2021年四川省乐山市中考数学试卷

2021年四川省乐山市中考数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.1．（3分）（2021•乐山）如果规定收入为正，那么支出为负，收入2元记作，支出5元记作　　A．5元B．元C．元D．7元2．（3分）（2021•乐山）在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是　　类型健康亚健康不健康数据（人3271A．32B．7C．D．3．（3分）（2021•乐山）某种商品千克的售价为元，那么这种商品8千克的售价为　　A．（元B．（元C．（元D．（元4．（3分）（2021•乐山）如图，已知直线、、两两相交，且，若，则的度数为　　A．B．C．D．第40页（共40页）\n5．（3分）（2021•乐山）如图，已知直线与坐标轴分别交于、两点，那么过原点且将的面积平分的直线的解析式为　　A．B．C．D．6．（3分）（2021•乐山）如图是由4个相同的小正方体堆成的物体，将它在水平面内顺时针旋转后，其主视图是　　A．B．C．D．7．（3分）（2021•乐山）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图1所示世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”，图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积为　　第40页（共40页）\nA．3B．C．2D．8．（3分）（2021•乐山）如图，已知点是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作、延长线的垂线，垂足分别为点、．若，，则的值为　　A．B．C．2D．9．（3分）（2021•乐山）如图，已知，，，与、均相切，点是线段与抛物线的交点，则的值为　　A．4B．C．D．510．（3分）（2021•乐山）如图，直线与反比例函数的图象相交于、两点，线段的中点为点，过点作轴的垂线，垂足为点．直线过原点和点第40页（共40页）\n．若直线上存在点，满足，则的值为　　A．B．3或C．或D．3二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.11．（3分）（2021•乐山）　　．12．（3分）（2021•乐山）因式分解：　　．13．（3分）（2021•乐山）如图是根据甲、乙两人5次射击的成绩（环数）制作的折线统计图．你认为谁的成绩较为稳定？　　（填“甲”或“乙”14．（3分）（2021•乐山）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点处测得石碑顶点的仰角为，她朝石碑前行5米到达点处，又测得石碑顶点的仰角为，那么石碑的高度的长　　米．（结果保留根号）第40页（共40页）\n15．（3分）（2021•乐山）在中，，有一个锐角为，．若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为　　．16．（3分）（2021•乐山）如图，已知点，点为直线上的一动点，点，，于点，连接．若直线与正半轴所夹的锐角为，那么当的值最大时，的值为　　．三、本大题共3个小题，每小题9分，共27分.17．（9分）（2021•乐山）当取何正整数值时，代数式与的值的差大于1．18．（9分）（2021•乐山）如图．已知，，与相交于点，求证：．第40页（共40页）\n19．（9分）（2021•乐山）已知，求、的值．四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分.20．（10分）（2021•乐山）已知关于的一元二次方程．（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；（2）二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解．21．（10分）（2021•乐山）某中学全校师生听取了“禁毒”宣传报告后，对禁毒人员肃然起敬．学校德育处随后决定在全校1000名学生中开展“我为禁毒献爱心”的捐款活动．张老师在周五随机调查了部分学生随身携带零花钱的情况，并将收集的数据进行整理，绘制了如图所示的条形统计图．（1）求这组数据的平均数和众数；（2）经调查，当学生身上的零花钱多于15元时，都愿捐出零花钱的，其余学生不参加捐款．请你估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款多少元？（3）捐款最多的两人将和另一个学校选出的两人组成一个“禁毒”知识宣讲小组，若从4人中随机指定两人担任正、副组长，求这两人来自不同学校的概率．第40页（共40页）\n22．（10分）（2021•乐山）如图，直线分别交轴、轴于、两点，交反比例函数的图象于、两点．若，且的面积为4．（1）求的值；（2）当点的横坐标为时，求的面积．五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分.23．（10分）（2021•乐山）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．（1）求点对应的指标值；第40页（共40页）\n（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．24．（10分）（2021•乐山）如图，已知点是以为直径的半圆上一点，是延长线上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连结，且．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的半径．六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分.25．（12分）（2021•乐山）在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连结．（1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，连结，，则　　；（2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．