苏教版必修第二册课后习题14.4.2 用样本估计总体的离散程度参数

14.4.2　用样本估计总体的离散程度参数1.已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5,则该样本的标准差为(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.2B.3C.2D.5答案A解析∵样本容量n=5,∴x=15×(1+2+3+4+5)=3,∴s=15×[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=2.2.下列说法正确的是(　　)A.在两组数据中,平均数较大的一组方差较大B.平均数反映数据的集中趋势,方差则反映数据离平均数的波动大小C.方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方后再求和D.在记录两个人射击环数的两组数据中,方差大的表示射击水平高答案B解析A中平均数和方差是数据的两个特征,不存在这种关系;C中求和后还需取平均数;D中方差越大,射击越不平稳,水平越低.故选B.3.某高三学生在连续五次月考中的数学成绩(单位:分)为90,90,93,94,93,则该学生在这五次月考中数学成绩的平均数和方差分别为(　　)A.92,2.8B.92,2C.93,2D.93,2.8答案A解析该学生在这五次月考中数学成绩的平均数为 x=15×(90+90+93+94+93)=92(分),方差为s2=15×[(90-92)2+(90-92)2+(93-92)2+(94-92)2+(93-92)2]=2.8(分).4.样本a,3,5,7的平均数是b,且a,b是方程x2-5x+4=0的两根,则这个样本的方差是(　　)A.3B.4C.5D.6答案C解析x2-5x+4=0的两根是1,4.当a=1时,a,3,5,7的平均数是4;当a=4时,a,3,5,7的平均数不是1.∴a=1,b=4,则方差s2=14×[(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2]=5.5.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习,每人投10次,投中的次数如下表:学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679以上甲、乙两个班级数据的方差中较小的一个班级数据的s2=　　　　. 答案25解析由题意知x甲=15×(6+7+7+8+7)=7,x乙=15×(6+7+6+7+9)=7,s甲2=15×[(6-7)2+…+(7-7)2]=25,s乙2=15×[(6-7)2+…+(9-7)2]=65. ∵25<65,∴较小的一个s2=25.6.若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,则数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的标准差为　　　　. 答案16解析∵样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,记样本数据x1,x2,…,x10的平均数为x,则标准差为110∑i=110(xi-x)2=8,∴数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的平均数为2x-1,从而数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的标准差为110∑i=110(2xi-1-2x+1)2=110∑i=110(2xi-2x)2=110∑i=1104(xi-x)2=410∑i=110(xi-x)2=2110∑i=110(xi-x)2=2×8=16.7.样本容量为10的一组数据,它们的平均数是5,频率条形图如图,则其标准差为　　　　. 答案655解析由条形图知这10个数分别为2,2,2,2,5,5,8,8,8,8.∵x=5,∴s2=110×[(2-5)2+(2-5)2+(2-5)2+(2-5)2+(5-5)2+(5-5)2+(8-5)2+(8-5)2+(8-5)2+(8-5)2]=110×72=365,∴s=655. 8.某学校统计教师职称及年龄,中级职称教师的人数为50,其平均年龄为38岁,方差是2,高级职称的教师中有3人58岁,5人40岁,2人38岁,求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差(计算结果保留一位小数).解由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为x高=3×58+5×40+2×383+5+2=45(岁),年龄的方差为s高2=110×[3×(58-45)2+5×(40-45)2+2×(38-45)2]=73(岁2),所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为x=5050+10×38+1050+10×45≈39.2(岁),该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是s2=5050+10×[2+(38-39.2)2]+1050+10×[73+(45-39.2)2]=20.6(岁2).9.为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别是x1,x2,…,xn,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(　　)A.x1,x2,…,xn的平均值B.x1,x2,…,xn的标准差C.x1,x2,…,xn的最大值D.x1,x2,…,xn的中位数答案B解析在A中,平均数是表示一组数据集中趋势的量,它是反映数据集中趋势的一项指标,故A不可以用来评估这种农作物亩产量的稳定程度;在B中,标准差能反映一组数据的离散程度,故B可以用来评估这种农作物亩产量的稳定程度;在C中,最大值是一组数据中最大的量,故C不可以用来评估这种农作物亩产量的稳定程度;在D中,中位数将数据分成前半部分和后半部分,用来代表一组数据的“中等水平”,故D不可以用来评估这种农作物亩产量的稳定程度.