备考2024届高考数学一轮复习强化训练第六章平面向量复数突破1平面向量中的综合问题

突破1平面向量中的综合问题1.[命题点1角度1/江苏高考]如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上，延长AD到P，使得AP＝9，若PA＝mPB＋（32－m）PC（m为常数），则CD的长度是　185或0　.解析　解法一　以点A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，AC的方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系，设CD＝λCB，λ∈[0，1]，则D（4λ，3－3λ），AD＝AC＋λCB＝λAB＋（1－λ）AC，又点P在AD的延长线上，则可设AP＝μAD，μ＞1，又PA＝m（PB－PC）＋32PC＝mCB＋32PC，则PA＝m（AB－AC）＋32（AC－AP），12AP＝mAB＋（32－m）AC，则2mAB＋（3－2m）AC＝AP＝μAD＝λμAB＋μ（1－λ）AC，所以2m＝λμ，3－2m＝μ－λμ，所以μ＝3，又AP＝9，则AD＝3，所以（4λ）2＋（3－3λ）2＝9，得λ＝1825或λ＝0，则｜CD｜＝1825｜CB｜＝1825×32＋42＝185或｜CD｜＝0×｜CB｜＝0.解法二　由题意可设PA＝λPD＝λ[μPB＋（1－μ）PC]＝λμPB＋（λ－λμ）PC，其中λ＞1，0≤μ≤1，又PA＝mPB＋（32－m）PC，所以λμ＝m，λ－λμ＝32－m，得λ＝32，即PAPD＝32，又PA＝9，则｜PD｜＝6，｜AD｜＝3，所以AD＝AC.当D与C重合时，CD＝0；当D不与C重合时，有∠ACD＝∠CDA，所以∠CAD＝180°－2∠ACD，在△ACD中，由正弦定理可得CDsin∠CAD＝ADsin∠ACD，则CD＝ADsin（180°－2∠ACD）sin∠ACD＝sin2∠ACDsin∠ACD·AD＝2cos∠ACD·AD＝2×35×3＝185.综上，CD＝185或0.2.[命题点2角度2/2023天津高考]在三角形ABC中，∠A＝π3，｜BC｜＝1，D为线段AB的中点，E为线段CD的中点，若设AB＝a，AC＝b，则AE可用a，b表示为　14a＋12b　；若BF＝13BC，则AE·AF的最大值为　1324　.解析　因为E为CD的中点，所以AE＝12AD＋12AC，因为D为AB的中点，所以AD＝12AB，所以AE＝14AB＋12AC，又AB＝a，AC＝b，所以AE＝14a＋12b.因为BF＝13BC，所以AF－AB＝13（AC－AB），即AF＝23AB＋13AC＝23a＋13b，所以AE·AF＝（14a＋12b）·（23a＋13b）＝16a2＋512a·b＋16b2.在三角形ABC中，∠A＝π3，｜BC｜＝1，设三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则a＝1，｜a｜＝c，｜b｜＝b，所以a·b＝bccosπ3＝bc2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosπ3，即1＝b2＋c2－bc≥bc，当且仅当b＝c＝1时等号成立，所以AE·AF＝16a2＋512a·b＋16b2＝16c2＋524bc＋16b2＝16（bc＋1）＋524bc＝38bc＋16≤38＋16＝1324. 3.[命题点2角度3]已知向量a，b满足｜a＋b｜＝4，｜a－b｜＝3，则｜a｜＋｜b｜的取值范围是（　B　）A.[3，5]B.[4，5]C.[3，4]D.[4，7]解析　易知｜a｜＋｜b｜≥max{｜a＋b｜，｜a－b｜}＝4，因为（｜a｜＋｜b｜）2＝｜a｜2＋｜b｜2＋2｜a｜｜b｜≤2（｜a｜2＋｜b｜2）＝｜a＋b｜2＋｜a－b｜2＝25，当且仅当｜a｜＝｜b｜时等号成立，所以｜a｜＋｜b｜≤5，所以4≤｜a｜＋｜b｜≤5.4.[命题点2/浙江高考]已知平面单位向量e1，e2满足｜2e1－e2｜≤2.设a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，向量a，b的夹角为θ，则cos2θ的最小值是　2829　.解析　解法一　因为单位向量e1，e2满足｜2e1－e2｜≤2，所以｜2e1－e2｜2＝5－4e1·e2≤2，即e1·e2≥34.因为a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，a，b的夹角为θ，所以cos2θ＝（a·b）2｜a｜2｜b｜2＝[(e1＋e2）·（3e1＋e2)]2｜e1＋e2｜2·｜3e1＋e2｜2＝（4+4e1·e2）2（2+2e1·e2)(10+6e1·e2）＝4+4e1·e25+3e1·e2.不妨设t＝e1·e2，则t≥34，cos2θ＝4+4t5+3t，又y＝4+4t5+3t在[34，＋∞）上单调递增，所以cos2θ≥4+35+94＝2829，所以cos2θ的最小值为2829.解法二　由题意，不妨设e1＝（1，0），e2＝（cosx，sinx）.因为｜2e1－e2｜≤2，所以（2－cosx）2＋sin2x≤2，得5－4cosx≤2，即cosx≥34.易知a＝（1＋cosx，sinx），b＝（3＋cosx，sinx），所以a·b＝（1＋cosx）·（3＋cosx）＋sin2x＝4＋4cosx，｜a｜2＝（1＋cosx）2＋sin2x＝2＋2cosx，｜b｜2＝（3＋cosx）2＋sin2x＝10＋6cosx，所以cos2θ＝（a·b）2｜a｜2｜b｜2＝（4+4cosx）2（2+2cosx)(10+6cosx）＝4+4cosx5+3cosx.不妨设m＝cosx，则m≥34，cos2θ＝4+4m5+3m，又y＝4+4m5+3m在[34，＋∞）上单调递增，所以cos2θ≥4+35+94＝2829，所以cos2θ的最小值为2829.