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微专题1圆锥曲线中的最值与范围问题基础训练(附解析新人教A版选择性必修第一册)

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微专题1圆锥曲线中的最值与范围问题1.(2021北京房山高二期末)已知双曲线x24+y2k=1的离心率1<e<2,则实数k的取值范围是()A.k<0或k>3B.-3<k<0C.-12<k<0D.-8<k<3答案:C2.(2021北京丰台高二期末)已知点M在椭圆x218+y29=1上运动,点N在圆x2+(y-1)2=1上运动,则|MN|的最大值为()A.1+19B.1+25C.5D.112答案:B解析:设圆x2+(y-1)2=1的圆心为C,则C(0,1),半径r=1,则|MN|≤|MC|+r=|MC|+1,设M(x0,y0),则x0218+y029=1⇒x02=18-2y02,所以|MC|=x02+(y0-1)2=x02+y02-2y0+1=18-2y02+y02-2y0+1=-y02-2y0+19=-(y0+1)2+20≤25,当且仅当y0=-1时,|MC|取得最大值25,所以|MN|≤|MC|+1≤25+1.3.(2021重庆八中高二期中)若点O和点F分别为双曲线x22-y2=1的中心和左焦点,点P为该双曲线上的任意一点,则OP⋅FP的最小值为()A.2+6B.2-6C.12D.-32答案:B解析:由题意,点O(0,0),点F(-3,0),设点P(x,y),则x22-y2=1⇒y2=x22-1,x∈(-∞-2]∪[2,+∞),所以OP=(x,y),FP=(x+3,y),所以OP⋅FP=x(x+3)+y2=x2+3x+x22-1=32(x+33)2-32,所以当x=-2时,OP⋅FP取得最小值,为32×(-2+33)2-32=2-6.5 4.(2021安徽淮北一中高二期中)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±3x,若动点P在C的右支上,F1,F2分别为C的左、右焦点,OP⋅OF2的最小值是2a(其中O为坐标原点),则|PF1|2|PF2|的最小值为()A.4B.8C.16D.24答案:B解析:易知当点P为双曲线的右顶点时,OP⋅OF2取得最小值2a,即a⋅c=2a,所以c=2,由ba=3,c=2,c2=a2+b2,解得a=1,b=3,设|PF2|=t(t≥1),则|PF1|=t+2,所以|PF1|2|PF2|=(t+2)2t=t+4t+4≥2t×4t+4=8(当且仅当t=4t,即t=2时取等号),即|PF1|2|PF2|的最小值为8.5.(多选题)已知F1,F2为椭圆x24+y23=1的左、右焦点,M为椭圆上的动点,则下面四个结论中正确的是()A.|MF2|的最大值大于3B.|MF1|⋅|MF2|的最大值为4C.∠F1MF2的最大值为60∘D.若动直线l垂直于y轴,且交椭圆于A,B两点,P为l上满足|PA|⋅|PB|=2的点,则点P的轨迹方程为x22+2y23=1或x26+2y29=1答案:B;C;D解析:由椭圆方程得a2=4,b2=3,∴c2=1,因此F1(-1,0),F2(1,0).选项A中,|MF2|max=a+c=3,A中结论错误;选项B中,|MF1|⋅|MF2|≤(|MF1|+|MF2|2)2=4,当且仅当|MF1|=|MF2|=2时取等号,B中结论正确;选项C中,当点M为短轴的端点时,∠F1MF2取得最大值,取M(0,3),则tan∠F1MF22=cb=33,∴∠F1MF22=30∘,∴∠F1MF2的最大值为60∘,C中结论正确;选项D中,设P(x,y),A(x1,y),则B(-x1,y).5 ∵|PA|⋅|PB|=2,∴|x-x1|⋅|x+x1|=2,∴|x2-x12|=2,即x12=x2+2或x12=x2-2.又由题意知x124+y23=1,∴x2-24+y23=1或x2+24+y23=1,化简得x26+2y29=1或x22+2y23=1,D中结论正确.6.(2021山东乳山第一中学高二月考)已知两点A(-1,0),B(0,1),点P是椭圆x216+y29=1上任意一点,则点P到直线AB距离的最大值为()A.42B.32C.6D.62答案:B解析:由A(-1,0),B(0,1)得直线AB的方程为y=x+1,由图可知,直线y=x+m(m<0)和椭圆相切于点P时,点P到直线AB的距离最大.