故选B.10.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的频数直方图如图所示,则(　　) A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差答案C解析由题意可知,甲的成绩为4,5,6,7,8,乙的成绩为5,5,5,6,9,所以甲、乙成绩的平均数均为6,A错;甲、乙的成绩的中位数分别为6,5,B错;甲、乙的成绩的方差分别为15×[(4-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(7-6)2+(8-6)2]=2,15×[(5-6)2+(5-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(9-6)2]=125,C对;甲、乙的成绩的极差均为4,D错.11.某公司10位员工的月工资(单位:元)为x1,x2,…,x10,其平均数和方差分别为x和s2,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的平均数和方差分别为(　　)A.x,s2+1002B.x+100,s2+1002C.x,s2D.x+100,s2答案D解析方法一　因为每个数据都加上100,所以平均数也增加100,而离散程度应保持不变,即方差不变.方法二　由题意知x1+x2+…+x10=10x,s2=110[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(x10-x)2],则所求平均数y=110[(x1+100)+(x2+100)+…+(x10+100)]=110(10x+10×100)=x+100,所求方差为110[(x1+100-y)2+(x2+100-y)2+…+(x10+100-y)2]=110[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(x10-x)2]=s2.12.某市有15个旅游景点,经计算,黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万,标准差为s;后来经核实,发现甲、乙两处景点统计的人数有误,甲景点实际为20万,被误统计为15万,乙景点实际为18万,被误统计成23万,更正后重新计算,得到标准差为s1.s与s1的大小关系为(　　) A.s=s1B.s<s1C.s>s1D.不能确定答案C解析由已知,两次统计所得的旅游人数总数没有变,即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的,设为x,则s=115[(15-x)2+(23-x)2+(x3-x)2+…+(x15-x)2],s1=115[(20-x)2+(18-x)2+(x3-x)2+…+(x15-x)2],若比较s与s1的大小,只需比较(15-x)2+(23-x)2与(20-x)2+(18-x)2的大小即可,而(15-x)2+(23-x)2=754-76x+2x2,(20-x)2+(18-x)2=724-76x+2x2,所以(15-x)2+(23-x)2>(20-x)2+(18-x)2,从而s>s1.13.(多选)如图是甲、乙两人在射击测试中6次命中环数的折线图,则下列说法正确的是(　　)A.若甲、乙射击成绩的平均数分别为x1,x2,则x1<x2B.若甲、乙射击成绩的方差分别为s12,s22,则s12<s22C.乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数D.乙比甲的射击成绩稳定答案CD解析甲射击测试中6次命中环数为6,7,8,9,9,10,乙射击测试中6次命中环数为5,5,6,7,7,7,甲、乙射击成绩的平均数分别为x1,x2,甲、乙射击成绩的方差分别为s12,s22,则x1=16×(9+10+6+7+9+8)≈8.17,x2=16×(6+7+ 5+5+7+7)≈6.17,所以x1>x2,故选项A错误;由折线图可以看出,乙的射击成绩比甲的射击成绩波动小,所以s12>s22,乙比甲的射击成绩稳定,故选项B错误,选项D正确;甲射击成绩的中位数为8+92=7.5,乙射击成绩的中位数为6+72=6.5,故选项C正确.故选CD.14.(多选)某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力(每项能力的指标值满分均为5分,分值高者为优),绘制如图所示的六维能力雷达图,图中点A表示甲的创造能力指标值为4,点B表示乙的空间能力指标值为3,则下列叙述正确的是(　　)A.乙的记忆能力优于甲B.乙的观察能力优于创造能力C.甲的六大能力整体水平优于乙D.甲的六大能力比乙较均衡答案BCD解析由六维能力雷达图,知乙的记忆能力指标值是4,甲的记忆能力指标值是5,故甲的记忆能力优于乙的记忆能力,故A错误;乙的创造能力指标值是3,观察能力指标值是4,故乙的观察能力优于创造能力,故B正确;甲的六大能力之和为25,乙的六大能力之和为24,所以甲的六大能力整体水平优于乙,故C正确;甲的六大能力指标值的方差为s甲2=1736,乙的六大能力指标值的方差为s乙2=23,所以s甲2<s乙2,即甲的六大能力比乙较均衡,D正确.15.某校甲班、乙班各有49名学生,两班在一次数学测验中的成绩(满分100分)统计如下表:班级平均分众数中位数标准差甲班79708719.8 乙班7970795.2根据上述表格,对比甲、乙两班的成绩,对甲班提出的教学建议是　　　　　　　　　　　,对乙班提出的教学建议是　　　　　　　　　　　. 