七年级数学（第三章 一次方程与方程组）3.1 一元一次方程及其解法（沪科版 学习、上课资料）

3.1一元一次方程及其解法第三章一次方程与方程组 学习目标课时讲解1一元一次方程的定义方程的解和解方程等式的基本性质解一元一次方程——移项解一元一次方程——去括号解一元一次方程——去分母解一元一次方程的一般步骤 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时流程2 感悟新知知1－讲知识点一元一次方程的定义1定义只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程.一元一次方程具有如下特点：(1)只含有一个未知数.(2)所含未知数的项的最高次数为1.(3)是由整式组成的，即方程中分母不含未知数.①②③ 感悟新知知1－讲2.一元一次方程的标准形式任何一个一元一次方程变形后总可以化为ax+b=0的形式，其中x是未知数，a，b是已知数，且a≠0.我们把ax+b=0(a≠0)叫做一元一次方程的标准形式. 知1－讲感悟新知特别解读①②③是判断一元一次方程的三个标准，其中“元”指未知数，“次”指未知数的次数，“整式”指分母不含未知数. 感悟新知知1－练下列各式中，哪些是一元一次方程？(1)x+y=1－2y；(2)7x+5=7(x－2)；(3)5x2－x－2=0；(4)=5；(5)x=；(6)2x2+5=2(x2－x).例1 知1－练感悟新知方法点拨判断一个方程是否为一元一次方程的方法：不仅要看原方程，还要看化简后的方程.原方程必须具备：等号两边是整式；化简后的方程必须具备：一是未知数的次数都为1；二是只含一个未知数且未知数的系数不为0. 知1－练感悟新知解题秘方：利用一元一次方程的定义进行判断.解：(1)含有两个未知数；(2)化简后x的系数为0；(3)未知数x的最高次数为2；(4)等号左边不是整式；(5)(6)是一元一次方程.综上所述，(5)(6)是一元一次方程. 感悟新知知1－练若(m+2)x|m|－1=4是关于x的一元一次方程，求m的值.解题秘方：由一元一次方程的定义可知未知数的次数为1，系数不为0，据此求待定字母的值.例2 知1－练感悟新知解：根据题意，可得|m|－1=1，且m+2≠0.由|m|－1=1，得|m|=2.根据绝对值的意义，可得m=±2.由m+2≠0，得m≠－2.所以m=2. 知1－练感悟新知特别警示解此类题时，容易只考虑未知数的次数为1，而忽略未知数的系数不为0的限制条件. 知2－讲感悟新知知识点方程的解和解方程21.方程的解使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.一元方程的解，也可叫做方程的根.2.解方程解方程就是根据等式的性质求方程的解的过程. 感悟新知3.方程的解与解方程的关系(1)方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个结果，是一个具体的数值，而解方程是变形的过程；(2)方程的解是通过解方程求得的.知2－讲 感悟新知知2－讲特别解读1.解方程的目的是求方程的解，方程的解是解方程的结果.2.方程的解可能不止一个，也可能无解.如x=1和x=2都是方程x2－3x+2=0的解，而方程|x|=－2无解. 知2－练感悟新知检验下列各未知数的值是不是方程5x－2=7+2x的解，并写出检验过程.(1)x=2；(2)x=3.例3解题秘方：紧扣方程的解的定义，根据方程左右两边的值是否相等进行检验. 知2－练感悟新知解：(1)将x=2分别代入方程的左边和右边，得左边=5×2－2=8，右边=7+2×2=11.因为左边≠右边，所以x=2不是方程5x－2=7+2x的解.(2)将x=3分别代入方程的左边和右边，得左边=5×3－2=13，右边=7+2×3=13.因为左边=右边，所以x=3是方程5x－2=7+2x的解. 知2－练感悟新知方法点拨检验方程的解的步骤：一代：将未知数的值分别代入方程左右两边，若方程一边不含未知数，则只代入含未知数的一边；二求：分别求出方程左右两边式子的值；三判断：若左右两边相等，则是方程的解，否则不是. 知2－练感悟新知[期中·南京]已知x=4是关于x的方程3x+2=－2a的解，求2a2+a的值．解题秘方：利用方程的解的定义，将已知的解代入方程中，求出待定字母的值．例4 知2－练感悟新知解：把x=4代入方程，得3×4+2=－2a，解得a=－．所以2a2+a=2×－=78． 知2－练感悟新知解法提醒根据方程的解的定义，将方程转化成关于所求字母的方程，进而求出所求字母或代数式的值. 