①在图2中补全图形；第40页（共40页）\n②探究与的数量关系，并证明；（3）如图3，若，且．试探究、、之间满足的数量关系，并证明．26．（13分）（2021•乐山）已知二次函数的图象开口向上，且经过点，．（1）求的值（用含的代数式表示）；（2）若二次函数在时，的最大值为1，求的值；（3）将线段向右平移2个单位得到线段．若线段与抛物线仅有一个交点，求的取值范围．第40页（共40页）\n2021年四川省乐山市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.1．（3分）（2021•乐山）如果规定收入为正，那么支出为负，收入2元记作，支出5元记作　　A．5元B．元C．元D．7元【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．【解答】解：如果规定收入为正，那么支出为负，收入2元记作，支出5元记作元．故选：．【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．2．（3分）（2021•乐山）在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是　　类型健康亚健康不健康数据（人3271A．32B．7C．D．【分析】根据频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比），即频率频数总数，进而得出答案．【解答】解：抽取了40名学生进行了心理健康测试，测试结果为“健康”的有32人，第40页（共40页）\n测试结果为“健康”的频率是：．故选：．【点评】此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率的求法是解题关键．3．（3分）（2021•乐山）某种商品千克的售价为元，那么这种商品8千克的售价为　　A．（元B．（元C．（元D．（元【分析】先求出1千克商品的价格，再乘以8，即可解答．【解答】解：根据题意，得：（元，故选：．【点评】本题考查了列代数式，解决本题的关键是先求出1千克商品的价格．4．（3分）（2021•乐山）如图，已知直线、、两两相交，且，若，则的度数为　　A．B．C．D．【分析】先求出的对顶角等于，再根据三角形的外角性质求出的度数．【解答】解：如图，根据对顶角相等得：，，第40页（共40页）\n．是三角形的外角，，故选：．【点评】本题考查了对顶角和三角形外角的性质，比较简单，属于基础题．5．（3分）（2021•乐山）如图，已知直线与坐标轴分别交于、两点，那么过原点且将的面积平分的直线的解析式为　　A．B．C．D．【分析】根据坐标轴上点的坐标特征求出，，则的中点为，所以经过的中点，直线把平分，然后利用待定系数法求的解析式；【解答】解：如图，当，，解得，则；当，，则，第40页（共40页）\n的中点坐标为，直线把面积平分以经过的中点；直线过的中点，设直线的解析式为，把代入得，解得，的解析式为，故选：．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，明确直线过的中点是解题的关键．6．（3分）（2021•乐山）如图是由4个相同的小正方体堆成的物体，将它在水平面内顺时针旋转后，其主视图是　　A．B．C．D．【分析】顺时针旋转后，找到从正面看到的图形即可．【解答】解：顺时针旋转后，从正面看第一列有一层，第二列有两层，第40页（共40页）\n故选：．【点评】本题考查了三视图以及旋转的知识，考查了学生对立体图形的空间想象能力．7．（3分）（2021•乐山）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图1所示世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”，图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积为　　A．3B．C．2D．【分析】分别求出阴影部分平行四边形，三角形的面积可得结论．【解答】解：由题意，阴影部分的平行四边形的面积，阴影部分的三角形的面积，阴影部分的面积，故选：．【点评】本题考查七巧板，正方形的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．8．（3分）（2021•乐山）如图，已知点是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作、延长线的垂线，垂足分别为点、．若，，则的值为　　第40页（共40页）\nA．B．C．2D．【分析】设交于，根据已知可得，而，即可得到答案．【解答】解：设交于，如图：菱形，，，，，，，中，，，，中，，，中，，，，，故选：．第40页（共40页）\n【点评】本题考查菱形的性质及应用，解题的关键是求出，把转化为．9．（3分）（2021•乐山）如图，已知，，，与、均相切，点是线段与抛物线的交点，则的值为　　A．4B．C．D．5【分析】设点的坐标为，由点、的坐标得，，则，由，得到，进而求解．【解答】解：设与、分别相切于点、，连接、，设圆的半径为，则，由题意知，，则直线与轴的夹角为，则，由点、的坐标得，直线的表达式为，则点的坐标为，第40页（共40页）\n由点、的坐标得，，则，与、分别相切于点、，故，在中，，，则，即，解得，故点的坐标为，将点的坐标代入得，故选：．【点评】本题为几何和函数综合题，涉及一次函数的性质、圆的切线的性质、勾股定理的运用等，综合性强，难度适中．10．（3分）（2021•乐山）如图，直线与反比例函数的图象相交于、两点，线段的中点为点，过点作轴的垂线，垂足为点．直线过原点和点．若直线上存在点，满足，则的值为　　A．B．3或C．或D．3【分析】如图，作的外接圆，交直线于，连接，，则第40页（共40页）\n满足条件．想办法求出点的坐标，可得结论．【解答】解：如图，作的外接圆，交直线于，连接，，则满足条件．由题意，，，，轴，，，，，，是直角三角形，是的中点，，，直线的解析式为，，，，第40页（共40页）\n，，，，此时，，根据对称性可知，点关于点的对称点，，，综上所述，的值为或，故选：．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，三角形的外接圆，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.11．（3分）（2021•乐山）　1　．【分析】直接利用零指数幂的性质计算得出答案．