苏教版必修第一册课后习题8.1 二分法与求方程近似解

第8章函数应用8.1　二分法与求方程近似解8.1.1　函数的零点8.1.2　用二分法求方程的近似解1.函数f(x)=x2-bx+1有一个零点,则b的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.2B.-2C.±2D.3答案C解析因为函数有一个零点,所以Δ=b2-4=0,所以b=±2.故选C.2函数f(x)=2x+lnx-1的零点所在的区间为(　　)A.1,32B.32,2C.0,12D.12,1答案D解析函数f(x)=2x+lnx-1为(0,+∞)上的增函数,由f(1)=1>0,f12=2-ln2-1<32-ln2-1=12-ln2<12-lne=12-12=0,可得函数f(x)的零点所在的区间为12,1.故选D.3.已知函数f(x)=2x-1,x≤1,1+log2x,x>1,则函数f(x)的零点为(　　)A.12,0B.-2,0C.12D.0答案D 解析当x≤1时,由f(x)=0,得2x-1=0,所以x=0;当x>1时,由f(x)=0,得1+log2x=0,所以x=12,不成立,所以函数的零点为0,故选D.4.函数f(x)的图象是连续不断的曲线,在用二分法求方程f(x)=0在(1,2)内近似解的过程中,可得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解所在区间为(　　)A.(1.25,1.5)B.(1,1.25)C.(1.5,2)D.不能确定答案A解析由于f(1.25)f(1.5)<0,则方程的解所在区间为(1.25,1.5).故选A.5.(2021四川成都高三月考)下列函数在区间(-1,1)内有零点且是增函数的是(　　)A.y=0.3x-13B.y=x3+1C.y=log13(-x)D.y=3x-1答案D解析对于A,y=0.3x-13在(-1,1)上为减函数,不符合题意;对于B,y=x3+1在(-1,1)上为增函数,令y=x3+1=0,解得x=-1,不符合题意;对于C,y=log13(-x)在[0,1)上没有定义,不符合题意;对于D,y=3x-1在(-1,1)上有零点x=0,且在(-1,1)上为增函数,符合题意.故选D.6.函数f(x)=(x-1)lnxx-3的零点是　　　　　. 答案1解析令f(x)=0,即(x-1)lnxx-3=0,则x-1=0或lnx=0,解得x=1,故函数f(x)的零点为1.7.函数f(x)=x2-2x+a在区间(-2,0)和(2,3)内各有一个零点,则实数a的取值范围是　　　　　. 答案(-3,0) 解析函数f(x)=x2-2x+a在区间(-2,0)和(2,3)内各有一个零点,由二次函数图象的性质,知f(-2)>0,f(0)<0,f(2)<0,f(3)>0,即8+a>0,a<0,a<0,3+a>0,解得-3<a<0.8.判断函数f(x)=lnx+x2-3的零点的个数.解(方法一)令f(x)=lnx+x2-3=0,所以原函数零点的个数即为函数y=lnx与y=3-x2的图象交点个数.在同一坐标系下,作出两函数的图象(如图).由图象知,函数y=3-x2与y=lnx的图象只有一个交点,从而lnx+x2-3=0有一个根,即函数y=lnx+x2-3有一个零点.(方法二)由于f(1)=ln1+12-3=-2<0,f(2)=ln2+22-3=ln2+1>0,所以f(1)f(2)<0,又f(x)=lnx+x2-3的图象在(1,2)上是不间断的,所以f(x)在(1,2)上必有零点,又f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以零点只有一个.9.若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个负零点,求实数a的取值范围.解①当a=0时,由f(x)=-x-1=0得x=-1,符合题意;②当a>0时,函数f(x)=ax2-x-1为开口向上的抛物线,且f(0)=-1<0,对称轴x=12a>0,所以f(x)必有一个负零点,符合题意;③当a<0时,x=12a<0,f(0)=-1<0,所以Δ=1+4a=0,即a=-14,此时f(x)=-14x2-x-1=-x2+12=0, 所以x=-2,符合题意.综上所述,a的取值范围是aa≥0或a=-14.10.若函数f(x)=x2-ax+b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是(　　)A.-1和16B.1和-16C.12和13D.