第8章：向量的数量积与三角恒等变换章末重点题型复习（14题型）（原卷版）

第8章：向量的数量积与三角恒等变换【题型一：平面向量数量积的计算】 例1．（23-24高一下·河北沧州·月考）已知，则等于（）A．10B．C．3D．变式1-1．（23-24高一下·重庆渝中·月考）如图：在平行四边形中，为对角线与的交点，为直线与的交点，为直线与的交点，若，，且，则．变式1-2．（23-24高一下·重庆万州·月考）下面给出的关系式中，正确的是（）A．B．C．D．变式1-3．（23-24高一下·湖南衡阳·开学考试）如图，是等边三角形，边长为是平面上任意一点．则的最小值为．变式1-4．（23-24高一下·湖南·开学考试）（多选）如图，在中，为线段的中点，为线段的中点，为线段上的动点，下列结论正确的是（） A．若为线段的中点，则B．的最大值为C．的最小值为0D．的最小值为4【题型二：平面向量的投影问题】例2．（23-24高一下·广东深圳·月考）设为单位向量，，当的夹角为时，在上的投影向量为（）A．B．C．D．变式2-1．（23-24高一下·安徽芜湖·月考）已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（）A．B．C．D．变式2-2．（23-24高三下·上海闵行·月考）已知向量，则在方向上的投影向量为.变式2-3．（23-24高一下·山东烟台·月考）已知，，且，则在上的投影向量为变式2-4．（23-24高一下·山西临汾·月考）（多选）已知，与同向的单位向量为，与同向的单位向量为，下列有关投影向量叙述正确的是（） A．在方向上的投影向量为B．在方向上的投影向量为C．在方向上的投影向量为D．在方向上的投影向量为【题型三：平面向量的夹角问题】例3．（23-24高一下·江苏无锡·月考）已知，向量在上的投影向量为，则向量与的夹角为．变式3-1．（23-24高三上·辽宁·期中）已知向量，，，则（）A．B．C．D．变式3-2．（23-24高一下·重庆·月考）设是两个单位向量，且，那么它们的夹角等于（）A．B．C．D．变式3-3．（22-23高一下·山东临沂·月考）若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．变式3-4．（22-23高三上·江苏南通·月考）已知且与的夹角为锐角，则的取值范围是.【题型四：平面向量的模长问题】 例4．（23-24高一下·浙江·月考）已知向量与的夹角为，，，则．变式4-1．（23-24高三·全国·练习）已知向量满足，，则．变式4-2．（23-24高一下·河北廊坊·月考）已知平面向量的夹角为，且，在中，，D为BC的中点，则等于（）A．2B．4C．6D．8变式4-3．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知|，，若，则.变式4-4．（22-23高一下·重庆·月考）已知向量满足，，则的取值范围是.【题型五：平面向量垂直问题】例5．（23-24高一下·云南红河·开学考试）（多选）已知向量，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．变式5-1．（23-24高一下·浙江·月考）已知向量，，，若，则（）A．B．C．6D． 变式5-2．（23-24高三上·浙江金华·期末）（多选）设平面向量，，（）A．若，则B．若，则C．，D．，使变式5-3．（22-23高一下·河南洛阳·月考）已知向量．（1）求证：；（2）若存在不为0的实数和，使，满足，试求此时的最小值．【题型六：两角和与差的三角公式】例6．（23-24高一下·江苏连云港·月考）（）A．B．C．D．变式6-1．（22-23高一上·广东云浮·期末）（）A．B．C．D．变式6-2．（23-24高一下·江苏常州·月考）（   ）A．1B．C．3D．变式6-3．（23-24高一下·上海闵行·月考）若，则. 变式6-4．（22-23高一下·江苏徐州·月考）已知，则的值为．【题型七：倍角公式与半角公式】例7．（23-24高一下·云南昆明·月考）已知，则（）A．B．C．D．变式7-1．（23-24高一下·山东济宁·月考）若，，则（）A．B．C．D．变式7-2．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知，则等于（）A．B．C．D．变式7-3．（22-23高一下·山东聊城·月考）已知，则．变式7-4．（2024·湖南邵阳·二模）已知为锐角，若，则（）A．B．C．D．【题型八：和差化积与积化和差】 例8．（23-24高三上·江西萍乡·期中）求值：.变式8-1．（2023·江苏镇江·模拟预测）已知角，满足，，则（）A．B．C．D．2变式8-2．（22-23高二上·贵州·开学考试）设，，则．变式8-3．（22-23高一下·辽宁葫芦岛·月考）已知．