人教版八年级数学上册（第十三章 轴对称）13.1 轴对称（学习、上课资料）

13.1轴对称第十三章轴对称13.1.1轴对称 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2轴对称图形轴对称成轴对称和轴对称图形的性质 知识点轴对称图形知1－讲1定义如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.特别解读轴对称图形的三个条件：1.一个整体图形.2.一条直线——对称轴.3.直线两旁的部分完全重合. 知1－讲温馨提示1.轴对称图形是一个图形自身的特性，它被对称轴分成的两部分能够互相重合，其对称点在同一图形上.2.对称轴是一条直线，而不是射线或线段.3.一个轴对称图形的对称轴可能有1条，也可能有多条，还可能有无数条. 知1－练例1如图13.1-1，下列交通标志中，是轴对称图形的有()A.1个B.2个C.3个D.4个解题秘方：根据轴对称图形的定义识别.A 知1－练方法点拨：判断轴对称图形的方法根据图形的特征，如果能找到一条直线，沿着这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，即可确定这个图形是轴对称图形，否则就不是轴对称图形. 知1－练1-1.[中考·湘西州]下列书写的4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是()C 知2－讲知识点轴对称21.定义把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 知2－讲特别解读●轴对称的三个条件：1.有两个图形；2.存在一条直线；3.一个图形沿着这条直线折叠后与另一个图形重合．●轴对称的两个特性：1.成轴对称的两个图形全等.但全等的两个图形不一定成轴对称.2.轴对称是图形的一种全等变换. 知2－讲2.轴对称与轴对称图形的区别与联系名称轴对称轴对称图形区别对象不同两个图形一个图形意义不同两个图形的特殊位置关系一个具有特殊形状的图形对称点位置不同对称点分别在两个图形上对称点在同一个图形上 知2－讲续表名称轴对称轴对称图形区别对称轴位置不同两个图形成轴对称，其对称轴可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边(点)轴对称图形的对称轴一定经过这个图形的内部对称轴数量不同只有一条对称轴有一条或多条对称轴 知2－讲续表名称轴对称轴对称图形联系(1)定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠(2)把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形.把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条对称轴对称 知2－练如图13.1-2的四组图形中，成轴对称的有()A.4组B.3组C.2组D.1组例2 知2－练答案：D解题秘方：根据轴对称的定义，沿着某条直线折叠，直线两旁的两个图形能完全重合，即成轴对称.解：根据轴对称的定义，可以判断只有④中的两个图形沿着某一条直线折叠后，两个图形能够重合，所以成轴对称的只有1组. 知2－练方法点拨：反面观察法从纸的反面观察图形，若观察到的和正面一样，就是成轴对称. 知2－练2-1.下列图形中，不成轴对称的是()C 知2－练2-2.小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图，则实际时间是()A.21：10B.10：21C.10：51D.12：01C 知3－讲知识点成轴对称和轴对称图形的性质31.成轴对称的性质如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，如图13.1-3所示.特别地：成轴对称的两个图形的对应线段所在直线平行或者重合或者相交于某一点，且该点一定在对称轴上. 知3－讲2.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.3.轴对称图形的性质轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，如图13.1-4所示. 知3－讲特别解读1.轴对称图形或成轴对称的两个图形的对应线段、对应角相等；2.轴对称图形被对称轴分成的两部分全等，并且这两部分关于对称轴成轴对称.成轴对称的两个图形也全等，但全等的两个图形不一定成轴对称. 知3－练如图13.1-5是轴对称图形，图中直线l是它的对称轴.请据此解决下列问题．例3解题秘方：紧扣轴对称图形的性质进行说明. 知3－练(1)∠3和∠4有什么关系？AB与A′B′呢？(2)DD′与直线l有什么关系？(3)写出图中其他相等关系．(不少于三对)解：∠3＝∠4，AB＝A′B′．直线l是DD′的垂直平分线.AD＝A′D′，∠1＝∠2，DC＝D′C′．(答案不唯一) 知3－练3-1.如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法中，不一定正确的是()A.AC＝A′C′B.AB∥B′C′C.AA′⊥MND.BO＝B′OB 知3－练如图13.1-6，∠A＝30°，∠C′＝60°，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B＝________.例490° 知3－练解题秘方：紧扣成轴对称的性质确定对应元素进行计算.解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠C′＝60°，∴∠C＝∠C′＝60°，在△ABC中，∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－30°－60°＝90°. 知3－练4-1.如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，则∠ACD的度数是________.65° 轴对称轴对称图形对称轴任何一对对应点所连线段的垂直平分线轴对称 13.1轴对称第十三章轴对称13.1.2线段的垂直平分线的性质 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2线段的垂直平分线的性质线段的垂直平分线的判定画对称轴 知识点线段的垂直平分线的性质知1－讲11.性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.条件：点在线段的垂直平分线上.结论：这个点到线段两端点的距离相等.2.几何语言如图13.1-14，∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AB＝AC.