7.3 复数的三角表示（5大题型）（原卷版）

7.3复数的三角表示学习目标1、通过复数的几何意义，了解复数的三角表示；2、了解复数的代数表示与三角表示之间的关系；3、了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义；4、发展数学抽象和数学运算的核心素养。常考题型知识梳理一、复数的辅角1、辅角的定义：设复数z=a+bi的对应向量为OZ，以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在的射线（射线OZ）为终边的角θ，叫做复数z的辅角.2、辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.规定：其中在0≤θ<2π范围内的辅角θ的值为辅角的主值，通常记作argz【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的。二、复数的三角形式定义：任何一个复数都可以表示成z=r(cosθ+isinθ)的形式，其中r是复数的模，θ是复数的辅角. 【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连。二、复数的代数式与三角式互化1、将复数z=a+bi(a,b∈R)化为三角形式z=r(cosθ+isinθ)时，要注意以下两点：（1）r=a2+b2，（2）cosθ=ar，sinθ=br，其中θ终边所在象限与点(a,b)所在象限相同，当a=0，b>0时，argz=π22、每一个不等于零的复数有唯依的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等。三、复数乘法运算的三角表示及其几何意义1、复数乘法运算的三角表示：已知z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则z1z1=r1r2[cosθ1+θ2+isinθ1+θ2]这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和。2、复数乘法运算的几何意义：两个复数z1，z2相乘时，分别画出与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕O点按逆时针方向旋转θ2（如果θ2<0，就要把OZ1绕点O按顺时针方向旋转角θ2），再把它的模变成原来的r2倍，得到向量OZ，OZ表示的复数就是积z1z2，这就是复数乘法的几何意义。3、复数乘法运算三角表示推广：z1z2…zn=r1cosθ1+isinθ1∙r2cosθ2+isinθ2∙…∙rncosθn+isinθn=r1r2…rn[cos⁡(θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)]特别的，当z1=z2=…=zn=r(cosθ+isinθ)时，r(cosθ+isinθ)n=rn(cosnθ+isinnθ)四、复数除法运算的三角表示及其几何意义1、复数除法运算的三角表示：已知z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)则z1z2=r1(cosθ1+isinθ1)r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2cosθ1−θ2+isinθ1−θ2这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差. 2、两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕O点按顺时针方向旋转θ2（如果θ2<0，就要把OZ1绕点O按逆时针方向旋转角θ2），再把它的模变成原来的1r2倍，得到向量OZ，OZ表示的复数就是商z1z2，这就是复数除法的几何意义。题型一复数的代数式与三角式互化【例1】（22-23高一·全国·课时练习）以下不满足复数的三角形式的是（）A．B．C．D．【变式1-1】（22-23高一·全国·课时练习）的三角形式是．【变式1-2】（22-23高一·全国·课时练习）把下列复数化为三角形式．（1）5（2）（3）（4）．【变式1-3】（22-23高一·全国·课时练习）把下列复数表示成三角形式．（1）（2）（3）（4）题型二求复数的辅角主值【例2】（22-23高一下·福建厦门·期中）已知复数，则（）A．B．C．D．【变式2-1】（22-23高一·全国·课时练习）复数（i为虚数单位）的辐角主值为．【变式2-2】（22-23高一·全国·课时练习）的辐角主值为（）． A．B．C．D．【变式2-3】（22-23高一·全国·课时练习）已知的辐角主值是，则它的共轭复数的辐角主值是．题型三三角形式下复数的乘法运算【例3】（2023高一下·全国·专题练习）计算：（1）；（2）.【变式3-1】（22-23高一·全国·课时练习）设复数，求证：（1），，1都是1的立方根；（2）．【变式3-2】（22-23高二上·广东惠州·阶段练习）法国数学家棣莫弗（1667—1754）发现的公式推动了复数领域的研究.根据该公式，可得（）A．B．1C．D．【变式3-3】（22-23高一下·上海杨浦·期末）若是纯虚数（其中是虚数单位），则正整数的最小值为. 题型四三角形式下复数的除法运算【例4】（2022高一·全国·专题练习）计算：．(用代数形式表示)【变式4-1】（2023高一下·全国·专题练习）计算：．【变式4-2】（22-23高一·全国·课时练习）设，则复数的辐角主值为（）A．B．C．D．【变式4-3】（22-23高一·全国·课时练习）计算，并用复数的代数形式表示计算结果：．【变式4-4】（22-23高一·全国·课时练习）计算：（1）；（2）；（3）．题型五复数乘、除运算的几何意义【例5】（22-23高一·全国·课时练习）将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是（）A．＋iB．－＋IC．－－iD．－i 【变式5-1】（22-23高一下·上海浦东新·期末）将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是.【变式5-2】（22-23高一下·河南信阳·阶段练习）把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式和它的辐角主值分别是（）A．，B．C．D．【变式5-3】（22-23高一下·湖北黄冈·阶段练习）在复平面内，点A对应的复数是，向量绕着点O按逆时针方向旋转120°得到向量.（1）求点C对应的复数；（2）已知点B对应的复数z满足，且，求复数z.