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4第2课时等差数列的性质课后练习(附解析新人教B版选择性必修第三册)

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等差数列的性质(建议用时:40分钟)一、选择题1.在等差数列{an}中,a1+a9=10,则a5的值为(  )A.5    B.6    C.8    D.10A [由a1+a9=2a5=10得a5=5,故选A.]2.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=(  )A.14B.21C.28D.35C [由题意可知a3+a4+a5=3a4=12,即a4=4,又a1+a2+…+a7=3(a1+a7)+a4=7a4,∴a1+a2+…+a7=7×4=28,故选C.]3.在数列{an}中=+且a2020=,a2022=,则a2023=(  )A.B.C.D.3C [由=+知,数列是等差数列,则其公差d==.因此=+d=+=3,所以a2023=.故选C.]4.下列说法中正确的是(  )A.若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2成等差数列B.若a,b,c成等差数列,则log2a,log2b,log2c成等差数列C.若a,b,c成等差数列,则a+2,b+2,c+2成等差数列D.若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c成等差数列C [由a,b,c成等差数列知2b=a+c,所以2(b+2)=a+2+c+2,所以a+2,b+2,c+2成等差数列.]5.在古老的数学著作中,书中有一道这样的题目:把100个面包分给五个人,使每人所得面包数成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,则最小的1份为(  )A.B.C.D.A [设五个人分得的面包为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(d>0),则(a-2d)+(a-d)+5 a+a+d+a+2d=5a=100,∴a=20,由(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d得3a+3d=7(2a-3d),∴24d=11a,∴d=,∴最小的一份为a-2d=20-=.故选A.]二、填空题6.方程x2+6x+1=0的两根的等差中项为________.-3 [设方程x2+6x+1=0的两根分别为x1,x2,则x1+x2=-6,所以x1,x2的等差中项为A==-3.]7.设数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则a37+b37=________.100 [∵{an},{bn}都是等差数列,∴{an+bn}也是等差数列.又∵a1+b1=100,a2+b2=100,∴an+bn=100,故a37+b37=100.]8.已知数阵中,每行、每列的四个数均成等差数列,如果数阵中a12=2,a31=1,a34=7,那么a32=__________,a22=__________.3  [设第三行的四个数的公差为d3,由a31=1,a34=7,得d3==2,所以a32=1+2=3.因为第二列的四个数成等差数列,所以a22是a12,a32的等差中项,所以a22===.]三、解答题9.四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.[解] 设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8,∴d2=1,∴d=1或d=-1.又四个数成递增等差数列,∴d=1.故所求的四个数为-2,0,2,4.10.(1)已知等差数列{an}中,a2+a6+a10=1,求a4+a8的值;(2)设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,求a11+a12+a135 的值.[解] (1)法一:根据等差数列的性质a2+a10=a4+a8=2a6,由a2+a6+a10=1,得3a6=1,解得a6=,∴a4+a8=2a6=.法二:设公差为d,根据等差数列的通项公式,得a2+a6+a10=(a1+d)+(a1+5d)+(a1+9d)=3a1+15d,由题意知,3a1+15d=1,即a1+5d=.∴a4+a8=2a1+10d=2(a1+5d)=.(2)设公差为d,∵a1+a3=2a2,∴a1+a2+a3=15=3a2,∴a2=5.又a1a2a3=80,{an}是公差为正数的等差数列,∴a1a3=(5-d)(5+d)=16⇒d=3或d=-3(舍去),∴a12=a2+10d=35,a11+a12+a13=3a12=105.1.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列,其前7项分别为1,5,11,21,37,61,95,则该数列的第8项为(  )A.99   B.131   C.139   D.141D [设该高阶等差数列的第8项为x,根据所给定义,用数列的后一项减去前一项得到一个数列,得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列,即得到了一个等差数列,如图:由图可得,则.故选D.]2.(多选题)设{an}是等差数列,则下列结论中错误的是(  )A.若a1+a2>0,则a2+a3>0B.若a1+a3<0,则a1+a2<05 C.若0<a1<a2,则a2>D.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0ABD [若等差数列是an=5-3n,满足a1+a2=2+(-1)=1>0,但a2+a3=(-1)+(-4)=-5<0,A错误;an=5-3n也满足a1+a3=2+(-4)=-2<0,但a1+a2=2+(-1)=1>0,B错误;若0<a1<a2,则a2=>,C正确;设等差数列{an}的公差为d,则(a2-a1)(a2-a3)=-d2≤0,D错误.故选ABD.]3.若方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列,则|m-n|=__________. [设方程的四个根a1,a2,a3,a4依次成等差数列,则a1+a4=a2+a3=2,再设此等差数列的公差为d,则2a1+3d=2,∵a1=,∴d=,∴a2=+=,a3=+1=,a4=+=.∴|m-n|=|a1a4-a2a3|==.]4.在数列{an}中,a2=2,a6=0,且数列是等差数列,则a4=________,an=________.  [由题意可知=+,解得a4=.又=+(n-2)×=,∴an=-1=.]在数列{an}中,已知a1=5,且an=2an-1+2n-1(n≥2,且n∈N+).(1)求a2,a3的值;(2)是否存在实数λ,使得数列为等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.5 [解] (1)因为a1=5,所以a2=2a1+22-1=13,a3=2a2+23-1=33.(2)假设存在实数λ,使得数列为等差数列,则,,成等差数列,所以2×=+,即=+.解得λ=-1.当λ=-1时,-=[(an+1-1)-2(an-1)]=(an+1-2an+1)=[(2an+2n+1-1)-2an+1]=×2n+1=1.综上可知,存在实数λ=-1,使得数列为等差数列.5

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2022-01-18 20:00:01 页数:5
价格:¥3 大小:86.00 KB
文章作者:随遇而安

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