2023八年级数学上册第十二章全等三角形12.4全等三角形小结第2课时课件（人教版）

第2课时12.4全等三角形小结九年级上册RJ初中数学 三角形全等的判定三边对应相等“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”两边及其夹角对应相等两角及其夹边对应相等两角及其中一角的对边对应相等斜边和一条直角边对应相等知识梳理 三角形全等的判定在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′.1.三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或者“SSS”）.CABB′A′C′ 在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′.2.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或者“SAS”）.ABCB′A′C′ 在△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′，BC=∠B′C′，∠C=∠C′，∴△ABC≌△A′B′C′.3.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或者“ASA”）.ABCB′A′C′ A′在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′.4.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或者“AAS”）.ABCB′C′ 5.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,AC=A′C′，BC=B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′（HL）.ABCB′A′┐┐C′ 证明两个三角形全等的基本类型已知两边找第三边“SSS”找两边的夹角“SAS”看是否是直角三角形，若是“HL”已知两角找两角的夹边“ASA”找任意一角的对边“AAS” 找这条边的另外一个邻角“ASA”已知一边一角一边和它的邻角一边和它的对角找这个角的另外一边“SAS”找这条边的对角“AAS”看这个角是否是直角，若是，找任意一条直角边“HL”找另外任意一个角“AAS” 1.如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE.求证：△ADC≌△AEB.证明：∵BD=CE，∴BD-ED=CE-ED，即BE=CD.∵在△ADC和△AEB中，AD=AE，AC=AB，CD=BE，∴△ADC≌△AEB（SSS）.EDABC重难剖析 证明：∵AB=AC，CE=BD，∴AB-BD=AC-CE，即AD=AE.∵在△ADC和△AEB中,AC=AB，∠A=∠A，AD=AE，∴△ADC≌△AEB（SAS）.2.如图，AB=AC，CE=BD，求证:△ADC≌△AEB.ABCDEF 3.如图，已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C.求证：BD=CE.证明：在△ADC和△AEB中，∠A=∠A，AC=AB，∠C=∠B，∴△ADC≌△AEB（ASA）.∴AD=AE.又∵AB=AC，∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE.ABCDEO 4.如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D.求证：AC=AD.证明：∵∠1=∠2，∴∠ABC=∠ABD.在△ABC和△ABD中，∠ABC=∠ABD，∠C=∠D，AB=AB（公共边），∴△ABC≌△ABD（AAS），∴AC=AD.AC2B1D可通过证△ABC≌△ABD，进而证得所求 5.如图，已知在△ABC和△ABD中，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C，D，AD=BC.求证：AC=BD.证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C=∠D=90°.在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB=BA，BC=AD，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），∴AC=BD.DCBA 1.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD<（AB+AC）.能力提升分析：考虑将2AD,AB,AC转化到同一个三角形中，利用三边关系求解 证明：延长AD到点E，使得DE=AD，连接BE.∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD.在△BDE和△CDA中，BD=CD，∠BDE=∠CDA，DE=DA，∴△BDE≌△CDA（SAS）.∴BE=AC.在△ABE中，AE<AB+BE，∴2AD<AB+AC，即AD<（AB+AC）.更多同类例题见《教材帮》数学RJ八上12.2节方法帮 “倍长中线法”构造全等三角形解决问题(1)含义：将三角形的中线延长一倍，构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识解决问题.(2)过程：延长已知中线到某点，使得新线段的长度等于已知中线的长度，再利用“SAS”证明两三角形全等（隐含条件是对顶角相等）. 2.如图，已知AC//BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证：AB=AC+BD.注意适当添加辅助线 证明：方法一（截长法）如图，在线段AB上截取AF=AC,连接EF.∵AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，∴∠1=∠2，∠3=∠4.∵在△ACE和△AFE中，AC=AF，∠1=∠2，AE=AE，∴△ACE≌△AFE.∴∠5=∠C. ∵AC//BD，∴∠C+∠D=180°.又∵∠5+∠6=180°，∴∠6=∠D.∵在△EFB和△EDB中，∠6=∠D，∠3=∠4，BE=BE，∴△EFB≌△EDB.∴FB=BD.∴AB=AF+FB=AC+BD，即AB=AC+BD. 方法二（补短法）如图，延长AC至点F，使得AF=AB，连接EF.∵AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA.∴∠1=∠2，∠3=∠4.∵在△AEF和△AEB中，AF=AB，∠1=∠2，AE=AE，∴△AEF≌△AEB，∴EF=EB，∠F=∠3. ∵∠3=∠4，∴∠F=∠4.∵AC//BD，∴∠FCE=∠D.∵在△CEF和△DEB中，∠FCE=∠D，∠F=∠4，EF=EB，∴△CEF≌△DEB，∴CF=BD.∵AB=AF=AC+CF，∴AB=AC+BD. “截长补短法”构造全等三角形解决问题（1）截长法,即在长线段上截取一段,使其等于其中一短线段,然后证明剩下的线段等于另一短线段；（2）补短法，即延长短线段，使其延长部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段，或者延长短线段，使其等于长线段，然后证明延长的部分等于另一短线段. 3.(1)如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AE=CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB//CD，连接BD交EF于点G，试问EG与FG相等吗？请说明理由.(2)将图(1)中的△DCE沿AC方向平移得到图(2)，其余条件不变，则上述结论是否仍然成立？请说明理由.要明确图形变换前后变化和不变得量 解：（1）EG与FG相等的.理由如下：∵DE⊥AC，BF⊥AC..∴∠AFB=∠CED=90°.∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE.∵AB//CD，∴∠A=∠C.在△ABF和△CDE中，∠A=∠C，AF=CE，∠AFB=∠CED，∴△ABF≌△CDE.∴BF=DE. （2）结论仍然成立.理由如下：∵△DCE只是经过了平移，∴△ABF≌△CDE.∴BF=DE.同理可证：△BGF≌△DGE，∴FG=EG.在△BGF和△DGE中，∠BGF=∠DGE，∠BFG=∠DEG，BF=DE，∴△BGF≌△DGE.∴FG=EG.