第18章平行四边形18.1平行四边形的性质第3课时平行四边形的性质定理3课件（华东师大版八下）

第3课时平行四边形的性质定理3 新课导入平行四边形有什么性质？ABCD平行四边形的对边相等平行四边形的对角相等平行四边形还有什么性质？ 新课探索观察●ADOCBDBOCA你观察到OA与OC、OB与OD各有什么关系？ OA=OC，OB=OD.我们已经发现，ABCD是一个中心对称图形，对角线的交点O就是对称中心，有平行线的性质定理3平行四边形的对角线互相平分.由此可得： 已知：如图，ABCD的对角线AC和BD相交于点O.求证：OA=OC，OB=OD.ABCDO 证明∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∠ABD=∠BDC，∴△ABO≌△CDO（ASA），∴OA=OC，OB=OC.ABCDO 例5如图，ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，那么对角线AC与BD的和是多少?ABCDO 解在ABCD中，∵AB=6，AO+BO+AB=15，AO+BO=15–6=9.又∵AO=OC，BO=OD（平行四边形的对角线互相平分），∴AC+BD=2AO+2BO=2(AO+BO)=2×9=18.ABCDO 1.如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，指出图中各对相等的线段.练习ABCDO解AB=CDAD=BCOA=OCOB=OD 2.如图，ABCD的对角线AC与BD相交点O，∠ADB=90°，OA=6，OB=3.求AD和AC的长度. 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=6，OB=OD=3（平行四边形的对角线互相平分），∴AC=OA+OC=12.∵∠ADB=90°，∴△ADO为直角三角形.∴AD=. 例6如图，ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB、CD分别相交于点E和点F.求证：OE=OF.ABCDEFO 证明∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD(平行四边形的对角线互相平分).又∵AB//DC，∴∠EBO=∠FDO.又∵∠BOE=∠DOF，∴△BEO≌△DFO.∴OE=OF.ABCDEFO 练习1.已知，如图，在平行四边形ABCD中，平行于对角线AC的直线MN分别交DA，DC的延长线于M，N，交BA，BC于点P，Q，你能说明MQ=NP吗？ 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD即AM//CQ.又∵AC//MN，即AC//MQ，∴四边形MQCA是平行四边形.∴MQ=AC.同理NP=AC，∴MQ=NP. 2.如图，在ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F.求证：OE=OF.DABCOFE DABCOFE证明∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD(平行四边形的对角线互相平分).又∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB=∠CFD=90°.又∵∠BOC=∠DOA，∴△BEO≌△DFO.∴OE=OF. 课堂小结平行线的性质定理3平行四边形的对角线互相平分. 随堂演练1.平行四边形两条对角线的长分别为10，16，则它的边长x的取值范围是___________.3＜x＜13 2.ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=40，AB=13，则△OCD的周长为____.33 3.在平行四边形ABCD中，∠A=150°，AB=8cm，BC=10cm，求平行四边形ABCD的面积. 解：过A作AE⊥BC交BC于E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC.∴∠BAD+∠B=180°.∵∠BAD=150°，∴∠B=30°.在Rt△ABE中，∠B=30°，∴AE=1/2AB=4cm.∴平行四边形ABCD的面积=4×10=40cm2.E 4.如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AC=6，BD=8，AB=5，（1）求ABCD的周长；（2）求ABCD的面积. 解：（1）由平行四边形的性质得：OC=OA=AC=3，OB=OD=BD=4.在△AOB中，OA2+OB2=32+42=52=AB2.∴△AOB是直角三角形，∠AOB=90°.∴AC⊥BD. （2）S△AOB+S△BOC+S△DOC+S△AOD