苏教版必修第二册课后习题12.4 复数的三角形式

12.4*　复数的三角形式1.将复数z=3cos-π2+isin-π2化成代数形式为　　　　　;|z|=　　　　　. 答案-3i　3解析z=3(0-i)=-3i,|z|=3.2.将复数z=-23+2i化成三角形式是　　　　　. 答案4cos56π+isin56π解析模长|z|=(-23)2+22=4,设辐角为θ,所以cosθ=-32,sinθ=12,故辐角主值为56π,所以z=4cos56π+isin56π.3.[2(cos60°+isin60°)]3=　　　　　. 答案-8解析原式=23[cos(60°×3)+isin(60°×3)]=8(cos180°+isin180°)=-8.4.计算:4(cos80°+isin80°)÷[2(cos320°+isin320°)].解4(cos80°+isin80°)÷[2(cos320°+isin320°)]=2[cos(80°-320°)+isin(80°-320°)]=2[cos(-240°)+isin(-240°)]=2-12+32i=-1+3i.5.已知z1=12cosπ3+isinπ3,z2=6cosπ6+isinπ6,计算z1z2,并说明其几何意义.解z1z2=3cosπ3+π6+isinπ3+π6=3cosπ2+isinπ2=3i. 首先作复数z1对应的向量OZ1,然后将OZ1绕点O按逆时针方向旋转π6,再将其长度伸长为原来的6倍,得到的向量即为z1z2所对应的向量.6.已知复数z=r(cosθ+isinθ),r≠0,求1z的三角形式.解1z=(cos0°+isin0°)r(cosθ+isinθ)=1r[cos(0°-θ)+isin(0°-θ)]=1r[cos(-θ)+isin(-θ)].7.莱昂哈德·欧拉发现并证明了欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ,从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+1=0,它是数学里令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来:两个超越数(自然对数的底数e,圆周率π),两个单位(虚数单位i,自然数单位1)以及0.请你根据欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ,解决以下问题:(1)试将复数eπ3i写成a+bi(a,b∈R,i是虚数单位)的形式;(2)试求复数eπ3i+12的模.解(1)根据欧拉公式可得eπ3i=cosπ3+isinπ3=12+32i.(2)由题意可知eπ3i+12=12+32i+12=1+32i,因此,eπ3i+12=12+322=72.8.复数z=-1+1+i1-i2021的辐角主值为　　　　　. 答案3π4解析因为1+i1-i=i,所以1+i1-i2021=i2021=i.所以z=-1+i=2cos3π4+isin3π4,所以复数z的辐角主值为3π4.9.12-32i20÷(3i)=　　　　　.  答案-36+16i解析原式=cos-π3+isin-π320÷3cosπ2+isinπ2=cos-20π3+isin-20π3÷3cosπ2+isinπ2=cos4π3+isin4π3÷3cosπ2+isinπ2=13cos4π3-π2+isin4π3-π2=13cos5π6+isin5π6=13-32+12i=-36+16i.10.已知复数z的模为2,实部为3,求复数z的代数形式和三角形式.解由题意,可设z=3+bi(b∈R).∵|z|=2,∴3+b2=2,解得b=±1,∴z=3+i或z=3-i.化为三角形式,得z=2cosπ6+isinπ6或z=2cos-π6+isin-π6.11.计算下列各式的值:(1)-12+32i×2cosπ3+isinπ3;(2)3(cos63°+isin63°)×2(cos99°+isin99°)×5(cos108°+isin108°).解(1)-12+32i×2cosπ3+isinπ3=cos2π3+isin2π3×2cosπ3+isinπ3=2(cosπ+isinπ)=-2.(2)3(cos63°+isin63°)×2(cos99°+isin99°)×5(cos108°+isin108°)=30(cos270°+isin270°)=-30i.12.求证:(cos3θ+isin3θ)3(cos2θ+isin2θ)7(cos4θ+isin4θ)6=cosθ-isinθ.证明左边=(cos9θ+isin9θ)(cos14θ+isin14θ)(cos24θ+isin24θ)=(cos23θ+isin23θ)(cos24θ+isin24θ)=cos(-θ)+isin(-θ)=cosθ-isinθ=右边. 13.已知k是实数,ω是非零复数,且满足argω=3π4,(1+ω)2+(1+i)2=1+kω.(1)求ω;(2)设z=cosθ+isinθ,θ∈[0,2π),若|z-ω|=1+2,求θ的值.解(1)argω=3π4,可设ω=a-ai(a∈R),将其代入(1+ω)2+(1+i)2=1+kω,化简可得2a+2a(1+a)i+2i=ka-kai,∴2a=ka,2a(1+a)+2=-ka,解得k=2,a=-1,∴ω=-1+i.(2)|z-ω|=|(cosθ+1)+(sinθ-1)i|=(cosθ+1)2+(sinθ-1)2=3+2(cosθ-sinθ)=3+22cos(θ+π4).∵|z-ω|=1+2,∴3+22cosθ+π4=1+2,化简得cosθ+π4=1.∵π4≤θ+π4<2π+π4,∴θ+π4=2π,即θ=7π4.