苏教版必修第一册课后习题3.3.1 从函数观点看一元二次方程

第3章不等式3.3　从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式3.3.1　从函数观点看一元二次方程1.下列一元二次方程的解集为空集的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.x2+2x+1=0B.x2+2x+2=0C.x2-1=0D.x2-2x-1=0答案B解析对于A,因为Δ=22-4×1×1=0,所以方程有两个相等的实数根,A不合题意;对于B,因为Δ=12-4×1×2<0,所以方程没有实数根,故B符合题意;对于C,方程有两个不相等的实数根x=±1,故C不符合题意;对于D,因为Δ=(-2)2-4×1×(-1)>0,所以方程有两个不相等的实数根,故D不合题意.故选B.2.(2020辽宁阜新第二高级中学高一月考)已知方程x2-px-q=0的解集为{-1,3},则p与q的值分别为(　　)A.p=-2,q=3B.p=2,q=3C.p=-2,q=-3D.p=2,q=-3答案B解析由题意可知-1和3是方程x2-px-q=0的两个根,由根与系数的关系可知-1+3=p,-1×3=-q,解得p=2,q=3.故选B.3若α,β是二次函数y=x2-kx+8的两个零点,则(　　)A.|α|≥3且|β|>3B.|α+β|<42 C.|α|>2且|β|>2D.|α+β|>42答案D解析∵α,β是二次函数y=x2-kx+8的两个零点,∴Δ=k2-32>0,解得k>42或k<-42.∵α+β=k,αβ=8,∴|α+β|>42.故选D.4.若α,β是二次函数y=x2+3x-6的两个零点,则α2-3β的值是(　　)A.3B.15C.-3D.-15答案B解析∵α,β是二次函数y=x2+3x-6的两个零点,∴α2+3α-6=0,即α2=6-3α.由根与系数的关系可知α+β=-3,∴α2-3β=6-3α-3β=6-3(α+β)=6-3×(-3)=15.故选B.5.若关于x的一元二次方程x2+2x-m=0的解集中只有一个元素,则m的值为　　　　. 答案-1解析∵关于x的一元二次方程x2+2x-m=0的解集中只有一个元素,∴Δ=b2-4ac=0,即22-4(-m)=0,解得m=-1.6.若x1,x2是二次函数y=x2+x-2的两个零点,则x1+x2+x1x2=　　　　. 答案-3解析由根与系数的关系可知,x1+x2=-1,x1x2=-2,∴x1+x2+x1x2=-3.7.已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围;(2)若x1,x2是方程的两个根,且(x1-x2)2=12,求k的值.解(1)由题意可得Δ=22-4(2k-4)=-8k+20>0,解得k<52,∴k的取值范围为kk<52.(2)∵x1,x2是方程的两个根, ∴x1+x2=-2,x1x2=2k-4.∵(x1-x2)2=12,∴(x1+x2)2-4x1x2=12,∴4-4(2k-4)=12,解得k=1.8.)已知关于x的方程x2-6x+k=0的两根分别是x1,x2,且满足1x1+1x2=3,则k的值是(　　)A.1B.2C.3D.4答案B解析因为关于x的方程x2-6x+k=0的两根分别是x1,x2,故x1+x2=6,x1x2=k.故1x1+1x2=x1+x2x1x2=6k=3,解得k=2.故选B.9.关于x的方程(m-2)x2-4x+1=0有实数根,则m满足的条件是(　　)A.m≤6B.m<6C.m≤6且m≠2D.m<6且m≠2答案A解析①当m-2=0,即m=2时,方程化为-4x+1=0,只有一个实根,符合题意;②当m-2≠0,即m≠2时,方程有实数根的充要条件是Δ=(-4)2-4(m-2)≥0,解得m≤6,即m≤6且m≠2.综合①②得m≤6.故选A.10.已知x1,x2是函数y=x2-ax-2(a∈R)的两个零点,下列结论一定正确的是(　　)A.x1+x2>0B.x1x2>0C.x1<0,x2<0D.x1≠x2答案D解析由根与系数的关系可得x1+x2=a,x1x2=-2,故可排除B,但因为无法得知a的正负,故A,C不正确;又Δ=(-a)2-4×1×(-2)=a2+8>0,∴方程有两个不相等的实数根,故选D.11.(多选函数y=(x2-4)2x-1的零点可以是(　　)A.x=-2B.x=-12 C.x=12D.x=2答案CD解析由题意,方程(x2-4)2x-1=0,则x2-4=0或2x-1=0,解得x=±2或x=12.