数学●全国Ⅰ卷丨2025年普通高等学校招生全国统一考试试卷（解析版）
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2025普通高等学校招生全国统一考试1卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。1.(1+5i)i的虚部为()A.-1B.0C.1D.6【答案】C【解析】z=(1+5i)i=-5+i，所以z的虚部为1，选C。2.设全集U={x|x为小于9的正整数}，A={1,3,5}，则∁UA中的元素个数为()A.0B.3C.5D.8【答案】C【解析】U={1,2,3,4,5,6,7,8}，A={1,3,5}，所以∁UA={2,4,6,7,8}，共5个元素，选C。3.双曲线虚轴长是实轴长的7倍，求离心率为()A.2B.2C.7D.22【答案】Db【解析】由题知2b=7×2a，所以=7，ac2b双曲线的离心率e==1+=22，选D。aa2π4.已知点(a,0)(a>0)是函数y=2tanx-3的图像的一个对称中心，则a的最小值为()πππ4πA.B.C.D.6323【答案】Bkππ【解析】因为tanx的对称中心为2,0,k∈Z，所以y=2tanx-3的对称中心为kππkπππ2+3,0,k∈Z，所以a=2+3,k∈Z，又a>0，所以a的最小值为3，选B.35.已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5-2x，则f-4=()1111A.-B.-C.D.2442【答案】A331111【解析】由题知f(-x)=f(x)，f(x+2)=f(x)，所以f-4=f4=f4=5-2×4=1-，选A.26.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图(风速的大小和向量的大小相同，单位m/s)，则真风为(),图1图2A.轻风B.微风C.和风D.劲风【答案】A【解析】真风风速+船行风速=视风风速，∴真风风速=视风风速+船速视风风速=(-3,-1)，船速=(1,3)，∴真风风速=(-2,2)∴|真风风速|=22∈(1.1,3.3)为轻风，选：A.7.已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=3x+2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是()A.(0,1)B.(1,3)C.(3,+∞)D.(0,+∞)【答案】B|0-(-2)+2|【解析】由题知圆心C(0,-2)，半径为r，圆心C到直线的距离d==2，所以要使22(3)+(-1)圆C上到直线y=3x+2的距离为1的点有且仅有两个，则1<r<3，选b.8.已知2+log2x=3+log3y=5+log5z，则x,y,z的大小关系不可能为()a.x>y>zB.x>z>yC.y>x>zD.y>z>x【答案】B【解析】法一：令2+logx=3+logy=5+logz=k，则x=2k-2，y=3k-3，z=5k-5235k=5，y>x>z；k=4，x>y>z；k=10，z>y>x；k=8，y>z>x由此可确定答案为B，以下为一般性验证：3125ln27y3k-33k-313k-3z>y⇒5k-5>3k-3,k>,此时===ln5x2k-22k-3⋅2223ln312527ln25-313ln513ln51329>3=3==>1(此时y>x),∴不可能有x>z>y,选2222228B.法二：设2+logx=t，则x=2t-2=f(t)，y=3t-3=g(t)，z=5t-5=h(t).2在同一坐标系中画出三个函数的图象：,显然三个函数图象由y=2t,y=3t,y=5t向右平移而来，在(-∞,0)上的大小关系为2t>3t>5t，因此向右平移后的三个函数图象依然保持此大小关系（底数小的平移量更多）.结合指数函数的增长速度可知，当t足够大时，一定有5t-5>3t-3>2t-2，下面判断中间的过渡过程：当t=4时，2t-2>3t-3>5t-5，此时依旧为f(t)>g(t)>h(t)；当t=5时，f(5)=23=8，g(5)=32=9，h(5)=50=1，即∃t∈(4,5)使得f(t)=g(t)，当t1>t1后，g(t)>f(t)；当t=8时，f(8)=26=64，g(8)=35=243，h(8)=53=125，即∃t∈(5,8)使得f(t)=2h(t)，当t>t2后，h(t)>f(t)；显然∃t3∈(8,+∞)使得g(t)=h(t)，当t>t3后，h(t)>g(t)；综上，当t<t1时，f(t)>g(t)>h(t)，即x>y>z；当t1<t<t2时，g(t)>f(t)>h(t)，即y>x>z；当t2<t<t3时，g(t)>h(t)>f(t)，即y>z>x；当t>t3时，h(t)>g(t)>f(t)，即z>y>x；则A、C、D选项均可能出现，B选项不可能出现.