-12和3答案B解析∵函数f(x)=x2-ax+b的两个零点是2和3,∴2+3=a,2×3=b,即a=5,b=6,∴g(x)=6x2-5x-1,∴g(x)的零点为1和-16,故选B.11.下列函数不能用二分法求零点的是(　　)A.f(x)=3x-2B.f(x)=log2x+2x-9C.f(x)=(2x-3)2D.f(x)=3x-3答案C解析二分法的主要原理是零点存在定理,即f(a)f(b)<0,而C选项f(x)=(x-2)2≥0,故不能用二分法来求零点.A,B,D三个选项都可以用二分法来求零点.故选C.12定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且当x∈(0,2)时,f(x)=(x-1)2,则f(x)在区间[0,2021]上的零点个数为(　　)A.1011B.1010C.2021D.2022答案D解析因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),所以f(0)=0,f(x)是以4为周期的周期函数.当x∈(0,2)时,f(x)=(x-1)2,所以f(1)=0.因为f(2)=f(-2+4)=f(-2)=-f(2),所以f(2)=0.因为f(-1+4)=f(-1)=-f(1)=0,所以f(3)=0.又f(0+4)=f(0)=0,所以f(0)=0,f(1)=0,f(2)=0,f(3)=0,f(4)=0,…,f(n)=0,n∈Z,所以f(x)在区间[0,2021]上有2022个零点.故选D. 13.已知函数f(x)=ex,x≤0,lnx,x>0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是(　　)A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)答案C解析函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实数根,即函数f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点,作出直线y=-x-a与函数f(x)的图象,如图所示,由图可知,-a≤1,解得a≥-1,故选C.14已知min{a,b}表示a,b两个数中较小的一个,则函数f(x)=min|x|,1x2-12的零点是(　　)A.2,12B.2,-2,12,-12C.(2,0),12,0D.-12,0,12,0,(-2,0),(2,0)答案B解析当|x|<1x2时,可解得-1<x<0或0<x<1,此时f(x)=min|x|,1x2-12=|x|-12=0,解得x=±12,满足;当|x|≥1x2时,可解得x≤-1或x≥1,此时f(x)=min|x|,1x2-12=1x2-12=0,解得x=±2,满足.综上,f(x)的零点是2,-2,12,-12.故选B. 15.(多选)对于函数f(x)=lg(|x-1|+1),下列判断正确的是(　　)A.f(x+1)是偶函数B.f(x)在(-∞,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数C.f(x)有两个零点D.f(x)的值域为[0,+∞)答案ABD解析因为f(x)=lg(|x-1|+1),所以f(x+1)=lg(|x|+1)为偶函数,故A正确;当x∈(-∞,1)时,f(x)=lg(-x+2)为减函数,当x∈(1,+∞)时,f(x)=lgx为增函数,故B正确;令f(x)=lg(|x-1|+1)=0,可解得x=1,所以只有一个零点,故C错误;因为|x-1|+1≥1,所以f(x)≥0,故D正确.故选ABD.16.(多选)下列结论正确的有(　　)A.不等式-x2+2x-1≥0的解集为⌀B.函数y=x2+x-2的零点为(1,0),(-2,0)C.若方程2x2-kx+3=0没有实数根,则k的取值范围为(-26,26)D.设a,b,c为实数,不等式ax2+bx+c>0的解集为(1,3),则不等式cx2+bx+a>0的解集为13,1答案CD解析对于A,-x2+2x-1≥0可化为x2-2x+1≤0,即(x-1)2≤0,解得x=1,故A错误;对于B,令x2+x-2=0,解得x1=1,x2=-2,则函数y=x2+x-2的零点为1和-2,故B错误;对于C,因为方程2x2-kx+3=0没有实数根,所以Δ=k2-24<0,解得-26<k<26,故C正确;对于D,因为不等式ax2+bx+c>0的解集为(1,3),所以1,3为方程ax2+bx+c=0的两个根,且a<0,所以1+3=-ba,1×3=ca,即b=-4a,c=3a,所以不等式cx2+bx+a>0可化为3ax2-4ax+a>0,即3x2-4x+1<0,解得13<x<1,故D正确.