人教版七年级数学上册（第一章 有理数）1.2 有理数（学习、上课资料）

1.2有理数第一章有理数1.2.1有理数 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2有理数数的集合有理数的分类 知识点有理数知1－讲11.整数正整数、0、负整数统称为整数，如：－3，－2，0，1，2，3，….2.分数正分数、负分数统称为分数，如3，0.3，－1.25，－，….可化为分数的小数也归类于分数，其中有限小数和无限循环小数可化为分数. 知1－讲3.有理数整数和分数统称为有理数.4.部分常用的数的名称(1)正整数：大于0的整数；负整数：小于0的整数.(2)正分数：形如的数；负分数：形如－的数.(m，n都是正整数)(3)非负数：正数和0；非正数：负数和0. 知1－讲特别提醒1.非负整数是在整数范围内取非负数，包括正整数和0.2.引入负数后，奇数和偶数的范围也相应地扩大了.奇数和偶数也可以是负数.3.自然数包括0和正整数. 知1－练例1在－3.5，，0，，0.161616…中，有理数共有()A．5个B．4个C．3个D．2个B解题秘方：判断有理数要紧扣其定义. 知1－练特别警示：整数和分数统称为有理数，对于分数的识别有两个误区(1)不是所有的小数都能化成分数，如无限不循环小数就不能化成分数；(2)有些数形似分数，但不是分数，例如本题中的，含有π，就不是分数. 知1－练1-1.在+4，，－3.14，0，0.5中，表示正分数的有()A．1个B．2个C．3个D．4个B 知1－练1-2.下列说法中正确的有()①负分数一定是负有理数；②自然数一定是正数；③－π是负分数；④a一定是正数；⑤0是整数.A．1个B．2个C．3个D．4个B 知2－讲知识点21.定义把满足一定条件的所有数放在一起，就组成一类数的集合.数的集合特别解读一类数的集合必须是符合条件的所有数，不能遗漏. 知2－讲2.集合的两种常见形式｛…｝省略号表示集合有无数个元素. 知2－讲3.拓展两个集合的交叉部分即为两个集合的公共部分.由于两个集合不是按同一标准分类的，因此可能有具有两个集合共同特征的数，如：正数集合和分数集合的交叉部分为正分数. 知2－练例2将下列各数填入如图1.2-1的相应的圈内：－3，+，－1，0，2，，－.解：如图1.2-2.解题秘方：按照集合的类别，紧扣集合的交叉部分是各个集合共同含有的数进行解答. 知2－练2-1.如图，将下面一组数填入相应的圈内：－，－7，+2.8，－90，－3.5，9，0，4.解：如图 知3－讲知识点31.有理数的分类(1)按定义分类(2)按性质分类有理数的分类有理数整数分数正整数0负整数正分数负分数有理数正有理数0负有理数正整数正分数负整数负分数 知3－讲2.有理数分类的三原则(1)分类不重复：所分的各类应当互不包含.(2)分类无遗漏：所分各类之“和”必须是原来的全部.(3)标准要统一：必须按同一分类标准进行分类. 知3－讲特别警示●不管按什么标准分类，最终将有理数都分为五类：正整数、0、负整数、正分数、负分数.●正有理数都是正数，但正数不一定都是正有理数. 知3－练例3把下列各数分别填入相应的集合里.－2，0，0.314，25%，11，，－3，0.3，1.非负有理数集合：｛…｝；整数集合：｛…｝；分数集合：｛…｝；自然数集合：｛…｝；非正数集合：｛…｝.. 知3－练解题秘方：按照各集合中数的特征进行填写.解：非负有理数集合：｛0，0.314，25%，11，，0.3，1，…｝；整数集合：｛－2，0，11，…｝；分数集合：｛0.314，25%，，－3，0.3，1，…｝；自然数集合：｛0，11，…｝；非正数集合：｛－2，0，－3，…｝...非负有理数包含正有理数和0.写自然数集合时不能忘记写0. 知3－练3-1.将下列各数填在相应的集合里：－15，+6，－2，－0.9，1，，3，0，0.63，－4.95.整数集合：｛…｝；分数集合：｛…｝；正数集合：｛…｝；负数集合：｛…｝.－15，＋6，－2，1，0，－0.9，，3，0.63，－4.95，＋6，1，，3，0.63，－15，－2，－0.9，－4.95， 有理数有理数分类按定义分按性质分定义整数分数集合思想 1.2有理数第一章有理数1.2.2数轴 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2数轴数轴上的点与有理数的关系 知识点数轴知1－讲11.定义规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.特别解读1.