【解答】解：．故答案为：1．【点评】此题主要考查了零指数幂，正确掌握零指数幂的性质是解题关键．12．（3分）（2021•乐山）因式分解：　　．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．【解答】解：．第40页（共40页）\n故答案为：．【点评】此题主要考查了平方差公式分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．13．（3分）（2021•乐山）如图是根据甲、乙两人5次射击的成绩（环数）制作的折线统计图．你认为谁的成绩较为稳定？　甲　（填“甲”或“乙”【分析】方差小的较稳定，分别求出甲、乙方差，即可得到答案．【解答】解：甲的平均成绩为，乙的平均成绩为，甲的方差为，乙的方差为，，甲的成绩较稳定．故答案为：甲．【点评】本题考查方差的应用，解题的关键是求出甲、乙的方差．14．（3分）（2021•乐山）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点处测得石碑顶点的仰角为，她朝石碑前行5米到达点处，又测得石碑顶点的仰角为，那么石碑的高度的长　　米．（结果保留根号）第40页（共40页）\n【分析】设石碑的高度的长为米，和中，分别用含的代数式表示和，用列方程，即可解得，得到答案．【解答】解：设石碑的高度的长为米，中，，中，，，，即，解得，故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是用含的代数式表示和．15．（3分）（2021•乐山）在中，，有一个锐角为，．若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为　2或　．【分析】分、两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．【解答】解：（1）当时，则，第40页（共40页）\n当点在线段上时，，故，则；当点在的延长线上时，，，则△为的等腰三角形则，（2）当时，同理可得，；故答案为2或．【点评】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形等，分类求解是本题解题的关键．16．（3分）（2021•乐山）如图，已知点，点为直线上的一动点，点，，于点，连接．若直线与正半轴所夹的锐角为，那么当的值最大时，的值为　　．第40页（共40页）\n【分析】当的值最大时，则值最大，即当最大时，的值最大，设，由，得到，进而求解．【解答】解：过点作轴于点，作交于点，直线轴，故，当的值最大时，则值最大，故最小，即最大时，最大，即当最大时，的值最大，设，则，，，，，第40页（共40页）\n，，，即，，，故当时，取得最大值，故，故答案为：．【点评】本题考查了一次函数和二次函数的性质，解直角三角形等，解题的关键是确定的值最大时，即最大，题目综合性强，难度适中．三、本大题共3个小题，每小题9分，共27分.17．（9分）（2021•乐山）当取何正整数值时，代数式与的值的差大于1．【分析】根据题意列出关于的一元一次不等式，先去分母，然后通过移项、合并同类项、化系数为1进行解答即可．【解答】解：依题意得：，去分母，得：，去括号，得：，移项，得：，合并同类项，得：，系数化为1，得：．第40页（共40页）\n【点评】本题考查了解一元一次不等式．根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．18．（9分）（2021•乐山）如图．已知，，与相交于点，求证：．【分析】先证明出，进而得出，根据等腰三角形的性质得出结论．【解答】证明：在与中，，，，，，．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，理解判定三角形全等的条件是得出结论的关键．19．（9分）（2021•乐山）已知，求、的值．【分析】根据异分母分式的加减法法则把等式的左边进行计算，根据题意列出方程组，解方程组即可．【解答】解：，第40页（共40页）\n，解得．【点评】本题考查的是分式的加减法，掌握异分母分式的加减法法则是解题的关键．四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分.20．（10分）（2021•乐山）已知关于的一元二次方程．（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；（2）二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解．【分析】（1）由△即可列不等式得到答案；（2）根据抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点，即可得到答案．【解答】解：（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，△，即，；（2）二次函数图象的对称轴为直线，抛物线与轴两个交点关于直线对称，第40页（共40页）\n由图可知抛物线与轴一个交点为，另一个交点为，一元二次方程的解为，．【点评】本题考查一元二次方程及二次函数与二次方程的关系，解题的关键是掌握抛物线的对称性．21．（10分）（2021•乐山）某中学全校师生听取了“禁毒”宣传报告后，对禁毒人员肃然起敬．学校德育处随后决定在全校1000名学生中开展“我为禁毒献爱心”的捐款活动．张老师在周五随机调查了部分学生随身携带零花钱的情况，并将收集的数据进行整理，绘制了如图所示的条形统计图．（1）求这组数据的平均数和众数；（2）经调查，当学生身上的零花钱多于15元时，都愿捐出零花钱的，其余学生不参加捐款．请你估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款多少元？（3）捐款最多的两人将和另一个学校选出的两人组成一个“禁毒”知识宣讲小组，若从4人中随机指定两人担任正、副组长，求这两人来自不同学校的概率．【分析】（1）由加权平均数和众数的定义求解即可；（2）把零花钱多于15元的列式计算即可；（3）画树状图，共有12种等可能的结果，两人来自不同学校的结果有8第40页（共40页）\n种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）这组数据的平均数（元，其中20元出现的次数最多，这组数据的众数为20元；（2）调查的20人中，身上的零花钱多于15元的有12人，估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款为：（元；（3）把捐款最多的两人记为、，另一个学校选出的两人记为、，画树状图如图：共有12种等可能的结果，两人来自不同学校的结果有8种，两人来自不同学校的概率为．