故选CD.17.(多选下列关于函数f(x)=1|x|+1的叙述正确的是(　　)A.f(x)的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≥1}B.f(x)的图象关于y轴对称C.当x∈[-1,0)时,f(x)有最小值2,但没有最大值 D.函数g(x)=f(x)-x2+1有2个零点答案BCD解析作出函数f(x)的图象,如图所示.根据函数的图象,f(x)的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y>1},故A错误;函数的图象关于y轴对称,故B正确;当x∈[-1,0)时,f(x)有最小值2,但没有最大值,故C正确;令g(x)=f(x)-x2+1=0,设h(x)=x2-1,则函数f(x)和函数h(x)的图象有两个交点,即函数g(x)有两个零点,故D正确.故选BCD.18.若关于x的方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则实数a的取值范围是　　　　　. 答案(0,4)解析由|x2-4x|-a=0,得a=|x2-4x|,作出函数y=|x2-4x|的图象,则由图象可知,要使方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则0<a<4.19.已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系是　　　　　. 答案a<b<c解析画出函数y=3x,y=log3x,y=-x,y=-2的图象,如图所示. 观察图象可知,函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次是点A,B,C的横坐标,由图象可知a<b<c.20已知一次函数f(x)满足2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数g(x)=f(x)-x2,求函数g(x)的零点.解(1)设f(x)=kx+b(k≠0),由条件得2(2k+b)-3(k+b)=5,2b-(-k+b)=1,解得k=3,b=-2,故f(x)=3x-2.(2)由(1)知g(x)=3x-2-x2=-x2+3x-2,令-x2+3x-2=0,解得x=2或x=1,所以函数g(x)的零点是2和1.21.用二分法求函数f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1在区间(-1,0)内的零点的近似值(精确到0.1).解f(-1)=-1<0,f(0)=5>0,故函数f(x)的零点在区间(-1,0)内.用二分法逐步计算,列表如下:中点的值中点的函数值区间x1=-1+02=-0.5f(x1)=3.375>0(-1,-0.5)x2=-1-0.52=-0.75f(x2)=1.578125>0(-1,-0.75)x3=-1-0.752=-0.875f(x3)≈0.3926>0(-1,-0.875)x4=-1-0.8752=-0.9375f(x4)≈-0.2771<0(-0.9375,-0.875) 因为-0.9375和-0.875精确到0.1的近似数都是-0.9,因此可取-0.9为所求函数在区间(-1,0)内的零点的近似值.22.设函数f(x)=mx2+(2m+1)x+2(m∈R).(1)求不等式f(x)≤0的解集;(2)已知g(x)=f(x)+(1-m)x2-(4m+1)x+m-2(m∈R),设x1,x2为方程g(x)=0的两根,且x1<1,x2>2,试求实数m的取值范围.解(1)若m=0,由f(x)=x+2≤0,得x≤-2;若m≠0,由f(x)=0,得x1=-1m,x2=-2,当m<0时,解不等式f(x)≤0可得x≥-1m或x≤-2;当0<m<12时,解不等式f(x)≤0可得-1m≤x≤-2;当m=12时,解不等式f(x)≤0可得x=-2;当m>12时,解不等式f(x)≤0可得-2≤x≤-1m.综上,当m=0时,原不等式的解集为{x|x≤-2};当m<0时,原不等式的解集为xx≥-1m或x≤-2;当0<m<12时,原不等式的解集为x-1m≤x≤-2;当m=12时,原不等式的解集为{-2};当m>12时,原不等式的解集为x-2≤x≤-1m.(2)由题意可得g(x)=x2-2mx+m(m∈R),因为x1,x2为g(x)=0的两根,且x1<1,x2>2, 所以g(1)=1-m<0,g(2)=4-3m<0,解得m>1,m>43,所以m的取值范围为43,+∞.