江苏专用2022高考数学二轮专题复习第二部分考前增分指导三临考回归教材本源以不变应万变理

【创新设计】（江苏专用）2022高考数学二轮专题复习第二部分考前增分指导三临考回归教材本源，以不变应万变理回扣——回归教材，查缺补漏，消除得分障碍1．集合与常用逻辑用语1．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．[回扣问题1]　集合A＝{a，b，c}中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是________．(填等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形)答案　等腰三角形2．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lgx}——函数的定义域；{y|y＝lgx}——函数的值域；{(x，y)|y＝lgx}——函数图象上的点集．[回扣问题2]　集合A＝{x|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝________．答案　∅3．遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．[回扣问题3]　集合A＝{x|ax－1＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，且A∪B＝B，则实数a＝________．答案　0，1，4．对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，2n－1，2n－2.[回扣问题4]　满足{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}的集合M有________个．答案　75．注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．[回扣问题5]　已知全集I＝R，集合A＝{x|y＝}，集合B＝{x|0≤x≤2}，则(∁IA)∪B等于________．答案　[0，＋∞)6．“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p23\n的否定”即：非p，只是否定命题p的结论．[回扣问题6]　已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a＝b.该命题的否命题和命题的否定分别是____________________________________________________________．答案　否命题：已知实数a、b，若|a|＋|b|≠0，则a≠b；命题的否定：已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a≠b7．在否定条件或结论时，应把“且”改成“或”、“或”改成“且”．[回扣问题7]　若“x2－3x－4＞0，则x＞4或x＜－1”的否命题是_____________________________________________________________________．答案　若x2－3x－4≤0，则－1≤x≤48．要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.[回扣问题8]　设集合M＝{1，2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的________条件．答案　充分不必要9．要注意全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，特称命题(存在性命题)的否定是全称命题．如对“a，b都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，而不应该是“a，b都是奇数”．求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想．[回扣问题9]　若存在a∈[1，3]，使得不等式ax2＋(a－2)x－2＞0成立，则实数x的取值范围是_________________________________________________________．解析　不等式即(x2＋x)a－2x－2＞0，设f(a)＝(x2＋x)a－2x－2.研究“任意a∈[1，3]，恒有f(a)≤0”．则解得x∈，则符合题设条件的实数x的取值范围是(－∞，－1)∪.答案　(－∞，－1)∪10．复合命题真假的判断．“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”．[回扣问题10]　在下列说法中：(1)“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件；(2)“p且q为假”是“p或q为真”的充分不必要条件；(3)“p或q为真”是“非p为假”的必要不充分条件；(4)“非p为真”是“p且q为假”的必要不充分条件．23\n其中正确的是________．答案　(1)(3)2.函数与导数1.函数是非空数集到非空数集的映射，作为一个映射，就必须满足映射的条件，“每元有象，且象唯一”只能一对一或者多对一，不能一对多．[回扣问题1]　若A＝{1，2，3}，B＝{4，1}，则从A到B的函数共有________个；其中以B为值域的函数共有______个．答案　8　62．求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．若f(x)定义域为[a，b]，复合函数f[g(x)]定义域由a≤g(x)≤b解出；若f[g(x)]定义域为[a，b]，则f(x)定义域相当于x∈[a，b]时g(x)的值域．[回扣问题2]　已知f(x)＝，g(x)＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为________．答案　[1，3]3．求函数解析式的主要方法：(1)代入法；(2)待定系数法；(3)换元(配凑)法；(4)解方程法等．[回扣问题3]　已知f(x)－4f()＝－15x，则f(x)＝________．答案　x＋4．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．[回扣问题4]　已知函数f(x)＝则f(f())＝________．答案　－25．