八年级数学（第十七章 二次根式）17.2 一元二次方程的解法（沪科版 学习、上课资料）

17.2一元二次方程的解法第十七章一元二次方程 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2直接开平方法配方法公式法因式分解法一元二次方程的解法 知1－讲感悟新知知识点直接开平方法11.定义利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程解的方法叫做直接开平方法. 感悟新知知1－讲特别警示直接开平方法利用的是平方根的意义，所以要注意两点：●不要只取正的平方根而遗漏负的平方根；●只有非负数才有平方根，所以直接开平方法的前提是x2=p中p≥0. 感悟新知知1－讲知识链接平方根的定义：若x2=a(a≥0)，则x是a的平方根，即x=±. 感悟新知2.方程x2=p的解(根)的情况(1)当p>0时，方程有两个不等的实数根x1=－，x2=；(2)当p=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；(3)当p<0时，方程没有实数根.知1－讲 感悟新知3.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤步骤1：移项，将方程变成左边是完全平方的形式，且系数为1，右边是非负数的形式(如果方程右边是负数，那么这个方程无实数根).步骤2：开平方，将方程转化为两个一元一次方程.步骤3：解这两个一元一次方程，则得出的两个解即为一元二次方程的两个根.知1－讲 知1－练感悟新知用直接开平方法解下列方程：(1)9x2－81=0；(2)[一模·泸县](2x－1)2=(3－x)2例1解题秘方：紧扣“直接开平方法”的步骤求解. 知1－练感悟新知解：(1)移项，得9x2=81.系数化为1，得x2=9.开平方，得x=±3.∴x1=3，x2=－3.(2)开平方，得2x－1=±(3－x).2x－1=3－x或2x－1=－3+x.∴x1=，x2=－2. 感悟新知知2－讲知识点配方法21.定义 先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式后，再直接开平方求解的方法，叫做配方法. 感悟新知知2－讲2.用配方法解一元二次方程的一般步骤(1)移项.把方程中含有未知数的项移到方程的左边，把常数项移到方程的右边.(2)二次项系数化为1.方程的左、右两边同时除以二次项系数.(3)配方.把方程的左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化为(x+n)2=p的形式. 知2－讲感悟新知知识链接配方的依据是完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2，其实质是将a看成未知数，b看成常数，则b2即是一次项系数一半的平方. 感悟新知知2－讲(4)开平方.如果方程右边是一个非负数，那么就用直接开平方法求解；如果方程右边是一个负数，那么这个方程无实数根.即： 感悟新知知2－讲①当p＞0时，方程(x+n)2=p有两个不等的实数根x1=－n－p，x2=－n+p.②当p=0时，方程(x+n)2=p有两个相等的实数根x1=x2=－n.③当p＜0时，因为对任意实数x，都有(x+n)2≥0，所以方程(x+n)2=p无实数根. 感悟新知知2－练用配方法解一元二次方程：(1)x2+x－=0；(2)2x2－4x－1=0；(3)(1+x)2+2(1+x)－3=0.例2 知2－练感悟新知解法提醒1.用配方法解一元二次方程的实质就是对一元二次方程进行变形，将其转化为直接开平方所需要的形式，再利用平方根的意义把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来求解.2.方程两边同时加上一次项系数一半的平方的前提是二次项系数为1. 知2－练感悟新知解：(1)移项，得x2+x=.配方，得x2+x+()2=+()2.∴(x+)2=1.∴x1=，x2=－.解题秘方：先将方程配方化为(x+n)2=p的形式，再用直接开平方法求解. 知2－练感悟新知(3)移项，得(1+x)2+2(1+x)=3.配方，得(1+x)2+2(1+x)+12=3+12.∴(1+x+1)2=4.∴x1=0，x2=－4.(2)移项，得2x2－4x=1.二次项系数化为1，得x2－2x=.配方，得x2－2x+12=+12，即(x－1)2=.∴x1=1+，x2=1－.巧将1+x看作整体进行配方，可达到简化的效果. 感悟新知知3－讲知识点公式法31.求根公式的定义x=(b2－4ac≥0)，这就是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0且b2－4ac≥0)的求根公式. 感悟新知知3－讲2.公式法(1)定义：有了求根公式，要解一个一元二次方程，只要先把它整理成一般形式，确定出a，b，c的值，然后，把a，b，c的值代入求根公式，就可以得出方程的根，这种解法叫做公式法. 知3－讲感悟新知特别提醒1.公式法是解一元二次方程的通用解法(也称万能法)，它适用于所有的一元二次方程，但不一定是最高效的解法.2.只有当方程ax2+bx+c=0中a≠0，b2－4ac≥0时，才能使用求根公式.3.用公式法解一元二次方程时，若b2－4ac=0，则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根，即x1=x2=－. 感悟新知知3－讲(2)用求根公式解一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化成一般形式；②确定公式中a，b，c的值；③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0,则把a，b及b2－4ac的值代入求根公式求解，若b2－4ac＜0，则方程无实数解. 