九年级数学（第21章 二次函数与反比例函数）21.2 二次函数的图象和性质（沪科版 学习、上课课件）

21.2二次函数的图象和性质第21章二次函数与反比例函数21.2.1二次函数y＝ax2的图象和性质 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2二次函数y＝ax2的图象的画法二次函数y＝ax2的图象和性质 知识点二次函数y＝ax2的图象的画法知1－讲1用描点法画二次函数y＝ax2的图象的一般步骤(1)列表：列表时，自变量x的取值应有一定的代表性，并且所对应的函数值不能太大也不能太小，以便于描点和全面反映图象情况.选点时，一般应先找出对称轴，然后在对称轴的两侧对称选取，以计算简单、描点方便为原则. 知1－讲(2)描点：一般来说，点取得越多、越密集，画出的图象就越准确.实际画图时，一般取顶点及对称轴两侧对称的两对点，共5个点，用“五点法”快速准确地画出函数图象，有时也会在对称轴的两侧各取三个点画图.(3)连线：按自变量的值由小到大(或由大到小)的顺序，顺次用平滑的曲线连接各点. 知1－讲特别提醒用描点法画出的图象只是二次函数图象的一部分，并且是近似的.在画二次函数图象时，画的线必须平滑，顶端不能画成尖的，一般来说，选点越多，图象越精确，但也要具体问题具体分析. 知1－练例1在同一平面直角坐标系中作出y＝x2、y＝－x2和y＝x2的图象.解题秘方：用描点法，按列表→描点→连线这三个步骤作图. 知1－练解：列表如下：x…－4－3－2－101234…y＝x2…84.520.500.524.58…y＝－x2…－8－4.5－2－0.50－0.5－2－4.5－8…y＝x2…42.2510.2500.2512.254… 知1－练描点、连线，即可得三个函数的图象，如图21.2-1所示. 知1－练解法提醒连线时，必须按照自变量的值由小到大(或由大到小)的顺序，并且用平滑的曲线顺次连接，初始点和末端点处要注意适当“向外延伸”，切忌用线段连接或漏点、跨点连接. 知1－练作图通法在同一坐标系中作多个函数图象时，要在图象旁边标明对应的函数表达式. 知2－讲知识点二次函数y＝ax2的图象和性质21.抛物线的概念观察函数y＝x2的图象知它是一条关于y轴对称的曲线，我们把这条曲线叫做抛物线.二次函数y＝ax2的图象都是抛物线，二次函数y＝ax2的图象可以简称为抛物线y＝ax2. 知2－讲2.二次函数y＝ax2的图象和性质a的符号a＞0a＜0图象开口方向开口向上开口向下顶点坐标(0，0)对称轴y轴(或直线x＝0) 知2－讲续表增减性在对称轴的左侧，即x<0时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即x>0时，y随x的增大而增大在对称轴的左侧，即x<0时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即x>0时，y随x的增大而减小最值当x＝0时，y最小值＝0当x＝0时，y最大值＝0 知2－讲要点解读1.判断二次函数的增减性的技巧：从抛物线的对称轴分开，自左向右看，“上坡路”就是y随x的增大而增大，“下坡路”就是y随x的增大而减小.2.在二次函数y＝ax2(a≠0)中，a的正负性决定开口方向，|a|决定开口的大小．|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛物线开口越大.3.二次函数y＝－ax2(a≠0)与y＝ax2(a≠0)的图象关于x轴对称. 知2－练如图21.2-2，四个二次函数的图象分别对应①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，且①与③、②与④分别关于x轴对称.例2解题秘方：紧扣y＝ax2中“a的符号”及“|a|的大小”，采用数形结合思想进行解答. 知2－练(1)比较a，b，c，d的大小；解：由抛物线的开口方向，知a>0，b>0，c<0，d<0，由抛物线的开口大小，知|a|>|b|，|c|>|d|，因此a>b，c<d.∴a>b>d>c. 知2－练另解当x＝1时，四个函数值分别等于二次项系数.∵直线x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为(1，a)，(1，b)，(1，d)，(1，c).∴a>b>d>c. 知2－练(2)说明a与c，b与d的数量关系.解：∵①与③，②与④分别关于x轴对称，∴①与③，②与④的开口大小相同，方向相反.∴a＋c＝0，b＋d＝0. 知2－练已知函数y＝(m＋2)xm2＋m－4是关于x的二次函数.解题秘方：按对称轴的左、右两侧，分x>0和x<0两种情况讨论二次函数的增减性.例3 知2－练(1)求满足条件的m的值.解：由题意得解得m＝2或m＝－3.∴当m＝2或m＝－3时，函数为二次函数.知识储备满足条件即满足二次函数的“三要素”：1.整式；2.自变量的最高次数为2；3.