九年级数学（第24章 圆）24.6 正多边形与圆（沪科版 学习、上课课件）

第24章圆24.6正多边形与圆 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2正多边形与圆正多边形的画法正多边形的性质 知识点正多边形与圆知1－讲11.正多边形各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.2.圆的内接正n边形把一个圆n(n≥3)等分，依次连接各分点得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，这个圆就是这个正n边形的外接圆. 知1－讲要点解读“各边相等，各角相等”是正多边形的两个基本特征，当边数n>3时，二者必须同时具备，缺一不可，否则多边形就不是正多边形. 知1－练如图24.6-1，三角形AOB是正三角形，以点O为圆心，OA长为半径作⊙O，已知直径FC∥AB，AO，BO的延长线交⊙O于点D，E.求证：六边形ABCDEF为圆内接正六边形.例1 知1－练解题秘方：紧扣正多边形与圆的关系，结合同圆中弦、弧、圆心角的关系证明.解法提醒证明一个多边形是圆内接正多边形的方法：1.利用正多边形的定义，证明圆内接多边形的每个内角相等，每条边相等；2.证明圆内接多边形各边所对的弧相等，即证明这个多边形的各顶点等分这个圆. 知1－练证明：∵三角形AOB是正三角形，∴∠AOB=∠OAB=∠OBA=60°，OB=OA.∴点B在⊙O上.∵FC∥AB，∴∠FOA=∠OAB=60°，∠COB=∠OBA=60°.∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOA=60°.∴AB=BC=CD=DE=EF=FA.∴六边形ABCDEF为圆内接正六边形.︵︵︵︵︵︵ 知识点正多边形的画法知2－讲2正n边形的画法将圆n等分，然后顺次连接各等分点，即可得到所要作的正n边形. 知2－讲1.用量角器等分圆周先用量角器画一个度数为的圆心角，则此圆心角所对的弧就是圆周的，然后在圆周上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，依次连接各等分点，就得到圆的内接正n边形，如图24.6-2①所示. 知2－讲2.用尺规等分圆周对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形，可以用圆规和直尺作图，如图24.6-2②所示.在⊙O中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把圆周四等分，从而作出正四边形，若再逐次平分各边所对的弧，就可以作边数逐次倍增的正多边形，如正八边形、正十六边形等. 知2－讲要点解读画正多边形的原理：在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 知2－练作一个正三角形，使其外接圆的半径为0.9cm.例2解题秘方：用量角器画应先求出各边所对的圆心角，用尺规画则应先考虑等分圆周. 知2－练特别提醒1.画圆内接正n边形，实质是找圆的n等分点.2.用量角器等分圆是一种简单常用的方法，但边数很大时，容易产生较大的误差.3.尺规作图是一种比较准确的等分圆的方法，但只限于作一些特殊的正多边形. 知2－练解：作法一(1)用量角器画∠AOB=∠BOC=120°，以O为圆心，0.9cm为半径作圆，交三条射线于点A，B，C；(2)连接AB，BC，CA，则△ABC即为所求作的正三角形，如图24.6-3所示． 知2－练作法二(1)作半径为0.9cm的⊙O；(2)作⊙O的任一直径AB；(3)以B为圆心，0.9cm为半径作弧，交⊙O于点C，D；(4)连接AD，DC，CA，则△ADC即为所求作的正三角形，如图24.6-4所示. 知识点正多边形的性质知3－讲31.性质任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆. 知3－讲2.有关概念正多边形的中心：正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心.正多边形的半径：正多边形外接圆的半径.正多边形的边心距：正多边形内切圆的半径.正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角. 知3－讲3.正n边形的每个中心角都等于360°n.4.设正n边形的半径为R，边长为a，边心距为r，则：(1)半径、边长、边心距的关系为R2=r2+()2；(2)周长C=na；(3)面积S=ar·n=Cr. 知3－讲5.正多边形的对称性所有的正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正多边形的中心.当n为偶数时，它还是中心对称图形，它的中心就是对称中心.特别提醒：边心距也是弦心距，但弦心距不一定是边心距. 知3－讲特别提醒常见的正多边形的边长与半径的关系：1.正六边形的边长等于其外接圆半径；2.正三角形的边长等于其外接圆半径的倍；3.正方形的边长等于其外接圆半径的倍.任意多边形不一定有外接圆和内切圆，但当多边形是正多边形时，一定有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆. 知3－练[中考·成都]如图24.6-5，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为()A.B.C.3D.2例3 知3－练解题秘方：连接OB，OC，根据⊙O的周长可得⊙O的半径，根据六边形ABCDEF是正六边形，可知∠BOC==60°，可得△BOC是等边三角形，即可得正六边形的边长． 知3－练解题技巧本题考查正多边形与圆的相关计算，解题的关键是掌握圆内接正六边形中心角等于60°，从而得到△BOC是等边三角形． 知3－练解：连接OB，OC，如图24.6-5.∵⊙O的周长等于6π，∴⊙O的半径OB=OC==3.∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC==60°.∴△BOC是等边三角形.∴BC=OB=3，即正六边形的边长为3.答案：C 正多边形与圆相关概念正多边形与圆中心半径边心距有关计算画法中心角