数轴是一条直线.2.数轴的三要素：原点、正方向、单位长度.3.数轴的三要素缺一不可.在解决具体问题时可以灵活选定原点的位置、正方向的朝向、单位长度的大小，但一经选定后就不能随意改变. 知1－讲2.画数轴的步骤(1)画直线，取原点：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点.(2)标正方向：通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向. 知1－讲(3)选取单位长度，标数：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表示－1，－2，－3，…. 知1－练例1判断下列数轴(如图1.2-6)是否正确.如果不正确，请指出错在哪里. 知1－练解题秘方：紧扣数轴的“三要素”确定数轴.解：(1)正确；(2)(3)(4)都不正确.其出错之处分别是(2)中的数轴缺少原点；(3)中的数轴负半轴上所标的负数的顺序不对，应将“－2”写在“－1”的左边；(4)中的数轴上的单位长度不统一. 知1－练1-1.下列说法中正确的是()A．规定了正方向和单位长度的射线叫做数轴B．规定了原点、单位长度的线段叫做数轴C．有正方向和单位长度的直线叫做数轴D．规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴D 知2－讲知识点2对应关系有理数数轴上的点表示的数.数轴上的点与有理数的关系都可以用数轴上的点表示不都表示有理数知识链接有理数与数轴上的点的对应关系：1.正有理数可以用数轴上原点右边(或上边)的点表示.2.负有理数可以用数轴上原点左边(或下边)的点表示.3.0用原点表示. 知2－讲2.示例数a(a>1)和－a在数轴上的表示表示－a的点到原点的距离表示a的点到原点的距离－a是负数，在原点的左边a是正数，在原点的右边 知2－练例2如图1.2-7,数轴上的点A，B，C，D分别表示哪个有理数？ 知2－练解题秘方：紧扣点的位置的特征与点表示的数的关系读数.解：点A表示1，点B表示－，点C表示－2，点D表示0. 知2－练读法提醒：知点读数的方法1.点所在的区域的位置(原点的左右两侧)决定正负；2.点到原点的距离决定数字. 知2－练2-1.如图，在数轴上表示－的点是()A．点AB．点BC．点CD．点DB 知2－练画出数轴，并在数轴上描出表示下列各数的点.－2，－2，－，3，.例3解题秘方：紧扣数的特征及数与点的位置关系描点.解：如图1.2-8. 知2－练方法点拨：已知数在数轴上找点的方法步骤第1步：根据数的正负性确定在原点的左侧还是右侧；第2步：确定与原点之间的距离；第3步：标出点后将数写在数轴的上方. 知2－练3-1.画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：50，－100，150，－200，0，－175.解：如图． 数轴数轴关键三要素有理数与数轴上点之间的关系原点正方向单位长度 1.2有理数第一章有理数1.2.3相反数 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2相反数多重符号的化简 知识点相反数知1－讲11.定义只有符号不同的两个数叫做互为相反数.特别解读1.“只有”是指除了符号不同之外，其他部分完全相同.2.“互为”的意义是指相反数是成对出现的，不能单独存在.3.数轴上与原点的距离是a(a是一个正数)的点有两个，分别在原点的左右两边，它们所表示的数互为相反数. 知1－讲几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数.特别地，0的相反数是0. 知1－讲2.相反数的性质任何一个数都有相反数，而且只有一个；正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.3.相反数的求法求一个数的相反数就是在这个数的前面加上“－”号，即a的相反数是－a，其实质是改变这个数的符号. 知1－练例1下列说法正确的是()A．－2是相反数B．－与－2互为相反数C．－3与+2互为相反数D．－与0.5互为相反数 知1－练解题秘方：判断两个数是否互为相反数，按其定义从两个方面去看：符号(“+”、“－”)和所含数(相同).答案：D 知1－练方法点拨：判断两个数是否互为相反数，要从两个方面看一是符号不能相同；二是数一定要相同(相等的小数和分数是同一个数). 知1－练1-1.