2023高考数学二轮复习专题练三核心热点突破专题一三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形含解析202303112189

第2讲　三角恒等变换与解三角形高考定位　1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.真题感悟1.(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝(　　)A.B.C.D.解析　由3cos2α－8cosα＝5，得3(2cos2α－1)－8cosα＝5，即3cos2α－4cosα－4＝0，解得cosα＝－或cosα＝2(舍去).又因为α∈(0，π)，所以sinα>0，所以sinα＝＝＝.故选A.答案　A2.(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，则tanB＝(　　)A.B.2C.4D.8解析　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝42＋32－2×4×3×＝9，得AB＝3，所以AB＝BC.过点B作BD⊥AC，交AC于点D，则AD＝AC＝2，BD＝＝，所以tan∠ABD＝＝＝，所以tan∠ABC＝＝4.故选C.答案　C3.(2020·新高考山东、海南卷)在①ac＝，②csinA＝3，③c＝b\n这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA＝sinB，C＝，________？(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)解　方案一：选条件①.由C＝和余弦定理得＝.由sinA＝sinB及正弦定理得a＝b.于是＝，由此可得b＝c.由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1.因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.方案二：选条件②.由C＝和余弦定理得＝.由sinA＝sinB及正弦定理得a＝b.于是＝，由此可得b＝c，B＝C＝，A＝.由②csinA＝3，解得c＝b＝2，a＝6.因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2.方案三：选条件③.由C＝和余弦定理得＝.由sinA＝sinB及正弦定理得a＝b.于是＝，由此可得b＝c.由③c＝b，与b＝c矛盾.因此，选条件③时问题中的三角形不存在.4.(2020·北京卷)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a的值；(2)sinC和△ABC的面积.\n条件①：c＝7，cosA＝－；条件②：cosA＝，cosB＝.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.解　(从条件①②中任选一个即可)选条件①：c＝7，cosA＝－，且a＋b＝11.(1)在△ABC中，由余弦定理，得cosA＝＝＝－，解得a＝8.(2)∵cosA＝－，A∈(0，π)，∴sinA＝＝＝.在△ABC中，由正弦定理，得sinC＝＝＝.∵a＋b＝11，a＝8，∴b＝3，∴S△ABC＝absinC＝×8×3×＝6.选条件②：cosA＝，cosB＝，且a＋b＝11.(1)∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，cosA＝，cosB＝，∴sinA＝＝＝，sinB＝＝＝.在△ABC中，由正弦定理，可得＝＝＝.又∵a＋b＝11，∴a＝6，b＝5.(2)sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝＝.\n∴S△ABC＝absinC＝×6×5×＝.考点整合1.三角函数公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；tan(α±β)＝.(2)二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中tanφ＝.2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式(1)正弦定理在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)；变形：a＝2RsinA，sinA＝，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等.(2)余弦定理在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA；变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝.(3)三角形面积公式S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB.热点一　三角恒等变换【例1】(1)(2020·全国Ⅲ卷)已知2tanθ－tan＝7，则tanθ＝(　　)A.－2B.－1C.1D.2(2)(2019·全国Ⅱ卷)已知α∈，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝(　　)A.B.C.D.\n解析　(1)2tanθ－tan＝2tanθ－＝7，解得tanθ＝2.故选D.(2)由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝2cos2α.由α∈知cosα≠0，则2sinα＝cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，解得sin2α＝，又α∈，所以sinα＝.