苏教版必修第一册课后习题8.2 函数与数学模型

第8章函数应用8.2　函数与数学模型8.2.1　几个函数模型的比较8.2.2　函数的实际应用1.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…现有2个这样的细胞,分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.y=2xB.y=2x-1C.y=2xD.y=2x+1答案D解析分裂一次后由2个变成2×2=22(个),分裂两次后变成4×2=23(个),…,分裂x次后变成2x+1个.2某化工原料厂原来月产量为100吨,一月份增产20%,二月份比一月份减产10%,则二月份产量为(　　)A.106吨B.108吨C.110吨D.112吨答案B解析因为化工原料厂原来月产量为100吨,一月份增产20%,所以一月份的产量为100×(1+20%)吨.又因为二月份比一月份减产10%,所以二月份的产量为100×(1+20%)×(1-10%)=108(吨).故选B.3.在一次数学实验中,某同学采集到如下一组数据:x-2-1123y0.240.512.023.988.02 在以下四个函数模型(a,b为待定系数)中,最能反映x,y函数关系的是(　　)A.y=a+bxB.y=a+bxC.y=a+logbxD.y=a+bx答案D解析根据点在坐标系中的特征可以知道,当自变量每增加1时,y的增加是不相同的,所以不是线性增加,排除A;由图象不具有反比例函数特征,排除B;因为自变量有负值,排除C;随着x的增大,y增长速度越来越快,所以符合指数函数图象的特征,D正确.故选D.4.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:min)为f(x)=cx,x<A,cA,x≥A(A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30min,组装第A件产品用时15min,那么c和A的值分别是(　　)A.75,25B.75,16C.60,25D.60,16答案D解析由题意知,组装第A件产品所需时间为cA=15,故组装第4件产品所需时间为c4=30,解得c=60.将c=60代入cA=15,得A=16.故选D.5.某超市元旦期间搞促销活动,顾客购物总金额不超过500元,不享受任何折扣;如果顾客购物的总金额超过500元,则超过的部分享受一定的折扣优惠,并按下表折扣分别累计计算:可享受的折扣优惠金额折扣率 不超过400元的部分10%超过400元的部分20%若某顾客在此超市获得的折扣金额为60元,则此人购物实际所付金额为(　　)A.940元B.1000元C.1140元D.1200元答案A解析设此人购物总金额为x元,可获得购物折扣金额为y元,则y=0,0<x≤500,0.1(x-500),500<x≤900,0.2(x-900)+40,x>900,当x=900时,y=0.1×(900-500)=40,∵60>40,∴x>900,∴0.2(x-900)+40=60,解得x=1000,故此人购物实际所付金额为1000-60=940(元),故选A.6.某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3km(不超过3km按起步价付费);超过3km但不超过8km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了　　　　　km. 答案9解析设出租车行驶xkm时,付费y元,则y=9,0<x≤3,8+2.15(x-3)+1,3<x≤8,8+2.15×5+2.85(x-8)+1,x>8,由y=22.6,解得x=9,此次出租车行驶了9km.7.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的34,要使存留的污垢不超过1%,则至少要清洗的次数是　　　　　.(lg2≈0.3010) 答案4解析设至少要洗x次,则1-34x≤1100,所以x≥1lg2≈3.322,所以需4次. 8.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙,飞往繁殖地产卵,科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v=12log3x100-lgx0,单位是km/min,其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数,x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.