【点评】本题考查了利用列表或树状图求概率、条形统计图、加权平均数以及众数等知识；用的的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．22．（10分）（2021•乐山）如图，直线分别交轴、轴于、两点，交反比例函数的图象于、两点．若，且的面积为4．（1）求的值；第40页（共40页）\n（2）当点的横坐标为时，求的面积．【分析】（1）由题意求得的面积为2，作轴于，证得，即可求得的面积为1，从而求得，根据反比例函数系数的几何意义即可求得的值；（2）由，求得，得到为，把代入反比例函数解析式求得的坐标，根据待定系数法求得直线解析式，然后解析式联立，解方程组求得的坐标，最后根据即可求得．【解答】解：（1），且的面积为4，的面积为2，作轴于，，，，即，的面积为1，第40页（共40页）\n，，，，；（2）点的横坐标为，，，，即，，，把代入得，，，设直线为，把、的坐标代入得，解得，直线为，解得或，，第40页（共40页）\n．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数系数的几何意义、三角形的面积公式以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）求出的面积；（2）求得点的坐标．五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分.23．（10分）（2021•乐山）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．（1）求点对应的指标值；（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．第40页（共40页）\n【分析】（1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的指标值；（2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案．【解答】解：（1）设当时，反比例函数的解析式为，将代入得：，解得，反比例函数的解析式为，当时，，，，即对应的指标值为20；（2）设当时，的解析式为，将、代入得：，解得，的解析式为，第40页（共40页）\n当时，，解得，由（1）得反比例函数的解析式为，当时，，解得，时，注意力指标都不低于36，而，张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36．【点评】本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出和时的解析式．24．（10分）（2021•乐山）如图，已知点是以为直径的半圆上一点，是延长线上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连结，且．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的半径．【分析】（1）连接，由，，可得，，而，可得，故可证，是的切线；（2）连接，设的半径为，由，可得，从而可用的代数式表示和，再根据是的切线用切割线定理列方程，即可解得的半径．【解答】解：（1）连接，如图：第40页（共40页）\n，，，，，，，，，，是的切线；（2）连接，如图：，，，，，第40页（共40页）\n中，，设的半径为，则，，，，，是的切线，，，解得或（舍去），的半径为．【点评】本题考查圆综合知识，涉及切线判定、锐角三角函数、切割线定理的应用等，解题的关键是用切割线定理列方程．六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分.25．（12分）（2021•乐山）在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连结．（1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，连结，，则　　；（2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．①在图2中补全图形；②探究与的数量关系，并证明；（3）如图3，若，且．试探究、、第40页（共40页）\n之间满足的数量关系，并证明．【分析】（1）由，，可得，点关于直线的对称点为点，可得，即可得到答案；（2）①根据题意补全图形即可；②由已知得，，，从而可得，，即可得；（3）连接，根据已知可证，，，从而可得，，又，即可得到．【解答】解：（1），，是等边三角形，，点关于直线的对称点为点，，；故答案为：；（2）①补全图形如下：第40页（共40页）\n②，证明如下：，，是等边三角形，，，线段绕点顺时针旋转得到线段，，，，，即，在和中，，，；（3），证明如下：连接，如图：第40页（共40页）\n，，，，，，，，，即，，，在和中，，，，，第40页（共40页）\n而，，即．【点评】本题考查等边三角形性质及应用，解题的关键是掌握有一个角等于的等腰三角形是等边三角形．26．（13分）（2021•乐山）已知二次函数的图象开口向上，且经过点，．（1）求的值（用含的代数式表示）；（2）若二次函数在时，的最大值为1，求的值；（3）将线段向右平移2个单位得到线段．若线段与抛物线仅有一个交点，求的取值范围．【分析】（1）把,代入抛物线的解析式，构建方程组，可得结论．（2）由题意，或时，取得最大值1,由此构建方程求解即可．（3）把问题转化为不等式组，可得结论．【解答】解：（1）二次函数的图象开口向上，经过点，，,．二次函数,,在时，的最大值为1,第40页（共40页）\n时，时，,或,解得(舍弃）或．．线段向右平移2个单位得到线段,,．线段与抛物线仅有一个交点,,解得，．或不等式组无解，．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，二次函数的最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，把问题转化为方程或不等式组解决，属于中考压轴题．第40页（共40页）