答案　(1)D　(2)B探究提高　1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系.2.求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知先求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小.求解时，尽量缩小角的取值范围，避免产生增解.【训练1】(1)(2020·深圳统测)已知tanα＝－3，则sin＝(　　)A.B.－C.D.－(2)(2020·江南名校联考)已知α，β均为锐角，且α＋β≠，若sin(2α＋β)＝sinβ，则＝________.解析　(1)由题意，得sin＝sin＝cos2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝－.故选D.(2)因为sin(2α＋β)＝sinβ，则2sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]∴2[sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα]＝3[sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα]从而sin(α＋β)cosα＝5cos(α＋β)sinα.∴tan(α＋β)＝5tanα，故＝5.答案　(1)D　(2)5热点二　利用正(余)弦定理进行边角计算【例2】(2020·青岛质检)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tanA).\n(1)求角C；(2)若c＝2，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度.条件①：S△ABC＝4且B>A；条件②：cosB＝.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)解　(1)已知2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tanA).由余弦定理，得2b2＝2bccosA·(1－tanA)，所以b＝c(cosA－sinA).由正弦定理，得sinB＝sinC(cosA－sinA)，所以sin(A＋C)＝sinCcosA－sinCsinA，所以sinAcosC＝－sinCsinA，又sinA≠0，所以tanC＝－1，又C∈(0，π)，所以C＝π.(2)若选择条件①：S△ABC＝4且B>A.因为S△ABC＝4＝absinC＝absin，所以ab＝8.由余弦定理，得c2＝(2)2＝40＝a2＋b2－2abcos，所以a2＋b2＋ab＝40.由解得或因为B>A，所以b>a，所以所以CD＝.在△ACD中，AD2＝CA2＋CD2－2CA·CD·cosC＝16＋2－2×4×cos＝26，所以AD＝.若选择条件②：cosB＝.因为cosB＝，B∈(0，π)，所以sinB＝.因为sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCcosB＝，所以结合正弦定理＝，得a＝＝2.在△ABD中，由余弦定理，得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cosB＝(2)2＋()2\n－2×2××＝26，解得AD＝.探究提高　1.高考的热点是利用正、余弦定理求三角形的边、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.【训练2】(2020·日照联考)在①3c2＝16S＋3(b2－a2)，②5bcosC＋4c＝5a，这两个条件中任选一个，补充在下面横线处，然后解答问题.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，已知________.(1)求tanB的值；(2)若S＝42，a＝10，求b的值.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)解　选择条件①：(1)由题意得8acsinB＝3(a2＋c2－b2)，即4sinB＝3·，整理可得3cosB－4sinB＝0.又sinB>0，所以cosB>0，所以tanB＝＝.(2)由tanB＝，得sinB＝.又S＝42，a＝10，所以S＝acsinB＝×10c×＝42，解得c＝14.将S＝42，a＝10，c＝14代入3c2＝16S＋3(b2－a2)，得3×142＝16×42＋3(b2－102)，解得b＝6.选择条件②：(1)已知5bcosC＋4c＝5a，由正弦定理，得5sinBcosC＋4sinC＝5sinA，即5sinBcosC＋4sinC＝5sin(B＋C)，即sinC(4－5cosB)＝0.在△ABC中，因为sinC≠0，所以cosB＝.所以sinB＝＝，所以tanB＝.(2)由S＝acsinB＝×10c×＝42，解得c＝14.\n又a＝10，所以b2＝100＋196－2×140×＝72，所以b＝6.热点三　正、余弦定理与其它知识的交汇问题角度1　正、余弦定理与三角函数的结合命题【例3】已知m＝(2cosx＋2sinx，1)，n＝(cosx，－y)，且满足m·n＝0.(1)将y表示为x的函数f(x)，并求f(x)的最小正周期；(2)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，f(x)(x∈R)的最大值是f，且a＝2，求b＋c的取值范围.解　(1)由m·n＝0，得2cos2x＋2sinxcosx－y＝0，即y＝2cos2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x＋1＝2sin＋1，所以f(x)＝2sin＋1，其最小正周期为π.(2)由题意得f＝3，所以A＋＝2kπ＋(k∈Z)，因为0＜A＜π，所以A＝.