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七年级数学(第三章 一次方程与方程组)3.3 二元一次方程组及其解法(沪科版 学习、上课资料)
七年级数学(第三章 一次方程与方程组)3.3 二元一次方程组及其解法(沪科版 学习、上课资料)
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3.3二元一次方程组及其解法第三章一次方程与方程组 学习目标课时讲解1二元一次方程二元一次方程的解二元一次方程组二元一次方程组的解代入消元法解二元一次方程组加减消元法解二元一次方程组 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时流程2 知1-讲感悟新知知识点二元一次方程11.定义含有两个未知数的一次方程,叫做二元一次方程. 感悟新知知1-讲特别警示“含有未知数的项的次数都是1”不可理解为两个未知数的次数都是1,例如2xy+1=0,含有两个未知数,且未知数的次数都是1,但含未知数的项2xy的次数是2,所以不是二元一次方程. 感悟新知2.二元一次方程的条件:原方程:(1)整式方程;(2)只含有两个未知数;化简后的方程:(1)两个未知数的系数都不为0;(2)含未知数的项的次数都是1.知1-讲 感悟新知3.关于x,y的二元一次方程的一般形式ax+by=c(a≠0,b≠0).知1-讲 知1-练感悟新知[期末·长春]下列方程:①4x-y=8;②xy=2;③x+=3;④3-2y=z;⑤x2+y=6.其中二元一次方程有()1个B.2个C.3个D.4个例1 知1-练感悟新知解:根据二元一次方程的定义进行判断.②中含未知数的项xy的次数是2;③不是整式方程;⑤含未知数的项x2,y中,x2的次数不是1.①4x-y=8,④3-2y=z符合二元一次方程的定义.所以二元一次方程共有2个.解题秘方:紧扣二元一次方程的定义去识别.答案:B 知1-练感悟新知方法点拨判断一个方程是不是二元一次方程的方法:一看原方程是不是整式方程且只含有两个未知数;二看化简整理后的方程是否具备两个未知数的系数都不为0且含未知数的项的次数都是1. 感悟新知知2-讲知识点二元一次方程的解21.二元一次方程的解适合二元一次方程的一组未知数的值叫做二元一次方程的一个解. 感悟新知知2-讲2.判断一对数值是不是二元一次方程的解的方法判断一对数值是不是二元一次方程的解,只需将这组数值分别代入方程的左右两边:若左边=右边,则这对数值是这个方程的解;若左边≠右边,则这对数值不是这个方程的解. 知2-讲感悟新知特别解读1.二元一次方程只要给定其中的一个未知数的值,就可以相应地求出另一个未知数的值,因此二元一次方程有无数个解;2.二元一次方程的整数解有时只有有限个解. 感悟新知知2-练[中考·金华]已知是方程3x+2y=10的一个解,则m的值是_________.例2 知2-练感悟新知解题秘方:紧扣二元一次方程的解的定义,将解代入方程中求值.解:把代入方程,得3×2+2m=10,解得m=2.答案:2 知2-练感悟新知方法点拨已知二元一次方程的解确定字母参数的方法:将方程的解代入方程,得到一个关于这个字母参数的新方程,解这个新方程即可求出这个字母参数的值. 感悟新知知3-讲知识点二元一次方程组31.定义由两个一次方程组成的含两个未知数的方程组就叫做二元一次方程组. 感悟新知知3-讲2.二元一次方程组应满足的条件(1)两个方程都是整式方程;(2)共含有两个未知数;(3)一共有两个方程,每个方程都是一次方程.特别解读:(1)二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的,其中有的方程可以是一元一次方程.(3)二元一次方程组必须一共含有两个未知数. 知3-讲感悟新知特别警示1.判断二元一次方程组时,忽视“先整理化简,再进行判断”;2.判断二元一次方程组时,误认为每个方程都必须是二元一次方程,实际上只需满足:(1)共含有两个未知数;(2)一共有两个方程,每个方程都是一次方程即可 知3-练感悟新知有下列方程组:①②③④⑤其中二元一次方程组有________个.例3 知3-练感悟新知答案:2解题秘方:紧扣二元一次方程组的定义进行识别.解:方程组①中第一个方程含未知数的项xy的次数不是1;方程组②中第二个方程不是整式方程;方程组③中共有3个未知数.只有方程组④⑤满足,其中方程组⑤中的π是常数. 知3-练知识储备组成二元一次方程组的两个整式方程,有以下三种常见形式:(1)两个方程都是一元一次方程,如(2)两个方程都是二元一次方程,如(3)两个方程一个是一元一次方程,一个是二元一次方程,如. 知3-练感悟新知某中学组织七年级学生春游,原计划租用45座客车若干辆,但有15人没有座位;若租用同样数量的60座客车,则多出一辆,且其余客车恰好坐满.试问七年级学生人数是多少?原计划租用45座客车多少辆?