人教版七年级数学下册（第六章 实数）6.1平方根（学习、上课资料）

6.1平方根第6章实数 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2算术平方根算术平方根的估算平方根平方根的性质 知识点算术平方根知1－讲感悟新知11.定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.规定：0的算术平方根是0.表示方法：a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数. 知1－讲感悟新知特别解读：(1)算术平方根具有双重非负性①被开方数a是非负数，即a≥0；②算术平方根是非负数，即≥0.(2)算术平方根是它本身的数只有0和1.特别提醒●求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方刚好是互逆的两个运算；●任何一个数的平方都是非负数，所以求算术平方根时，被开方数必须是非负数，算术平方根也一定是非负数. 知1－讲感悟新知2.性质：(1)正数的算术平方根是一个正数；(2)0的算术平方根是0；(3)负数没有算术平方根；(4)被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 感悟新知知1－练求下列各数的算术平方根.(1)64；(2)2；(3)0.36；(4)72；(5)(－5)2；(6)0；(7)；(8)7；(9)－16.例1解题秘方：先根据平方运算找出这个正数，然后根据算术平方根的定义求出算术平方根. 感悟新知知1－练解：(1)因为82=64，所以64的算术平方根是8，即=8；(2)因为，所以的算术平方根是，即(3)因为0.62=0.36，所以0.36的算术平方根是0.6，即=0.6； 感悟新知知1－练(4)因为72=72，所以72的算术平方根是7，即=7；(5)因为52=(－5)2，所以(－5)2的算术平方根是5，即=5；(6)0的算术平方根是0；(7)因为=9，9的算术平方根是3，所以的算术平方根是3；不要误认为是求81的算术平方根. 感悟新知知1－练(8)7的算术平方根是；(9)－16没有算术平方根.有的数开方开得尽，有的数开方开不尽，对于开方开不尽的数，算术平方根不能化简. 感悟新知知1－练1-1.下列说法正确的是()A.5是25的算术平方根B.±4是16的算术平方根C.－6是(－6)2的算术平方根D.0.01是0.1的算术平方根A 感悟新知知1－练1-2.求下列各数的算术平方根.(1)225；(2)52；(3)(－6)2；(4)解：∵152＝225，∴225的算术平方根是15.52的算术平方根是5.(－6)2＝36＝62，∴(－6)2的算术平方根是6. 感悟新知知1－练1-3.说出下列各式的意义，并求出它们的值. 感悟新知知1－练 感悟新知知1－练已知a的算术平方根是3，b的算术平方根是4，求a+b的算术平方根.解题秘方：根据算术平方根与被开方数的关系求出a，b的值，然后求a+b的算术平方根.例2 感悟新知知1－练解：因为a的算术平方根是3，所以a=32=9.因为b的算术平方根是4，所以b=42=16.所以a+b=9+16=25.因为52=25，所以25的算术平方根是5，即a+b的算术平方根是5. 感悟新知知1－练2-1.已知=5，=4，求的值. 知识点算术平方根的估算知2－讲感悟新知21.求一个正数(非平方数)的算术平方根的近似值，一般采用夹逼法.“夹”就是从两边确定取值范围；“逼”就是一点一点加强限制，使其所处范围越来越小，从而达到理想的精确程度. 知2－讲感悟新知2.大多数计算器都有键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值).按键顺序：先按键，再输入被开方数，最后按键.计算器上就会显示这个数的算术平方根(或其近似值). 知2－讲感悟新知特别解读●求一个正数(非平方数)的算术平方根的近似值，通常有三种方法：一是用计算器；二是查平方根表；三是估算.●计算器上显示的数值许多都是近似值. 感悟新知知2－练已知a，b为两个连续整数，且a<<b，则a+b=_______.解题秘方：找出与7接近的两个平方数，确定7的算术平方根的范围.5例3 感悟新知知2－练技巧点拨：确定的整数部分、小数部分的方法首先确定a的整数部分，根据算术平方根的定义，有m2<a<n2，其中m，n是连续的非负整数，则m<<n，的整数部分为m，然后进一步可得的小数部分为－m. 知2－讲感悟新知解：本题运用夹逼法来求整数a与b的值.因为a，b为连续整数，a<<b，而22<7<32，所以2<<3.所以a=2，b=3.所以a+b=5. 感悟新知知2－练3-1.[中考·天津]估计的值在()A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.6和7之间B 感悟新知知2－练3-2.[中考·泰州]下列判断正确的是()A.0<<1B.1<<2C.2<<3D.3<<4B 感悟新知知2－练比较下列各组数的大小：例4解题秘方：紧扣算术平方根的估算，通过估算比较两个数的大小. 知2－讲感悟新知 感悟新知知2－练4-1.比较下列各组数的大小. 感悟新知知2－练 感悟新知知2－练 感悟新知知2－练已知≈2.676，≈8.462，(1)≈________，≈________.(2)≈________，≈________.(3)若≈26.76，则整数a的值是__________.解题秘方：利用计算器求出各个算术平方根，对照被开方数和算术平方根寻找小数点移动的规律.0.2676例5267.60.0846284.62716 知2－讲感悟新知解：利用计算器探究发现：被开方数的小数点向左(或向右)移动两位，其算术平方根的小数点相应地向左(或向右)移动一位. 感悟新知知2－练5-1.