函数的奇偶性f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|);f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)；定义域含0的奇函数满足f(0)＝0；定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充分的条件；判断函数的奇偶性，先求定义域，再找f(x)与f(－x)的关系．[回扣问题5]　函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)＋1，求f(x23\n)的解析式．答案　f(x)＝6．函数的周期性由周期函数的定义“函数f(x)满足f(x)＝f(a＋x)(a＞0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：①函数f(x)满足－f(x)＝f(a＋x)，则f(x)是周期为2a的周期函数；②若f(x＋a)＝(a≠0)成立，则T＝2a；③若f(x＋a)＝－(a≠0)恒成立，则T＝2a.[回扣问题6]　设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(47.5)等于______．答案　－0.57．函数的单调性①定义法：设x1，x2∈[a，b]，x1≠x2那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数；②导数法：注意f′(x)＞0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0；∴f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件．③复合函数由同增异减的判定法则来判定．④求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接，或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．[回扣问题7]　函数f(x)＝x3－3x的单调递增区间是________．答案　(－∞，－1)，(1，＋∞)8．求函数最值(值域)常用的方法：(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；(4)导数法：适合于可导函数；(5)换元法(特别注意新元的范围)；(6)分离常数法：适合于一次分式；23\n(7)有界函数法：适用于含有指、对数函数或正、余弦函数的式子．无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域．[回扣问题8]　函数y＝(x≥0)的值域为________．答案　9．常见的图象变换(1)平移变换①函数y＝f(x＋a)的图象是把函数y＝f(x)的图象沿x轴向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位得到的．②函数y＝f(x)＋a的图象是把函数y＝f(x)的图象沿y轴向上(a＞0)或向下(a＜0)平移|a|个单位得到的．(2)伸缩变换①函数y＝f(ax)(a＞0)的图象是把函数y＝f(x)的图象沿x轴伸缩为原来的得到的．②函数y＝af(x)(a＞0)的图象是把函数y＝f(x)的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得到的．(3)对称变换①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；②函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称；③函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0(y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称．[回扣问题9]　要得到y＝lg的图象，只需将y＝lgx的图象________．答案　向左平移3个单位，再向下平移1个单位10．二次函数问题(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合，二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系．(2)二次函数解析式的三种形式：①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(3)一元二次方程实根分布：先观察二次项系数、Δ与0的关系、对称轴与区间关系及有穷区间端点函数值符号，再根据上述特征画出草图．尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形．[回扣问题10]　若关于x的方程ax2－x＋1＝0至少有一个正根，则a的范围为________．23\n答案　11．指、对数函数(1)对数运算性质已知a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，M＞0，N＞0.则loga(MN)＝logaM＋logaN，loga＝logaM－logaN，logaMn＝nlogaM，对数换底公式：logaN＝.推论：logamNn＝logaN；logab＝.(2)指数函数与对数函数的图象与性质可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y＝ax的图象恒过定点(0，1)，对数函数y＝logax的图象恒过定点(1，0)．[回扣问题11]　设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则a，b，c的大小关系是________．答案　a＞b＞c12．幂函数形如y＝xα(α∈R)的函数为幂函数．(1)①若α＝1，则y＝x，图象是直线．②当α＝0时，y＝x0＝1(x≠0)图象是除点(0，1)外的直线．③当0＜α＜1时，图象过(0，0)与(1，1)两点，在第一象限内是上凸的．④当α＞1时，在第一象限内，图象是下凸的．(2)增减性：①当α＞0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是增函数，②当α＜0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是减函数．[回扣问题12]　函数f(x)＝－的零点个数为________．答案　113．函数与方程(1)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．