(参考数据:lg2≈0.30,31.2≈3.74,31.4≈4.66)(1)若x0=2,候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时,它的飞行速度是多少?(2)若x0=5,候鸟停下休息时,它每分钟的耗氧量为多少个单位?(3)若雄鸟的飞行速度为2.5km/min,雌鸟的飞行速度为1.5km/min,那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍?解(1)将x0=2,x=8100代入函数式可得v=12log381-lg2=2-lg2≈1.70,故此时候鸟飞行速度为1.70km/min.(2)将x0=5,v=0代入函数式可得0=12log3x100-lg5,即log3x100=2lg5=2·(1-lg2)≈1.40.所以x100≈31.4=4.66,于是x≈466.故候鸟停下休息时,它每分钟的耗氧量为466个单位.(3)设雄鸟每分钟的耗氧量为x1,雌鸟每分钟的耗氧量为x2,依题意可得2.5=12log3x1100-lgx0,1.5=12log3x2100-lgx0,两式相减可得1=12log3x1x2,于是x1x2=9.故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的9倍.9.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”,在特定条件下,可食用率P与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系P=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图所示记录了三次实验数据,根据上述函数模型和实验数据,可得到最佳加工时间为(　　) A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟答案B解析依题意有0.7=9a+3b+c,0.8=16a+4b+c,0.5=25a+5b+c,解得a=-0.2,b=1.5,c=-2.所以P=-0.2t2+1.5t-2=-15t-1542+1316.所以当t=154=3.75时,P取得最大值1316.即最佳加工时间为3.75分钟.10.衣柜里的樟脑丸,随着时间会挥发而体积缩小,刚放进去的新丸体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为V=a·e-kt.已知新丸经过50天后,体积变为49a.若一个新丸体积变为827a,则需经过的天数为(　　)A.125B.100C.75D.50答案C解析由已知,得49a=a·e-50k,∴e-k=49150.设经过t1天后,一个新丸体积变为827a,则827a=a·e-kt1,∴827=(e-k)t1=49t150,∴t150=32,t1=75.112020年11月24日4时30分,长征五号遥五运载火箭在我国文昌航天发射场成功发射,飞行约2200秒后,顺利将探月工程嫦娥五号探测器送入预定轨道,开启我国首次地外天体采样返回之旅.已知火箭的最大速度v(单位:km/s)与燃料质量M(单位:kg)、火箭质量m(单位:kg)的函数关系为v=2ln1+Mm,若已知火箭的质量为3100kg,火箭的最大速度为11km/s,则火箭需要加注的燃料为(参考数值为ln2≈0.69,ln243.69≈5.50,结果精确到0.01)(　　) A.243.69tB.244.69tC.755.44tD.890.23t答案C解析v=2ln1+Mm,则11=2ln1+M3100,所以1+M3100=e5.5,解得M=3100(e5.5-1)≈3100×243.69=755439(kg)≈755.44(t).故选C.122020年10月1日至8日,央视推出大型主题报道《坐着高铁看中国》,8天8条高铁主线,全景式展示“十三五”规划成就和中国之美.我国高铁技术在世界上遥遥领先,高铁运行时不仅速度比普通列车快,而且噪声小.我们知道比较适合生活的安静环境的声强级L(噪音级)为30~40分贝(符号:dB),声强I(单位:W/m2)与声强级L(单位:dB)的函数关系式为I=b·10aL(a,b为常数).某型号高铁行驶在无村庄区域的声强为10-5.2W/m2,声强级为68dB,驶进市区附近降低速度后的声强为10-6.5W/m2,声强级为55dB,若要使该高铁驶入市区时的声强级达到安静环境要求,则声强最大为(　　)A.10-9W/m2B.10-8W/m2C.10-7W/m2D.10-6W/m2答案B解析由题意可知10-5.2=b·1068a,10-6.5=b·1055a,解得a=0.1,b=10-12,所以I=10-12·100.1L=100.1L-12,所以当L取最大值40时,I取得最大值100.1×40-12=10-8.