答案对学习有困难的同学多一些帮助　采取措施提高优秀率解析甲班学生成绩的中位数为87分,说明高于或等于87分的学生占一半以上,而平均分为79分,标准差很大,说明低分也多,两极分化严重,建议对学习有困难的同学多给一些帮助;乙班学生成绩的中位数和平均分均为79分,标准差小,说明学生成绩之间差别较小,成绩很差的学生少,但成绩优异的学生也很少,建议采取措施提高优秀率.16.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为　　　　. 答案10解析设5个班级中参加的人数分别为x1,x2,x3,x4,x5,则由题意知x1+x2+x3+x4+x55=7,(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2=20,五个整数的平方和为20,则必为0+1+1+9+9=20,由|x-7|=3可得x=10或x=4.由|x-7|=1可得x=8或x=6.由上可知参加的人数分别为4,6,7,8,10,故最大值为10.17.由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为　　　　.(从小到大排列) 答案1,1,3,3解析假设这组数据按从小到大的顺序排列为x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x44=2,x2+x32=2,∴x1+x4=4,x2+x3=4.又s= 14[(x1-2)2+(x2-2)2+(x3-2)2+(x4-2)2]=12(x1-2)2+(x2-2)2+(4-x2-2)2+(4-x1-2)2=122[(x1-2)2+(x2-2)2]=1,∴(x1-2)2+(x2-2)2=2.同理可求得(x3-2)2+(x4-2)2=2.由x1,x2,x3,x4均为正整数,且(x1,x2),(x3,x4)均为方程(x-2)2+(y-2)2=2的解,分析知x1,x2,x3,x4应为1,1,3,3.18.某校医务室随机抽查了高一10位男同学的体重(单位:kg)如下:74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.(1)估计高一所有男同学体重数据的平均数、中位数、方差、标准差.(2)高一10位男同学的体重数据中,位于[x-s,x+s]内的有几个?所占的百分比是多少?解(1)这10位男同学的体重数据的平均数x=110×(74+71+72+68+76+73+67+70+65+74)=71(kg).将这10位男同学的体重数据按从小到大重新排列,得65,67,68,70,71,72,73,74,74,76,位于中间的两个数是71,72,所以这10位男同学的体重数据的中位数为71+722=71.5,这10位男同学的体重数据的方差s2=110×[(74-71)2+(71-71)2+(72-71)2+(68-71)2+(76-71)2+(73-71)2+(67-71)2+(70-71)2+(65-71)2+(74-71)2]=11(kg2),标准差s=s2=11(kg).(2)因为[x-s,x+s]=[71-11,71+11],所以数据74,71,72,68,76,73,67,70,65,74中,有7个数据位于区间[71-11,71+11]内,所占的百分比为70%.19.把某校三年级一班40人随机平均分成两组,两组学生一次考试的成绩情况如下表: 组别平均成绩标准差第一组906第二组804求全班学生的平均成绩和标准差.解设第一组20名学生的成绩为xi(i=1,2,…,20),第二组20名学生的成绩为yi(i=1,2,…,20),依题意有x=120(x1+x2+…+x20)=90,y=120(y1+y2+…+y20)=80,故全班平均成绩为140(x1+x2+…+x20+y1+y2+…+y20)=140×(90×20+80×20)=85;又设第一组学生成绩的标准差为s1,第二组学生成绩的标准差为s2,则s12=120(x12+x22+…+x202-20x2),s22=120(y12+y22+…+y202-20y2)(此处,x=90,y=80),又设全班40名学生的标准差为s,平均成绩为z(z=85),故有s2=140(x12+x22+…+x202+y12+y22+…+y202-40z2)=140(20s12+20x2+20s22+20y2-40z2)=12×(62+42+902+802-2×852)=51.即s=51.所以全班学生的平均成绩为85分,标准差为51.20.(2021河南商丘期末)李明上高一时每天中午和晚上都在学校的食堂就餐.学校为了方便学生就餐,发行“校园一卡通”,而该校的学生家长可以随时通过手机给其子女的“校园一卡通”充值.为了给李明的“校园一卡通”每周充入适当数量的钱,李明的家长随机收集了李明班级每天中午和晚上都在学校食堂就餐的6个同学一个星期在学校的就餐费用,并制作如图所示的茎叶图.在制作时有1个数据模糊,李明的家长便在图中以x表示,他记得这6个同学一个星期在学校的就餐费用,如果去掉一个费用最高的,去掉一个费用最低的,剩余4个同学费用的平均数为91元. (1)求整数x的取值组成的集合.(2)一般地,把抽取所得的随机数据中,去掉最大的一个,再去掉最小的一个,如果剩余的数据的方差在0~2之间,我们认为抽取的数据是非常完美的数据.试说明李明的家长抽取的数据是否是非常完美的数据.解(1)他抽取的6个数据是87,93,90,90+x,90,91;其中最小的数据是87,最大的数据是93或90+x;如果最大的数据是93,则0≤x≤3,14×(90+90+x+90+91)=91,又x∈Z,解得x=3;如果最大的数据是90+x,则3≤x≤9,14×(93+90+90+91)=91,又x∈Z,解得x=3,4,5,6,7,8,9;所以整数x的取值组成的集合是{3,4,5,6,7,8,9};(2)由(1)知,去掉一个费用最大的90+x,去掉一个费用最小的87,剩余4个数据为93,90,90,91;计算这4个数据的平均数为x=14×(93+90+90+91)=91,方差为s2=14×[(93-91)2+(90-91)2+(90-91)2+(91-91)2]=32,又32在0~2之间,所以我们认为抽取的数据是非常完美的数据.