由正弦定理，得b＝sinB，c＝sinC，则b＋c＝sinB＋sinC＝sinB＋sin＝4sin，又因为B∈，所以sin∈，所以b＋c∈(2，4]，所以b＋c的取值范围是(2，4].角度2　正、余弦定理与向量的结合命题【例4】(2020·潍坊模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(c－a，sinB)，n＝(b－a，sinA＋sinC)，且m∥n.(1)求C；(2)若c＋3b＝3a，求sinA.解　(1)因为m∥n，\n所以(c－a)(sinA＋sinC)＝(b－a)sinB.由正弦定理得(c－a)(a＋c)＝(b－a)b，所以a2＋b2－c2＝ab，所以cosC＝＝＝.因为C∈(0，π)，所以C＝.(2)由(1)知B＝－A.由题设及正弦定理得sinC＋3sin＝3sinA，即＋cosA＋sinA＝sinA，可得sin＝.由于0<A<，因此－<A－<，所以cos＝.故sinA＝sin＝sincos＋cos·sin＝.探究提高　1.该题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解.2.与解三角形有关的交汇问题的关注点(1)根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化.(2)结合三角形内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式.【训练3】已知向量a＝，b＝(－sinx，sinx)，f(x)＝a·b.(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f＝1，a＝2，求△ABC面积的最大值并说明此时△ABC的形状.解　(1)由已知得a＝(－sinx，cosx)，又b＝(－sinx，sinx)，则f(x)＝a·b＝sin2x＋sinxcosx＝(1－cos2x)＋sin2x＝sin＋，∴f(x)的最小正周期T＝＝π，当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋kπ(k∈Z)时，\nf(x)取得最大值.(2)锐角△ABC中，因为f＝sin＋＝1，∴sin＝，∴A＝.因为a2＝b2＋c2－2bccosA，所以12＝b2＋c2－bc，所以b2＋c2＝bc＋12≥2bc，所以bc≤12(当且仅当b＝c＝2时等号成立)，此时△ABC为等边三角形.S△ABC＝bcsinA＝bc≤3.所以当△ABC为等边三角形时面积取最大值3.A级　巩固提升一、选择题1.(2020·全国Ⅲ卷)已知sinθ＋sin＝1，则sin＝(　　)A.B.C.D.解析　因为sinθ＋sin＝sin＋sin＝sincos－cossin＋sincos＋cossin＝2sincos＝sin＝1，所以sin＝.故选B.答案　B2.(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－，则＝(　　)A.6B.5C.4D.3解析　由正弦定理得，asinA－bsinB＝4csinC⇒a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2，又cosA＝＝－，于是可得到＝6.故选A.答案　A3.已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β等于(　　)A.B.C.D.\n解析　由α，β为锐角，则－<α－β<，由sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝，又sinα＝，所以cosα＝，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝.所以β＝.答案　C4.(多选题)(2020·菏泽六校联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a∶b∶c＝4∶5∶6，则下列结论正确的是(　　)A.sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6B.△ABC是钝角三角形C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍D.若c＝6，则△ABC的外接圆的半径为解析　由a∶b∶c＝4∶5∶6，可设a＝4x，b＝5x，c＝6x，x>0.根据正弦定理可知sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，A正确.由c为最大边，cosC＝＝＝>0，即C为锐角，得△ABC为锐角三角形，B不正确.a为最小边，cosA＝＝＝，则cos2A＝2cos2A－1＝2×－1＝＝cosC.由2A，C∈(0，π)，可得2A＝C，C正确.若c＝6，则2R＝＝＝(R为△ABC的外接圆的半径)，则△ABC的外接圆的半径为，D正确.故选ACD.答案　ACD5.(多选题)(2020·北京海淀区联考)在△ABC中，点D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3.若CB\n＝2CD，cos∠CDB＝－，则(　　)A.sin∠CDB＝B.△ABC的面积为8C.△ABC的周长为8＋4D.△ABC为钝角三角形解析　因为cos∠CDB＝－，所以sin∠CDB＝＝，A错误.设CD＝a，则BC＝2a.在△BCD中，由余弦定理，得BC2＝CD2＋BD2－2BD·CD·cos∠CDB，即4a2＝a2＋9－6a×，解得a＝，所以S△DBC＝BD·CD·sin∠CDB＝×3××＝3，所以S△ABC＝S△DBC＝8，B正确.因为∠ADC＝π－∠CDB，所以cos∠ADC＝cos(π－∠CDB)＝－cos∠CDB＝.在△ADC中，由余弦定理，得AC2＝AD2＋CD2－2AD·DC·cos∠ADC＝25＋5－2×5××＝20，解得AC＝2.