故选B.132019年,公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》,对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定,根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准,车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表.经过反复试验,一般情况下,某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的散点图如图所示,且该图表示的函数模型f(x)=40sinπ3x+13,0≤x<2,90e-0.5x+14,x≥2.假设该人喝一瓶啤酒后至少经过n(n∈N*)小时才可以驾车,则n的值为(参考数据:ln15≈2.71,ln30≈3.40)(　　)车辆驾驶人员血液酒精含量阈值 驾驶行为类别阈值/(mg/100mL)饮酒驾车[20,80)醉酒驾车[80,+∞)A.7B.6C.5D.4答案B解析由散点图可知,该人喝一瓶啤酒后的2个小时内,其血液酒精含量逐渐增大,则n≥2,90e-0.5n+14<20,即n≥2,e-0.5n<115,解得n>2ln15≈2×2.71=5.42,∵n∈N*,∴n的最小值为6,故至少经过6小时才可以驾车.故选B.14.(多选)(2021江苏常州高一期末)某杂志以每册2元的价格发行时,发行量为10万册.经过调查,若单册价格每提高0.2元,则发行量就减少5000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元,每册杂志可以定价为(　　)A.2.5元B.3元C.3.2元D.3.5元答案BC解析设定价为x元,则销售量为10-0.5×x-20.2=15-2.5x,销售收入为f(x)=(15-2.5x)x.f(2.5)=21.875,不满足题意;f(3)=22.5,满足题意;f(3.2)=22.4,满足题意;f(3.5)=21.875,不满足题意.故选BC. 15.(多选)为预防流感病毒,学校每天定时对教室进行喷洒消毒.当教室内每立方米药物含量超过0.25mg时能有效杀灭病毒.已知教室内每立方米空气中的含药量y(单位:mg)随时间x(单位:h)的变化情况如图所示,在药物释放过程中,y与x成正比;药物释放完毕后,y与x的函数关系式为y=ax(a为常数),则下列说法正确的是(　　)A.当0≤x≤0.2时,y=5xB.当x>0.2时,y=15xC.教室内持续有效杀灭病毒时间为45小时D.喷洒药物3分钟后开始进行有效灭杀病毒答案ABD解析在药物释放过程中,y与x成正比,设y=kx,当x=0.2时,y=1,所以k=5,所以y=5x,故A正确;因为药物释放完毕后,y与x的函数关系式为y=ax(a为常数),当x=0.2时,y=1,所以a=15,所以y=15x,故B正确;当0≤x≤0.2时,y=5x>0.25,解得x>0.05,持续时间为0.2-0.05=0.15;当x>0.2时,y=15x>0.25,解得x<0.8,持续时间为0.8-0.2=0.6,所以总持续时间为0.6+0.15=0.75,故C错误;当x>0.05小时,即喷洒药物3分钟后开始进行有效灭杀病毒,故D正确.故选ABD.16. (多选)如图,某池塘里浮萍的面积y(单位:m2)与时间t(单位:月)的关系为y=at.关于下列说法正确的是(　　)A.浮萍面积每月的增长率为2B.浮萍每月增加的面积都相等C.第4个月时,浮萍面积就会超过80m2D.若浮萍蔓延到2m2,4m2,8m2所经过的时间分别是t1,t2,t3,则2t2=t1+t3答案ACD解析将点(1,3)的坐标代入函数y=at的解析式,得a1=3,函数的解析式为y=3t.对于A,由3n+1-3n3n=2可得,浮萍每月的增长率为2,A正确;对于B,浮萍第1个月增加的面积为31-30=2(m2),第2个月增加的面积为32-31=6(m2),2≠6,B错误;对于C,第4个月时,浮萍的面积为34=81>80,C正确;对于D,由题意可得3t1=2,3t2=4,3t3=8,所以(3t2)2=3t1×3t3,即32t2=3t1+t3,所以2t2=t1+t3,D正确.故选ACD.17.2008年我国人口总数为14亿,如果人口的自然年增长率控制在1.25%,则　　　　　年我国人口将超过20亿.