人教A版选修2-3课件2.3.2 离散型随机变量的方差

2.3.2离散型随机变量的方差 1.离散型随机变量的方差、标准差(1)定义:设离散型随机变量X的分布列为则(xi-E(X))2描述了xi(i=1,2,…,n)相对于均值E(X)的偏离程度,而D(X)=为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,我们称D(X)为随机变量X的方差,并称其算术平方根为随机变量X的标准差.(2)意义:随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小.(3)离散型随机变量的方差的性质:设a,b为常数,则D(aX+b)=a2D(X). 做一做1已知X的分布列如下表:若Y=3X-1,则D(Y)的值为()A.-1B.5C.10D.20答案：B 2.服从两点分布与二项分布的随机变量的方差(1)若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p);(2)若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p).做一做2已知两名射手每次射击中靶的概率分别为0.8和0.7,若各射击3次,则两名射手中靶次数的方差分别为()A.0.8,0.7B.2.4,2.1C.0.48,0.63D.0.16,0.21解析：两名射手独立射击3次的中靶次数都服从二项分布,即X~B(3,0.8),Y~B(3,0.7),所以D(X)=3×0.8×0.2=0.48,D(Y)=3×0.7×0.3=0.63.答案：C 思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)D(ax+b)=a2D(X).()(2)随机变量X的方差越大,表明X与均值的偏离程度越大,说明X的取值越集中.()×√× 探究一探究二探究三规范解答探究一求离散型随机变量的方差【例1】导学号78430057袋中有20个大小相同的球,其中标记0的有10个,标记n的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,X表示所取球的标号.(1)求X的分布列、均值和方差;(2)若Y=aX+b,E(Y)=1,D(Y)=11,试求a,b的值.分析：(1)根据题意,由古典概型的概率公式求出分布列,再利用均值、方差的公式求解.(2)运用E(Y)=aE(X)+b,D(Y)=a2D(X),求a,b. 探究一探究二探究三规范解答解：(1)X的分布列为 探究一探究二探究三规范解答 探究一探究二探究三规范解答 探究一探究二探究三规范解答变式训练1袋中有除颜色外其他都相同的6个小球,其中红球2个、黄球4个,规定取1个红球得2分,1个黄球得1分.从袋中任取3个小球,记所取3个小球的分数之和为X,求随机变量X的分布列、均值和方差. 探究一探究二探究三规范解答 探究一探究二探究三规范解答探究二两点分布、二项分布的方差【例2】某出租车司机从某饭店到火车站途中需经过六个交通岗,假设他在各个交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的,并且概率是.(1)求这位司机遇到红灯次数X的均值与方差;(2)若遇上红灯,则需等待30秒,求司机总共等待时间Y的均值与方差.(2)由已知得Y=30X,∴E(Y)=30E(X)=60,D(Y)=900D(X)=1200. 探究一探究二探究三规范解答 探究一探究二探究三规范解答变式训练2某运动员投篮命中率为0.6.(1)求1次投篮命中次数ξ的期望与方差;(2)求重复5次投篮时,命中次数η的期望与方差.解：(1)投篮1次只有两种结果,投篮命中ξ=1,不中ξ=0,ξ服从两点分布,其分布列为则E(ξ)=1×0.6=0.6,D(ξ)=(1-0.6)×0.6=0.24.(2)由题意知,重复5次投篮,命中的次数η服从二项分布,即η~B(5,0.6).由二项分布期望与方差的计算公式知,E(η)=5×0.6=3,D(η)=5×0.6×0.4=1.2. 探究一探究二探究三规范解答探究三离散型随机变量的方差的应用【例3】导学号78430058甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且候鸟的种类和数量也大致相同,两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为:试评定这两个保护区的管理水平.分析：要比较两个保护区的管理水平,要先比较两个保护区违反保护条例的事件的平均次数,然后比较其稳定性,即方差. 探究一探究二探究三规范解答解：甲保护区内违反保护条例的次数X的均值和方差分别为E(X)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3,D(X)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.