所以C△ABC＝AB＋AC＋BC＝(3＋5)＋2＋2＝8＋4，C正确.因为cos∠BCA＝＝－<0，所以∠BCA为钝角，所以△ABC为钝角三角形，D正确.故选BCD.答案　BCD二、填空题6.(2020·江苏卷)已知sin2＝，则sin2α的值是________.解析　因为sin2＝，所以＝，即＝，所以sin2α＝.答案　7.(2019·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________.解析　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.又∵b＝6，a＝2c，B＝，∴36＝4c2＋c2－2×2c2×，∴c＝2，c＝－2(舍去)，∴a＝4，\n∴S△ABC＝acsinB＝×4×2×＝6.答案　68.(2020·郑州一预)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcosC与ccosB的等差中项为acosB，则B＝________；若a＋c＝5，△ABC的面积S＝，则b＝________.解析　因为bcosC与ccosB的等差中项为acosB，所以2acosB＝bcosB＋ccosB.由正弦定理可得2sinAcosB＝sinBcosC＋sinCcosB，即2sinAcosB＝sin(B＋C)＝sin(π－A)，即2sinAcosB＝sinA.因为A∈(0，π)，所以sinA>0，所以cosB＝.因为B∈(0，π)，所以B＝.因为△ABC的面积S＝，所以acsinB＝，所以ac＝4.由余弦定理，得b＝＝＝＝.答案　　三、解答题9.(2020·海南新高考诊断)在①cosA＝，cosC＝；②csinC＝sinA＋bsinB，B＝60°；③c＝2，cosA＝三个条件中任选一个填至横线上，并加以解答.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，________，求△ABC的面积S.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)解　选①.∵cosA＝，cosC＝，∴sinA＝，sinC＝，∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.由正弦定理，得b＝＝＝，∴S＝absinC＝×3××＝.选②.∵csinC＝sinA＋bsinB，∴结合正弦定理，得c2＝a＋b2.∵a＝3，∴b2＝c2－3.\n又∵B＝60°，∴b2＝c2＋9－2×3×c×＝c2－3，∴c＝4，∴S＝acsinB＝3.选③.∵c＝2，cosA＝，∴结合余弦定理，得＝，即b2－－5＝0，解得b＝或b＝－2(舍去).又∵sinA＝＝，∴S＝bcsinA＝××2×＝.10.(2020·全国Ⅱ卷)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值.解　(1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA.②由①②得cosA＝－.因为0<A<π，所以A＝.(2)由正弦定理及(1)得＝＝＝2，从而AC＝2sinB，AB＝2sin(π－A－B)＝3cosB－sinB.故BC＋AC＋AB＝3＋sinB＋3cosB＝3＋2sin.又0<B<，所以当B＝时，△ABC周长取得最大值3＋2.B级　能力突破11.(2020·漳州适应性测试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，b＝3c，角A的平分线交BC于点D，且BD＝，则cos∠ADB的值为(　　)\nA.－B.C.D.±解析　法一　如图，因为∠BAC＝60°，AD为∠BAC的平分线，所以∠CAD＝∠BAD＝30°.又b＝3c，所以＝＝＝＝3.因为BD＝，所以CD＝3，所以a＝CB＝4.因为a2＝b2＋c2－2bccos∠CAB，所以16×7＝9c2＋c2－2·3c·c·，解得c＝4.在△ABD中，由正弦定理，知＝，即＝，所以sin∠ADB＝.因为b＝3c>c，所以B>C.因为∠ADB＝30°＋C，∠ADC＝30°＋B，所以∠ADB<∠ADC，又∠ADB＋∠ADC＝180°，所以∠ADB为锐角，所以cos∠ADB＝＝＝＝.故选B.法二　因为∠BAC＝60°，AD为∠BAC的平分线，所以∠CAD＝∠BAD＝30°.\n又b＝3c，所以＝＝＝＝3.因为BD＝，所以CD＝3，所以a＝CB＝4.因为a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC，所以16×7＝9c2＋c2－2·3c·c·，解得c＝4.由余弦定理，得cos∠BAD＝，即＝，所以AD2－4AD＋9＝0，所以(AD－)(AD－3)＝0.所以AD＝3或AD＝.因为b＝3c>c，所以B>C.又B＋C＝120°，所以B>60°>∠BAD，所以AD>BD＝，所以AD＝3，所以cos∠ADB＝＝＝.故选B.答案　B12.(2020·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝3，c＝，B＝45°.(1)求sinC的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC＝－，求tan∠DAC的值.解　(1)在△ABC中，因为a＝3，c＝，B＝45°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝9＋2－2×3×cos45°＝5，所以b＝.在△ABC中，由正弦定理＝，得＝，所以sinC＝.(2)在△ADC中，因为cos∠ADC＝－，\n所以∠ADC为钝角.而∠ADC＋C＋∠CAD＝180°，所以C为锐角.故cosC＝＝，则tanC＝＝.因为cos∠ADC＝－，所以sin∠ADC＝＝，所以tan∠ADC＝＝－.从而tan∠DAC＝tan(180°－∠ADC－C)＝－tan(∠ADC＋C)＝－＝－＝.