下列说法中，正确的有()(1)π的相反数是－3.14；(2)符号相反的数互为相反数；(3)相反数等于它本身的数只有0；(4)非负数的相反数是正数.A．0个B．1个C．2个D．3个B 知1－练分别写出下列各数的相反数.－3，2，4.5，0，－6，a，a－b.例2解题秘方：紧扣相反数的求法，直接写出一个数的相反数.解：－3的相反数是3，2的相反数是－2，4.5的相反数是－4.5，0的相反数是0，－6的相反数是6，a的相反数是－a，a－b的相反数是－(a－b). 知1－练方法点拨：求一个数的相反数的方法求一个具体数的相反数时，改变这个数前面的符号，其他部分不变，即可得到；求一个字母或一个式子的相反数时，也只需在这个字母或式子的整体前面加上“－”号. 知1－练2-1.写出下列各数的相反数，并将这些数连同它们的相反数在数轴上表示出来：+4，－3，0，－(－1)，－3，－(+2).解：＋4的相反数是－4，－3的相反数是3，0的相反数是0，－(－1)的相反数是－1，－3的相反数是3，－(＋2)的相反数是2.如图所示． 知1－练例3如图1.2-13，点A，B，C，D表示的数中，互为相反数的两个数对应的点是()A．点A与点CB．点B与点CC．点A与点DD．点B与点D 知1－练解题秘方：判断两个点所表示的数是否互为相反数，要看这两个点所表示的数是否满足相反数的几何意义.答案：C 知1－练方法点拨：判断两个点所表示的数是否互为相反数的方法看它们是否满足两个条件，一是点在原点两侧，二是点到原点的距离相等. 知1－练3-1.(1)如图，数轴的单位长度为1，如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是_______；－1(2)数轴上点A表示－3，B，C两点表示的数互为相反数，且点B到点A的距离是2，则点C表示的数应该是______.1或5 知2－讲知识点21.多重符号化简的依据a的相反数为－a.2.多重符号的化简根据相反数的性质由内向外化简.当最前面的符号是“+”号时，省略“+”号直接写；当最前面的符号是“－”号时，去掉“－”号，写出括号内的数的相反数.多重符号的化简 知2－讲特别提醒●a可以是正数，0或负数.●当a是一个负数时，－a是正数，故带负号的数不一定是负数. 知2－练例4化简下列各数：(1)－(－3)；(2)－(+2)；(3)+(－8)；(4)－［+(－2)］；(5)－｛－［－(+a)］｝.解题秘方：紧扣多重符号的化简法则逐步化简. 知2－练解：(1)－(－3)=3.(2)－(+2)=－2.(3)+(－8)=－8.(4)－［+(－2)］=－(－2)=2.(5)－｛－［－(+a)］｝=－［－(－a)］=－a. 知2－练方法点拨：先省略所有的“+”号，用“－”号的个数确定结果的符号.当“－”号的个数是偶数时，化简的结果为正数；当“－”号的个数是奇数时，化简的结果为负数，简称“奇负偶正”. 知2－练4-1.下列各组数：①－1与+(－1)；②+(+1)与－1；③－(+4)与－(－4)；④－(+1.7)与+(－1.7)；⑤－[+(－9)]与－[－(+9)].其中互为相反数的有()A．2组B．3组C．4组D．5组A 相反数相反数的意义代数意义几何意义求一个数的相反数在数轴上找相反数 1.2有理数第一章有理数1.2.4绝对值 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2绝对值绝对值的非负性比较有理数的大小 知识点绝对值知1－讲11.定义一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.读作“a的绝对值”.由于绝对值是两点间的距离，所以绝对值不可能是负数. 知1－讲2.性质一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.a(a>0)，即：|a|=0(a=0)，－a(a<0). 知1－讲特别提醒由绝对值的定义可知：一个数对应的点离原点越近，它的绝对值越小，离原点越远，它的绝对值越大，所以没有绝对值最大的数，只有绝对值最小的数为0. 知1－练例1求下列各数的绝对值：(1)+；(2)0；(3)－2；(4)－(－3).解题秘方：紧扣绝对值的性质进行计算. 知1－练解：(1)=.(2)|0|=0.(3)=2.(4)|－(－3)|=|+3|=3.正数的绝对值是它本身.0的绝对值是0.负数的绝对值是它的相反数. 知1－练技巧点拨：求一个数的绝对值的方法要求一个数的绝对值，首先判断这个数是正数、负数还是零，然后求出该数的绝对值.