故选择：B法三：由题知logx-1=logy=logz+2=k，所以x=2k+1，y=3k，z=5k-2，23511当k=-1时，x=1,y=,z=，此时x>y>z，A可能正确；3125当k=2时，x=8,y=9,z=1，此时y>x>z，C可能正确；当k=5时，x=26=64,y=35=243,z=53=125，此时y>z>x，D可能正确.故选择：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC中点，则()A.AD⊥A1CB.B1C⊥平面AA1DC.CC1∥平面AA1DD.AD∥A1B1【答案】BD10.设抛物线C:y2=6x的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于AB的直线交l:y=33-x于E，过A作x=-的垂线，垂足为D，则()22,A.|AD|=|AF|B.|AE|=|AB|C.|AB|≥6D.|AE|⋅|BE|≥18【答案】ACD3【解析】F2,0，由抛物线的定义知AD=AF，A对.AB≥2p=6，C对.33x=my+令AB:x=my+，A(x,y)，B(x,y)，2消y可得y2-6my-9=011222y2=6xy+y=6m，yy=-9，x+x=m(y+y)+3=6m2+3，121212123323AB:x1+2+x2+2=6m+6，m=0时E-2,0，AB=6，EF=3，此时EF≠AB，∴B错.133此时AE=BE=32，AE⋅BE=18，m≠0时，EF:x=-my+2，E-2,3m211122EF=9+9m，S△AEB=AE⋅BEsin∠AEB=AB⋅EF=(6m+6)9+9m>922218AE⋅BE>>18，综上AE⋅BE≥18，D对，选ACD.sin∠AEB1111.cos2A+cos2B+2sinC=2，S△ABC=，cosAcosBsinC=，以下正确的是()44A.sinC=sin2A+sin2BB.AC2+BC2=36C.AB=2D.sinA+sinB=2【答案】ACD【解析】1-2sin2A+1-2sin2B+2sinC=2,∴sin2A+sin2B=sinC，A正确.对于B，AC2+BC2=AB2=2，B错.由sin2A+sin2B=sinAcosB+cosAsinBπ∴sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)=0，∵A,B为锐角，若A+B>2πA>-B2π则，∴sinA>cosB，sinB>cosA，∴矛盾，舍去，A+B<也矛盾B>π-A22πππ1111∴A+B=，∴B=-A，C=，sinAcosA=⇒sin2A=，sin2A=2224242ππ5π6-26+2不妨设2A=，A=，B=，a=c⋅，b=c⋅，612124411241∴S△ABC=ab=⋅c⋅=,∴c=2，C正确.221646-26+26sinA+sinB=+=，D正确.442选：ACD.,三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的切线，则a=._________【答案】4【解析】设切点P(x,ex0+x+a)，f'(x)=ex+100ex0+1=2x=00∴x⇒，∴a=4.2x+5=e0+x+aa=40013.若一个等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为._________【答案】±2a(1-q4)1=41-q【解析】由题意知q≠1，∴⇒1+q4=17，q4=16，q=±2.a(1-q8)1=681-q14.一个箱子里有5个球，分别以1-5标号，若有放回取三次，记至少取出一次的球的个数X，则E(X)=._________61【答案】25131【解析】X=1,2,3，P(X=1)=5×5=25，212121213312P(X=2)=C35×5×2·C5=25，P(X=3)=5×6×C5=251243661∴E(X)=++=.25252525四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；（2）根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.2n(ad-bc)附：χ2=，(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【解析】（1）超声波检查结果不正常者有200人1809这200人中患该疾病的有180人，p==20010（2）零假设H0：超声波检查结果与是否患该疾病无关,21000(20×20-180×780)χ2=≈765.625>10.828800×200×200×800根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立即认为超声波检查结果与是否患该疾病有关.an+1an116.