(2)y＝f(x)在[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且f(a)f(b)＜0，那么f(x)在(a，b)内至少有一个零点，即至少存在一个x0∈(a，b)使f(x0)＝0.这个x0也就是方程f(x)＝0的根．23\n(3)用二分法求函数零点[回扣问题13]　(判断题)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(－1，0)．(　　)答案　√14．导数的几何意义和物理意义(1)函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数是曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率f′(x0)，相应的切线方程是y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)v＝s′(t)表示t时刻即时速度，a＝v′(t)表示t时刻加速度．注意：过某点的切线不一定只有一条．[回扣问题14]　已知函数f(x)＝x3－3x，过点P(2，－6)作曲线y＝f(x)的切线，则此切线的方程是________．答案　3x＋y＝0或24x－y－54＝015．利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f′(x)＜0，那么f(x)在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么f(x)在该区间内为常数．注意：如果已知f(x)为减函数求参数取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0.增函数亦如此．[回扣问题15]　函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上是增函数，则a的取值范围是________．解析　f(x)＝ax3－x2＋x－5的导数f′(x)＝3ax2－2x＋1.由f′(x)＝3ax2－2x＋1≥0，得解得a≥.a＝时，f′(x)＝(x－1)2≥0，且只有x＝1时，f′(x)＝0，∴a＝符合题意．答案　16．导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．[回扣问题16]　函数f(x)＝x4－x3的极值点是________．答案　x＝13.三角函数与平面向量1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2kπ(k∈Z)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．23\n任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P(x，y)是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r＝＞0，那么sinα＝，cosα＝，tanα＝，(x≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关．[回扣问题1]　已知角α的终边经过点P(3，－4)，则sinα＋cosα的值为______．答案　－2．同角三角函数的基本关系式及诱导公式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tanα＝.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限－απ－απ＋α2π－α－α正弦－sinαsinα－sinα－sinαcosα余弦cosα－cosα－cosαcosαsinα[回扣问题2]　cos＋tan＋sin21π的值为______．答案　－3．三角函数的图象与性质(1)五点法作图(一个最高点，一个最低点，三个平衡位置点)；(2)对称轴：y＝sinx，x＝kπ＋，k∈Z；y＝cosx，x＝kπ，k∈Z；对称中心：y＝sinx，(kπ，0)，k∈Z；y＝cosx，，k∈Z，y＝tanx，，k∈Z.(3)单调区间：y＝sinx的增区间：(k∈Z)，减区间：(k∈Z)；y＝cosx的增区间：[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)，减区间：[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)；y＝tanx的增区间：(k∈Z)．(4)周期性与奇偶性：y＝sinx的最小正周期为2π，为奇函数；y＝cosx的最小正周期为2π，为偶函数；y＝tan23\nx的最小正周期为π，为奇函数．[回扣问题3]　函数y＝sin的递减区间是________．答案　(k∈Z)4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβsin2α＝2sinαcosα.cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan(α±β)＝.cos2α＝，sin2α＝，tan2α＝.[回扣问题4]　cos(＋x)＝，＜x＜，则＝________．答案　－5．在三角恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝[(α＋β)＋(α－β)]；α＋＝(α＋β)－，α＝－.[回扣问题5]　已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________．答案　－6．解三角形(1)正弦定理：＝＝＝2R(R为三角形外接圆的半径)．23\n已知三角形两边及一边对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍，在△ABC中，A＞B⇔sinA＞sinB.(2)余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，cosA＝等，常选用余弦定理判定三角形的形状．[回扣问题6]　△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝________．答案　27．有关三角形的常见结论(1)面积公式　S△ABC＝absinC＝bcsinA＝casinB.(2)内切圆半径　r＝.(3)三个等价关系：△ABC中，a，b，c分别为A，B，C对边，则a＞b⇔sinA＞sinB⇔A＞B.[回扣问题7]　△ABC中，sinA＝，cosB＝，则cosC＝________．答案　－8．