苏教版必修第一册课后习题7.3.1 三角函数的周期性

第7章三角函数7.3　三角函数的图象与性质7.3.1　三角函数的周期性1.函数f(x)=2sinx3+π3的最小正周期是(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.2πB.6πC.2π3D.3π2答案B解析T=2π|ω|=6π.2.函数f(x)=2cos-3x+π4的最小正周期是(　　)A.3π2B.π3C.2π3D.2π答案C解析T=2π|ω|=2π3.3.若函数f(x)=sinωx-π6的最小正周期是2π,则ω等于(　　)A.1B.-1C.πD.±1答案D解析由T=2π|ω|=2π,解得ω=±1.4.函数f(x)=tanωx(ω>0)图象的相邻两支截直线y=π4所得线段长为π4,则fπ4的值是(　　)A.0B.1C.-1D.22 答案A解析因为周期T=πω=π4,ω=4,fπ4=tanπ=0.5.定义在R上的函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且当2<x≤6时,f(x)=3-x,则f(1)等于(　　)A.2B.-2C.-1D.1答案B解析∵f(x+4)=f(x),∴f(1)=f(1+4)=f(5).又当2<x≤6时,f(x)=3-x,∴f(5)=3-5=-2,∴f(1)=-2.6.函数y=2tan2x的最小正周期为　　　　　. 答案π2解析∵ω=2,∴最小正周期T=π2.7.求下列函数的周期:(1)y=tan3x,x∈R;(2)y=cosx3,x∈R;(3)y=3sin12x-π4,x∈R.解(1)y=tan3x的周期为T=π3.(2)y=cosx3的周期为T=2π13=6π.(3)y=3sin12x-π4的周期为T=2π12=4π.8.已知函数y=2cosπ3-ωx(ω<0)的最小正周期是4π,则ω=(　　)A.-4B.-14C.-1D.-12答案D 解析因为T=2π|-ω|=4π,所以|ω|=12.因为ω<0,所以ω=-12.9.函数f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数,且f(1)=2,则f(5)=(　　)A.2B.1C.-2D.-1答案C解析因为f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数,所以f(x+3)=f(x)且f(-x)=-f(x).又f(1)=2,所以f(5)=f(2+3)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2.10.设函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),则函数y=f(x)的图象是(　　)答案B解析由f(-x)=f(x),得f(x)是偶函数,图象关于y轴对称,排除A、C.由f(x+2)=f(x),得f(x)的周期为2,故选B.11.设f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数,且有f(x)=sinx,0≤x≤π,cosx,-π<x<0,则f-13π4=(　　)A.22B.-22C.0D.1答案A解析因为f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数,所以f-13π4=f-4π+3π4=f3π4.又因为0≤3π4≤π,所以f-13π4=f3π4=sin3π4=22. 12.设函数f(x)=sinπ3x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2020)=(　　)A.32B.-32C.3D.0答案A解析因为f(x)=sinπ3x的周期T=2ππ3=6,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2020)=336[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(2017)+f(2018)+f(2019)+f(2020)=336sinπ3+sin23π+sinπ+sin43π+sin53π+sin2π+f(336×6+1)+f(336×6+2)+f(336×6+3)+f(336×6+4)=336×0+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=sinπ3+sin2π3+sin3π3+sin4π3=32.13.(多选)(2021海南三亚调研)若存在常数p>0,使得函数f(x)满足f(px)=fpx-p2(x∈R),则f(x)的一个正周期可以为(　　)A.p3B.p2C.pD.2p答案BCD解析令px-p2=u,则px=u+p2,依题意有fu+p2=f(u),此式对任意u∈R都成立,而p2>0且为常数,因此f(x)是一个周期函数,p2或p2的正整数倍是一个正周期.14.(多选)设函数f(x)=3sinωx+π6,ω>0,x∈(-∞,+∞),且以π2为最小正周期.若fα4+5π24=95,则cosα的可取值为(　　)A.35B.-35C.45D.-45答案CD解析因为f(x)的最小正周期为π2,ω>0,所以ω=2ππ2=4. 所以f(x)=3sin4x+π6.由fα4+5π24=-3sinα=95,sinα=-35.则cosα=±45.15.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=1f(x),则f(x)的最小正周期为　　　　　;且当x∈[0,1]时,f(x)=2x,则f(8.5)=　　　　　. 答案2　2解析∵f(x+1)=1f(x),∴f(x+2)=f(x),故f(x)的最小正周期为2.则f(8.5)=f(0.5).又x∈[0,1]时,f(x)=2x,则f(0.5)=20.5=2,∴f(8.5)=2.16.(2021山东青岛调研)设f(x)是定义在R上且最小正周期为3π2的函数,在某一周期上f(x)=cos2x-π2≤x<0,sinx(0≤x<π),则f-154π的值为　　　　. 答案22解析∵f(x)的最小正周期为3π2,∴f-15π4=f-15π4+3π2×3=f3π4.∵0<3π4<π,∴f3π4=sin3π4=sinπ4=22,即f-15π4=22.17.已知f(x)是以π为周期的偶函数,且x∈0,π2时,f(x)=1-sinx,则当x∈5π2,3π时,求f(x)的解析式.解当x∈5π2,3π时,3π-x∈0,π2, 因为当x∈0,π2时,f(x)=1-sinx,所以f(3π-x)=1-sin(3π-x)=1-sinx.又f(x)是以π为周期的偶函数,所以f(3π-x)=f(-x)=f(x),所以f(x)的解析式为f(x)=1-sinx,x∈5π2,3π.18.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若对任意的x≥0,都有f(x+2)=-1f(x),且当x∈[0,2π)时,f(x)=log2(x+1),试求f(-2017)+f(2019)的值.解∵当x≥0时,f(x+2)=-1f(x),∴f(x+4)=f(x),即4是f(x)(x≥0)的一个周期.∴f(2019)=f(3)=log24=2.又f(-2017)=f(2017)=f(1)=log22=1,∴f(-2017)+f(2019)=1+2=3.19已知函数f(x)=log12|sinx|.(1)求其定义域和值域;(2)判断其周期性,若是周期函数,求其最小正周期.解(1)∵|sinx|>0,∴sinx≠0,∴x≠kπ,k∈Z.∴函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}.∵0<|sinx|≤1,∴log12|sinx|≥0,∴函数的值域为{y|y≥0}.(2)∵f(x+π)=log12|sin(x+π)|=log12|sinx|=f(x),∴函数f(x)是周期函数,且最小正周期是π.