2025年高考上海卷数学真题（解析版）

2025年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷（考试时间120分钟，满分150分）一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.考生应在答题纸的相应位置直接填写结果）1.已知全集，集合，则_________．【答案】##【解析】【分析】根据补集的含义即可得到答案.【详解】根据补集的含义知.故答案为：.2.不等式的解集为_________．【答案】【解析】【分析】转化为一元二次不等式，解出即可.【详解】原不等式转化为，解得，则其解集为.故答案为：.3.己知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为_________．【答案】【解析】【分析】直接根据等差数列求和公式求解.【详解】根据等差数列的求和公式，.故答案为：4.在二项式的展开式中，的系数为_________．【答案】 【解析】【分析】利用通项公式求解可得.【详解】由通项公式，令，得，可得项的系数为.故答案为：.5.函数在上的值域为_________．【答案】【解析】【分析】利用余弦函数的单调性可得.【详解】由函数在上单调递增，在单调递减，且，故函数在上的值域为.故答案为：.6.已知随机变量X的分布为，则期望_________．【答案】【解析】【分析】根据分布列结合期望公式可求期望.【详解】由题设有.故答案为：.7.如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为_________． 【答案】【解析】【分析】求出侧棱长和底面边长后可求体积.【详解】因为且四边形为正方形，故，而，故，故，故所求体积为，故答案为：.8.设，则的最小值为_________．【答案】4【解析】【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可.【详解】易知，当且仅当，即时取得最小值.故答案为：49.4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种．【答案】288【解析】【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可.【详解】先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法，故有种排法. 故答案为：28810.已知复数z满足，则的最小值是_________．【答案】【解析】【分析】先设，利用复数的乘方运算及概念确定，再根据复数的几何意义数形结合计算即可.【详解】设，由题意可知，则，又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动，设，则，由图象可知，所以.故答案为：11.小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角_________．（结果用角度制表示，精确到） 【答案】【解析】【分析】先根据在处的旗杆算出阳光和水平面的夹角，然后结合处的旗杆算出斜面角.【详解】如图，在处，，在处满足，（其中水平面，是射过处杆子最高点的光线，光线交斜面于），故设，则，由勾股定理，，解得，于是故答案为：12.已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则可的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.【详解】若，则，又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立；故. 不妨设，则，不妨设，，则，则，则，由，，则，故.故答案为：.二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.）13.己知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（）AB.C.D.0【答案】B【解析】【分析】根据独立事件的概率公式可求.【详解】因为相互独立，故，故选：B.14.设．下列各项中，能推出的一项是（） A.，且B.，且C.，且D.，且【答案】D【解析】【分析】利用指数函数的性质分类讨论与1的关系即可判定选项.【详解】∵，∴，当时，定义域上严格单调递减，此时若，则一定有成立，故D正确，C错误；当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误.故选：D15.已知，C在上，则的面积（）A.有最大值，但没有最小值B.没有最大值，但有最小值C.既有最大值，也有最小值D.既没有最大值，也没有最小值【答案】A【解析】【分析】设出曲线上一点为，得出，将三角形的高转化成关于的函数,分析其单调性，从而求解.【详解】设曲线上一点为，则，则，，方程为：，即，根据点到直线的距离公式，到的距离为：，设，由于，显然关于单调递减，，无最小值，即中，边上的高有最大值，无最小值，又一定，故面积有最大值，无最小值.故选：A 16.已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（）A.4个B.3个C.1个D.无数个【答案】B【解析】【分析】由可知范围，再由三角形三边关系可得的不等关系，结合函数零点解不等式可得.【详解】由题意，不妨设，三点均在第一象限内，由可知，，故点恒在线段上，则有.即对任意的，恒成立，令，构造函数，则，由单调递增，又，存在，使，即当时，，单调递减；当时，，单调递增；故至多个零点，又由，可知存个零点，不妨设，且.①若，即时，此时或.则，可知成立，要使、、的值均能构成三角形，所以恒成立，故， 所以有，解得；②若，即时，此时.则，可知成立，要使、、的值均能构成三角形，所以恒成立，故，所以有，解得或；综上可知，正整数的个数有个.