(15分)已知数列{an}中，a1=3，=+.nn+1n(n+1)（1）证明：数列{nan}是等差数列；（2）给定正整数m，设函数f(x)=ax+ax2+⋯+axm，求f'(-2).12man+1an1【解析】（1）=+，(n+1)an+1=nan+1，∴(n+1)an+1-nan=1nn+1n(n+1)∴{nan}是以1为公差的等差数列.n+2（2）1a1=3，∴nan=3+(n-1)·1=n+2，∴an=nf'(x)=a+2ax+3ax2+⋯+maxm-1123mf'(x)=3+4x+5x2+⋯+(m+2)xm-1①，xf'(x)=3x+4x2+⋯+(m+1)xm-1+(m+2)xm②，①-②，(1-x)f'(x)=3+x+x2+⋯+xm-1-(m+2)xm，x=-2m-1'-2[1-(-2)]m3f(-2)=3+-(m+2)(-2)1-(-2)m'-2-(-2)m3f(-2)=3+-(m+2)(-2)377m=3-m+3(-2)'7m7mf(-2)=9-3+9(-2).17.(15分)如图所示的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD.BC∥AD，AB⊥AD.（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=AB=2，AD=3+1，BC=2，P,B,C,D在同一个球面上，设该球面的球心为O.（i）证明：O在平面ABCD上；（ii）求直线AC与直线PO所成角的余弦值.【解析】（1）AB⊥AD，又∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥ABAD∩PA=A，AD,PA⊂平面PAD，∴AB⊥平面PADAB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.（2）PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，∴AB,AD,AP两两垂直，分别以AB,AD,AP为x,,y,z轴建立空间直角坐标系A-xyz.则B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,3+1,0)，P(0,0,2)法一：（i）设球心O(x,y,z)，半径R，x2+y2+(z-2)2=ROP=Rx=0222OB=R(x-2)+y+z=Ry=1OC=R，∴222，∴z=0(x-2)+(y-2)+z=ROD=Rx2+(y-3-1)2+z2=RR=3O(0,1,0)，∴O∈平面ABCD.法二：（i）设△BCD外接圆圆心为O1，2易知BC中垂线为y=1；BD中垂线为y=x+1，3+1联立解得O1(0,1,0)，由于PO1=3,BO1=3，所以PO1=BO1，此时O与O1重合，故O在平面ABCD上.（ii）AC=(2,2,0)，PO=(0,1,-2)cos<ac,po>=|cos<ac,po>||AC·PO|=|AC||PO|2=6·32=32y2x2218.(17分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，|AB|=a2b2310.（1）求C的方程；（2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足|AP|⋅|AR|=3.（i）设P(m,n)，求R的坐标（用m,n表示）；（ii）设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍，求|PQ|的最大值.【解析】方法一：（1）a2+b2=10a2+b2=10a2=9c22⇒b28⇒e==1-=b2=1a3a29x2，+y2=1.9,（2）Q(x0,y0)，A(0,-1)，P(m,n)，∵|AP|⋅|AQ|=3，AP=(m,n+1)，∴AP⋅AQ=3，AQ=(x0,y0+1)⇒mx0+(n+1)y0=2-n①，n+1n+1AP:y=x-1，∵Q在AP上，∴y0=x0-1⇒(n+1)x0-my0=m②，mm3mx0=22m+(n+1)联立①②⇒-m2-n2+n+2y0=m2+(n+1)2-m2-n2+n+2n（3）k1=kOQ=，k2=kOP=，∵3k2=k13mm3n-m2-n2+n+2∴=，M(x,y)→x2=9-9y2⇒m2+(n-4)2=181111m3m∴P轨迹为以C(0,4)为圆心，32为半径的圆∴|PM|=|MC|+r=x2+(y-4)2+32=9-9y2+y2-8y+16+32maxmax1111121=-8y1-8y1+25+32，当y1=-时，|PM|max=33+32.2方法二：（1）由题意知c22=a3a=3a2+b2=10⇒b=1a2-b2=c2x2椭圆：+y2=1.923（