第一章特殊平行四边形3正方形的性质与判定第2课时正方形的判定课件（北师大版九年级上册）

正方形的判定1北师版九年级上册 创设情境，导入新课正方形的定义正方形的性质正方形的对角线相等并且互相垂直平分.有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫做正方形.正方形的四个角都是直角，四条边相等. 将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开.怎样剪才能剪出一个正方形？探究新知，经历过程提示：剪口线与折痕成45°角即可。 有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等有一个角是直角对角线相等对角线垂直如何判定一个四边形是正方形，一般思考方法是什么？ 判断四边形是正方形有哪些方法？1.先说明它是平行四边形，再说明有一组邻边相等，有一个角是直角.（定义法）2.先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边相等.3.先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角. 定理：有一组邻边相等的矩形是正方形.已知：ABCD是矩形，且AB=BC，试证明，ABCD是正方形.证明：∵ABCD是矩形，∴∠A=90°，又∵AB=BC，∴ABCD是正方形（正方形的定义）. 定理：对角线互相垂直的矩形是正方形.已知：ABCD是矩形，AC⊥BD，试证明，ABCD是正方形.证明：∵ABCD是矩形，∴∠A=90°，OA=OB=OC=OD又∵AC⊥BD，∴△AOB≌△AOD（SAS）∴AB=AD∴ABCD是正方形（正方形的定义）. 定理：有一个角是直角的菱形是正方形.已知：ABCD是菱形，∠A=90°，试证明，ABCD是正方形.证明：∵ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，又∵∠A=90°，∴ABCD是正方形（正方形的定义）. 定理：对角线相等的菱形是正方形.已知：ABCD是菱形，AC=BD，试证明，ABCD是正方形.证明：∵ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，OA=OC=OB=OD∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直）又∵AC=BD，∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.∴∠ABC=90°.∴ABCD是正方形（正方形的定义）. ∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC.∴□BECF是菱形（菱形的定义）.在△EBC中，∵∠EBC=45°，∠ECB=45°，∴∠BEC=90°.∴菱形BECF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）.例2已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形BECF是正方形. 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．如图，在△ABC中，EF为△ABC的中位线，①若∠BEF=30°，则∠A=______.②若EF=8cm,则AC=______.你还记得三角形的中位线定理吗？30°16cm 一般四边形的中点四边形如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？任意四边形的中点四边形是平行四边形.几何画板.GSP 如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？原四边形中点四边形一般四边形平行四边形平行四边形？矩形？菱形？正方形？ 平行四边形的中点四边形平行四边形的中点四边形会是什么形状？平行四边形的中点四边形是平行四边形.你能试着证明这个结论吗？（提示：连接AC、BD）几何画板.GSP 矩形的中点四边形矩形的中点四边形会是什么形状？矩形的中点四边形是菱形.你能试着证明这个结论吗？几何画板.GSP 菱形的中点四边形菱形的中点四边形会是什么形状？菱形的中点四边形是矩形.几何画板.GSP你能试着证明这个结论吗？ 已知：如图，点E，F，G，H分别是菱形ABCD各边的中点.求证：四边形EFGH为矩形.证明：连接AC，BD，∵E，F分别是AB和BC边中点，∴EF∥AC，同理可证HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD.∴EF∥HG，EH∥FG，∴四边形EFGH，PFQO为平行四边形.又∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），∴∠1=90°，∠2=90°.∴四边形EFGH是矩形（矩形的定义） 正方形的中点四边形正方形的中点四边形会是什么形状？几何画板.GSP原四边形中点四边形一般四边形平行四边形平行四边形平行四边形矩形菱形菱形矩形正方形？先猜一猜，再证明. 又∵四边形ABCD是正方形，∴AC=BD（正方形的对角线相等）AC⊥BD（正方形的对角线互相垂直），∴EF=FG=HG=EH，∠1=90°.∴四边形EFGH是菱形（四边相等的四边形是菱形），∠2=90°.∴四边形EFGH为正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）.已知：如图，点E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点.求证：四边形EFGH为正方形. 思考：决定中点四边形形状的关键因素是什么？对角线不垂直，不相等平行四边形对角线不垂直，不相等平行四边形对角线相等菱形对角线垂直矩形对角线相等且垂直正方形 归纳决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系。原四边形对角线关系不相等、不垂直相等垂直相等且垂直中点四边形形状平行四边形菱形矩形正方形 已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE=DF.求证：四边形AECF是菱形.【选自教材P25习题1.8第2题】巩固练习，深化提高证明:在正方形ABCD中,BE＝DF,易证△CEB≌△AEB≌△AFD≌△CFD,即CE＝AE＝AF＝FC,∴四边形AECF是菱形． 2.如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且AE=BF=CG=DH.四边形EFGH是什么特殊四边形？你是如何判断的？解：四边形EFGH是正方形.∵在正方形ABCD中，AE=BF=CG=DH，易证△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE,即EH＝HG＝GF＝FE,且∠AHE＝∠DGH．∵∠DGH＋∠DHG＝90°,∴∠EHG＝180°－(∠AHE＋∠DHG)＝90°,∴四边形EFGH是正方形【选自教材P25习题1.8第3题】 课堂小结这节课你们都学会了哪些知识？定理：有一组邻边相等的矩形是正方形.定理：对角线互相垂直的矩形是正方形.定理：有一个角是直角的菱形是正方形.定理：对角线相等的菱形是正方形. 决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系。原四边形对角线关系不相等、不垂直相等垂直相等且垂直中点四边形形状平行四边形菱形矩形正方形