感悟新知知3－讲知识点等式的基本性质2性质1等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式，即如果a=b，那么a+c=b+c，a－c=b－c； 感悟新知知3－讲性质2等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是0)，所得结果仍是等式，即如果a=b，那么ac=bc，=(c≠0).性质3如果a=b，那么b=a.(对称性)性质4如果a=b，b=c，那么a=c.(传递性) 知3－讲感悟新知特别解读1.等式的基本性质中的两个“同”：一是等式两边要进行同一种运算；二是加、减、乘或除以的一定是同一个数或式子.2.利用等式的基本性质进行变形时，除以同一个数或同一个式子时，这个数或式子不能为0. 知3－练感悟新知[期中·重庆]下列说法中错误的是()A.若a－2=b－2，则a=bB.若ax=ay，则x=yC.若a(c2+1)=b(c2+1)，则a=bD.若=，则x=y例5解题秘方：根据等式的基本性质即可得结论． 知3－练感悟新知解：A.根据等式的基本性质1，等式两边同时加上一个数2，等式成立．所以A正确，不合题意；B.根据等式的基本性质2，若a≠0，等式两边同时除以一个不为0的数a，等式成立；若a=0，则x=y不一定成立.所以B错误，符合题意； 知3－练感悟新知C.根据等式的基本性质2，等式两边同时除以一个不为0的数c2+1(c2+1≥1)，等式成立．所以C正确，不合题意；D.根据等式的基本性质2，等式两边同时乘一个不为0的数m，等式成立．所以D正确，不合题意．答案：B 知3－练感悟新知方法点拨判断等式的变形是否正确的方法：当对等式两边加、减或乘同一个数(或式子)时，变形均正确；当对等式两边除以同一个数(或式子)时，要先判断这个数(或式子)是否为0，若确定该数(或式子)不为0，则该变形正确，否则错误. 感悟新知知3－练利用等式的基本性质解方程：x+3=x－1.例6解题秘方：根据题目特点，运用等式的基本性质，将方程变形为x=a(常数)的形式. 知3－练感悟新知解：两边同时减3，得x+3－3=x－1－3，即x=x－4，两边同时减x，得x－x=x－4－x，即－x=－4，两边同时除以－，得x=－4÷(－)，即x=24. 知3－练感悟新知方法点拨利用等式的性质解一元一次方程的一般步骤：第一步：利用等式的基本性质1，将方程左右两边同时加(或减)同一个数(或式子)，使方程逐步转化为一边只有含未知数的项，另一边只有常数项的形式；第二步：利用等式的基本性质2，将方程左右两边同时除以未知数的系数或乘未知数系数的倒数，即将未知数的系数化为1，从而求出方程的解. 感悟新知知4－讲知识点解一元一次方程——移项41.移项把方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项.移项要变号. 感悟新知知4－讲2.移项的依据移项的依据是等式的基本性质1，在方程的两边都加上(或减去)同一个适当的整式，使含未知数的项集中在方程的一边，常数项集中在另一边. 知4－讲感悟新知特别解读移项与加法交换律的区别：移项是在等式中，把某些项从等号的一边移到另一边，移动的项要变号；而加法交换律是交换加数的位置，只改变排列的顺序，不改变符号. 感悟新知知4－讲3.移项解一元一次方程的步骤(1)移项：把含有未知数的项移到等号一边，把常数项移到等号另一边；(2)合并同类项：把方程变形为ax=b(a，b为常数，且a≠0)的形式；(3)系数化为1：得到方程的解为x=(a≠0). 知4－练感悟新知解方程：8－3x=x+6.例7解题秘方：利用移项解一元一次方程的步骤(移项→合并同类项→系数化为1)解方程. 知4－练感悟新知解：8－3x=x+6.－3x－x=6－8.－4x=－2.x=.移项合并同类项也可移项得8－6=x+3x.合并同类项得4x=2.系数化为1得x=. 知4－练感悟新知解法提醒移项一般习惯上将含未知数的项放在等号的左边，常数项放在等号的右边，若移项时为计算简便不是这样放置的，在合并时可直接交换过来，这不需要变号，因为等式具有对称性. 感悟新知知5-讲知识点解一元一次方程——去括号51.解含有括号的一元一次方程时，先利用去括号法则去括号，然后通过移项、合并同类项解方程. 感悟新知知5－讲2.去括号解一元一次方程的步骤(1)去括号(按照去括号法则去括号)；(2)移项；(3)合并同类项；(4)将未知数的系数化为1. 感悟新知知5－讲3.解方程中去括号的顺序先去小括号，再去中括号，最后去大括号，一般是由内向外去括号，也可以由外向内去括号. 知5－讲感悟新知特别解读1.去括号的目的是能利用移项解方程，其实质是乘法分配律.2.解方程中的去括号法则与整式运算中的去括号法则相同. 