二次项系数不为0. 知2－练(2)当m为何值时，其图象有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？解：若抛物线有最低点，则抛物线的开口向上，∴m＋2>0，即m>－2.∴m＝2.∵这个最低点为抛物线的顶点，∴最低点的坐标为(0，0).当x>0时，y随x的增大而增大. 知2－练(3)当m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？解：若函数有最大值，则抛物线的开口向下，∴m＋2<0，即m<－2.∴m＝－3.∵函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标，顶点坐标为(0，0)，∴当m＝－3时，函数有最大值0.当x>0时，y随x的增大而减小. 知2－练解法提醒在分析二次函数的增减性时，都是以对称轴为分界线进行讨论：1.开口向下的抛物线，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小；2.开口向上的抛物线，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大. 二次函数y＝ax2的图象和性质y＝ax2图象性质有最低点，开口向上有最高点，开口向下最小值为0x＞0时，y随x的增大而增大x＜0时，y随x的增大而减小最大值为0x＞0时，y随x的增大而减小x＜0时，y随x的增大而增大a＞0a＜0a＞0a＜0 21.2二次函数的图象和性质第21章二次函数与反比例函数21.2.2二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2二次函数y＝ax2＋k的图象和性质二次函数y＝a(x＋h)2的图象和性质二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象和性质二次函数y＝ax2＋bx＋c与二次函数y＝a(x＋h)2＋k之间的关系二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征与a，b，c的符号关系用待定系数法求二次函数的表达式 知识点二次函数y＝ax2＋k的图象和性质知1－讲11.二次函数y＝ax2＋k的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系它们的形状(开口大小、方向)相同，只是上、下位置不同，二次函数y＝ax2＋k的图象可由二次函数y＝ax2的图象上下平移|k|个单位得到. 知1－讲2.二次函数y＝ax2＋k的图象与性质a的符号a＞0a＜0k的符号k＞0k＜0k＞0k＜0图象开口方向向上向下对称轴y轴(直线x＝0)y轴(直线x＝0) 知1－讲续表增减性当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大当x>0时，y随x的增大而减小；当x<0时，y随x的增大而增大最值当x＝0时，y取得最小值，最小值为k当x＝0时，y取得最大值，最大值为k 知1－讲3.二次函数y＝ax2＋k的图象的画法(1)描点法：类比作二次函数y＝ax2图象的描点法，即按列表→描点→连线的顺序作图.(2)平移法：将二次函数y＝ax2的图象，向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得二次函数y＝ax2＋k的图象. 知1－讲要点提醒a决定抛物线的开口方向和开口大小，所以y＝ax2(a≠0)与y＝ax2+k(a≠0)的图象开口方向和开口大小相同，只是位置不同. 知1－讲平移规律口诀上加下减，纵变横不变.“上加下减”表示抛物线上下平移的规律.“纵变横不变”表示坐标的平移规律，即抛物线上下平移时其对应点的纵坐标改变而横坐标不变. 知1－练例1画出函数y＝－x2＋1与y＝－x2－1的图象，并根据图象回答下列问题：解题秘方：紧扣抛物线y＝ax2＋k与抛物线y＝ax2间的关系及图象的平移规律解答. 知1－练解：列表如下：x…－3－2－10123…y＝－x2＋1…－8－3010－3－8…y＝－x2－1…－10－5－2－1－2－5－10… 知1－练描点、连线，即可得这两个函数的图象，如图21.2-6所示. 知1－练(1)抛物线y＝－x2＋1经过怎样的平移才能得到抛物线y＝－x2－1？方法1以抛物线y＝－x2作中介平移：抛物线y＝－x2+1是由抛物线y＝－x2向上平移1个单位得到的，抛物线y＝－x2－1是由抛物线y＝－x2向下平移1个单位得到的，因此抛物线y＝－x2－1是由抛物线y＝－x2+1向下平移2个单位得到的. 知1－练解：由图象可以看出，抛物线y＝－x2＋1向下平移2个单位得到抛物线y＝－x2－1.