平面向量的基本概念及线性运算(1)加、减法的平行四边形与三角形法则：＋＝；－＝.(2)向量满足三角形不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(3)实数λ与向量a的积是一个向量，记为λa，其长度和方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②λ＞0，λa与a同向；λ＜0，λa与a反向；λ＝0，或a＝0，λa＝0.(4)平面向量的两个重要定理①向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.②平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．[回扣问题8]　已知a＝(4，2)，与a共线的单位向量为________．答案　或9．向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为θ，则：(1)a⊥b⇔a·b＝0；23\n(2)当a，b同向时，a·b＝|a||b|，特别地，a2＝a·a＝|a|2，|a|＝；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；当θ为锐角时，a·b＞0，且a，b不同向．a·b＞0是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a·b＜0，且a，b不反向；a·b＜0是θ为钝角的必要非充分条件；(3)|a·b|≤|a||b|.[回扣问题9]　已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．答案　∪∪10．向量b在a方向上的投影|b|cosθ＝.[回扣问题10]　已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影为________．答案　11．几个向量常用结论：①＋＋＝0⇔P为△ABC的重心；②·＝·＝·⇔P为△ABC的垂心；③向量λ(λ≠0)所在直线过△ABC的内心；④||＝||＝||⇔P为△ABC的外心．[回扣问题11]　若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为______．答案　直角三角形4．数列、不等式1．等差数列的有关概念及运算(1)等差数列的判断方法：定义法an＋1－an＝d(d为常数)或an＋1－an＝an－an－1(n≥2)．(2)等差数列的通项：an＝a1＋(n－1)d或an＝am＋(n－m)d.23\n(3)等差数列的前n项和：Sn＝，Sn＝na1＋d.[回扣问题1]　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S7＝49，a4和a8的等差中项为11，则an＝________，Sn＝______________．答案　2n－1　n22．等差数列的性质(1)当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n项和Sn＝na1＋d＝n2＋(a1－)n是关于n的二次函数且常数项为0.(2)若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列．(3)当m＋n＝p＋q时，则有am＋an＝ap＋aq，特别地，当m＋n＝2p时，则有am＋an＝2ap.(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．[回扣问题2]　等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________．答案　3．等比数列的有关概念及运算(1)等比数列的判断方法：定义法＝q(q为常数)，其中q≠0，an≠0或＝(n≥2)．(2)等比数列的通项：an＝a1qn－1或an＝amqn－m.(3)等比数列的前n项和：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.(4)等比中项：若a，A，b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项．值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为±.如已知两个正数a，b(a≠b)的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为A＞B.[回扣问题3]　已知等比数列{an}中，a3＝，S3＝，求a1与q.答案　a1＝，q＝1或a1＝6，q＝－4．等比数列的性质(1)若{an}，{bn}都是等比数列，则{anbn}也是等比数列；(2)若数列{an}为等比数列，则数列{an}可能为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列；(3)等比数列中，当m＋n＝p＋q时，aman＝apaq；23\n[回扣问题4]　在等比数列{an}中，a3＋a8＝124，a4a7＝－512，公比q是整数，则a10＝________．答案　5125．数列求和的常见方法：公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加．关键找通项结构．(1)分组法求数列的和：如an＝2n＋3n；(2)错位相减法求和：如an＝(2n－1)2n；(3)裂项法求和：如求1＋＋＋…＋；(4)倒序相加法求和．[回扣问题5]　数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N，n≥1)，若a2＝1，Sn是{an}前n项和，则S21的值为________．答案　6．求数列通项常见方法(1)已知数列的前n项和Sn，求通项an，可利用公式an＝由Sn求an时，易忽略n＝1的情况．(2)形如an＋1＝an＋f(n)可采用累加求和法，例如{an}满足a1＝1，an＝an－1＋2n，求an；(3)形如an＋1＝can＋d可采用构造法，例如a1＝1，an＝3an－1＋2，求an.(4)归纳法，例如已知数列{an}的前n项和为Sn，且S－(an＋2)Sn＋1＝0，求Sn，an.[回扣问题6]　已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________．答案　7．不等式的基本性质(1)a＞b⇔b＜a；(2)a＞b，b＞c⇔a＞c；(3)a＞b⇔a＋c＞b＋c；(4)若c＞0，则a＞b⇔ac＞bc；若c＜0，则a＞b⇔ac＜bc；(5)若a＞0，b＞0，则a＞b⇔an＞bn(n∈N*，n≥2)[回扣问题7]　已知－1≤x＋y≤1，1≤x－y≤3，则3x－y的取值范围是________．