故选：B.三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.）17.2024年东京奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．206.78207.4620795209.34209.35210.68213.73214.84216.93216.93（1）求这组数据的极差与中位数；（2）从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；（3）若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）．【答案】（1）；；（2）（3）【解析】【分析】（1）由最长与最短用时可得极差，由中间两数平均数可得中位数；（2）由古典概型概率公式可得； （3）先求成绩平均数，再由在回归直线上，代入方程可得，再代入年份预测可得.【小问1详解】由题意，数据的最大值为，最小值为，则极差为；数据中间两数为与，则中位数为.故极差为，中位数为；【小问2详解】由题意，数据共个，以上数据共有个，故设事件“恰有个数据在以上”，则，故恰有个数据在以上的概率为；【小问3详解】由题意，成绩的平均数，由直线过，则，故回归直线方程为.当时,.故预测年冠军队的成绩为秒.18.如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且． （1）若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积；（2）已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由线面角先算出母线长，然后根据侧面积公式求解.（2）证明平面平面，然后根据面面平行的性质可得.【小问1详解】由题知，，即轴截面是等边三角形，故，底面周长为，则侧面积为：;【小问2详解】由题知，则根据中位线性质，，又平面，平面，则平面由于，底面圆半径是，则，又，则，又，则为等边三角形，则，于是且，则四边形是平行四边形，故，又平面，平面，故平面.又平面，根据面面平行的判定，于是平面平面，又，则平面，则平面 19.已知．（1）若，求不等式的解集；（2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围；【答案】（1）（2）且.【解析】【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解；（2）求出函数导数，就分类讨论后可得参数的取值范围.【小问1详解】因为，故，故，故，故即为，设，则，故在上为增函数，而即为，故，故原不等式的解为.【小问2详解】在有极大值即为有极大值点.，若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍；若即，则时，，时，，故为的极大值点，符合题设要求；若，则时，，无极值点，舍；若即，则时，，时，，故为的极大值点，符合题设要求；综上，且.20.已知椭圆，，A是的右顶点．（1）若的焦点，求离心率e；（2）若，且上存在一点P，满足，求m；（3）已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由方程可得，再由焦点坐标得，从而求出得离心率；（2）设点坐标，由向量关系坐标化可解得坐标，代入椭圆方程可得；（3）根据中垂线性质，由斜率与中点坐标得直线方程，联立直线与椭圆方程，将钝角条件转化为向量不等式，再坐标化利用韦达定理代入化简不等式求解可得范围. 【小问1详解】由题意知，，则，由右焦点，可知，则，故离心率.【小问2详解】由题意，由得，，解得，代入，得，又，解得.【小问3详解】由线段中垂线的斜率为，所以直线的斜率为，则，解得，由得中点坐标为，故直线，显然直线过椭圆内点，故直线与椭圆恒有两不同交点，设，由消得， 由韦达定理得，因为为钝角，则，且，则有，所以，即，解得，又，故，即的取值范围是.21.已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．（1）若，判断是否是中的元素，请说明理由；（2）若，求a的取值范围；（3）若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点．【答案】（1）不是；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）直接代入计算和即可； （2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案；（3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可.【小问1详解】（1），，则不是中的元素.【小问2详解】法一：因为，则存在实数使得，且，当时，，其在上严格单调递增，当时，，其在上也严格单调递增，则，则，令，解得，则，则.法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点，由图知，假设交点分别为，，联立方程组得【小问3详解】（3）对任意，因为其是偶函数，则，而， 所以，所以，因为，则，所以，所以，所以当时，，，则，，则，而，，则，则，所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下：其中，但其对应的值均未知.首先说明，若，则，易知此时，则，所以，而时，，所以，与矛盾，所以，即，令，则，当时，即使让，此时最多7个零点，当时，若，此时有5个零点，故此时最多5个零点； 当时，若，此时有5个零点，故此时最多5个零点；当时，若，此时有3个零点，若，则，易知此时，则，所以，而时，，所以，与矛盾，所以，则最多在之间取得6个零点，以及在处成为零点，故不超过9个零点.综上，零点不超过9个.