(只列方程组)例4 知3-练感悟新知解题秘方:分析出题意中蕴含的等量关系,用未知量表示出等量关系.解法提醒解决这类问题的关键是建立二元一次方程组的数学模型.建立方程组的方法是根据实际问题找出题目中的两个等量关系,并分别列出相应的方程. 知3-练解:设七年级学生有x人,原计划租用y辆45座客车.根据题意,得 感悟新知知4-讲知识点二元一次方程组的解41.二元一次方程组的解使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解. 知4-讲感悟新知特别解读1.二元一次方程组一般都只有一组解,有时也无解.2.某个方程的解不一定是⇔一定是方程组的解 感悟新知知4-讲2.判断一对数值是不是二元一次方程组的解的方法判断一对数值是否为一个二元一次方程组的解,必须将这对数值分别代入方程组中的每一个方程进行检验,若满足每一个方程,则这对数值就是这个方程组的解;只要不满足其中任何一个方程,则这对数值就不是这个方程组的解. 感悟新知知4-练根据下表所给出的x的值及关于x,y的二元一次方程,求出相应的y的值,并填入表内.请你从上表中找出二元一次方程组的解.例5x12345678910y=2xy=x+5 知4-练感悟新知解题秘方:根据二元一次方程组的解的定义,找出同时满足两个二元一次方程的公共解,即为二元一次方程组的解. 知4-练感悟新知解:填表如下:从上表中可以看出:既是二元一次方程y=2x的解,也是二元一次方程y=x+5的解,所以二元一次方程组的解是x12345678910y=2x2468101214161820y=x+56789101112131415 知4-练方法点拨判断一组数是不是某个二元一次方程组的解,关键是看这组数是不是满足每个方程,若满足,则是此方程组的解;只要发现这组数不满足其中一个方程,则这组数不是此方程组的解. 感悟新知知4-练[月考·重庆]已知是关于x,y的二元一次方程组的解,则m+2n的值为___________.例6 知4-练感悟新知解题秘方:紧扣二元一次方程组的解的定义,将解代入方程组求字母的值. 知4-练感悟新知解:将代入得所以所以m+2n=-4+2×=-4+11=7.答案:7 知4-练方法点拨利用方程组的解确定字母参数的方法:将方程组的解代入它适合的每个方程,得到关于字母参数的新方程组,从而求解. 感悟新知知4-练已知方程组:甲看错了方程①中的a,得到方程组的解为乙看错了方程②中的b,得到方程组的解为试求出ab的值.例7 知4-练感悟新知解题秘方:方程组的解同时满足两个方程,若看错一个方程,则满足另一个方程. 知4-练感悟新知解:依题意,可知是方程②的解;是方程①的解.所以所以所以ab=1×(-10)=-10. 知4-练特别解读因看错一个方程而求出的方程组的错解,应是另一个没有看错的方程的解,因此可以将甲得到的这组解代入没看错的方程,从而得到关于b的方程;将乙得到的这组解代入没看错的方程,从而得到关于a的方程. 知5-讲感悟新知知识点代入消元法解二元一次方程组51.代入消元法的定义从一个方程中求出某一个未知数的表达式,再把它“代入”另一个方程,进行求解,这种方法叫做代入消元法,简称代入法. 感悟新知知5-讲特别提醒用含一个未知数的式子表示另一个未知数后,应代入另一个方程来解,否则只能得到一个恒等式,并不能求出方程组的解. 感悟新知2.用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤知5-讲步骤具体做法目的注意事项①变形选取一个系数比较简单的二元一次方程变形,用含一个未知数的式子表示另一个未知数变形为y=ax+b(或x=ay+b)(a,b是常数,a≠0)的形式一般选未知数系数比较简单的方程变形②代入把y=ax+b(或x=ay+b)代入另一个没有变形的方程消去一个未知数,将二元一次方程组转化为一元一次方程变形后的方程只能代入另一个方程(或另一个方程变形后的方程). 感悟新知知5-讲③求解解消元后的一元一次方程求出一个未知数的值去括号时不能漏乘,移项时所移的项要变号④回代把求得的未知数的值代入步骤①中变形后的方程求出另一个未知数的值一般代入变形后的方程⑤写解把两个未知数的值用大括号联立起来表示为的形式用“{”将未知数的值联立起来 知5-练感悟新知用代入法解方程组:(1)例8解题秘方:紧扣用代入消元法解二元一次方程组的步骤解方程组. 知5-练感悟新知解:由②,得x=1-5y.③把③代入①,得2(1-5y)+3y=-19,解这个方程,得y=3.把y=3代入③,得x=-14.所以这个方程组的解是特别提醒如果方程中有一个未知数的系数为±1,通常选择用这个方程的另一个未知数表示系数为±1的未知数. 知5-练感悟新知方法点拨当二元一次方程组中的系数较复杂时,可先将方程组整理成标准形式其中x,y是未知数,其余字母为常数. 知5-练感悟新知(2) 知5-练感悟新知解:将原方程组整理为由③,得3y=2x-1.⑤把⑤代入④,得4x-(2x-1)=-5.解这个方程,得x=-3.