福建省福州市2022-2023学年高一上学期期末质量检测数学试题

2022－2023学年第一学期福州市高一期末质量抽测数学试卷（完卷吋间：120分钟；满分：150分）注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自已的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.或【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合A，再利用交集的定义求解作答.【详解】解不等式，得或，则或，而，所以.故选：B2.已知命题，，则命题的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】“任一个都成立”的否定为“存在一个不成立”.【详解】“任一个都成立”的否定为“存在一个不成立”. 故命题的否定为：，.故选：B.3.在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用三角函数定义直接计算作答.【详解】依题意，，所以.故选：A4.若函数是奇函数，则可取的一个值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】的图象左右平移仍为奇函数，即可求得.【详解】的图象左右平移仍为奇函数，则.故选：A.5.函数的图象大致为（）A.B. C.D.【答案】B【解析】【分析】由可排除C，D，当时，可排除A，即可得正确答案.【详解】由可排除C，D；当时，，排除A.故选：B.6.已知函数，若，则的值为（）A.B.0C.1D.2【答案】D【解析】【分析】根据题意，由求解对数方程，即可得到结果.【详解】由题意可得，当时，，且，则，解得故选:D7.设函数在的图象大致如下图所示，则函数图象的对称中心为（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】化简，由题意可得，由图可得：，解不等式即可求出，令，即可求出图象的对称中心.【详解】，因为的图象过点，所以，解得：，因为由图可得：，所以，，令，解得：，则函数图象的对称中心为.故选：C.8.设，，，则（）A.B. C.D.【答案】D【解析】【分析】利用对数的换底公式，得到，化简，得到，再由对数函数的单调性，求得且，即可求解.【详解】因，则，所以，又因为，所以，又由，所以，所以.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，毎小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知集合，是全集的两个子集，，则（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据集合的包含关系，借助韦恩图对各选项进行判断.【详解】由，根据子集的定义，如图， 对于A，，所以A正确；对于B，，所以B不正确；对于C，由韦恩图知，，所以C正确；对于D，由韦恩图知，，所以D不正确；故选：AC.10若，，则（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】由与的关系，结合角的范围，可求得，即可逐个判断.【详解】，∵，则，∴.对C，，C对；对A，，，A对；对B，，B错；对D，，D对.故选：ACD.11.若是关于不等式成立的必要条件，则的值可以是（）A.1B.0C.D.【答案】BC【解析】【分析】首先求出这两个不等式的解集A、B，根据题意可得，即可求出的取值范围.【详解】因为，解得：，设， 设不等式的解集为，因为是关于的不等式成立的必要条件，所以，因为，则，当即，，满足题意；当即，则，所以，所以符合题意；当即，则，所以，因为，所以，解得：，所以.综上所述，的取值范围为：.故选：BC.12.在一个面积为4的直角三角形的内部作一个正方形，其中正方形的两个顶点落在斜边上，另外两个顶点分别落在，上，则（）A.的最小值为B.边上的高的最大值为2C.正方形面积的最大值为2D.周长的最小值为【答案】BD【解析】【分析】根据给定条件，可得，利用勾股定理、均值不等式求解判断ABD；建立角A的正余弦及正方形边长的关系，再结合函数的单调性求解判断C作答.【详解】在中，，，即有，对于A，，当且仅当时取等号，A错误；对于B，斜边边上的高，当且仅当，即时取等号，B正确；对于D，的周长，当且仅当时取等号，D正确；对于C，如图，正方形是符合题意的的内接正方形，令， 则，，，于是，令，则在上单调递减，，，因为，则，即有，，因此函数在上单调递减，则当，即时，，正方形的面积取得最大值，C错误.故选：BD【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.第Ⅱ卷三、填空题：本大题井4小题，每小题5分，共20分.13.______.【答案】9【解析】【分析】由指数运算性质化简求值.【详解】.故答案为：9. 14.若点与点关于轴对称，写出一个符合题意的______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据给定条件，利用诱导公式列式，即可求解作答.【详解】因为点与点关于轴对称，则，因此，解得，取.故答案为：15.中国折扇有着深厚的文化底蕴，这类折扇上的扇环部分的作品构思奇巧，显出清新雅致的特点.已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为，内弧线的长为，连接外弧与内弧的两端的线段的长均为，则该扇环的面积为______.【答案】【解析】【分析】设该扇形內弧半径为，根据弧长公式可得，进一步求出外弧半径，最后利用扇形的面积计算公式即可求解.【详解】设该扇形內弧半径为，由弧长公式和已知可得：，解得：，则外弧半径为，所以该扇环的面积为，故答案为：.16.