九年级数学（第24章 圆）24.4 直线与圆的位置关系（沪科版 学习、上课课件）

第24章圆24.4直线与圆的位置关系 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2直线与圆的位置关系切线性质定理切线判定定理切线长定理 知识点直线与圆的位置关系知1－讲1直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系相交相切相离图示公共点个数210 知1－讲直线与圆的位置关系相交相切相离公共点名称交点切点直线名称割线切线圆心O到直线l的距离d与半径r的关系d<rd=rd＞r 知1－讲直线与圆的位置关系相交相切相离等价关系d<r直线l与⊙O相交d=r直线l与⊙O相切d>r直线l与⊙O相离 知1－讲易错警示1.理解切线的定义时，要抓住关键字眼“只有一个”，避免出现“有公共点时，直线和圆相切”的错误，用动态的观点及数形结合思想来准确理解切线的定义.2.射线、线段和圆的位置关系不能像直线一样依据交点的个数判断，要具体情况具体分析. 知1－练如图24.4-1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，则直线AB和以点C为圆心，r为半径的圆有何位置关系？为什么？(1)r=4cm；(2)r=4.8cm；(3)r=7cm.例1 知1－练解题秘方：先求出点C到直线AB的距离，再将其与圆的半径进行比较判断即可.解法提醒判断直线与圆的位置关系的两种方法：1.根据直线与圆的公共点的个数判断；2.将圆心到直线的距离d与圆的半径r相比较，在没有给出d与r的具体数值的情况下，可先利用图形条件及性质求出d与r的值，再通过比较大小判断其位置关系. 知1－练解：如图24.4-1，过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，则AB===10(cm). 知1－练∵S△ABC=AB·CD=AC·BC，∴AB·CD=AC·BC，即10×CD=6×8.∴CD=4.8cm.(1)当r=4cm时，CD＞r，直线AB和⊙C相离；(2)当r=4.8cm时，CD=r，直线AB和⊙C相切；(3)当r=7cm时，CD<r，直线AB和⊙C相交. 知识点切线性质定理知2－讲21.切线性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径.2.切线的性质(1)切线和圆只有一个公共点.(2)圆心到切线的距离等于半径.(3)圆的切线垂直于过切点的半径.(4)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点(找切点用).(5)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心(找圆心用). 知2－讲以上(3)(4)(5)可归纳为：如果直线满足过圆心、过切点、垂直于切线这三个条件中的任意两个，那么第三个也成立. 知2－讲特别提醒切线必须同时具备两个条件：1.直线过半径的外端;2.直线垂直于这条半径. 知2－练[中考·重庆]如图24.4-2，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BD．若∠A=∠D，且AC=3，则AB的长度是()A.3B.4C.3D.4例2 知2－练解题秘方：本题主要考查切线的性质、圆周角定理、勾股定理、直角三角形中30°角的性质.得出∠A=30°是解题关键．解法提醒已知圆的切线时，常连接圆心和切点，得到半径垂直于切线，通过构造直角三角形来解决问题，即“见切线，连半径，得垂线”. 知2－练解：如图24.4-2，连接OB.∵AB是⊙O的切线，B为切点，∴OB⊥AB.∴∠A+∠AOB=90°.又∵∠AOB=2∠D，∠A=∠D，∴∠A+2∠A=90°，解得∠A=30°，∴AO=2OB，∴3+OB=2OB，解得OB=3，∴OA=6，∴AB===3.答案：C 知识点切线判定定理知3－讲31.判定定理经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 知3－讲2.判定方法(1)定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；(2)数量法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；(3)判定定理法：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 知3－讲特别提醒切线的判定定理与性质定理的区别：切线的判定定理是在未知相切而要证明相切的情况下使用；切线的性质定理是在已知相切而要推得其他的结论时使用，它们是一个互逆的过程，不要混淆. 知3－练[中考·湖州]如图24.4-3，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连接DE.例3 知3－练解法提醒看到切线，就想作过切点的半径；看到直径，就想直径所对的圆周角是直角；看到切线的判定，就想：(1)若已知直线与圆的公共点，则采用判定定理法，其基本思路是：当已知点在圆上时，连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，即有切点，连半径，证垂直；(2)若未知直线与圆有公共点，则采用数量关系法，其基本思路是：过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径，即无切点，作垂直，证半径. 知3－练(1)若AD=DB，OC=5，求切线AC的长；解题秘方：构造直径所对的圆周角，利用直径所对的圆周角是直角求解；解：如图24.4-3，连接CD.∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，即CD⊥AB.∵AD=DB，∴AC=BC=2OC=10. 知3－练(2)求证：DE是⊙O的切线.解题秘方：利用“有切点，连半径，证垂直”求解. 知3－练证明：如图24.4-3，连接OD.∵∠ADC=90°，E为AC的中点，∴DE=EC=AC.∴∠1=∠2.∵OD=OC，∴∠3=∠4.∵AC切⊙O于点C，∴AC⊥OC.∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，即DE⊥OD.∴DE是⊙O的切线. 知3－练如图24.4-4，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以点D为圆心，DB长为半径作⊙D.求证：AC与⊙D相切.例4 知3－练解题秘方：利用“无切点，作垂线，证半径”判定圆的切线. 知3－练证明：如图24.4-4，过点D作DF⊥AC于点F.∵∠B=90°，∴DB⊥AB.又∵AD平分∠BAC，∴DF=DB.∴AC与⊙D相切. 知识点切线长定理知4－讲41.切线长切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.2.切线长定理过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. 知4－讲3.示例如图24.4-5是切线长定理的一个基本图形，可以直接得到结论：(1)PO⊥AB；(2)OA⊥AP，OB⊥BP；(3)AP=BP；(4)∠1=∠2=∠3=∠4；(5)AD=BD；(6)AC=BC等.︵︵ 知4－讲特别提醒经过圆上一点作圆的切线，有且只有一条，过切点的半径垂直于这条切线；经过圆外一点作圆的切线，有两条，这点和两个切点所连的两条线段相等. 知4－练如图24.4-6，PA，PB，DE分别切⊙O于点A，B，C，点D在PA上，点E在PB上.例5解题秘方：根据切线长的定义，判断出PA，PB，DA，DC，EC，EB的长都是切线长，再利用切线长定理，找到相等关系. 知4－练(1)若PA=10，求△PDE的周长；解：∵PA，PB，DE分别切⊙O于点A，B，C，∴PA=PB，DA=DC，EC=EB.∴PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=10+10=20，即△PDE的周长为20. 知4－练(2)若∠P=50°，求∠DOE的度数.解：如图24.4-6，连接OA，OC，OB.∵PA，PB，DE分别切⊙O于点A，B，C，∴OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE.∴∠DAO=∠EBO=90°.∴∠P+∠AOB=180°.∴∠AOB=180°－50°=130°. 知4－练易知∠AOD=∠DOC，∠COE=∠BOE，∴∠DOE=∠AOB=×130°=65°. 知4－练图解如图24.4-7，利用切线长定理，可将求△PDE的周长转化为求PA与PB的和. 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系相交相切割线切线性质判定切线长定理相离