答案　[1，7]8．解不等式包括一元一次不等式，一元二次不等式，分式不等式和含绝对值的不等式等．在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示．[回扣问题8]　不等式－1＜＜1的解集为________．23\n答案　(－∞，－1)∪(1，＋∞)9．基本不等式：≥(a，b＞0)(1)推广：≥≥≥(a，b∈R＋)．(2)用法：已知x，y都是正数，则①若积xy是定值p，则当x＝y时，和x＋y有最小值2；②若和x＋y是定值s，则当x＝y时，积xy有最大值s2.利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件．[回扣问题9]　已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则y＝＋的最小值是________．答案　910．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解．[回扣问题10]　已知求：①可行域所在区域面积________；②z＝x＋2y的最大值________；③z＝x2＋y2－10y＋25的最小值________．④z＝的范围是________；⑤z＝ax＋y仅在C(3，1)处取最小值，求a的范围______．答案　①12　②25　③　④[，2]　⑤(－2，1)5.立体几何1．空间几何体的结构(棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球)[回扣问题1]　判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”．①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱(　　)②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱．(　　)③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱．(　　)④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．(　　)23\n答案　①×　②×　③√　④×2．简单几何体的表面积和体积(1)S直棱柱侧＝c·h(c为底面的周长，h为高)．(2)S正棱锥侧＝ch′(c为底面周长，h′为斜高)．(3)S正棱台侧＝(c′＋c)h′(c与c′分别为上、下底面周长，h′为斜高)．(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式S圆柱侧＝2πrl(r为底面半径，l为母线)，S圆锥侧＝πrl(同上)，S圆台侧＝π(r′＋r)l(r′、r分别为上、下底的半径，l为母线)．(5)体积公式V柱＝S·h(S为底面面积，h为高)，V锥＝S·h(S为底面面积，h为高)，V台＝(S＋＋S′)h(S、S′为上、下底面面积，h为高)．(6)球的表面积和体积S球＝4πR2，V球＝πR3.[回扣问题2]　棱长为a的正四面体的体积为________，其外接球的表面积为________．答案　a3　πa23．空间点、线、面的位置关系(1)平面的三个公理(2)线线位置关系(平行、相交、异面)(3)线面位置关系a⊂α，a∩α＝A(a⊄α)，a∥α(4)面面位置关系：α∥β，α∩β＝a[回扣问题3]　判断下列命题是否正确，正确的括号内画“√”，错误的画“×”．①梯形可以确定一个平面．(　　)②圆心和圆上两点可以确定一个平面．(　　)③已知a，b，c，d是四条直线，若a∥b，b∥c，c∥d，则a∥d.(　　)④两条直线a，b没有公共点，那么a与b是异面直线．(　　)⑤若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．(　　)答案　①√　②×　③√　④×　⑤×23\n4．空间的平行关系(1)线面平行：⇒a∥α；⇒a∥α；⇒a∥α；(2)面面平行：⇒α∥β；⇒α∥β；⇒α∥γ；(3)线线平行：⇒a∥b；⇒a∥b；⇒a∥b；⇒a∥b.[回扣问题4]　判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”．①如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面．(　　)②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行．(　　)③如果直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b.(　　)④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α.(　　)答案　①×　②×　③×　④√5．空间的垂直关系(1)线面垂直：⇒l⊥α；⇒a⊥β；⇒a⊥β；⇒b⊥α；(2)面面垂直：二面角90°；⇒α⊥β；⇒α⊥β；(3)线线垂直：⇒a⊥b.[回扣问题5]　已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线．②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线．③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数是________．答案　16．三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)⇔顶点在底面射影为底面外心；侧棱两两垂直(两相对棱垂直)⇔顶点在底面射影为底面垂心；斜高相等(侧面与底面所成相等)⇔顶点在底面射影为底面内心；正棱锥各侧面与底面所成角相等为θ，则S侧cosθ＝S底．[回扣问题6]　过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC.(1)若PA＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是AB边的________点．(2)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．(3)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．(4)若P到AB，BC，CA三边距离相等，则点O是△ABC的________心．