记表示，中较大的数.若关于的方程的所有实数根的绝对值之和为6，则的值为______. 【答案】3【解析】【分析】由题意可将原方程化为，讨论和，可得所有实数根的绝对值之和为6，即，即可求出的值.【详解】由于，所以原方程化为，即，当时，依题意可知，方程有根，设其两根分别为，则，所以方程有两正根，且，当时，同理可得，方程有两负根，且，所以，所以，解得：，检验符合.故答案为：3.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数，且.（1）求的解析式；（2）求在区间上的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用待定系数法求解作答.（2）利用二次函数的单调性，求出函数在给定区间上的最值作答.【小问1详解】函数，且，则，解得，有，所以的解析式是. 【小问2详解】由（1）知，，函数在上单调递减，在上单调递增，因此，而，则，所以在区间上的取值范围是.18.已知.（1）求的值；（2）若为钝角，且，求的值.【答案】（1）；（2）7.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式化简，再利用齐次式计算作答.（2）利用同角公式求出，再利用差角的正切公式求解作答.【小问1详解】因为，所以.【小问2详解】因为为钝角，，则，，所以.19.设，为偶函数.（1）求的值； （2）判断在区间上的单调性，并给予证明.【答案】（1）（2）单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义得出，即可列式解出；（2）根据函数单调性定义证明，任取、，当时，得出，即可证明.【小问1详解】为偶函数，，即，即，对任意恒成立，所以；所以.【小问2详解】在区间上单调递增．理由如下：任取、，当时，．由于，所以，，所以，故，所以在区间上单调递增．20.在①函数的一个零点为0；②函数图象上相邻两条对称轴的距离为；③函数图象的一个最低点的坐标为，这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并给出问题的解答.问题：已知函数，满足______. （1）求的解析式，并求的单调递增区间；（2）求使成立的的取值集合.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）选①②，由①可求出，由②可求出，即可求出的解析式；令，解不等式即可求出的单调递增区间；选①③，由①可求出，由③可求出，即可求出的解析式，下同选①②；选②③，由②可求出，由③可求出，即可求出的解析式，下同选①②；（2）因，所以，解不等式即可求出答案.【小问1详解】选①②，因为函数的一个零点为0，所以，所以，所以，又因为，所以，因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以，又因为，所以，解得：，所以函数的解析式为，令，解得：，所以函数的单调递增区间为：. 选①③，因为函数的一个零点为0，所以，所以，所以，又因为，所以，因为函数图象的一个最低点的坐标为，所以，所以，所以，解得：，又因为，解得：，所以函数的解析式为，下同选①②.选②③，因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以，又因为，所以，解得：，因为函数图象的一个最低点的坐标为，所以，所以，所以，解得：，又因为，所以，所以函数的解析式为，下同选①②.【小问2详解】由（1）知，，因为，所以，所以， 所以，解得：，所以使成立的的取值集合为：21.人类已进入大数据时代.目前，数据量已经从级别跃升到乃至EB乃至级别.国际数据公司(IDC)的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示：年份2008200920102011…2020数据量（ZB）0.50.81.21.5…80（1）设2008年为第一年，为较好地描述2008年起第年全球产生的数据量（单位：ZB）与的关系，根据上述信息，从函数和中选择一个，应选择哪一个更合适?（不用说明理由）（2）根据（1）中所选的函数模型，若选取2008年和2020年的数据量来估计该模型中的参数，预计到哪一年，全球产生的数据量将达到2020年的倍?（注：）【答案】（1）选择（2）2025【解析】【分析】（1）描点，根据图象选择；（2）由待定系数法求得参数，列指数不等式结合对数运算求解.【小问1详解】由题意得x1234…13y0.50.81.21.5…80画出散点图如下： 由图易得，5个点在一条曲线上，应选择【小问2详解】由题意得，，则则，即年.预计到2025年，全球产生的数据量将达到2020年的倍.22.已知函数，.（1）求；（2）如图所示，小杜同学画出了在区间上的图象，试通过图象变换，在图中画出在区间上的示意图；（3）证明：函数有且只有一个零点.【答案】（1） （2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）求出，即可得出的值；（2）由（1）知，函数的图象关于点对称，则函数在区间的图象由对称性即可得出；（3），设函数，分别讨论，和时，的单调性，即可求出的单调性和值域，结合零点存在性定理即可证明.【小问1详解】因为，所以，所以.【小问2详解】由（1）知，函数的图象关于点对称，则函数在区间的图象如下图所示，【小问3详解】因为，所以，设函数， ①当时，因为函数在单调递减，所以，因为函数在单调递增，所以，所以，所以函数在区间没有零点.②当时，因为函数在单调递增，函数在单调递增，所以在单调递增，又，，根据零点存在性定理，存在唯一，使得.③当时，函数在单调递增，所以，，所以，所以函数在区间没有零点.综上，函数有且只有一个零点.