2）设AQ=λAP，A(0,-1)，AP⋅AQ=AP⋅AQ=λAP=3，∴λ=22m+(n+1)33m3(n+1)∴AQ=(m,n+1)=,m2+(n+1)2m2+(n+1)2m2+(n+1)23m3(n+1)∴Q,-1m2+(n+1)2m2+(n+1)2223(n+1)-m-(n+1)n（3）k1=，k2=3mm223(n+1)-m-(n+1)3n22=，∴m+n+8n-2=03mm22∴P在圆B:x+(y+4)=18上运动，B(0,-4)，M(x0,y0),22∴|PM|≤|MB|+32=x0+(y0+4)+32=9-9y2+y2+8y+16+32=-8y2+8y+25+32≤33+32000001当且仅当y0=时取“=”2第三问方法三：3(n+1)22-122yR3nm+(n+1)3(n+1)-[m+(n+1)]2（ii）kOR==3kOP===⇒m+(n+xRm3m3m22m+(n+1)24)=18，即P在以G(0,-4)为圆心，半径为r=32的圆上运动，所以|PQ|≤|PG|+|QG|=r+|QG|=32+|QG|，Q在椭圆C上，故可设为(3cosθ,sinθ)，222|QG|=9cosθ+(sinθ+4)=-8sin2θ+8sinθ+2512=-8sinθ-2+27≤271331当sinθ=，即Q为±,，且P,Q,G三点共线且P在QG射线上时取到最大值，222此时|QG|max=33，所以|PQ|max=3(2+3).19.(17分)设函数f(x)=5cosx-cos5x.π（1）求f(x)在0,4的最大值；（2）给定θ∈(0,π)，设a为实数，证明：存在y∈(a-θ,a+θ)，使得cosy≤cosθ；（3）若存在t使得对任意x，都有5cosx-cos(5x+t)≤b，求b的最小值.''【解析】（1）f(x)=-5sinx+5sin5x=5(sin5x-sinx)，令f(x)=0，得：sin5x=sinx，则有5x=kππkπx+2kπ或5x=π-x+2kπ（k∈Z），即：x=或x=+；263因为x∈0,ππ，f(0)=4，fπ=33，fπ=32，所以，函数4，所以x=0或x=664f(x)=5cosx-cos5x在区间0,π4的最大值为33.（2）法一：不妨设a∈(0,2π)，若a<2θ,θ∈[a-θ,a+θ]，取y=θ即可！若a≥2θ，θ≤a-θ≤2π-θ，cos(a-θ)≤cosθ，取y=a-θ即可！法二：定义集合：设S={y∈R|cosy≤cosθ}，在[0,2π)内，S对应的是[θ,2π-θ]，长度为2π-2θ；补集分析：补集SC={y|cosy>cosθ}在[0,2π)内是[0,θ)∪(2π-θ,2π)，每个小段的长度为θ；由余弦函数的周期性，SC可以表示为[2kπ,2kπ+θ)，相邻区间间距为[2(k+1)k∈Zπ-θ]-(2kπ+θ)=2π-2θ，θ∈(0,π)；区间I=(a-θ,a+θ)，假设I与S没有交集，即I完全包含在SC中，因为SC是由许多长度为θ的小区间组成的，而I的长度是2θ，所以I不可能完全包含在任,何一个长度为θ的小区间内；因此，该假设不成立，I必须与S有交集，即：存在y∈[a-θ,a+θ]，使得cosy≤cosθ.法三：由于cosx周期为2π且为偶函数，不妨设a∈[0,π]①若a>θ，则取y=a∈[a-θ,a+θ]，cosy=cosa≤cosθ②若a≤θ，则取y=θ∈[a-θ,a+θ]，cosy=cosθ≤cosθ法四：可取c=a-2kπ，其中k为整数，-π≤c≤π分情况讨论-情况①：当|c|≥θ时，取y=a，则cosy=cosa=cosc≤cosθ-情况②：当|c|<θ时-(i)当c≥0时，c+θ≥θ，故取z=θ∈(c,c+θ]，y=z+2kπ∈(c+2kπ,c+θ+2kπ]，即y∈(a,a+θ]，且cosy=cosz=cosθ≤cosθ-(ii)当c<0时，c-θ<-θ，取z=-θ∈[c-θ,c)，y=z+2kπ∈[c+2kπ-θ,c+2kπ)，即y∈[a-θ,θ)，且cosy=cosz=cos(-θ)=cosθ≤cosθ综上：当θ∈(0,π)时，对于任意的实数a，均存在y∈[a-θ,a+θ]，使得cosy≤cosθ备注：当考生无法打开解题思路时，可以从简单的、特殊情况开始尝试，如：当θ=π，则cosθ=0，满足cosy≤cosθ=0的y在π,3π222，对于任意的a∈R，区间a-π,a+π的长度是π，因为π,3π2222的长度也是π，所以无论怎样平移，这两个区π间都会有重叠的部分。就是：“给定θ=和a∈R，存在y∈[a-θ,a+θ]，使得cosy≤2cosθ”。据此，打开解题思路，再按照一般情况去书写。（3）本问题意：要找到最小的实数b，使得存在φ∈R使得5cosx-cos(5x+φ)≤b对x∈R恒成立，换句话说，就是：我们需要调整参数φ的值，使得函数gφ(x)=5cosx-cos(5x+φ)的最大值尽可能小，这个最小的最大值就是b的最小值；方法一：g(x)=5cosx-cos(5x+t)，下证b=33为所求.