答案　(1)中　(2)外　(3)垂　(4)内6.解析几何1．直线的倾斜角α与斜率k23\n(1)倾斜角α的范围为[0，π)．(2)直线的斜率①定义：k＝tanα(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率为k＝(x1≠x2)；③直线的方向向量a＝(1，k)．[回扣问题1]　直线xcosθ＋y－2＝0的倾斜角的范围是________．答案　∪2．直线的方程(1)点斜式：y－y0＝k(x－x0)，它不包括垂直于x轴的直线．(2)斜截式：y＝kx＋b，它不包括垂直于x轴的直线．(3)两点式：＝，它不包括垂直于坐标轴的直线．(4)截距式：＋＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．(5)一般式：任何直线均可写成Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的形式．[回扣问题2]　已知直线过点P(1，5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________．答案　5x－y＝0或x＋y－6＝03．点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d＝；(2)两平行线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.[回扣问题3]　直线3x＋4y＋5＝0与6x＋8y－7＝0的距离为________．答案　4．两直线的平行与垂直①l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.②l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则有l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.[回扣问题4]　设直线l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m＝________时，l1∥l2；当m＝________时，l1⊥l2；当________时，l1与l2相交；当m＝________时，l1与l2重合．答案　－1　　m≠3且m≠－1　323\n5．圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，只有当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0才表示圆心为(－，－)，半径为的圆．[回扣问题5]　若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则a＝________．答案　－16．直线、圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系直线l：Ax＋By＋C＝0和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)有相交、相离、相切．可从代数和几何两个方面来判断：①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ＞0⇔相交；Δ＜0⇔相离；Δ＝0⇔相切；②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则d＜r⇔相交；d＞r⇔相离；d＝r⇔相切．(2)圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，且r1＞r2，则①当O1O2＞r1＋r2时，两圆外离；②当O1O2＝r1＋r2时，两圆外切；③当r1－r2＜O1O2＜r1＋r2时，两圆相交；④当O1O2＝r1－r2时，两圆内切；⑤当0≤O1O2＜r1－r2时，两圆内含．若两圆相交把两圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋C1＝0与x2＋y2＋D2x＋E2y＋C2＝0方程相减即得相交弦所在直线方程：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(C1－C2)＝0.[回扣问题6]　双曲线－＝1的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆的位置关系为________．答案　内切7．对圆锥曲线的定义要做到抓住关键词，例如椭圆中定长大于定点之间的距离，双曲线定义中是到两定点距离之差的“绝对值”，否则只是双曲线的其中一支．[回扣问题7]　方程＋＝6表示的曲线是________．答案　线段y＝0(－3≤x≤3)8．求椭圆、双曲线的标准方程，一般遵循先定位，再定型，后定量的步骤，即先确定焦点的位置，再设出其方程，求出待定系数．(1)椭圆标准方程：焦点在x轴上，＋＝1(a＞b＞0)；焦点在y轴上，＋＝1(a＞b＞0)．(2)双曲线标准方程：焦点在x轴上，－＝1(a＞0，b＞0)；焦点在y轴上，－＝1(a23\n＞0，b＞0)．(3)与双曲线－＝1具有共同渐近线的双曲线系为－＝λ(λ≠0)．[回扣问题8]　与双曲线－＝1有相同的渐近线，且过点(－3，2)的双曲线方程为________．答案　－＝19．(1)在把圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解情况可判断位置关系．有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关系．(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长P1P2＝或P1P2＝[回扣问题9]　(判断题)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．(　　)答案　×7.概率与统计1．随机抽样方法简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，且是不放回抽样．[回扣问题1]　某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户，低收入家庭160户，其他为高收入家庭，在建设幸福社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次抽取的总户数为________．解析　由抽样比例可知＝，则x＝24.答案　242．