人教版九年级数学下册（第二十六章 反比例函数）26.1 反比例函数（学习、上课课件）

26.1反比例函数第二十六章反比例函数第1课时反比例函数 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2反比例函数的定义反比例关系与反比例函数的关系求反比例函数解析式 知1－讲感悟新知知识点反比例函数的定义11.定义：一般地，形如y=(k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数. 感悟新知知1－讲特别提醒在y=中无论变量x，y怎样变化，k的值始终等于x与y的乘积.若k=0，则y==0恒成立，失去了x，y成反比例的意义.所以k≠0. 感悟新知2.反比例函数的三种形式①y=；②y=kx－1；③xy=k.(其中k为常数，k≠0)特别提醒：形如y=+1，(x+1)y=3，y=(x+1)－1等的函数都不是反比例函数.知1－讲 知1－练感悟新知有下列函数：①y=x－1；②y=；③xy=8；④y=+1；⑤y=；⑥y=；⑦y=－；⑧y=(a≠2，且a为常数).其中，y是x的反比例函数的有___________.(填写序号)例1 知1－练感悟新知解题秘方：紧扣反比例函数的定义及其三种形式进行识别. 知1－练感悟新知解：①②③⑦符合反比例函数的定义，是反比例函数三种形式的体现；④⑤不符合反比例函数的定义；⑥是正比例函数；⑧中，因为a≠2，且a为常数，所以a－2是不等于0的常数，所以该函数是反比例函数.答案：①②③⑦⑧ 知1－练感悟新知1-1.下列函数中，y是x的反比例函数的是()A.y=3xB.3xy=1C.y=1+D.y=B 知1－练感悟新知1-2.反比例函数y=－中常数k为()A.－3B.2C.－D.－D 感悟新知知2－讲知识点反比例关系与反比例函数的关系21.如果xy=k(k为常数，k≠0)，那么x与y这两个量成反比例关系，这里的x和y既可以代表单项式，也可以代表多项式. 知2－讲感悟新知示例解读若y+2与x－5成反比例，则y+2=kx－5(k为常数，k≠0)；若y与2x成反比例，则y=(k为常数，k≠0). 感悟新知知2－讲2.成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量必成反比例关系.3.反比例函数中有自变量和函数的区分，而反比例关系中的两个变量没有这种区分. 感悟新知知2－练已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，并且当x=2时，y=－4；当x=－1时，y=5，求y关于x的函数解析式.例2解题秘方：紧扣“比例关系”解答. 知2－练感悟新知解：∵y1与x成正比例，∴设y1=k1x(k1≠0).∵y2与x成反比例，∴设y2=(k2≠0).∴y=k1x+.把x=2，y=－4和x=－1，y=5分别代入，得解得∴y=－x－. 知2－练感悟新知2-1.已知y=y1－y2，y1与x成反比例，y2与x－2成正比例，并且当x=3时，y=5；当x=1时，y=－1.(1)求y关于x的函数解析式. 知2－练感悟新知 知2－练感悟新知(2)当x=－1时，求y的值. 感悟新知知3－讲知识点求反比例函数解析式31.确定反比例函数解析式的方法是待定系数法，由于在反比例函数y=(k≠0)中只有一个待定系数，因此只需要一对x，y的对应值或图象上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式. 知3－讲感悟新知特别解读●用待定系数法求反比例函数的解析式的实质是代入一对对应值，解一元一次方程.●当题目中已经明确“y是x的反比例函数”或“y与x成反比例关系”时，可直接设函数的解析式为y=(k为常数，k≠0). 感悟新知知3－讲2.用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 知3－练感悟新知已知y是x的反比例函数，当x=3时，y=6.(1)写出y关于x的函数解析式；例3解题秘方：紧扣反比例函数表达式的定义用待定系数法求解. 知3－练感悟新知解：由题意，设反比例函数解析式为y=(k≠0)，把x=3，y=6代入y=，得6=，则k=3×6=18，所以y关于x的函数解析式为y=. 知3－练感悟新知(2)当x=－2时，求y的值；解：把x=－2代入y=，得y==－9.(3)若y=4.5，求x的值.把y=4.5代入y=，得4.5=，解得x=4. 知3－练感悟新知3-1.反比例函数y=的图象经过点P(3，－4)，则这个反比例函数的解析式为()A.y=B.y=C.y=D.y=－B 知3－练感悟新知3-2.