方法2以对应点作中介平移：观察图21.2-6中的两条抛物线，抛物线y＝－x2+1的顶点是(0，1)，抛物线y＝－x2－1的顶点是(0，－1)，因为顶点向下平移了2个单位，所以将抛物线y＝－x2+1向下平移2个单位可得到抛物线y＝－x2－1. 知1－练(2)对于函数y＝－x2＋1，其图象与x轴的交点坐标是________________；对称轴是__________；顶点坐标是__________.(－1，0)，(1，0)y轴(0，1) 知2－讲知识点二次函数y＝a(x+h)2的图象和性质21.二次函数y＝a(x＋h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系它们的形状(开口大小、方向)相同，只是左、右位置不同，二次函数y＝a(x＋h)2的图象可由二次函数y＝ax2的图象左右平移|h|个单位得到. 知2－讲2.二次函数y＝a(x＋h)2的图象和性质a的符号a＞0a＜0图象开口方向向上向下对称轴直线x＝－h 知2－讲续表顶点坐标(－h，0)增减性当x<－h时，y随x的增大而减小；当x>－h时，y随x的增大而增大当x<－h时，y随x的增大而增大；当x>－h时，y随x的增大而减小最值当x＝－h时，y最小值＝0当x＝－h时，y最大值＝0 知2－讲平移规律口诀左加右减，横变纵不变：1.“左加”表示当h>0时，抛物线y＝ax2沿x轴向左平移h个单位得到抛物线y＝a(x＋h)2；2.“右减”表示当h<0时，抛物线y＝ax2沿x轴向右平移|h|个单位得到抛物线y＝a(x＋h)2；3.“横变纵不变”表示坐标的平移规律，即抛物线左右平移时对应点的横坐标改变而纵坐标不变. 知2－练[期中·杭州萧山区]对于二次函数y＝－3(x－5)2的图象，下列说法不正确的是()A.开口向下B.对称轴是直线x＝5C.顶点坐标为(5，0)D.当x<5时，y随x的增大而减小例2解题秘方：根据二次函数的图象和性质，即可进行解答. 知2－练答案：D解：A.∵a＝－3<0，∴函数图象开口向下，故A正确；B.对称轴是直线x＝5，故B正确；C.顶点坐标为(5，0)，故C正确；D.∵函数图象开口向下，对称轴是直线x＝5，∴当x<5时，y随x的增大而增大，故D不正确. 知2－练解题策略解答与抛物线y＝a(x＋h)2的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性等有关知识的问题时，先弄清y＝a(x＋h)2中a，h与开口方向、对称轴、顶点坐标、最值和增减性之间的关系，再结合具体题目进行解答. 知3－讲知识点二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质31.二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象与二次函数y＝ax2的图象之间的关系y＝a(x＋h)2＋k的图象是由y＝ax2的图象先向左(或向右)平移|h|个单位，再向上(或向下)平移|k|个单位得到的.具体平移规律如下： 知3－讲2.二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象和性质a的符号a＞0a＜0图象的开口方向向上向下对称轴直线x＝－h顶点坐标(－h，k) 知3－讲续表函数的增减性当x>－h时，y随x的增大而增大；当x<－h时，y随x的增大而减小当x>－h时，y随x的增大而减小；当x<－h时，y随x的增大而增大最值当x＝－h时，y最小值＝k当x＝－h时，y最大值＝k 知3－讲解题策略掌握二次函数顶点式y＝a(x＋h)2＋k的图象特点与性质是解题的关键，即在y＝a(x＋h)2＋k中，a决定开口方向，对称轴为x＝－h，顶点坐标为(－h，k)． 知3－练[中考·宁波]点A(m－1，y1)，B(m，y2)都在二次函数y＝(x－1)2＋n的图象上．若y1<y2，则m的取值范围为()A.m<2B.m>C.m<1D.<m<2例3解题秘方：根据y1<y2列出关于m的不等式解答． 知3－练解：∵点A(m－1，y1)，B(m，y2)都在二次函数y＝(x－1)2＋n的图象上，∴y1＝(m－1－1)2＋n＝(m－2)2＋n，y2＝(m－1)2＋n，∵y1<y2，∴(m－2)2＋n<(m－1)2＋n，即－2m＋3<0，∴m>.答案：B 知3－练解题策略解答抛物线y＝a(x＋h)2＋k的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性规律等问题，先弄清顶点式y＝a(x＋h)2＋k中a，h，k与开口方向、对称轴、顶点坐标、最值间的关系，比较题中给出的相关数据与a，h，k间的关系，再结合相关知识按题目要求解答． 知4－讲知识点二次函数y=ax2+bx+c与二次函数y=a(x+h)2+k之间的关系41.二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c与顶点式y＝a(x＋h)2＋k的互化h＝，k＝，即y＝ax2＋bx＋c＝a2＋. 知4－讲2.