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备考2024届高考数学一轮复习强化训练第六章平面向量复数第4讲余弦定理正弦定理射影定理的应用

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射影定理的应用例5[2023四川遂宁三诊]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ca＝1+cosC2－cosA，c＝4，C＝π3，则△ABC的面积为（　B　）A.23B.43C.12D.16解析　解法一（射影定理法）　由ca＝1+cosC2－cosA得2c＝a＋acosC＋ccosA，则由射影定理可得a＋b＝2c.因为c＝4，所以a＋b＝2c＝8，又C＝π3，所以由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝（a＋b）2－2ab－162ab＝48－2ab2ab＝12，得ab＝16.所以△ABC的面积为12absinC＝12absinπ3＝34ab＝43.故选B.解法二　由正弦定理及ca＝1+cosC2－cosA，得sinCsinA＝1+cosC2－cosA，所以sinA＋sinAcosC＝2sinC－cosAsinC，所以sinA＋sinAcosC＋cosAsinC＝2sinC，即sinA＋sin（A＋C）＝2sinC，所以sinA＋sinB＝2sinC，由正弦定理得a＋b＝2c.后同解法一.方法技巧射影定理：在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，则a＝bcosC＋ccosB，b＝acosC＋ccosA，c＝acosB＋bcosA.训练4[2023济南历城二中5月模拟]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3bcosC＋3ccosB＝5asinA，且A为锐角，则当a2bc取最小值时，a2b＋c的值为　1015　.解析　由3bcosC＋3ccosB＝5asinA及射影定理得3a＝5asinA，可得sinA＝35，又A是锐角，所以cosA＝45，则由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－85bc，则a2bc＝b2＋c2－85bcbc＝b2＋c2bc－85≥2bcbc－85＝25，当且仅当b＝c时，a2bc取得最小值25，此时a2＝25b2，即a＝105b，所以a2b＋c＝1015.

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所属： 高考 - 一轮复习
发布时间：2024-02-10 10:45:02 页数：1
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文章作者：随遇而安

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