[中考·云南]若点A(1，3)是反比例函数y=(k≠0)图象上一点，则常数k的值为()A.3B.－3C.D.－A 感悟新知知3－练(1)某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园空地上铺设一块面积为100m2的矩形冰场，其相邻两边长为xm，ym，试写出y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；例4 知3－练感悟新知解题秘方：根据矩形的面积公式写出函数解析式；解：y=(x＞0). 感悟新知知3－练(2)小玲家购买了600元的天然气，写出这些天然气能够使用的天数t与小玲家平均每天使用天然气的费用m(元)之间的函数解析式及自变量的取值范围. 知3－练感悟新知解题秘方：根据“可使用的天数=”写出函数解析式.解：t=(m＞0). 知3－练感悟新知4-1.面积一定的梯形，其上底长是下底长的，设上底长为xcm，高为ycm，且当x=5时，y=6.(1)求y关于x的函数解析式； 知3－练感悟新知解：∵梯形的上底长为xcm，上底长是下底长的，∴下底长为3xcm.∵当x=5时，y=6，∴当梯形的上底长为5cm时，下底长为15cm，高为6cm.∴梯形的面积为×(5+15)×6=60(cm2).∵梯形的面积一定，高为ycm，∴y==.∴y关于x的函数解析式为y=. 知3－练感悟新知(2)当y=4时，求下底长.解：当y=4时，x=7.5，∴3x=22.5.∴下底长为22.5cm. 反比例函数求反比例函数的解析式反比例关系与反比例函数反比例函数定义表达形式 26.1反比例函数第二十六章反比例函数第2课时反比例函数的图象和性质 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2反比例函数的图象反比例函数的性质反比例函数y=(k≠0)中k的几何性质 知1－讲感悟新知知识点反比例函数的图象11.图象的画法(描点法)(1)列表：选取自变量的一些值，在原点的两边取三对或三对以上互为相反数的值．(2)描点：根据表中提供的数据，即点的坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点．(3)连线：用平滑的曲线顺次把这些点连接起来并延伸. 感悟新知知1－讲特别提醒●由于反比例函数图象的两个分支关于原点对称，所以只要画出它在一个象限内的分支，就可以对称地画出另一个分支.●画实际问题中的反比例函数的图象时，要考虑自变量取值范围的限制，一般地，实际问题的图象是反比例函数图象在第一象限内的一支或其中一部分. 感悟新知2.图象的特点：(1)反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象是双曲线.(2)反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限．知1－讲 感悟新知(3)双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交.(4)双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点)，又是轴对称图形(对称轴是直线y=x和直线y=－x).如图26.1-3.知1－讲 知1－练感悟新知在同一平面直角坐标系中画出反比例函数y=5x和y=－5x的图象.例1 知1－练感悟新知解：列表.解题秘方：紧扣画图象的步骤“一列、二描、三连”作图.x…-5-4-3-2-112345…y=…-1----551…y=-…15-5----1… 知1－练感悟新知描点、连线得到如图26.1-4所示的图象. 知1－练感悟新知1-1.某商城推出免利息分期付款购买电脑的活动，在活动期间王先生要购买一款标价为7999元的电脑，前期付款1999元，后期每个月付相同的金额，设后期每个月付款金额为y(千元)，付款月数x(x为正整数)，选取5组数对(x，y)，在坐标系中进行描点，则正确的是() 知1－练感悟新知答案：D 感悟新知知2－讲知识点反比例函数的性质2反比例函数的性质主要研究它的图象的位置和函数值的增减情况，如下表所示. 知2－讲感悟新知特别提醒在描述反比例函数的增减性时，必须指明“在每一个象限内”.因为当k＞0(k＜0)时，整个函数不是y随x的增大而减小(增大)，而是在每一个象限内，y随x的增大而减小(增大)，所以笼统地说“对于函数y=，y随x的增大而减小”是错误的. 