感悟新知知5－练解方程：2(x－3)－3(3x－1)=6(1－x).例8解题秘方：按“去括号→移项→合并同类项→系数化为1”的步骤解方程. 知5－练感悟新知解：去括号，得2x－6－9x+3=6－6x.移项，得2x－9x+6x=6+6－3.合并同类项，得－x=9.系数化为1，得x=－9. 感悟新知解法提醒1.去括号时，用括号外的因数去乘括号里的每一项，再把积相加；2.括号前是“－”号，去括号时，括号里的各项都改变符号.知5－练 知6－讲感悟新知知识点解一元一次方程——去分母61.解含有分母的一元一次方程时，方程两边同乘各分母的最小公倍数，从而约去分母，这个过程叫做去分母. 感悟新知2.去分母解一元一次方程的步骤(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.知6－讲 感悟新知知6－讲特别解读1.去分母的依据是等式的性质2.2.去分母的目的是将分数系数化为整数系数. 知6－练感悟新知[中考·凉山州]解方程：x－=1+．例9解题秘方：按“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”的步骤解方程. 知6－练感悟新知解：去分母，得6x－3(x－2)=6+2(2x－1).去括号，得6x－3x+6=6+4x－2.移项、合并同类项，得－x=－2.系数化为1，得x=2． 感悟新知特别提醒去分母的方法是将方程两边同乘这个最小公倍数.去分母时若分子是多项式，去分母后，分子需要加上括号.去分母时，不含分母的项(单个的数或字母)不能漏乘最小公倍数.知6－练 感悟新知知7－讲知识点解一元一次方程的一般步骤71.解一元一次方程的一般步骤去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等.通过这些步骤可以使以x为未知数的方程逐步向着x=a的形式转化. 感悟新知知7－讲2.解一元一次方程的具体做法、变形依据、注意事项变形名称具体做法变形依据注意事项去分母在方程两边同乘各分母的最小公倍数.当分母是小数时，要利用分数的基本性质把小数化为整数等式的基本性质2不要漏乘不含分母的项；分子是一个多项式，去分母后加上括号去括号一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号乘法分配律，去括号法则不要漏乘括号里面的项，不要弄错符号 感悟新知知7－讲移项把含有未知数的项和常数项分别移至等号的两侧移项法则(等式的基本性质1)移项要变号，不移的项不用变号合并同类项把方程化为ax=b(其中a≠0)的形式合并同类项法则系数相加；字母及指数不变系数化为1在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解为x=(a≠0)等式的基本性质2除数不为0；不要把分子、分母颠倒 知7－讲感悟新知特别提醒1.去分母是为了简化运算，若不使用，则合并同类项时需进行分数运算.2.去括号时，一般按从小到大的顺序，但有时也可按从大到小的顺序.3.解一元一次方程的一般步骤不一定每步都用到，也不一定按照从上到下的顺序进行，要根据方程的特点选取适当的步骤进行求解. 感悟新知知7－练解下列一元一次方程：(1)(1－2x)=(3x+1)；(2)[3x－(x+1)]－1=x；(3)－=x－.例10 知4－练感悟新知解：(1－2x)=(3x+1).去分母，得7(1－2x)=6(3x+1).去括号，得7－14x=18x+6.移项，得－14x－18x=6－7.合并同类项，得－32x=－1.系数化为1，得x=.解题秘方：按照解一元一次方程的步骤解方程. 知4－练感悟新知另解此处也可以直接去括号，得－x=x+，只不过在移项后合并同类项时需进行分数运算. 知4－练感悟新知解：[3x－(x+1)]－1=x.两边都乘2，得3x－(x+1)－2=2x.两边都乘5，得15x－(x+1)－10=10x.去括号，得15x－x－1－10=10x.移项，得15x－x－10x=10+1.合并同类项，得4x=11.系数化为1，得x=.先去中括号，利用等式的基本性质2，将中括号前面的系数变成1. 知4－练感悟新知解：－=x－.根据分数的基本性质，得－=x－.去分母，得3x－(x－1)=6x－2.去括号，得3x－x+1=6x－2.移项，得3x－x－6x=－2－1.合并同类项，得－4x=－3.系数化为1，得x=. 知7－讲感悟新知特别警示去分母与分数的基本性质的区别：去分母是把方程中的每一项都乘各分母的最小公倍数，与方程中的每一项都有关，而分数的基本性质只是对方程中的某一个分数变形，与其他项无关. 一元一次方程及其解法定义依据方程的解一元一次方程等式的基本性质移项去括号去分母解方程