人教版八年级数学上册（第十四章 整式的乘法与因式分解）14.3 因式分解（学习、上课资料）

14.3因式分解第十四章整式的乘法与因式分解14.3.1提公因式法 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2因式分解公因式用提公因式法分解因式 知识点因式分解知1－讲11.定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 知1－讲2.整式乘法与因式分解的关系(1)整式乘法与因式分解是两种互逆的变形.即：多项式整式的积.(2)可以利用整式乘法检验因式分解的结果的正确性.因式分解整式乘法 知1－讲特别解读1.因式分解的对象是多项式，结果是整式的积.2.因式分解是恒等变形，形式改变但值不改变.3.因式分解必须分解到每个多项式的因式不能再分解为止. 知1－练例1下列变形中从左到右属于因式分解的有()①8xy3＝2xy·4y2；②x2＋1＝x；③(x＋5)(x－5)＝x2－25；④x2＋2x－3＝x(x＋2)－3；⑤x2y＋xy2＝xy(x＋y).A.4个B.3个C.2个D.1个 知1－练解题秘方：紧扣因式分解的定义进行识别.答案：D解：∵①中等号的左边不是多项式，∴①不是因式分解；∵②中不是整式，∴x2＋1＝x不是因式分解；③是整式的乘法，不是因式分解；∵④中等号右边不是积的形式，∴④不是因式分解；⑤符合因式分解的定义，是因式分解. 知1－练1-1.[中考·济宁]下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是()A.x2－x－1＝x(x－1)－1B.x2－1＝(x－1)2C.x2－x－6＝(x－3)(x＋2)D.x(x－1)＝x2－xC 知1－练[中考·毕节]下列因式分解正确的是()A.x3y－2x2y＋xy＝xy(x2－2x)B.x2－x＋＝C.x2－2x＋4＝(x－2)2D.4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)例2 知1－练解题秘方：根据因式分解与整式乘法之间的关系进行判断.答案：B解：利用整式的乘法法则将各选项中等式的右边展开，与等式的左边相比较，左右两边相同的只有选项B. 知1－练2-1.下列从左到右因式分解正确的是()A.x3＋x2＋x＝x(x2＋x)B.－5t3＋10t2－15t＝5t(t2＋2t－3)C.4p3－6p2＝2p(2p2－3p)＝2p3D.(x－y)2－(y－x)＝(y－x)(y－x－1)D 知1－练例3仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知把二次三项式x2－4x＋m分解因式后有一个因式是x＋3，求其另一个因式及m的值. 知1－练解：设另一个因式为x＋n，则x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，即x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n.∴解得∴另一个因式为x－7，m的值为－21. 知1－练解题秘方：利用因式分解与整式乘法是互逆变形，可以将因式分解的结果利用整式乘法算出多项式，并与已知多项式比较解决问题. 知1－练问题：(1)若二次三项式x2－5x＋6可分解为(x－2)(x＋a)，则a＝_________；(2)若二次三项式2x2＋bx－5可分解为(2x－1)(x＋5)，则b＝________；－39 知1－练(3)仿照以上方法解答下面的问题：已知把二次三项式2x2＋5x－k分解因式后有一个因式为2x－3，求其另一个因式及k的值. 知1－练解：设另一个因式为x＋q，则2x2＋5x－k＝(2x－3)(x＋q)，即2x2＋5x－k＝2x2＋(2q－3)x－3q，∴解得∴另一个因式为x＋4，k的值为12.展开后对应项的系数相等 知1－练3-1.[中考·滨州]把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)，则a，b的值分别是()A.a＝2，b＝3B.a＝－2，b＝－3C.a＝－2，b＝3D.a＝2，b＝－3B 知1－练3-2.若将多项式x2＋3x＋a分解为(x＋1)(x＋2)，则a的值为()A.2B.3C.－3D.－2A 知2－讲知识点公因式21.定义一个多项式中各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式. 知2－讲特别解读1.公因式必须是多项式中每一项都含有的因式.只在某个或某些项中含有而其他项中没有的因式不能成为公因式的一部分.2.公因式可以是数，也可以是单项式或多项式. 知2－讲2.公因式的确定(1)确定公因式的系数：若多项式中各项系数都是整数，则取各项系数的最大公因数；(2)确定字母及字母的指数：取各项都含有的相同字母作为公因式中的字母，各项相同字母的指数取其中次数最低的； 知2－讲(3)若多项式各项中含有相同的多项式因式(相反的多项式因式化为相同的因式)，则应将其看成一个整体，不要拆开，作为公因式中的因式. 知2－练指出下列多项式各项的公因式：(1)3a2y－3ay＋6y；(2)4xy3－8x3y2；(3)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3；(4)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b.