两点之间的距离 知1－讲特别解读用线段的垂直平分线的性质可直接证明线段相等，不必再用三角形全等来证明，因此它为证明线段相等提供了新方法. 知1－练例1如图13.1-15，在△ABC中，AB＝5cm，BC的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，△ACD的周长为8cm.求线段AC的长. 知1－练解题秘方：利用线段的垂直平分线的性质将要求的线段向已知条件转化.解：∵DE为BC的垂直平分线，∴CD＝BD.∴△ACD的周长＝AC＋AD＋CD＝AC＋AD＋BD＝AC＋AB＝8cm.∵AB＝5cm，∴AC＝3cm. 知1－练1-1.如图，AB所在直线是CD的垂直平分线，若AC＝2.3cm，BD＝1.6cm，则四边形ACBD的周长是()A.3.9cmB.7.8cmC.3.2cmD.4.6cmB 知2－讲知识点线段的垂直平分线的判定21.判定与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.条件：点到线段两个端点距离相等.结论：点在线段的垂直平分线上.2.几何语言如图13.1-16，∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上. 知2－讲3.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等. 知2－讲特别解读1.证明一个点在一条线段的垂直平分线上，思路有两种：一是作垂直，证平分.二是取中点，证垂直.2.证明线段的垂直平分线，必须证明两个点在垂直平分线上. 知2－练如图13.1-17，AD为∠BAC的平分线，交BC于点D，AE＝AF，请判断线段AD所在的直线是否为线段EF的垂直平分线，若是，请给予证明；若不是，请说明理由.例2 知2－练解题秘方：紧扣线段的垂直平分线的判定证明直线AD上的点A和点D到线段EF的两个端点的距离相等即可. 知2－练解：线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线.证明：如图13.1-17，连接DE，DF. 知2－练∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠FAD.在△AED和△AFD中，∴△AED≌△AFD(SAS).∴DE＝DF.∴点D在线段EF的垂直平分线上.∵AE＝AF，∴点A在线段EF的垂直平分线上.∴线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线.切忌只证明一个点在直线上，就说过该点的直线是线段的垂直平分线 知2－练2-1.如图，AB＝AD，BC＝DC，点E是AC上一点.求证： 知2－练(1)BE＝DE；证明：连接BD.∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上．又∵BC＝DC，∴点C在线段BD的垂直平分线上．∴AC所在的直线是线段BD的垂直平分线．∵点E是AC上一点，∴BE＝DE. 知2－练(2)∠ABE＝∠ADE.解：易知四边形ABCD是以直线AC为对称轴的轴对称图形，∴∠ABE＝∠ADE. 知2－练如图13.1-18，OE，OF所在直线分别是△ABC中AB，AC边的垂直平分线，∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，试判断OI与BC的位置关系，并给予证明.例3 知2－练解题秘方：根据“三角形三边的垂直平分线相交于一点，三个内角的平分线也相交于一点”这两条性质进行证明. 知2－练解：OI⊥BC.证明：如图13.1-18，延长OI交BC于点M.∵OE垂直平分AB，OF垂直平分AC，∴O点在BC的垂直平分线上(三角形三条垂直平分线相交于一点).∴OB＝OC. 知2－练又∵BI平分∠OBC，CI平分∠OCB，∴OI平分∠BOC，即∠BOI＝∠COI.在△BOM和△COM中，∴△BOM≌△COM(SAS).∴∠BMO＝∠CMO.∵∠BMO＋∠CMO＝180°，∴∠BMO＝∠CMO＝90°，即OI⊥BC. 知2－练3-1.如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，∠PAC＝20°，∠PCB＝30°. 知2－练(1)求∠PAB的度数；(2)直接写出∠APB与∠ACB的数量关系________________.∠APB＝2∠ACB 知3－讲知识点画对称轴31.画对称轴的依据画对称轴的依据是成轴对称和轴对称图形的性质，即对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.2.画对称轴的步骤(1)找：找到任意一对对应点.(2)连：连接这对对应点.(3)画：画出对应点所连线段的垂直平分线.这条垂直平分线就是对称轴. 知3－讲特别解读画轴对称图形的对称轴时，由于对称轴不一定只有一条，所以要注意选取不同的对应点，作出其所有的对称轴. 知3－练画出如图13.1-19的图形的对称轴.例4解题秘方：根据对称轴是轴对称图形中任意一对对应点所连线段的垂直平分线作对称轴. 知3－练解：作法：如图13.1-20.(1)连接BE；(2)作线段BE的垂直平分线l，则直线l即为所求作的对称轴. 知3－练方法点拨：作轴对称图形的对称轴的两种方法一是折叠法，将轴对称图形对折，折痕所在的直线为对称轴；二是先找到轴对称图形的一对对应点，再作连接这对对应点的线段的垂直平分线. 知3－练4-1.请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．(1)如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，画出四边形ABCD的对称轴m；解：如图①所示． 知3－练(2)如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n.解：如图②所示． 知3－练如图13.1-21，△ABC与△A′B′C′关于某条直线对称，请作出这条直线.解题秘方：根据对称轴是成轴对称的两个图形中任意一对对应点所连线段的垂直平分线作对称轴.例5 知3－练解：如图13.1-21所示.(1)连接BB′；(2)分别以点B和点B′为圆心，大于BB′的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点；(3)作直线DE，DE即为所求作的直线. 知3－练5-1.[中考·抚州]如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线l.略． 线段的垂直平分线的性质线段的垂直平分线尺规作图作对称轴性质判定