感悟新知知2－讲反比例函数y=(k≠0)k的符号k＞0k＜0图象图象位置第一、第三象限第二、第四象限增减性在每一个象限内，y随x的增大而减小在每一个象限内，y随x的增大而增大 感悟新知知2－练已知反比例函数y=(m≠0)的图象过点(－3，－12)，且反比例函数y=的图象位于第二、第四象限.(1)求m的值；例2 知2－练感悟新知解题秘方：紧扣“k的符号、双曲线的位置、函数的增减性三者相互依存，知一推二”这一规律解题.解：把点(－3，－12)的坐标代入y=中，得m2=36，∴m=±6.∵反比例函数y=的图象位于第二、第四象限，∴m＜0.∴m=－6. 感悟新知知2－练(2)对于y=，当x＞2时，求y的取值范围.解：由m=－6知反比例函数y=的解析式为y=－.∴当x=2时，y=－3.∵在第四象限内，y随x的增大而增大，∴当x＞2时，－3<y<0. 知2－练感悟新知2-1.[中考·成都]在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y=的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是__________．k＜2 知2－练感悟新知2-2.[中考·天门]在反比例函数y=的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则k的取值范围是()A.k＜0B.k＞0C.k＜4D.k＞4C 感悟新知知3－讲知识点反比例函数y=(k≠0)中k的几何性质31.矩形的面积：如图26.1-5，过双曲线y=上任意一点P(x，y)分别作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|. 感悟新知知3－讲因为y=，所以xy=k，所以S=|k|，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|. 感悟新知知3－讲2.三角形的面积：如图26.1-5，过双曲线y=上任意一点E作EF垂直于y轴，垂足为F，连接EO，则S△EOF=，即过双曲线上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积为. 知3－讲感悟新知特别提醒●在利用反比例函数y=(k≠0)中k的几何性质确定k的值时，不仅要注意矩形或三角形面积的大小，还要注意函数图象的位置.●因为y=(k≠0)中k有正、负之分，所以在利用k求矩形或三角形面积时，都要加上绝对值符号. 知3－练感悟新知[中考·齐齐哈尔]如图26.1-6所示，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C，D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为3，则这个反比例函数的解析式为_________.例3y=－ 知3－练感悟新知解题秘方：紧扣“k的几何性质”，用“等面积法”将四边形的面积转化为符合k的几何性质的矩形面积来求解. 知3－练感悟新知解：设这个反比例函数的解析式为y=(k≠0)，过点A向x轴作垂线，垂足为E，如图26.1-6所示.易知四边形ABCD为平行四边形，根据反比例函数中k的几何性质，可得|k|=S矩形AEOB=S四边形ABCD=3.∵函数图象有一支在第二象限，∴k=－3，即反比例函数的解析式为y=－. 知3－练感悟新知3-1.[中考•锦州]如图，在矩形OABC中，A(1，0)，C(0，2)，双曲线y=(0<k<2)分别交AB，CB于点E，F，连接OE，OF，EF，S△OEF=2S△BEF，则k的值为()A.B.1C.D.A 感悟新知知3－练[中考·永州]如图26.1-7，两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为_______.例4 知3－练感悟新知答案：1解题秘方：紧扣“k的几何性质”，用“作差法”将阴影部分的面积转化为符合k的几何性质的三角形面积的差来求解.解：根据反比例函数中比例系数k的几何性质，可得SRt△POA=×4=2，SRt△BOA=×2=1.所以S△POB=SRt△POA－SRt△BOA=2－1=1. 知3－练感悟新知4-1.如图，点A是反比例函数y=6x(x＞0)的图象上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，AC交反比例函数y=2x的图象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为()A.2B.4C.6D.8A 反比例函数的图象和性质两个变量的变化规律反比例函数的图象和性质正负性决定图象的位置绝对值决定几何图形的面积关键