(lg2≈0.3010,lg3≈0.4771,lg7≈0.8451) 答案2037解析由题意,得14(1+1.25%)x-2008>20, 即x-2008>lg107lg8180=1-lg74lg3-3lg2-1≈28.7,解得x>2036.7,又x∈N,故x=2037.18衣柜里的樟脑丸因挥发而体积不断减少,当衣柜里的若干颗樟脑丸挥发后剩余的总体积少于1颗新丸的体积时,将失去所期待的防虫防蛀效果.如果樟脑丸放置的时间T(单位:天)和剩余的体积V的关系式为T=ClnV0V(其中常数C>0,V0是1颗新丸的体积),1颗新丸放置30天后,剩余的体积变为原来的34,且樟脑丸之间互不影响,那么要使衣柜能保持120天期待中的防虫防蛀效果,则应该在衣柜里一次性放置至少　　　　　颗樟脑丸. 答案4解析由题意得30=ClnV034V0=Cln43,①设120天后1颗新丸剩余的体积为原来的λ,则120=ClnV0λV0=-Clnλ,②由①②联立可得lnλ=4ln34,所以λ=344=81256,可得14<λ<13,所以至少需要4颗.19某花卉种植基地为了增加经济效益,决定对花卉产品以举行展销会的方式进行推广、促销.经分析预算,投入展销费为x万元时,销售量为m万个单位,且m=2x-1x(0<x≤4),假设培育的花卉能全部销售完.已知培育m万个花卉还需要投入成本(2m+1)万元(不含展销费),花卉的售价为11+4m万元/万个单位.(注:利润=售价×销售量-投入成本-展销费)(1)试求出该花卉基地利润y(单位:万元)与展销费为x(单位:万元)的函数关系式并化简;(2)求该花卉基地利润的最大值,并指出此时展销费为多少万元.解(1)y=m11+4m-(2m+1)-x=9m+3-x=9×2x-1x+3-x,∴y=21-x+9x,x∈(0,4]. (2)由(1)得y=21-x+9x,x∈(0,4],∵x+9x≥29=6,当且仅当x=3时,等号成立,∴ymax=21-x+9xmin=15,所以当x=3时,该花卉基地利润的最大值为15万元,此时展销费为3万元.20.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时.研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/时)解(1)由题意,当0≤x≤20时,v(x)=60;当20≤x≤200时,设v(x)=ax+b,由已知得200a+b=0,20a+b=60,解得a=-13,b=2003.故函数v(x)的表达式为v(x)=60,0≤x≤20,13(200-x),20<x≤200.(2)依题意并结合(1)可得f(x)=60x,0≤x≤20,13x(200-x),20<x≤200.当0≤x≤20时,f(x)为增函数,故当x=20时,f(x)在区间[0,20]上取得最大值60×20=1200;当20<x≤200时,f(x)=13x(200-x)=-13(x-100)2+100003≤100003,当且仅当x=100时,等号成立.所以当x=100时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值100003. 综上可得,当x=100时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值100003≈3333.即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/时.21随着互联网经济的不断深化,网上购物已经逐渐成为居民购物的新时尚,为迎接2021年“庆元旦”网购狂欢节,某厂家拟投入适当的广告费,对网上所售产品进行促销,经调查测算,该促销产品在“庆元旦”网购狂欢节的销售量p(单位:万件)与促销费用x(单位:万元)满足p=3-4x+2(其中0≤x≤10),已知生产该产品还需投入成本(10+2p)万元(不含促销费用),每一件产品的销售价格定为6+20p元,假定厂家的生产能力能满足市场的销售需求.(1)将该产品的利润y(单位:万元)表示为促销费用x(单位:万元)的函数.(2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?并求出最大利润.解(1)由题意得该产品的利润y=6+20pp-x-(10+2p)=4p+10-x,把p=3-4x+2代入,得y=22-16x+2-x(0≤x≤10).(2)y=24-16x+2+x+2≤24-216x+2×(x+2)=16,当且仅当16x+2=x+2,即x=2时,等号成立.所以促销费用投入2万元时,厂家的利润最大,为16万元.