黑龙江省哈尔滨市第九中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题（Word版附答案）

哈九中2024届高三学年上学期12月月考数学试卷I卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知为实数，为虚数单位，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于　　A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.已知两条直线及平面，则下列推理正确的是（）A.，B.C.D.3．已知直线的倾斜角为，则　　A．B．C．D．4.下列命题错误的是　　A．已知非零向量，，，则“”是“”的必要不充分条件B．已知，是实数，则“”的一个必要不充分条件是“”C．命题“，”的否定为“，”D．若命题“，，”是真命题，则实数的取值范围是5．若直线与直线平行，则它们之间的距离为　　A．B．C．D．6．已知函数满足，，且（1），则（1）（2）（3）的值为　　A．96B．C．102D．7．已知点是圆上的动点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值是　　A．B．C．D．8．已知为椭圆：上一点，，为左右焦点，设，，若，则离心率　　A．B．C．D．二．多选题 ：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知，分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是　　A．△的周长为10B．椭圆的焦距为6C．△面积的最大值为D．椭圆的离心率为10．已知空间四点，0，，，3，，，0，，，6，，则下列说法正确的是　　A．B．C．点到直线的距离为D．，，，四点共面11．下列结论正确的是　　A．若圆，圆，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1C．曲线与曲线恰有三条公切线，则D．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引条切线，其中为切点，则的最小值为412．如图三棱锥中，点为边中点，点为线段上的动点，则下列说法正确的是　　A．存在实数使得B．当、、两两垂直时，C．当、、两两所成角为且为中点时D．当、、两两垂直时，为中点，是锥体侧面上一点，若，则动点运动形成的路径长为II卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数在上的单调递增区间为 14．对任意的正整数，直线恒过定点，则这个定点的坐标为　　，若点在直线上，则数列的前10项和为　　．15．三个“臭皮匠”在阅读一本材料时发现原来空间直线与平面也有方程．即过点，，且一个法向量为，，的平面的方程为，过点，，且方向向量为，，的直线的方程为．三个“臭皮匠”利用这一结论编了一道题：“已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成的角的正弦值是多少？”想着这次可以难住“诸葛亮”了．谁知“诸葛亮”很快就算出了答案．请问答案是　　．16．如图，直四棱柱中，底面为平行四边形，，，，，点是半圆弧上的动点（不包括端点），点是半圆弧上的动点（不包括端点），若三棱锥的外接球表面积为，则的取值范围是　　．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在中，角，，所对的边分别为，，，且．（1）求；（2）已知，为边上的一点，若，，求的长．18．给定椭圆，称圆心在原点，半径是的圆为椭圆的“准圆”．已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为．（1）求椭圆和其“准圆”的方程；（2）若点，是椭圆的“准圆”与轴的两交点，是椭圆上的一个动点，求的取值范围．19.已知圆：，两点，. ⑴若，直线过点且被圆所截的弦长为6，求直线的方程；⑵若圆存在点，使得，求圆半径的取值范围.20．设是数列的前项和，已知，（1）证明：是等比数列；（2）求满足的所有正整数．21．如图①所示，长方形中，，，点是边靠近点的三等分点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥．（1）求四棱锥的体积的最大值；（2）设二面角的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．22．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）设函数，若恒成立，求的最大值；（3）已知，证明：． 哈九中2024届高三学年上学期12月月考数学试卷参考答案I卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B2.D3．A4.B5.B6．C7．D8．B二．多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．AB10．BD11．ABC12．BCII卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.14．；15．16．．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解答】（1）因为，所以，即，所以，因为，所以，所以，因为，所以．（2）因为，，，根据余弦定理得，所以，因为，所以， 在中，由正弦定理知，，所以，所以，，所以．18．【解答】（1）因为椭圆的一个焦点为，所以，因为椭圆短轴的一个端点到点的距离为，所以，则，故椭圆的方程为，其“准圆”方程为；（2）不妨设，因为点为椭圆上的一个动点，所以，不妨设，，此时，，所以，因为，所以，则的取值范围是，．19.【解答】⑴过点B且与圆相交的直线斜率必存在，设直线l斜率为k，则直线l方程为，即，圆心到的距离，因为直线被圆所截的弦长为6，且圆的半径，故，所以，解得，故直线的方程为 或⑵设圆上一点，使得，则有，整理得，即，故点在以为圆心，且半径为2的圆上.又因为.当两圆外切时，，这时，当两圆内切时，，，当两圆相交时，，这时.综上所述，的取值范围是20．【解答】（1）证明：由题意，可知，两边同时减去2，可得，，，，数列是以为首项，为公比的等比数列．（2）解：由（1），可得，则，，，，， 当时，单调递减，且，，，满足的所有正整数为1，2．21．【解答】（1）取的中点，连接，，，当平面平面时，点到平面的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，此时平面，且，底面为梯形，面积为，则四棱锥的体积最大值为；（2）连接，由，得，为的平面角，即，过点作平面，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，0，，，2，，，3，，，3，过作于点，由题意得平面，设，，，则，即，，设平面的法向量为，由，取，得； 设平面的法向量为，，由，取，得．设两平面夹角为，则．令，则，，得．，当且仅当，即时，有最小值．平面和平面夹角余弦值的最小值为．22．【解答】（1）因为，所以，当，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．所以单调递减区间为，单调递增为；（2），则，所以，所以在上单调递增，又（1），，故存在唯一的实数，使得即成立．故时；，时．所以在上单调递减，在，上单调递增．所以， 其中，令，，因为，，所以在上单调递减，所以（2）（1）即，故，故所求的最大值为．（3）证明：由（1）可得（1），则，可得，即，即，令，所以，所以，即，所以，，2，，，令，则，且不恒为零，所以，函数在上单调递增，故，则，所以，，2，，，所以