苏教版必修第一册课后习题7.2.2 同角三角函数关系

第7章三角函数7.2　三角函数概念7.2.2　同角三角函数关系1.已知α是第二象限角,sinα=513,则cosα=(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.-1213B.-513C.513D.1213答案A解析因为α是第二象限角,所以cosα<0,故cosα=-1-sin2α=-1-(513) 2=-1213.故选A.2.已知sinα=-13,且α∈π,3π2,则tanα=(　　)A.-223B.223C.24D.-24答案C解析由α∈π,3π2,得cosα<0,又sinα=-13,所以cosα=-1-(-13) 2=-223,则tanα=sinαcosα=24.故选C.3.已知sinα-cosα=-54,则sinαcosα=(　　)A.74B.-916C.-932D.932答案C解析由sinα-cosα=-54,两边同时平方得1-2sinαcosα=2516,所以sinαcosα=-932.故选C.4.如果tanθ=2,那么1+sinθcosθ=(　　)A.73B.75C.54D.53 答案B解析1+sinθcosθ=1+sinθcosθ1=sin2θ+cos2θ+sinθcosθsin2θ+cos2θ=tan2θ+tanθ+1tan2θ+1,又tanθ=2,所以1+sinθcosθ=22+2+122+1=75.5.若△ABC的内角A满足sinAcosA=13,则sinA+cosA的值为(　　)A.153B.-153C.53D.-53答案A解析因为A为△ABC的内角,且sinAcosA=13>0,所以A为锐角,所以sinA+cosA>0.又(sinA+cosA)2=1+2sinAcosA=1+23=53,所以sinA+cosA=153.6.已知tanα=5,则sinα-2cosαcosα+sinα=　　　　. 答案12解析∵tanα=5,∴sinαcosα=5,∴sinα=5cosα,∴sinα-2cosαcos+sinα=5cosα-2cosαcosα+5cosα=12.7若角α的终边在直线x+y=0上,则sinα1-cos2α+1-sin2αcosα=　　　　. 答案0解析因为sinα1-cos2α+1-sin2αcosα=sinα|sinα|+|cosα|cosα,又角α的终边落在x+y=0上,故角α的终边在第二、四象限, 当α在第二象限时,原式=sinαsinα+-cosαcosα=0,当α在第四象限时,原式=sinα-sinα+cosαcosα=0.综上所述,原式=0.8.已知tanα=m(m≠0),求sinα和cosα的值.解∵sinαcosα=tanα=m,∴sinα=mcosα.又sin2α+cos2α=1,∴m2cos2α+cos2α=1,∴cos2α=11+m2.当α为第一或第四象限的角时,cosα=11+m2,sinα=m1+m2;当α为第二或第三象限的角时,cosα=-11+m2,sinα=-m1+m2.9.若cosα=13,则(1+sinα)(1-sinα)=(　　)A.13B.19C.223D.89答案B解析原式=1-sin2α=cos2α=19,故选B.10.若cosα+2sinα=-5,则tanα=(　　)A.12B.2C.-12D.-2答案B解析由cosα+2sinα=-5,sin2α+cos2α=1,化简得(5sinα+2)2=0.所以sinα=-255,cosα=-55.所以tanα=2.11.若sinα+sin2α=1,则cos2α+cos4α=(　　)A.0B.1C.2D.3 答案B解析∵cos2α+cos4α=cos2α(1+cos2α)=(1-sin2α)(1-sin2α+1),∵sinα+sin2α=1,∴1-sin2α=sinα,∴原式=sinα(sinα+1)=sin2α+sinα=1.12.化简1-2sin1cos1的结果为(　　)A.sin1-cos1B.cos1-sin1C.sin1+cos1D.-sin1-cos1答案A解析易知sin1>cos1,所以1-2sin1cos1=(sin1-cos1)2=sin1-cos1.故选A.13.已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos4θ=59,则sinθcosθ的值为(　　)A.23B.-23C.13D.-13答案A解析由sin4θ+cos4θ=59,得(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=59,所以sin2θcos2θ=29.因为θ是第三象限角,所以sinθ<0,cosθ<0,所以sinθcosθ=23.14.(多选)化简cosα1-sin2α+2sinα1-cos2α的值为(　　)A.-1B.1C.-3D.0答案ABC解析原式=cosα|cosα|+2sinα|sinα|,当α为第一象限角时,上式值为3;当α为第二象限角时,上式值为1;当α为第三象限角时,上式值为-3;当α为第四象限角时,上式值为-1.15.(多选)若1+sinθ·sin2θ+cosθ·cos2θ=0成立,则角θ不可能是(　　)A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案ABD 解析由于1+sinθ·sin2θ+cosθcos2θ=0,且1-sin2θ-cos2θ=0,所以sinθ≤0,cosθ≤0,即角θ不可能是第一、二、四象限角.故选ABD.16.(多选)已知2sinθ=1+cosθ,则tanθ的值可以为(　　)A.0B.43C.-43D.1答案AB解析∵2sinθ=1+cosθ,∴两边平方,整理可得5cos2θ+2cosθ-3=0,解得cosθ=-1,或cosθ=35.∴当cosθ=-1时,sinθ=0,则tanθ=0;当cosθ=35时,有sinθ=45,tanθ=43,故选AB.17.已知tanαtanα-1=-1,则角α在第　　　　象限;sin2α+sinαcosα+2的值为　　　　. 答案一或第三　135解析由已知得tanα=12,则角α在第一或第三象限.sin2α+sinαcosα+2=sin2α+sinαcosα+2(cos2α+sin2α)=3sin2α+sinαcosα+2cos2αsin2α+cos2α=3tan2α+tanα+2tan2α+1=3×(12) 2+12+2(12) 2+1=135.18.某会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是125,则sin2θ-cos2θ的值为　　　　. 答案-725解析由题意得直角三角形的面积S=1-1254=625, 设三角形的直角边长分别为x,y,则有x2+y2=1,12xy=625,解得x=35,y=45或x=45,y=35.因为θ为较小的锐角,所以sinθ=351=35,cosθ=451=45,sin2θ-cos2θ=352-452=-725.19.已知sinα=2cosα,求sinα-4cosα5sinα+2cosα的值.解由已知得sinα=2cosα.原式=2cosα-4cosα5×2cosα+2cosα=-16.20化简:(1)cos36°-1-cos236°1-2sin36°cos36°;(2)sinθ-cosθtanθ-1.解(1)原式=cos36°-sin236°sin236°+cos236°-2sin36°cos36°=cos36°-sin36°(cos36°-sin36°)2=cos36°-sin36°|cos36°-sin36°|=cos36°-sin36°cos36°-sin36°=1.(2)原式=sinθ-cosθsinθcosθ-1=cosθ(sinθ-cosθ)sinθ-cosθ=cosθ.21.已知关于x的方程8x2+6kx+2k+1=0的两个实数根分别是sinθ,cosθ,求|sinθ-cosθ|的值.解由题意得Δ=36k2-32(2k+1)≥0,sinθ+cosθ=-3k4,sinθcosθ=2k+18. ∴sin2θ+cos2θ=(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=916k2-2k+14=1,∴9k2-8k-20=0,∴k=2或k=-109.当k=2时,Δ<0,不符合题意,舍去.当k=-109时,Δ>0,∴k=-109,此时sinθ+cosθ=56,∴|sinθ-cosθ|2+(sinθ+cosθ)2=2(sin2θ+cos2θ)=2,∴|sinθ-cosθ|2=2-2536=4736,∴|sinθ-cosθ|=476.