结出平移的性质.也可让学生尝试多画一些图形进行研究，可以发现平移前后的图形都具有类似的规律.对于平移的性质2中的平行，可以让学生度量角度，结合平行线的判定进行验证.教[设计意图]通过实际动手操作，先引入平移的概念，再发现平移的性质并进行归纳总结.分析语句找出命题的题设和结论，并判断命题是否正确.问题2（1）如图①，把一张半透明的纸盖在一个四边形上，在纸上描出四边形，然后将这张纸沿着某一方向移动一定距离，得到图②.图②中两个四边形的形状、大小有什么关系？形状、大小完全相同.（2）在图②的两个四边形中，找出两组对应点A与A′，B与B′，连接它们得到线段AA′，BB′，AA′和BB′有什么位置关系？测量它们的长度，它们的长度有什么关系？AA′与BB′平行，并且它们的长度相等，即AA′∥BB′，并且AA′=BB′.（3）画出连接其他一些对应点的线段，它们仍有类似的关系吗？仍有类似的关系.归纳总结：把一个图形平移，得到的新图形具有下列特点：1.新图形与原图形的形状和大小完全相同.2.新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等.25 [对应训练]1.下列运动属于平移的是（B）A.树叶随风飘落B.电梯升降C.钟表指针转动D.车轮转动2.下列哪个图形是由左图平移得到的（C）3.如图，三角形ABC沿BC方向平移到三角形DEF的位置，若EF=7cm，CE=3cm，求平移的距离.解：观察图形可知，平移的距离可以看作是线段CF的长.∵EF=7cm，CE=3cm，∴CF=EF-CE=7-3=4(cm).∴平移的距离为4cm.师可通过让学生回顾点是构成图形的基本元素，来理解选择对应点研究平移性质的方法，由点及面将对应点的关系扩大到整个图形的关系.[教学建议]理解平移的性质应注意以下几点：①平移只是图形位置发生变化，不改变图形的形状和大小；②平移的方向不限于是水平的；③平移是由平移的方向和距离共同决定的；④图形中每个点移动的距离相同.[设计意图]探究点2平移作图例1（教材P27例题）如图，平移三角形ABC，使点A移动到点A′，画出平移后的三角形A′B′C′.在作图前，请先思考以下几个问题：（1）结合平移的性质，你是怎样理解由点A移动到点A′这个条件的？连接点A与点A′，点A到点A′的方向就是平移的方向，线段AA′的长度就是平移的距离.（2）三角形A′B′C′的一个顶点A′已经确定，你认为最少还需要找到几个对应点就可以画出三角形A′B′C′？由三个顶点可以确定三角形的形状，则最少还需要找到两个对应点，即点B′和点C′.（3）根据平移的性质，如何作出点B的对应点B′？根据平移前后的图形对应点的连线平行且相等，可以确定点B的对应点B′.按此方法也可以作出点C的对应点C′.（4）平移前后的“对应点”与“对应顶点”相同吗？它们有什么联系和区别？不相同，“对应顶点”是“对应点”中比较特殊的一部分点，起到决定图形形状的作用.请结合以上思考，画出平移后的图形.解：如图，连接AA′，过点B画AA′的平行线l，在l上截取BB′=AA′，则点B′就是点B的对应点.类似地，作出点C的对应点C′，连接A′B′，B′C′，C′A′，就得到了平移后的三角形A′B′C′.归纳总结：平移作图的一般思路：①确定平移的方向和距离；②找出表示图形的关键点（通常情况下是顶点）；③过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；④按原图形的顺序连接对应点.利用平移，人们可以设计出美丽的图案，许多装饰图案就是利用平移设计的.[对应训练]教材P29练习第2、3题.[教学建议]教师可带领学生进行图案设计方面的探究活动，如选择一个图形作为基本图形，利用平移设计一个图案，再给它们涂上颜色.让同学们互相交流自己的设计.教师也可利用信息技术工具方便地平移图形，设计图案，更直观地让学生感受平移.根据平移的性质，画出平移前或平移后的图形.活动三：重点突破,提升探究例225 如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移，平移的距离等于AD的长，得到三角形DEF，已知∠ABC=90°，AD=6，EF=8，CG=3，求图中阴影部分的面积.解：根据平移的性质可知，BE=AD=6，BC=EF=8，S三角形ABC=S三角形DEF.∴BG=BC-CG=8-3=5.∵S三角形ABC=S阴影+S三角形BDG，S三角形DEF=S梯形BEFG+S三角形BDG，∴S阴影=S梯形BEFG.∵S梯形BEFG=(BG+EF)·BE=×(5+8)×6=39,∴故图中阴影部分的面积是39.例3如图，已知三角形ABC的周长为10cm，将三角形ABC沿边BC向右平移2.5cm得到三角形DEF，求四边形ABFD的周长.解：根据平移的性质可知，DF=AC，AD=CF=2.5cm.∵三角形ABC的周长=AB+BC+AC=10cm，∴四边形ABFD的周长=AB+BF+DF+AD=AB+(BC+CF)+AC+AD=AB+BC+AC+CF+AD=10+2.5+2.5=15（cm）.[对应训练]如图，在三角形ABC中，AC=4cm，BC=3cm，三角形ABC沿AB方向平移得到三角形DEF.若AE=8cm，BD=2cm.求：（1）三角形ABC沿AB方向平移的距离；（2）四边形AEFC的周长.解：（1）观察图形可知，线段AD的长即为平移的距离.根据平移的性质可知，AD=BE.∵AE=8cm，BD=2cm，∴AD=(AE-BD)=×(8-2)=3（cm），∴三角形ABC沿AB方向平移的距离是3cm.（2）由平移的性质可知，CF=AD=3cm，EF=BC=3cm.∵AE=8cm，AC=4cm，∴四边形AEFC的周长=AE+EF+CF+AC=8+3+3+4=18（cm）.[教学建议]学生独立思考完成，对于例2教师可适当提示将所求图形的面积转化为其他规则图形的面积.平移前后，图形的面积不变，对应线段相等，平移距离相等，由此可得到相关条件.[设计意图]利用平移的性质解决面积问题或周长问题.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.平移是什么？平移具有哪些性质？2.画平移图形时需要注意哪些地方？【作业布置】1.教材P29习题7.4第1，2，3，4，5，6题.25