2023高考数学统考二轮复习增分强化练十五数列求和与数列的综合问题理含解析202303112234

增分强化练(十五)考点一　利用递推关系或Sn、an的关系求an1．(2019·晋城模拟)数列{an}满足a1＝3，且对于任意的n∈N*都有an＋1－an＝n＋2，则a39＝________.解析：因为an＋1－an＝n＋2，所以a2－a1＝3，a3－a2＝4，a4－a3＝5，…，an－an－1＝n＋1(n≥2)，上面n－1个式子左右两边分别相加得an－a1＝，即an＝，所以a39＝＝820.答案：8202．(2019·宝鸡模拟)若数列{an}满足a1＋2a2＋4a3＋…＋2n－1an＝8n(n∈N*)，则an＝________.解析：当n＝1时，a1＝8.因为a1＋2a2＋4a3＋…＋2n－1an＝8n，所以a1＋2a2＋4a3＋…＋2n－2an－1＝8n－8，(n≥2)两式相减得2n－1an＝8＝23，所以an＝24－n(n≥2)，适合n＝1.所以an＝24－n.答案：24－n考点二　数列求和1．(2019·安阳模拟)已知各项为正的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，且－a2,15，S3依次成等差数列．(1)求an；(2)若bn＝10－2n，求数列{an＋bn}的前n项和Tn.解析：(1)设各项为正的公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，且－a2,15，S3依次成等差数列．所以S3－a2＝30，即a1＋a1q2＝30解得q＝3或－3(负值舍去)．\n故an＝3·3n－1＝3n.(2)由于bn＝10－2n，则an＋bn＝3n＋10－2n，所以Tn＝(31＋32＋…＋3n)＋(8＋6＋…＋10－2n)＝＋＝－n2＋9n－.2．(2019·湛江模拟)Sn为数列{an}的前n项和，已知Sn＝－n2＋n.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.解析：(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋n＋(n－1)2－(n－1)＝－n＋11，当n＝1时，满足上式，∴an＝－n＋11.(2)由an＝－n＋11，可得bn＝＝＝，∴Tn＝＝＝－－.3．(2019·汕头模拟)记Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝19，Sn＝nan＋1＋n(n＋1)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝|an|，设数列{bn}的前n项和为Tn，求T20的值．解析：(1)当n≥2时，因为Sn＝nan＋1＋n(n＋1)，①所以Sn－1＝(n－1)an＋n(n－1)，②①－②得：an＝nan＋1－(n－1)an＋2n，即an＋1－an＝－2(n≥2)，又S1＝a2＋2即a2－a1＝－2，所以数列{an}是以19为首项，－2为公差的等差数列，所以an＝19＋(n－1)·(－2)＝21－2n.(2)由(1)知an＝21－2n，\n所以bn＝|an|＝|21－2n|，因为当n≤10时an>0，当n>10时an<0，所以bn＝，所以T20＝b1＋b2＋…＋b20＝(19＋17＋…＋1)＋(1＋3＋…＋19)＝2(19＋17＋…＋1)＝2×＝200.考点三　数列的应用与综合问题　(2019·三明质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋2.(1)求数列{an}的前n项和Sn；(2)设bn＝log2(S3n＋2)，数列的前n项和为Tn，求证≤4Tn<.解析：(1)因为an＋1＝Sn＋2，①所以当n≥2时，an＝Sn－1＋2，②①－②得，an＋1－an＝Sn－Sn－1，即an＋1＝2an(n≥2)，又因为a2＝a1＋2＝4，即a2＝2a1，所以an＋1＝2an(n≥1)，即数列{an}是以a1＝2为首项，公比q＝2的等比数列，所以an＝2·2n－1＝2n，an＋1＝2n＋1，则Sn＝an＋1－2＝2n＋1－2.(2)证明：由(1)得S3n＝23n＋1－2，所以S3n＋2＝23n＋1，则bn＝log223n＋1＝3n＋1，则＝＝×，所以Tn＝＋＋…＋＝×＝×＝－.\n因为>0，所以Tn<.又Tn＝＝，当n＝1时，Tn取得最小值为，所以≤Tn<，即≤4Tn<.