①若b<33，不妨设t∈[-π,π)，则|g(x)|<33，∀x∈Rπ-tπ-t5π-5tt-πt-πt-π有g6=5cos6-cos6+t=5cos6+cos6=6cos6<33-π-tπ+t-5π-5tπ+tg6=5cos6-cos6+t=6cos6<33t-π3t+π3t-ππt+ππcos6<2，cos6<2，t∈[-π,π)，则6∈-3,0，6∈0,3t-ππ<-66t<0则⇒矛盾t+ππt>0>66②若b=33，则取t=0，f(x)=5cosx-cos5x=5cosx-(16cos5x-20cos3x+5cosx),=20t3-16t5,t=cosx353证明∀t∈[-1,1]有20t-16t≤33，t=时取等2下证t6(20-16t2)2≤27⇔x3(20-16x)2≤27，∀x∈[0,1]32324052均值：x(20-16x)≤=85⇒x3(20-16x)≤27，得证.35方法二：由余弦函数周期性可令φ∈[0,2π).①当φ=0时，[5cosx-cos(5x+φ)]2=[5cosx-(16cos5x-20cos3x+cosx)]22101532=(cos2x)3⋅-cos2x9823cos2x+215-3cos2x521082≤⋅=27⇒b≥33⇒bmin=3395π-φππ②当φ∈(0,2π)时，取x=6∈-6,6，5π+φ则5cosx-cos(5x+φ)=5cosx-cos=6cosx≥33⇒bmin=336综上可得：bmin=33法三：令g'(x)=-5sinx+5sin(5x+φ)=0，即：sin(5x+φ)=sinxφ解得：5x+φ=x+2kπ或5x+φ=π-x+2kπ（，k∈Z）φkπφπkπ即：x=-+或x=-++（，k∈Z）42663φkπ当x=-+，即5x+φ=x+2kπ时，cos(5x+φ)=cosx，gφ(x)=4cosx；42φπkπ当x=-++，即5x+φ=π-x+2kπ时，cos(5x+φ)=-cosx，gφ(x)=6cosx；663函数gφ(x)=5cosx-cos(5x+φ)的最大值出现在极值点，因此我们需要比较4cosx和6cosx的最大值，由于6cosx的系数更大，因此gφ(x)的最大值主要由6cosx决定，我们让6cosx尽可能小，也就是让cosx尽可能小；调整参数φ，使得函数gφ(x)的最大值尽可能小πkππ3当φ=0时，极值点为x=+，在这些点上，cosx的最大值是cos=6362π因此gφ(x)的最大值为6cos=33；63对于其他的φ，cosx的最大值不会小于，因此gφ(x)的最大值不会小于33.2法四：由(1)知：b=33时，φ=0满足要求5下证33是极小的：若b<33，令θ=π，由(2)知：∀φ∈R65553∃y∈φ-6π,φ+6π，s.t.cosy≤cos6π=-2,令5x+φ=y，即x=y-φ∈-π,π566，此时：π35cosx-cos(5x+φ)=5cosx-cosy≥5⋅cos+=33>b62这是一个矛盾！法五：只需考虑t∈[0,2π)，设函数g(x)=5cosx-cos(5x+t)，则有π-tπ-t5π-tπ-tg6=5cos6-cos6=6cos6π-tπππ-tπ-t因为t∈[0,2π)，所以6∈-6,6，因此6cos6≥33，即g6≥33。令t=0，g(x)=f(x)，由(1)得，f(x)在0,ππ,π4上的最大值为33，当x∈42时，由ππ(1)得，方程sin5x=sinx仅有一个解x=2，因为f4=-52<0，所以当x∈π,π(x)<0，f(x)单调递减，即f(x)≤fπ=32。42时，f4π当x∈2,π时，f(x)=-f(π-x)<0，故f(x)在[0,2π]上的最大值为33，因为f(x)是周期为2π的函数，所以f(x)的最大值为33。π-t由g≥33可得b≥33，因为t=0时g(x)=f(x)≤33，所以b≤33。6min综上所述，b的最小值为33。备注：1.本题第3问，当考生无法打开解题思路时，可以从简单的、特殊情况开始尝试，如：φ=0时，g0(x)=5cosx-cos5x，计算可知：g0(x)=5cosx-cos5x的最大值确实是33.对于其他的φ，gφ(x)的最大值不会比33更小；ππ5π2.第（1）问的设置，也为第（3）问做好铺垫，g06=5cos6-cos6=33.'(1)f(x)=-5sinx+5sin5x=5(sin5x-sinx)=10cos3x⋅sin2xπππf(x)在0,6↗，6,4↘π故f(x)=f=33max6因此，b=33min</ac,po></ac,po></t<t3时，g(t)></t<t2时，g(t)></t1时，f(t)></r<3，选b.8.已知2+log2x=3+log3y=5+log5z，则x,y,z的大小关系不可能为()a.x>
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