又由2x-1≥0,解得x≥12.所以函数y=(x2-4)2x-1的零点为x=2或x=12.故选CD.12.(多选)关于x的方程mx2-4x-m+5=0,以下说法正确的是(　　)A.当m=0时,方程只有一个实数根B.当m=1时,方程有两个相等的实数根C.当m=-1时,方程没有实数根D.当m=2时,方程有两个不相等的实数根答案AB解析当m=0时,方程化为-4x+5=0,解得x=54,此时方程只有一个实数根,故A正确;当m=1时,方程化为x2-4x+4=0,因为Δ=(-4)2-4×1×4=0,所以此时方程有两个相等的实数根,故B正确;当m=-1时,方程化为-x2-4x+6=0,因为Δ=(-4)2-4×(-1)×6>0,所以此时方程有两个不相等的实数根,故C错误;当m=2时,方程化为2x2-4x+3=0,因为Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0,所以此时方程无实数根,故D错误.故选AB.13.(多选)已知关于x的一元二次方程(3a2+4)x2-18ax+15=0有两个实数根x1,x2,则下列结论正确的有(　　)A.a≥153或a≤-153B.1x1+1x2=65aC.|x1-x2|=43a2-53a2+4D.ax1x2-5x2ax1x2-x1=-5答案ABD 解析因为(3a2+4)x2-18ax+15=0有两个实数根,所以Δ=324a2-60×(3a2+4)≥0,故a2≥53,所以a≥153或a≤-153,故A正确.由根与系数的关系可得x1+x2=18a3a2+4,x1x2=153a2+4,所以1x1+1x2=x1+x2x1x2=18a15=65a,故B正确.|x1-x2|=(-b+144a2-240)-(-b-144a2-240)2(3a2+4)=144a2-2403a2+4=43×3a2-53a2+4,故C错误.因为1x1+1x2=65a,所以5x1+5x2=6ax1x2,故5x1-5ax1x2=ax1x2-5x2,若x1=0,则(3a2+4)02-18a×0+15=0,即15=0,矛盾,故x1≠0;若ax1x2-x1=0,则ax2-1=0,故x2=1a,即3a2+4a2-18+15=0,故3a2+4=3a2,矛盾.故ax1x2-x1≠0.所以ax1x2-5x2ax1x2-x1=-5,故D成立.故选ABD.14.已知关于x的方程ax2+x-a-1=0的根都是整数,那么符合条件的整数a的取值集合为　　　　. 答案{-1,0,1}解析若a=0,则x=1;若a≠0,则原方程化为(x-1)[a(x+1)+1]=0,则x-1=0或a(x+1)+1=0.①当x-1=0时,x=1是方程的一个整数解.②当a(x+1)+1=0时,x+1=-1a,且x是整数,a是整数,知a=±1.综上,a的取值集合为{-1,0,1}.15.已知m,n是二次函数y=x2-2x-7的两个零点,则m2+mn+2n=　　　　. 答案4解析由题意知m,n是方程x2-2x-7=0的两个实数根,∴m+n=2,mn=-7.∴m2+mn+2n=m(m+n)+2n=2m+2n=4.16.已知二次函数y=x2+4x-1的两个零点分别是x1,x2,利用根与系数的关系求下列式子的值:(1)(x1-x2)2;(2)1x12+1x22. 解由题意知一元二次方程x2+4x-1=0的两根分别是x1,x2,则x1+x2=-4,x1x2=-1.(1)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=16+4=20.(2)1x12+1x22=x12+x22x12·x22=(x1+x2)2-2x1x2(x1x2)2=(-4)2-2×(-1)(-1)2=18.17.已知关于x的二次函数y=x2-(2k-1)x+k2+1的图象与x轴有两个交点.(1)求k的取值范围;(2)若图象与x轴交点的横坐标为x1,x2,且它们的倒数之和是-32,求k的值.解(1)∵二次函数y=x2-(2k-1)x+k2+1的图象与x轴有两个交点,∴当y=0时,x2-(2k-1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根.∴Δ=b2-4ac=[-(2k-1)]2-4×1×(k2+1)>0.解得k<-34,即k的取值范围为-∞,-34.(2)当y=0时,x2-(2k-1)x+k2+1=0,则x1+x2=2k-1,x1x2=k2+1,∵1x1+1x2=x1+x2x1x2=2k-1k2+1=-32,解得k=-1或k=-13(舍去),∴k=-1.