要确保其结果为非负数且只有一个. 知1－练1-1.填空：(1)｜+4｜=________，=_______，－=________，｜0｜=_______.(2)绝对值等于的数是_______.40± 知1－练1-2.求下列各数的绝对值：－1.6，，2023，－17，+17，－0.05.解：|－1.6|＝1.6，＝，|2023|＝2023，|－17|＝17，|＋17|＝17，|－0.05|＝0.05. 知1－练若|x|=2024，则x=________.解题秘方：根据绝对值的几何意义可知，数轴上表示数x的点与原点的距离为2024个单位长度，即可确定x的值.例2±2024 知1－练2-1.若|－m|=2025，则m=________.±20252-2.若|x－2|=2，则x=_______.0或4 知2－讲知识点21.任何一个数的绝对值，都是唯一的非负数.2.绝对值是它本身的数是非负数，绝对值是它的相反数的数是非正数，0是绝对值最小的数，即：若|a|＝a，则a≥0，若|a|=－a，则a≤0.3.绝对值相等的两个数相等，或互为相反数，即：若|a|=|b|，则a=b或a=－b.绝对值的非负性 知2－讲特别提醒绝对值的非负性是绝对值的一个重要性质，即对于任意有理数a，都有|a|≥0.1.当a≠0时，|a|＞0，当a=0时，|a|=0.2.当|a|＞0时，a≠0，当|a|=0时，a=0. 知2－练下列各式中无论m为何值，一定是正数的是()A．|m|B．|m+1|C．|m|+1D．－(－m)例3解题秘方：紧扣绝对值的非负性进行判断. 知2－练解：选项A中，当m=0时，不符合题意；选项B中，当m=－1时，|m+1|=0，不符合题意；选项D中，－(－m)=m，显然不符合题意；选项C中，因为|m|≥0，所以|m|+1≥1，符合题意.答案：C 知2－练3-1.若a为任意有理数，则－｜－a｜一定是()A．负数或零B．负数C．正数或零D．正数A 知2－练3-2.式子|m－3|+6的值随m的变化而变化，当m=______时，|m－3|+6有最小值，最小值是______.36 知2－练如果a=－4，且|a|=|b|，求|b+4|的值.解题秘方：紧扣“若|x|=a(a>0)，则x=±a”进行求解.例4 知2－练解：因为a=－4，所以|b|=|a|=|－4|=4.所以b=4或b=－4.当b=4时，|b+4|=|4+4|=8；当b=－4时，|b+4|=|－4+4|=0.所以|b+4|的值是8或0.易漏掉“－4”这种情况. 知2－练4-1.如果｜x｜=|－5|，那么x等于()A．5B．－5C．±5D．以上都不对C 知3－讲知识点31.用数轴比较有理数大小的法则数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序.即：右边的数总比左边的数大.比较有理数的大小 知3－讲2.用数的性质比较有理数大小的法则(1)正数大于0，0大于负数，正数大于负数.(2)两个负数，绝对值大的反而小.即：两数同号同为正号，绝对值大的数大.同为负号，绝对值大的反而小.两数异号正数大于负数.一数为0正数与0，正数大于0.负数与0，负数小于0. 知3－讲特别提醒利用数轴比较大小的优点：一是直接看表示数的点在数轴上的位置即可；二是一次可以比较多个数. 知3－练例5将下列各数按从小到大的顺序排列，并用“＜”号连接起来：－2，0，1，－0.5，－，2.解题秘方：把这些数准确地表示在同一条数轴上，按右边的点表示的数大于左边的点表示的数，将各数按从小到大的顺序排列. 知3－练解：将这些数在数轴上表示出来，如图1.2-19.所以－2<－<－0.5<0<1<2. 知3－练5-1.如图，a与b的大小关系是()A．a<bB．a>bC．a=bD．b=2aB 知3－练5-2.若a<b<0，则在数轴上表示数a，b的点正确的是()D 知3－练比较下列各组数的大小：(1)－和－；(2)－|－5|和0；(3)－和－.解题秘方：利用正数>0>负数，两个负数，绝对值大的反而小进行比较.例6 知3－练解：(1)因为==，==，且<，所以－>－.(2)因为－|－5|=－5，且－5<0，所以－|－5|<0.(3)－=，－=－.因为正数大于负数，所以>－.所以－>－. 知3－练6-1.下列选项中，比－2℃低的温度是()A．－3℃B．－1℃C．0℃D．1℃A 知3－练6-2.比较下列各组数的大小：(1)－与－|0.3|；(2)－|－7|与－(+5.3)；(3)－，+与.解：－>－｜0.3｜．－|－7|<－(＋5.3)．+<－． 绝对值绝对值意义求绝对值比较大小绝对值的非负性探究归纳