例4解题秘方：紧扣公因式的定义求解. 知2－练解：(1)中各项的公因式为3y；(2)中各项的公因式为4xy2；(3)中各项的公因式为(x－y)2；(4)中各项的公因式为－9a2b. 知2－练4-1.多项式8a3b2＋12ab3c各项的公因式是()A.abcB.ab2C.4ab2D.4ab2cC 知2－练4-2.下列各组式子中没有公因式的是()A.4a2bc与8abc2B.a3b2＋1与a2b3－1C.b(a－2b)2与a(2b－a)2D.x＋1与x2－1B 知3－讲知识点用提公因式法分解因式31.定义一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.用字母表示为：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c). 知3－讲特别解读1.提公因式法实质上是逆用乘法的分配律.2.提公因式法就是把一个多项式分解成两个因式的积的形式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因式是多项式除以这个公因式所得的商. 知3－讲2.提公因式法的一般步骤(1)找出公因式，就是找出各项都含有的公共因式；(2)确定另一个因式，另一个因式即多项式除以公因式所得的商；(3)写成积的形式. 知3－练将下列各式分解因式：(1)6x3y2－8xy3z；(2)－4a3b2＋12a2b－4ab.例5解题秘方：紧扣提公因式法的步骤分解因式. 知3－练(1)6x3y2－8xy3z；(2)－4a3b2＋12a2b－4ab.解：6x3y2－8xy3z＝2xy2·3x2－2xy2·4yz＝2xy2(3x2－4yz)；－4a3b2＋12a2b－4ab＝－(4a3b2－12a2b＋4ab)＝－(4ab·a2b－4ab·3a＋4ab·1)＝－4ab(a2b－3a＋1). 知3－练解法提醒：1.当多项式首项系数是负数时，一般应先提出“－”号，但要注意，此时括号内各项都要改变符号.2.4ab与公因式相同，提取公因式后，此项为“1”，此时容易漏掉“1”这一项而导致错误． 知3－练5-1.下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是()A.x2－yB.x2－2xC.x2＋y2D.x2－xy＋y2B 知3－练5-2.分解因式：(1)4x2－2x；(2)－8x2y2－4x2y＋2xy.解：原式＝2x(2x－1)；原式＝－2xy(4xy＋2x－1)． 提公因式法因式分解提公因式法公因式概念互逆变形检验整式乘法 14.3因式分解第十四章整式的乘法与因式分解14.3.2公式法 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2用平方差公式分解因式用完全平方公式分解因式 知识点用平方差公式分解因式知1－讲11.平方差公式法两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：a2－b2＝(a＋b)(a－b). 知1－讲特别解读1.因式分解中的平方差公式是乘法公式中的平方差公式逆用的形式.2.乘法公式中的平方差公式指的是符合两数和与两数差的积的条件后，结果写成平方差；而因式分解中的平方差公式指的是能写成平方差形式的多项式，可以分解成两个数的和乘这两个数的差的形式. 知1－讲2.平方差公式的特点(1)等号的左边是一个二项式，各项都是平方的形式且符号相反；(2)等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是这两个数的和，另一个二项式是这两个数的差. 知1－讲3.运用平方差公式分解因式的步骤一判：判断是否为平方差，若负平方项在前面，利用加法的交换律把负平方项交换放在后面.二定：确定公式中的a和b，除a和b是单独一个数或字母外，其余都必须用括号括起来，表示一个整体.三套：套用平方差公式进行分解.四整理：将每个因式去括号，合并同类项化成最简的. 知1－练例1分解因式：(1)4x2－25y2；(2)(a＋2)2－1；(3)－＋x4；(4)16(a－b)2－25(a＋b)2.解题秘方：先确定平方差公式中的“a”和“b”，再运用平方差公式分解因式. (1)4x2－25y2；(2)(a＋2)2－1；(3)－＋x4；知1－练解：4x2－25y2＝(2x)2－(5y)2＝(2x＋5y)(2x－5y)；(a＋2)2－1＝(a＋2＋1)(a＋2－1)＝(a＋3)(a＋1)；－＋x4＝x4－＝＝； 知1－练解：16(a－b)2－25(a＋b)2＝[4(a－b)＋5(a＋b)][4(a－b)－5(a＋b)]＝(4a－4b＋5a＋5b)(4a－4b－5a－5b)＝(9a＋b)(－a－9b)＝－(9a＋b)(a＋9b).(4)16(a－b)2－25(a＋b)2. 知1－练1-1.分解因式：(1)a2b2－16；(2)100x2－9y2；解：原式＝(ab＋4)(ab－4)；原式＝(10x＋3y)(10x－3y)； 知1－练(3)a4－1；(4)49x2－(5x－2)2.解：原式＝(a2＋1)(a2－1)＝(a2＋1)(a＋1)·(a－1)；原式＝[7x＋(5x－2)][7x－(5x－2)]＝(12x－2)(2x＋2)＝4(6x－1)(x＋1)． 