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的画法方法一：描点法.(1)把二次函数y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x＋h)2＋k的形式；(2)确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3)在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称描点并用平滑的曲线顺次连接. 知4－讲方法二：平移法.(1)把二次函数y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x＋h)2＋k的形式，其图象的顶点坐标为(－h，k)；(2)作出二次函数y＝ax2的图象；(3)将二次函数y＝ax2的图象平移，使其顶点平移到(－h，k). 知4－讲3.拓展对于二次函数y＝ax2＋bx＋c图象上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若P1(x1，y1)和P2(x2，y2)关于直线x＝－对称，则y1＝y2，＝－. 知4－讲特别解读求抛物线的顶点坐标，除了利用配方法外，还可以利用公式法求解，熟练记住顶点公式为是关键. 知4－练[模拟·上海]关于抛物线y＝－x2＋2x－3的判断，下列说法正确的是()A.抛物线的开口向上B.抛物线的对称轴是直线x=－1C.抛物线对称轴左侧部分是下降的D.抛物线顶点到x轴的距离是2例4 知4－练解题秘方：先利用配方法把抛物线的一般式转化为顶点式，进而可求得其开口方向、对称轴、增减性以及顶点坐标，从而可得出答案． 知4－练解：∵y＝－x2＋2x－3＝－(x－1)2－2，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－2)，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴A，B，C不正确；∵抛物线顶点到x轴的距离是|－2|＝2，∴D正确.答案：D 知4－练另解化一般式为顶点式也可用公式求，即：h＝＝＝－1，k＝＝＝－2.∴顶点式为y＝－(x－1)2－2. 知5－讲知识点二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质5函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)a的符号a>0a<0图象开口方向向上向下 知5－讲对称轴直线x＝－顶点坐标增减性当x<－时，y随x的增大而减小；当x>－时，y随x的增大而增大当x<－时，y随x的增大而增大；当x>－时，y随x的增大而减小 知5－讲开口方向当x＝－时，y最小值＝当x＝－时，y最大值＝ 知5－讲活学巧记曲线名叫抛物线，线轴交点是顶点，顶点纵标是最值.如果要画抛物线，描点平移两条路；提取配方定顶点，描点平移皆成图.列表描点后连线，五点大致定全图；若要平移也不难，先画基础抛物线，顶点移到新位置，开口大小都不变. 知5－练已知抛物线y＝2x2－4x－6.(1)直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；例5解：开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－8). 知5－练(2)求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；解题秘方：类比一次函数的方法，求图象与x轴的交点坐标，令y＝0，再解方程；求图象与y轴的交点坐标，令x＝0，再代入求值.本题可以不画图象，利用二次函数表达式中的系数来说明函数图象的特征. 知5－练方法总结若不画图象直接得出函数图象的特征，则必须根据函数图象的特征与二次函数表达式中系数之间的关系来确定.对于抛物线y＝ax2＋bx＋c，其中a决定开口方向，c为抛物线与y轴交点的纵坐标.对称轴和顶点坐标可直接根据公式x＝－，来确定. 知5－练解：令y＝0，得2x2－4x－6＝0，解得x1＝－1，x2＝3.∴与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0).令x＝0，得y＝－6，∴与y轴的交点坐标为(0，－6). 知5－练解：当x>1时，y随x的增大而增大.(3)当x取何值时，y随x的增大而增大？ 知6－讲知识点二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与a，b，c的符号关系6二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a的符号决定抛物线的开口方向，ab的符号决定抛物线对称轴的大致位置，c的符号决定抛物线与y轴交点的大致位置.