（1）利用三角函数的积化和差或和差化积公式，求的值；（2）求的值．变式8-4．（2023高二·安徽·竞赛）．【题型九：三角恒等变换给角求值问题】例9．（23-24高一下·江苏扬州·月考）等于（）A．B．C．D．变式9-1．（22-23高二上·贵州六盘水·月考）的值为（） A．B．C．D．变式9-2．（22-23高一下·山西朔州·月考）（）A．B．C．D．变式9-3．（22-23高一下·云南楚雄·期末）若，则.【题型十：三角恒等变换给值求值问题】例10．（23-24高一下·全国·单元测试）已知是第一象限角，且，则的值为（　　）A．B．C．D．变式10-1．（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知，，则.变式10-2．（22-23高一下·江苏南京·期中）已知，则的值为（）A．B．C．D．变式10-3．（22-23高一下·湖北宜昌·期中）已知为锐角，．（1）求的值；（2）求的值． 变式10-4．（22-23高一下·江苏镇江·期中）已知都是锐角，.（1）求的值；（2）求的值.【题型十一：三角恒等变换给值求角问题】例11．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知角，，，则（   ）A．B．C．D．变式11-1．（2023·江苏无锡·三模）已知，，若，则（）A．B．C．D．变式11-2．（22-23高三上·宁夏银川·月考）已知，，，，则（）A．或B．C．D．变式11-3．（23-24高三下·山东泰安·月考）设，且，则（）A．B．C．D．变式11-4．（22-23高一下·吉林长春·开学考试）已知，. （1）求的值；（2）若，且，求的值.【题型十二：三角恒等变换化简证明】例12．（2024高一上·全国·专题练习）已知，化简．变式12-1．（22-23高一下·甘肃兰州·期末）化简：（1）；（2）．变式12-2．（22-23高一下·四川眉山·期中）化简求值：（1）；（2）化简证明：变式12-3．（23-24高一下·全国·课时练习）化简：（1）；（2）.变式12-4．（22-23高一下·上海奉贤·月考）（1）证明恒等式：（2）化简： 【题型十三：三角形中的三角恒等变换】例13．（22-23高一下·甘肃兰州·期中）在中，若，则此三角形为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形变式13-1．（22-23高一下·江西吉安·期末）在△ABC中，若，则△ABC是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．直角三角形变式13-2．（22-23高一下·河南郑州·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．则△ABC的形状为()A．正三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等腰三角形变式13-3．（2023高一·全国·专题练习）在中，若，则此三角形为（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【题型十四：三角恒等变换的实际应用】例14．（22-23高三上·湖北襄阳·期中）某大学为了制作“迎新杯”篮球赛创意冠军奖杯，在全校学生中开展“迎新杯”篮球赛奖杯的创意设计征集活动.同学甲设计的创意奖杯如图1所示，从其轴截面中抽象出来的平面图形如图2所示，若圆O的半径为10cm，，，甲在奖杯的设计与制作的过程中发现，当OB越长时，该奖杯越美观，则当该奖杯最美观时，（） A．10cmB．C．D．变式14-1．（22-23高一上·河北唐山·期末）如图，长方形ABCD，，，的直角顶点P为AD中点，点M、N分别在边AB，CD上，令．（1）当时，求梯形BCNM的面积S；（2）求的周长l的最小值，并求此时角的值．变式14-2．（22-23高一下·山东济宁·月考）在校园美化、改造活动中，要在半径为、圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示．取的中点M，记．（1）写出矩形的面积S与角的函数关系式；（2）求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积．变式14-3．（22-23高一上·广东东莞·期末）如图，已知一块足球场地的球门宽米，底线上有一点，且长米．现有球员带球沿垂直于底线的线路向底线 直线运球，假设球员射门时足球运动线路均为直线．（1）当球员运动到距离点为米的点时，求该球员射门角度的正切值；（2）若该球员将球直接带到点，然后选择沿其左后方向（即）的线路将球回传给点处的队友．已知长米，若该队友沿着线路向点直线运球，并计划在线路上选择某个位置进行射门，求的长度多大时，射门角度最大．