知2－讲知识点用完全平方公式分解因式21.完全平方式形如a2±2ab＋b2这样的式子叫做完全平方式.完全平方式的条件：(1)多项式是二次三项式；(2)首末两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这两个数(或式子)的积的2倍，符号可以是“＋”，也可以是“－”. 知2－讲2.完全平方公式两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2. 知2－讲特别解读1.因式分解中的完全平方公式是整式乘法中的完全平方公式的逆用.2.结果是和的平方还是差的平方由乘积项的符号确定，乘积项的符号可以是“＋”，也可以是“－”，而两个平方项的符号必须相同，否则就不是完全平方式，也就不能用完全平方公式进行因式分解.3.用完全平方公式分解因式时，若多项式各项有公因式，要先提取公因式，再用完全平方公式分解因式. 知2－讲3.因式分解的一般步骤(1)当多项式有公因式时，先提取公因式；当多项式没有公因式时(或提取公因式后)，若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式；(2)当不能直接提取公因式或不能用公式法分解因式时，可根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式；(3)当乘积中每一个因式都不能再分解时，因式分解就结束了. 知2－练已知9a2＋ka＋16是一个完全平方式，则k的值是__________.例2解题秘方：根据平方项确定乘积项，进而确定字母的值.解：：∵9a2＝(3a)2，16＝42，9a2＋ka＋16是一个完全平方式，∴ka＝±2×3a×4＝±24a.∴k＝±24.有和的完全平方式和差的完全平方式两种形式±24 知2－练2-1.已知a2＋ma＋是一个完全平方式，则m的值等于()A.－B.3C.D.±D 知2－练分解因式：(1)x2－14x＋49；(2)－6ab－9a2－b2；(3)a2－ab＋b2；(4)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.解题秘方：先确定完全平方公式中的“a”和“b”，再运用完全平方公式分解因式.例3 (1)x2－14x＋49；(2)－6ab－9a2－b2；知2－练解：x2－14x＋49＝x2－2·x·7＋72＝(x－7)2；－6ab－9a2－b2＝－(9a2＋6ab＋b2)＝－[(3a)2＋2·3a·b＋b2]＝－(3a＋b)2； (x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81＝(x2＋6x)2＋2·(x2＋6x)·9＋92＝(x2＋6x＋9)2＝(x＋3)4.(3)a2－ab＋b2；(4)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.知2－练完全平方公式可以连续使用，因式分解的结果要彻底.解：a2－ab＋b2＝－2·a·b＋b2＝； 知2－练3-1.因式分解4x2＋4x＋1，结果正确的是()A.4x(x＋1)＋1B.(4x＋1)2C.(2x＋1)2D.(2x－1)2C 知2－练3-2.分解因式：(1)4x2＋y2－4xy；(2)9－12a＋4a2；(3)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.解：原式＝4x2－4xy＋y2＝(2x－y)2；原式＝4a2－12a＋9＝(2a－3)2；原式＝[(m＋n)－3]2＝(m＋n－3)2. 知2－练分解因式：(1)－3a3b＋48ab3；(2)x4－8x2＋16；(3)25x2(a－b)＋36y2(b－a).解题秘方：先观察是否有公因式，若有，先提取公因式，然后通过观察项数确定能用哪个公式分解因式.例4 知2－练(1)－3a3b＋48ab3；(2)x4－8x2＋16；解：－3a3b＋48ab3＝－3ab(a2－16b2)＝－3ab(a＋4b)(a－4b)；x4－8x2＋16＝[(x＋2)(x－2)]2＝(x＋2)2(x－2)2； 知2－练(3)25x2(a－b)＋36y2(b－a).解：25x2(a－b)＋36y2(b－a)＝25x2(a－b)－36y2(a－b)＝(a－b)(25x2－36y2)＝(a－b)(5x＋6y)(5x－6y). 知2－练方法点拨：“一提、二套、三查”是分解因式的步骤即有公因式的先提取公因式，然后套用公式，若多项式是两项，则考虑用平方差公式，若多项式是三项，则考虑用完全平方公式，最后检查乘积中每一个多项式的因式是否分解彻底. 知2－练4-1.[中考·聊城]把8a3－8a2＋2a进行因式分解，结果正确的是()A.2a(4a2－4a＋1)B.8a2(a－1)C.2a(2a－1)2D.2a(2a＋1)2C 知2－练4-2.分解因式：(1)[中考·绵阳]m2n＋2mn2＋n3＝_________；(2)2x3y－8x2y＋8xy＝___________.n(m＋n)22xy(x－2)2 知2－练4-3.分解因式：(1)2x3－2x2y＋xy2；(2)－a3＋4a2b－4ab2.原式＝－a(a－2b)2. 公式法用公式法分解因式利用平方差公式分解因式利用完全平方公式分解因式公式a2－b2＝(a－b)(a＋b)公式a2±2ab＋b2＝(a±b)2