用计算器求下列各式的值.(1)；(2)；(3)(精确到0.01). 感悟新知知2－练5-2.已知≈1.435，求下列各数的算术平方根：(1)0.0206；(2)206；(3)20600. 知识点平方根知3－讲感悟新知31.定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.表示方法：非负数a的平方根记为±，读作“正、负根号a”. 知3－讲感悟新知2.开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.特别提醒：，－，±(a≥0)的区别－±表示的意义a的算术平方根a的算术平方根的相反数a的平方根 知3－讲感悟新知特别解读平方与开平方是互逆运算，平方的结果叫做幂，而开平方的结果叫做平方根. 感悟新知知3－练求下列各数的平方根和算术平方根：(1)121；(2)2；(3)－(－4)3；(4).例6解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的数，然后根据平方根和算术平方根的定义确定. 感悟新知知3－练解：(1)因为(±11)2=121，所以121的平方根是±11，算术平方根是11.(2)，因为所以2的平方根是±，算术平方根是. 感悟新知知3－练(3)－(－4)3=64，因为(±8)2=64，所以－(－4)3的平方根是±8，算术平方根是8.(4)=7，因为(±)2=7，所以的平方根是±，算术平方根是. 感悟新知知3－练6-1.下列说法中，不正确的是()A.－11是121的一个平方根B.11是121的一个平方根C.121的平方根是11D.121的算术平方根是11C 感悟新知知3－练6-2.求下列各数的平方根：(1)1；(2)；(3)；(4)(－3)2.解：1的平方根是±1.(－3)2＝9，∵(±3)2＝9，∴(－3)2的平方根是±3. 知识点平方根的性质知4－讲感悟新知41.平方根的性质：(1)正数有两个平方根，它们互为相反数；(2)0的平方根是0；(3)负数没有平方根.2.平方根与算术平方根的区别与联系： 知4－讲感悟新知名称关系算术平方根平方根区别个数不同一个正数的算术平方根只有一个一个正数的平方根有两个，它们互为相反数表示方法不同非负数a的算术平方根表示为非负数a的平方根表示为±取值范围不同正数的算术平方根一定是正数正数的平方根是一正一负联系具有包含关系平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个(0除外)存在条件相同平方根和算术平方根都只有非负数才有，0的平方根与算术平方根都是0 知4－讲感悟新知拓展提醒●两个重要公式：1.()2=a(a≥0)；2.=|a|= 知4－讲感悟新知●比较()2与的关系：式子关系()2区别运算顺序先开方再求平方先求平方再开方a的取值范围a≥0全体数联系当a≥0时，()2= 感悟新知知4－练求下列各式的值：解题秘方：首先观察式子的结构特点，弄清式子所表示的意义.即要明确是求算术平方根还是求平方根，然后根据算术平方根或平方根的定义求解.例7 感悟新知知4－练(2)表示0.81的算术平方根，表示0.04的算术平方根.∵0.92=0.81，0.22=0.04，∴=0.9，=0.2.∴－=0.9－0.2=0.7. 感悟新知知4－练(3)表示412－402的算术平方根.∵412－402=81，92=81，∴==9被开方数412－402是一个整体，首先要将412－402化简，再去计算它的算术平方根. 感悟新知知4－练7-1.下列语句写成数学式子正确的是()A.9是81的算术平方根：±=9B.5是(－5)2的算术平方根：=5C.±6是36的平方根：=±6D.-2是4的负的平方根：=－2B 感悟新知知4－练7-2.求下列各式的值. 感悟新知知4－练 感悟新知知4－练求下列各式中x的值：(1)x2=361；(2)81x2－49=0；(3)(3x－1)2=(－5)2.解题秘方：若x2=a(a≥0)，则x=±.先把各题化为x2=a的形式，再求x的值.例8 感悟新知知4－练方法点拨利用平方根的定义解方程的一般步骤：1.移项，使含未知数的项在等号的一边，常数项在等号的另一边；2.系数化为1，将方程化为“x2=a”的形式；3.根据平方根的定义求出未知数x的值. 感悟新知知4－练解：(1)因为x2=361，所以x=±=±19.(2)整理81x2－49=0，得x2=，所以x=±=±.(3)因为(3x－1)2=(－5)2，所以3x－1=±5.当3x－1=5时，x=2；当3x－1=－5时，x=－.综上所述，x=2或x=－. 感悟新知知4－练8-1.求下列各式中x的值.(1)9x2－25=0； 感悟新知知4－练(2)4(x－2)2－9=0. 感悟新知知4－练(1)一个正数的平方根是2a－1和a－5，这个正数是多少？(2)已知2a－1与－a+2是m的平方根，求m的值.解题秘方：根据平方根的性质，找出两个平方根之间的关系列方程求值.例9 感悟新知知4－练解：(1)根据题意，得(2a－1)+(a－5)=0，解得a=2.∴这个正数为(2a－1)2=(2×2－1)2=9.(2)根据题意，分以下两种情况：当2a－1=－a+2时，a=1，∴m=(2a－1)2=(2×1－1)2=1；当(2a－1)+(－a+2)=0时，a=－1，∴m=(2a－1)2=［2×(－1)－1］2=(－3)2=9.故m的值为1或9. 感悟新知知4－练9-1.已知一个正数x的平方根是2a－3与5－a，求a的值及的算术平方根. 感悟新知知4－练9-2.已知2a－1的算术平方根是3，3a+b－1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+2b－c的平方根. 感悟新知知4－练 课堂小结平方根平方根正数有两个互为相反数的平方根0的平方根是0算术平方根性质负数没有平方根