把x=-3代入⑤,得3y=2×(-3)-1.解得y=-.所以这个方程组的解是 知5-练感悟新知如果方程组中某一未知数的系数成倍数关系或相同,那么可用整体代入法消去这个未知数再求解. 感悟新知知6-讲知识点加减消元法解二元一次方程组61.加减消元法的定义把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法,叫做加减消元法,简称加减法. 感悟新知知6-讲2.用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤步骤具体做法目的注意事项①变形根据绝对值较小的未知数(同一个未知数)的系数的最小公倍数,将方程的两边都乘适当的数使某一个未知数在两个方程中的系数相等或互为相反数(1)选择消元对象:两个方程中,当某个未知数的系数相等或互为相反数或成倍数关系时,选择消去该未知数较简单;(2)把某个方程乘一个数时,方程两边的每一项都要和这个数相乘 知6-讲感悟新知②加减两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时,将两个方程相加;同一个未知数的系数相等时,将两个方程相减消去一个未知数,将二元一次方程组转化为一元一次方程(1)把两个方程相加(减)时,一定要把两个方程两边分别相加(减);(2)应用减法消元时,注意符号的变化③求解解消元后的一元一次方程求出一个未知数的值 知6-讲感悟新知④回代把求得的未知数的值代入方程组中某个较简单的方程中求出另一个未知数的值回代时选择系数较简单的方程⑤写解把两个未知数的值用大括号联立起来表示为的形式用“{”将未知数的值联立起来 知6-讲感悟新知特别解读1.两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系时,解方程组应考虑用加减消元法;2.如果同一未知数的系数的绝对值既不相等又不成倍数关系,我们应设法将其中一个未知数的系数的绝对值转化为相等关系;3.用加减法时,一般选择系数比较简单(同一未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系)的未知数作为消元对象. 感悟新知知6-练[中考·淄博]解方程组:例9 知6-练感悟新知解题秘方:该方程组的两个方程中,y的系数互为相反数,这样可以把两个方程相加消去y.解法提醒方程组中某个未知数的系数的绝对值相等,则直接利用加减法求解. 知6-练感悟新知解:①+②,得5x=10,解得x=2.把x=2代入①,得6+12y=8,解得y=4.所以原方程组的解为为 感悟新知知6-练[中考·贺州]用加减法解方程组:例10 知6-练感悟新知解题秘方:该方程组的两个方程中,x,y的系数的绝对值成倍数关系,选择消元的目标后将其中一个方程变形,再利用加减法求解. 知6-练感悟新知解法提醒当方程组中任意一个未知数的系数的绝对值都不相等,但某个未知数的系数的绝对值成倍数关系时,将其中一个方程乘这个倍数后再利用加减法求解. 知6-练感悟新知解:②×5,得10x-5y=10.③①+③,得14x=21,解得x=.把x=代入②,得2×-y=2,解得y=1.所以这个方程组的解为 感悟新知知6-练用加减法解方程组:例11 知6-练感悟新知解题秘方:方程①和②中x,y的系数的绝对值既不相等又不成倍数关系,应取同一个未知数的系数的绝对值的最小公倍数6,可以先消去x,也可以先消去y. 知6-练感悟新知解法提醒当方程组中任意一个未知数的系数的绝对值既不相等又不成倍数关系时,可利用最小公倍数的知识,把两个方程都适当地乘一个数,使某个未知数的系数的绝对值相等. 知6-练感悟新知解:①×3,得6x+9y=9.③②×2,得6x+4y=22.④③-④,得5y=-13,解得y=-.把y=-代入①,得2x+3×-135=3,解得x=.所以这个方程组的解为 感悟新知知6-练[中考·吉林]被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁,其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342km,隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36km.求隧道累计长度与桥梁累计长度.例12 知6-练感悟新知解题秘方:紧扣等量关系“隧道累计长度+桥梁累计长度=342km”和“2×隧道累计长度=桥梁累计长度+36km”列方程组求解.解法提醒解题的步骤是找到题目中的等量关系,设未知数,构造二元一次方程组解决问题. 知6-练感悟新知解:设隧道累计长度为xkm,桥梁累计长度为ykm.依题意,得解得答:隧道累计长度为126km,桥梁累计长度为216km. 二元一次方程组及其解法组成解二元一次方程二元一次方程组
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