人教A版选修2-3课件2.4 正态分布

2.4正态分布 1.正态曲线(1)函数,x∈(-∞,+∞),其中实数μ和σ(σ>0)为参数.我们称φμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.(2)如图,随机变量X落在区间(a,b]的概率为P(a<X≤b)≈. 做一做1若正态分布密度函数φμ,σ(x)=,x∈(-∞,+∞),则参数μ,σ的值分别是()答案：D2.正态分布一般地,如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足P(a<X≤b)=φμ,σ(x)dx,则称随机变量X服从正态分布.正态分布完全由参数μ,σ确定,因此正态分布常记作N(μ,σ2).如果随机变量X服从正态分布,那么记为X~N(μ,σ2).其中μ是随机变量X的均值,σ是随机变量X的标准差. 3.正态曲线的特点(1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交;(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;(3)曲线在x=μ处达到峰值;(4)曲线与x轴之间的面积为1;(5)当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移,如图①; (6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图②. 做一做2已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.8,则P(0<X≤2)等于()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2解析：∵X~N(2,σ2),∴μ=2,正态曲线的对称轴的方程为x=2.∵P(X<4)=0.8,∴P(X≥4)=P(X≤0)=0.2.∴P(0<X<4)=0.6.∴P(0<X≤2)=0.3.答案：C 4.正态总体在三个特殊区间内取值的概率若X~N(μ,σ2),则对于任何实数a>0,概率P(μ-a<X≤μ+a)=.特别有P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9545,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9973.做一做3已知随机变量X服从正态分布N(2,1),则P(X≤1)=.解析：∵μ=2,σ=1,∴P(1<X≤3)=0.6827,答案：0.158655.在实际应用中,通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之间的值,并简称之3σ原则. 思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)正态曲线总在x轴的上方.()(2)若随机变量X服从正态分布,则X在区间(μ-2σ,μ+2σ]内取值的概率为95.45%.()(3)随机变量X~N(20,9),则μ=20,σ=9.()(4)对于正态曲线所对应的函数φμ,σ(x),当x≥μ时,φμ,σ(x)随x的增大而增大;当x≤μ时,φμ,σ(x)随x的减小而增大.()√√×× 探究一探究二探究三思维辨析探究一正态曲线的应用【例1】如图是一个正态曲线,试根据该图象写出其正态分布密度函数的解析式,求出随机变量的均值和方差.分析：给出一个正态曲线就给出了该曲线的对称轴和最大值,从而就能求出随机变量的均值、标准差以及正态分布密度函数的解析式. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析变式训练1若一个正态分布密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值为,则该正态分布密度函数的解析式为. 探究一探究二探究三思维辨析探究二正态分布下的概率计算【例2】导学号78430066设X~N(1,22),试求:(1)P(-1<X≤3);(2)P(3<X≤5);(3)P(X≥5).解：∵X~N(1,22),∴μ=1,σ=2.(1)P(-1<X≤3)=P(1-2<X≤1+2)=P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6827.(2)∵P(3<X≤5)=P(-3<X≤-1), 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析变式训练2如果随机变量X~N(-1,σ2),且P(-3<X≤-1)=0.4,那么P(X>1)=.解析：∵X~N(-1,σ2),且P(-3<X≤-1)=0.4,∴P(-1<X≤1)=0.4.又P(X>-1)=0.5,∴P(X>1)=P(X>-1)-P(-1<X≤1)=0.5-0.4=0.1.答案：0.1 探究一探究二探究三思维辨析探究三正态分布的应用【例3】某厂生产的圆柱形零件的外径尺寸X~N(4,0.25).质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件,测得它的外径为5.7cm.试问该厂生产的这批零件是否合格?分析：判断某批产品是否合格,主要运用统计中假设检验的基本思想.欲判定这批零件是否合格,关键是看随机抽查的一件产品的外径尺寸是在(μ-3σ,μ+3σ)之内还是在(μ-3σ,μ+3σ)之外.解：由于圆柱形零件的外径尺寸X~N(4,0.25),由正态分布的特征可知,X在区间(4-3×0.5,4+3×0.5)(即(2.5,5.5))之外取值的概率约为0.0027.而5.7∉(2.5,5.5),这说明在一次试验中,出现了几乎不可能发生的小概率事件,根据统计中假设检验的基本思想,认为该厂生产的这批产品是不合格的. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析变式训练3导学号78430067在某次数学考试中,考生的成绩服从一个正态分布,即ξ~N(90,100).(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率;(2)若这次考试共有2000名考生,试估计考试成绩在(80,100]间的考生大约有多少人.解：∵ξ~N(90,100),∴μ=90,σ=10.(1)在该正态分布中,μ-2σ=70,μ+2σ=110,∵P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9545,∴考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率为0.9545.(2)μ-σ=80,μ+σ=100,∵P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6827,∴考试成绩ξ位于区间(80,100]内的概率为0.6827.由共有2000名考生,知考试成绩在(80,100]间的考生大约有2000×0.6827≈1365(人). 探究一探究二探究三思维辨析因对正态曲线的对称性认识不够而致错典例已知X~N(μ,σ2),且P(X>0)+P(X≥-4)=1,则μ=.错解因为P(X>0)+P(X≥-4)=1,所以结合正态曲线的对称性知对称轴为x=-4.因此μ=-4.正解：因为P(X>0)+P(X≥-4)=1,又P(X<-4)+P(X≥-4)=1.所以P(X>0)=P(X<-4).因此正态曲线的对称轴为x=-2.所以μ=-2.答案：-2 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析变式训练已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),若P(ξ>2)=0.023,则P(-2≤ξ≤2)=()A.0.477B.0.954C.0.628D.0.977解析：画出正态曲线如图所示,结合图象知,P(-2≤ξ≤2)=1-P(ξ>2)-P(ξ<-2)=1-2×0.023=0.954.答案：B 1.下列函数可以作为正态分布密度函数的是()答案：A 2.若X~N,则X落在(-3.5,-0.5]内的概率是()A.95.45%B.99.73%C.4.55%D.0.27%解析：∴P(-3.5<X≤-0.5)=P(-2-3×0.5<X≤-2+3×0.5)=0.9973.答案：B 3.若随机变量X~N(μ,σ2),且P(X≤a)=P(X>a),则a的值为()A.0B.μC.-μD.σ解析：随机变量X~N(μ,σ2),∵P(X≤a)=P(X>a),P(X≤a)+P(X>a)=1,∴x=a为相应正态曲线的对称轴.∴a=μ.答案：B 4.在某项测量中,测量结果X服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),若X在(0,1]内取值的概率为0.4,则X在(0,2]内取值的概率为.解析：∵X~N(1,σ2),且P(0<X≤1)=0.4,∴P(0<X≤2)=2P(0<X≤1)=0.8.答案：0.8 5.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.84,则P(X≤0)=.解析：由X~N(2,σ2),可知其正态曲线如图所示,对称轴方程为x=2,则P(X≤0)=P(X≥4)=1-P(X<4)=1-0.84=0.16.答案：0.16