知3－练感悟新知用公式法解下列方程.(1)2x2－7x+4=0；(2)3x2－2x=－1；(3)x2－2x+3=0；(4)－3x2－5x+2=0.例3 知3－练感悟新知解题秘方：按照用求根公式解一元二次方程的步骤求解.解：(1)a=2，b=－7，c=4，b2－4ac=(－7)2－4×2×4=17＞0.代入求根公式，得x=，∴x1=，x2=.求b2－4ac的值时，若代入的字母值是负数，则需将其用括号括起来，不能漏掉“－”号. 知3－练感悟新知(2)方程可化为3x2－2x+1=0.a=3，b=－2，c=1，b2－4ac=(－2)2－4×3×1=0.代入求根公式，得x==.∴x1=x2=. 知3－练感悟新知(3)a=1，b=－2，c=3，b2－4ac=(－2)2－4×1×3=－8<0.方程无实数根.(4)a=－3，b=－5，c=2，b2－4ac=(－5)2－4×(－3)×2=49>0.代入求根公式，得x==－.∴x1=－2，x2=. 知3－练感悟新知解法提醒用公式法解一元二次方程时，先将方程整理成一元二次方程的一般形式，确定a，b，c的值，再求出b2－4ac的值，当b2－4ac≥0时，可代入求根公式求解，当b2－4ac＜0时，方程无实数根，这时，若将a，b，c的值直接代入求根公式，则算式无意义. 感悟新知知4－讲知识点因式分解法41.定义对于一些特殊的一元二次方程，若方程的一边能化为两个关于未知数的一次因式的乘积，另一边是0，则可将此方程转化为两个一元一次方程来求解，这种方法叫做因式分解法. 感悟新知知4－讲2.因式分解法解一元二次方程的一般步骤(1)整理方程，使其右边为0；(2)将方程左边分解为两个一次式的乘积；(3)令两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；(4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 知4－讲感悟新知知识储备常用的因式分解的方法：1.提公因式法；2.公式法；3.x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 感悟新知知4－练用因式分解法解下列方程.(1)(x－5)(x－6)=x－5；(2)4(x－3)2－25(x－2)2=0；(3)x2－(+)x+=0.例4 知4－练感悟新知解题秘方：按方程的特点选择恰当的因式分解方法.解：(1)移项，得(x－5)(x－6)－(x－5)=0.因式分解，得(x－5)(x－7)=0.∴x－5=0或x－7=0.∴x1=5，x2=7.方程的两边不能同时除以x－5，这样会使方程丢一根. 知4－练感悟新知(2)原方程可化为［2(x－3)］2－［5(x－2)］2=0，因式分解，得［2(x－3)+5(x－2)］［2(x－3)－5(x－2)］=0，即(7x－16)(－3x+4）=0，∴7x－16=0或－3x+4=0.∴x1=，x2=. 知4－练感悟新知(3)原方程可化为(x－)(x－)=0.∴x－=0或x－=0.∴x1=，x2=. 知4－练感悟新知解法提醒1.用因式分解法解一元二次方程，虽然比配方法和公式法简便，但这种方法只适用于部分一元二次方程.2.用因式分解法解一元二次方程时需将一元二次方程的右边化为0，再对方程的左边因式分解.3.不能随意在方程两边同时除以含未知数的整式. 感悟新知知5－讲知识点一元二次方程的解法51.解一元二次方程的方法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法. 感悟新知知5－讲2.解一元二次方程的基本思路 将二次方程化为一次方程，即降次. 感悟新知知5－讲3.合理选择一元二次方程的解法(1)若方程具有(mx+n)2=p(p≥0)的形式，则可用直接开平方法求解；(2)若一元二次方程一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积，则可用因式分解法求解；(3)公式法是一种常用的方法，用公式法解方程时一定要把一元二次方程化为一般形式，确定a，b，c的值，在b2－4ac≥0的条件下代入公式求解. 知5－讲感悟新知活用巧记先考虑直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法时，再用公式法；没有特殊要求的，尽量少用配方法.可巧记为：观察方程选解法，先看能否开平方，再看是否能分解，左分降次右化零，求根公式最后用，系数符号要辨明. 感悟新知知5－练解下列方程.(1)4x2－64=0；(2)2x2－7x－6=0；(3)(3x+2)2－8(3x+2)+15=0.例5 知5－练感悟新知选法策略选择解一元二次方程的方法的顺序为：直接开平方法→因式分解法→公式法，如无特殊要求一般不用配方法. 知5－练感悟新知(2)2x2－7x－6=0，∵a=2，b=－7，c=－6，∴b2－4ac=97>0.∴x1=，x2=.解题秘方：根据方程的特点，选择适当的方法解一元二次方程.解：(1)∵4x2－64=0，∴x2=16.∴x1=4，x2=－4. 知5－练感悟新知(3)因式分解，得［(3x+2)－3］［(3x+2)－5］=0，即(3x－1)(3x－3)=0.∴x1=，x2=1. 知5－练感悟新知解法策略如果展开原方程(3x+2)2－8(3x+2)+15=0中的(3x+2)2，求解时运算量较大，若把3x+2看作一个整体，则方程为形如x2+(p+q)x+pq=0的一元二次方程，因此可直接用因式分解法求解. 一元二次方程的解法一元二次方程的解法直接开平方法公式法配方法因式分解法降次与转化