乙保护区内违反保护条例的次数Y的均值和方差分别为E(Y)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,D(Y)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.因为E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),所以两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件的平均次数相同,但甲保护区内违反保护条例的事件次数相对分散且波动较大,乙保护区内违反保护条例的事件次数更加集中和稳定.相对而言,乙保护区的管理更好一些. 探究一探究二探究三规范解答 探究一探究二探究三规范解答变式训练3为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳.各株沙柳的成活与否是相互独立的,成活率为p,设X为成活沙柳的株数,均值E(X)为3,标准差(1)求n和p的值,并写出X的分布列;(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种.求需要补种沙柳的概率. 探究一探究二探究三规范解答 探究一探究二探究三规范解答离散型随机变量的均值与方差问题典例甲袋和乙袋中都装有除颜色外其他都相同的红球和白球,已知甲袋中共有m个球,乙袋中共有2m个球,从甲袋中摸出1个球为红球的概率为,从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P2.(1)若m=10,求甲袋中红球的个数;(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后,从中摸出1个红球的概率是,求P2的值;(3)设P2=,若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球,每次摸出1个球,并且从甲袋中摸1次,从乙袋中摸2次.设ξ表示摸出红球的总次数,求ξ的分布列和均值. 探究一探究二探究三规范解答【审题策略】(1)概率的应用,由甲袋中总球数为10和摸1个球为红球的概率,求袋中红球个数;(2)利用方程的思想,列方程求解;(3)求分布列和均值,关键是求ξ的所有可能取值及每个取值所对应的概率.【规范展示】解：(1)设甲袋中红球的个数为x, 探究一探究二探究三规范解答 探究一探究二探究三规范解答【答题模板】求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤:第1步,确定随机变量的所有可能值;第2步,求每一个可能值所对应的概率;第3步,列出离散型随机变量的分布列;第4步,求均值和方差;第5步,反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范. 探究一探究二探究三规范解答 探究一探究二探究三规范解答变式训练编号1,2,3的三位学生随意入坐编号为1,2,3的三个座位,每位学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生的个数是ξ.(1)求随机变量ξ的概率分布列;(2)求随机变量ξ的数学期望和方差. 1.已知X~B(n,p),E(X)=8,D(X)=1.6,则n与p的值分别为()A.100和0.08B.20和0.4C.10和0.2D.10和0.8解析：由于X~B(n,p),所以解得n=10,p=0.8.答案：D 2.同时抛掷两枚均匀的硬币10次,设两枚硬币同时出现反面的次数为X,则D(X)等于()答案：A 3.已知离散型随机变量X的分布列如下:则其方差D(X)=.解析：∵0.5+m+0.2=1,∴m=0.3.∴E(X)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4.D(X)=(1-2.4)2×0.5+(3-2.4)2×0.3+(5-2.4)2×0.2=2.44.答案：2.44 4.若随机变量X服从二项分布,即X~B(n,p),且E(X)=3,p=,则n=,D(X)=. 5.某同学向如图所示的圆形靶投掷飞镖,飞镖落在靶外(环数记为0)的概率为0.1,飞镖落在靶内的各个点是随机的.已知圆形靶中三个圆为同心圆,半径分别为30cm,20cm,10cm,飞镖落在不同区域的环数如图中所示.设这位同学投掷一次得到的环数为随机变量X,求X的分布列、均值和方差. 解：由题意可知,飞镖落在靶内各个区域的概率与它们的面积成正比,而与它们的质量和形状无关.由圆的半径值可得到三个同心圆的半径比为3∶2∶1,面积比为9∶4∶1,所以8环区域、9环区域、10环区域的面积比为5∶3∶1,则掷得8环、9环、10环的概率分别设为5k,3k,k.根据离散型随机变量分布列的性质有0.1+5k+3k+k=1,解得k=0.1.所以离散型随机变量X的分布列为所以E(X)=0×0.1+8×0.5+9×0.3+10×0.1=7.7.D(X)=0.1×(0-7.7)2+0.5×(8-7.7)2+0.3×(9-7.7)2+0.1×(10-7.7)2=7.01.