对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中提取有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，茎叶图没有原始数据信息的损失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了．23\n[回扣问题2]　从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为________．答案　203．众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．平均数：样本数据的算术平均数，即＝(x1＋x2＋…＋xn)．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．标准差的平方就是方差，方差的计算(1)基本公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．(2)简化计算公式s2＝[(x＋x＋…＋x)－n2]，或写成s2＝(x＋x＋…＋x)－2，即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方．[回扣问题3]　已知一个样本中的数据为0.12，0.15，0.13，0.15，0.14，0.17，0.15，0.16，0.13，0.14则该样本的众数、中位数分别是________．答案　0.15，0.1454．互斥事件有一个发生的概率P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．(1)公式适合范围：事件A与B互斥．(2)P()＝1－P(A)．[回扣问题4]　抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P(A)＝，P(B)＝，求出现奇数点或2点的概率之和为________．答案　5．古典概型23\nP(A)＝(其中，n为一次试验中可能出现的结果总数，m为事件A在试验中包含的基本事件个数)．[回扣问题5]　若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为________．答案　6．几何概型一般地，在几何区域D内随机地取一点，记事件“该点在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为P(A)＝.此处D的度量不为0，其中“度量”的意义依D确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的度量分别为长度、面积和体积等．即P(A)＝[回扣问题6]　在△ABC的边AB上随机取一点P，记△CAP和△CBP的面积分别为S1和S2，则S1＞2S2的概率是________．解析　根据几何概型的概率公式求解．“S1＞2S2”即“AP＞2PB”，故所求概率为.答案　8.推理与证明、复数、算法1．推理方法(1)合情推理合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常见的方法，在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养．(2)演绎推理演绎推理是指如果推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．演绎推理的一般模式是“三段论”，包括：①大前提；②小前提；③结论．[回扣问题1]　图1有面积关系：＝，则图2有体积关系：____________________________________________________________________.23\n答案　＝2．证明方法(1)直接证明①综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法．综合法又叫顺推法或由因导果法．②分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等)，这种证明方法叫分析法．分析法又叫逆推法或执果索因法．(2)间接证明——反证法一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法．[回扣问题2]　用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设_____________________________________________________________．答案　三角形三个内角都大于60°3．复数的概念对于复数a＋bi(a，b∈R)，a叫做实部，b叫做虚部；当且仅当b＝0时，复数a＋bi(a，b∈R)是实数a；当b≠0时，复数a＋bi叫做虚数；当a＝0且b≠0时，复数a＋bi叫做纯虚数．[回扣问题3]　若复数z＝lg(m2－m－2)＋i·lg(m2＋3m＋3)为实数，则实数m的值为________．答案　－24．复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用，另外复数中的几个常用结论应熟记：(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i；＝－i；(3)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0；(4)设ω＝－±i，则ω0＝1；ω2＝；ω3＝1；1＋ω＋ω2＝0.23\n[回扣问题4]　已知复数z＝，是z的共轭复数，则||＝________．答案　15．算法(1)控制循环结构的是计数变量和累加变量的变化规律以及循环结束的条件．在解答这类题目时首先要弄清楚这两个变量的变化规律，其次要看清楚循环结束的条件，这个条件由输出要求所决定，看清楚是满足条件时结束还是不满足条件时结束．(2)条件结构的程序框图中对判断条件的分类是逐级进行的，其中没有遗漏也没有重复，在解题时对判断条件要仔细辨别，看清楚条件和函数的对应关系，对条件中的数值不要漏掉也不要重复了端点值．[回扣问题5]　执行如图所示的程序框图，如图输出a＝341，那么判断框中可以是________．解析　根据程序框图，第一次循环，a＝0＋1＝1，k＝1＋1＝2；第二次循环，a＝4×1＋1＝5，k＝2＋1＝3；第三次循环，a＝4×5＋1＝21，k＝3＋1＝4；第四次循环，a＝4×21＋1＝85，k＝4＋1＝5；第五次循环，a＝4×85＋1＝341，k＝5＋1＝6.要使输出的a＝341，判断框中可以是k＜6？或k≤5？.答案　k＜6？或k≤5？23