具体如下表： 知6－讲字母(或式子)符号特征aa>0开口向上a<0开口向下－b＝0对称轴为y轴ab>0(a，b同号)对称轴在y轴左侧ab<0(a，b异号)对称轴在y轴右侧 知6－讲字母(或式子)符号特征cc＝0图象过原点c>0图象与y轴正半轴相交c<0图象与y轴负半轴相交 收藏夹对于二次函数y＝ax2＋bx＋c：当x＝1时，y＝a＋b＋c，此时，若y＝0，则a＋b＋c＝0；若y>0，则a＋b＋c>0；若y<0，则a＋b＋c<0.当x＝－1时，y＝a－b＋c，此时，若y＝0，则a－b＋c＝0；若y>0，则a－b＋c>0；若y<0，则a－b＋c<0.知6－讲 知6－练[中考·青岛]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，对称轴为直线x＝－1，且经过点(－3，0)，则下列结论正确的是()A.b>0B.c<0C.a＋b＋c>0D.3a＋c=0例6解题秘方：根据二次函数的图象特征与字母系数之间的关系判断. 知6－练答案：D解：∵图象开口向下，∴a<0，∵对称轴为直线x＝－1，∴b＝2a，∴b<0，故A错误；∵图象经过(－3，0)，∴图象经过点(1，0)，∴当x＝1时，a＋b＋c＝0，故C错误；∴c＝－a－b，∴c>0，故B错误；将b＝2a代入a＋b＋c＝0，可得3a＋c＝0，故D正确． 特别提醒抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－.判断a，b之间的关系时，往往需要根据抛物线的对称轴的位置来判断.知6－练 知7－讲知识点二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质71.常见的二次函数表达式的适用条件(1)一般式y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)：当已知抛物线上三点的坐标时，设此二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c； 知7－讲二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(2)顶点式y＝a(x＋h)2＋k(a，h，k为常数，a≠0)：当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大(小)值时，可设此二次函数的表达式为y＝a(x＋h)2＋k；(3)交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2为常数，a≠0)：当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设此二次函数的表达式为y＝a(x－x1)(x－x2). 知7－讲二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质2.用待定系数法求二次函数表达式的步骤(1)设：根据题中已知条件，合理设出二次函数的表达式，如y＝ax2＋bx＋c或y＝a(x＋h)2＋k或y＝a(x－x1)(x－x2)，其中a≠0；(2)代：把已知点的坐标代入所设的二次函数表达式中，得到关于表达式中待定系数的方程(组)；(3)解：解此方程(组)，求出待定系数的值；(4)还原：将求出的待定系数还原到表达式中，求得表达式. 知7－讲技巧点拨特殊位置抛物线对应的函数表达式的设法技巧：1.顶点在原点，可设为y＝ax2；2.对称轴是y轴(或顶点在y轴上)，可设为y＝ax2＋k；3.顶点在x轴上，可设为y＝a(x＋h)2；4.抛物线过原点，可设为y＝ax2＋bx. 知7－练已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－3)，且过点P(2，0)，求这个二次函数的表达式.例7解题秘方：设顶点式，将点P的坐标代入求解. 知7－练解：(顶点式)设所求二次函数的表达式为y＝a(x＋h)2＋k(a≠0).∵抛物线的顶点坐标为(1，－3)，∴h＝－1，k＝－3.∴这个二次函数的表达式为y＝a(x－1)2－3.又∵函数图象过点P(2，0)，∴(2－1)2a－3＝0，解得a＝3.∴这个二次函数的表达式为y＝3(x－1)2－3，即y＝3x2－6x. 知7－练另解(一般式)设所求二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0).∵其图象的顶点坐标为(1，－3)，且过点(2，0)，∴解得∴这个二次函数的表达式为y＝3x2－6x. 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质y=a(x+h)2+ky=ax2+bx+c图象顶点式y=ax2性质平移y=ax2+ky=a(x+h)2左右平移上下平移