联立得y=x+m,x216+y29=1,整理得25x2+32mx+16 m2-144=0,∵直线y=x+m和椭圆相切,∴Δ=(32m)2-4×25×(16 m2-144)=0,解得m=-5或m=5(舍去),∵直线y=x+1与直线y=x-5之间的距离d=|1-(-5)|12+(-1)2=32,∴点P到直线AB距离的最大值为32,故选B.素养提升练7.(2021北京平谷五中高二期中)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率等于32,且点(-22,5)在双曲线上.(1)求双曲线的方程;(2)若双曲线的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上的任意一点,求PA1⋅PF2的最小值.5 答案:(1)依题意有ca=32,8a2-5b2=1,c2=a2+b2,解得a2=4,b2=5,c2=9,故双曲线的方程为x24-y25=1.(2)由已知得A1(-2,0),F2(3,0),设P(x,y)(x≥2),于是PA1=(-2-x,-y),PF2=(3-x,-y)因此PA1⋅PF2=x2-x-6+y2=x2-x-6+54x2-5=94x2-x-11=94(x-29)2-1009,因为x≥2,所以当x=2时,PA1⋅PF2取得最小值,且最小值为-4.8.点A、B分别是椭圆x236+y220=1长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴的上方,PA⊥PF.(1)求点P的坐标;(2)设M是椭圆长轴AB上的点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.答案:(1)由已知可得点A(-6,0),F(4,0),设点P的坐标为(x,y),则AP=(x+6,y),FP=(x-4,y),∵PA⊥PF,∴AP⋅FP=0,即(x+6)(x-4)+y2=0,即x2+2x-24+y2=0.由x236+y220=1,x2+2x-24+y2=0,消去y得2x2+9x-18=0,解得x=32或x=-6,∵点P位于x轴的上方,∴x=32,于是y=532,∴点P的坐标是(32,532).(2)由(1)得直线AP的方程是y-0532-0=x+632+6,即x-3y+6=0,设点M的坐标为(m,0),-6≤m≤6,则M到直线AP的距离是|m+6|2,于是|m+6|2=|m-6|,解得m=2或m=18(舍去),∴M(2,0).设椭圆上的点(x,y)到点M的距离为d,∴d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-59x2=49(x-92)2+15.∵-6≤x≤6,∴当x=92时,d取得最小值,为15.5 9.已知抛物线C:y2=2px(p>0),点F为抛物线C的焦点,点A(1,a)在抛物线C上,且|FA|=2,过点F作斜率为k的直线l与抛物线C交于P,Q两点.(1)求抛物线C的方程;(2)若△APQ面积的取值范围为[5,85],求k的取值范围.答案:(1)由抛物线的定义得|FA|=1+p2=2,所以p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)由(1)知F(1,0),所以设直线l的方程为y=k(x-1),P(x1,y1),Q(x2,y2).由y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,由根与系数的关系得x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1.由题意知AF⊥x轴,所以S△APQ=12×|AF|×|x1-x2|=|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=(2k2+4k2)2-4=16k4+16k2=41k2+1k4.令t=1k2(t>0),所以S△APQ=4t2+t.又△APQ面积的取值范围为[5,85],即5≤4t2+t≤85,所以516≤t2+t≤20,得14≤t≤4,即14≤k2≤4,所以-2≤k≤-12或12≤k≤2,所以k的取值范围是[-2,-12]∪[12,2].5

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2022-01-13 18:00:10 页数:5
价格:¥3 大小:36.37 KB
文章作者:随遇而安

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