圆锥曲线焦点弦二级结论分类汇总（解析版）
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圆锥曲线焦点弦二级结论分类汇总题型1圆锥曲线通径二级结论题型2椭圆焦点弦三角形周长二级结论题型3双曲线焦点弦周长二级结论(同支)题型4双曲线焦点弦周长问题二级结论(不同支)题型5椭圆倾斜角式焦点弦长二级结论题型6双曲线倾斜角式焦点弦长二级结论题型7抛物线倾斜角式焦点弦长二级结论题型8椭圆、双曲线点坐标式焦半径公式二级结论题型9抛物线点坐标式焦半径公式二级结论题型10焦点弦定比分点求离心率二级结论题型1圆锥曲线通径二级结论22b椭圆，双曲线的通径长AB=.a2y2x1(2022·全国·高三专题练习)过椭圆+=1(a>b>0)的焦点Fc,0的弦中最短弦长是()22ab22222b2a2c2cA.B.C.D.abab【答案】A【分析】由过椭圆焦点的最短弦所在直线不垂直y轴，设出其方程并与椭圆方程联立求出直线被椭圆所截弦长即可推理作答.【详解】显然过椭圆焦点Fc,0的最短弦所在直线l不垂直y轴，设l的方程为：x=my+c，x=my+c222224由222222消去x并整理得：(bm+a)y+2bcmy-b=0，bx+ay=ab242bcmb设直线l与椭圆交于点M(x1,y1),N(x2,y2)，则有y1+y2=-222,y1y2=-222，bm+abm+a2242222bcmb则有MN=1+m⋅y1+y2-4y1y2=1+m⋅-222-4⋅-222bm+abm+a222222222cm122cm+bm+a=2b1+m⋅+=2b1+m⋅22222222222(bm+a)bm+a(bm+a)222m+121212b=2ba⋅=2ba⋅≥2ba⋅=，当且仅当m=0时取“=”，22222222bm+ab2+a-bb+(a-b)a2m+11,22b于是，当m=0，即直线l垂直于x轴时，|MN|min=，a2y2x所以过椭圆+=1(a>b>0)的焦点Fc,0的最短弦是与焦点所在坐标轴垂直的弦，最短弦长是22ab22b.a故选：A【变式训练】2y2x1(2021秋·河北邯郸·高三校考阶段练习)已知过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂22ab线交椭圆于点P,F2为其右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为()5323A.B.C.D.3223【答案】D2c2【分析】把x=-c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据∠F1PF2=60°推断出2=3整理得3e+2e-ba3=0，，进而求得椭圆的离心率e．22bb【详解】由题意知点P的坐标为-c，a或-c，-a，∵∠F1PF2=60°，2c∴=3，2ba222即2ac=3b=3(a-c)．2∴3e+2e-3=0，3∴e=或e=-3(舍去)．3故选D．【点睛】】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力，属中档题．2y2x2(2023秋·四川内江·高三期末)椭圆+=1的焦点为F1、F2，点M在椭圆上且MF1⊥x轴，则F143到直线F2M的距离为()6117A.B.3C.D.35311【答案】A【分析】先求出F1、F2的坐标，再由MF1⊥x轴，可求出MF1，再由勾股定理可求出F2M，然后利用等面积法可求得结果.2y2x22【详解】由+=1，得a=4,b=3，43所以a=2,b=3,c=1，所以F1(-1,0)，F2(1,0)，21y3当x=-1时，+=1，解得y=，4322,3因为MF1⊥x轴，所以MF1=，22295所以F2M=MF1+F1F2=+4=，42设F1到直线F2M的距离为d，53因为d⋅MF2=MF1F1F2，所以d=×2，226解得d=，5故选：A3(2022·全国·高三专题练习)过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则y22x双曲线-=1的通径长是()16999A.B.C.9D.1042【答案】B【分析】根据双曲线的通径长公式计算．22b9【详解】由已知a=4,b=3，双曲线的通径长=，a2故选：B.24(2022·全国·高三专题练习)抛物线y=4x的通径(过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦)的长为．【答案】4【分析】先求出抛物线的焦点坐标，然后求解过焦点且与对称轴垂直的弦长得到答案.2【详解】抛物线y=4x的焦点(1,0)，2当x=1时，可得：y=4×1，解得y=±2．所以过焦点且与对称轴垂直的弦的两个端点坐标为1,2,1,-2所以过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦长为4．故答案为：4．25(2023·全国·模拟预测)已知抛物线C：x=2py(p>0)的焦点为F，过F且垂直于y轴的直线与C相交于A，B两点，若△AOB(O为坐标原点)的面积为18，则p=．【答案】6【分析】首先根据条件求点A,B的坐标，再代入面积公式，即可求解.2p【详解】抛物线C：x=2py(p>0)的焦点为F0，2，p2pp将y=2代入x=2py可得x=±p，即有Ap，2，B-p，2，1p所以AB=2p，所以S△AOB=××2p=18，解得p=6.22故答案为：62x226(2023·全国·高三专题练习)过椭圆+y=1的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且AB=，93则这样直线的条数为()A.0B.1C.2D.3【答案】B3,【分析】先求过左焦点的通径长度，由椭圆的性质：过左焦点的弦长最短为通径长，最长为长轴长，结合已知弦长判断直线的条数即可.【详解】左焦点为(-22,0)，若直线垂直x轴，则直线为x=-22，8212代入椭圆方程得+y=1，可得y=±，此时通径长AB=，9332所以，由椭圆性质知：AB=的直线有仅只有一条.3故选：B题型2椭圆焦点弦三角形周长二级结论2y2x1．F1,F2为椭圆C:2+2=1a>b>0的左、右焦点，过F1的直线交椭圆于A,B两点，则△ABF2的ab周长为4a．2y2x2.F1,F2为椭圆C:2+2=1a>b>0的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A,B两点，则△ABF1的周ab长为4a．注意：椭圆的焦点弦三角形周长为定值，即长轴长的2倍，与过焦点的直线的倾斜角无关．2y2x1(2022·全国·高三专题练习)如图，椭圆C:+=1的左焦点为F1，过F1的直线交椭圆于A,B两点，43求△ABF2的周长．【答案】8【分析】确定a=2，利用椭圆的定义可推得△ABF2的周长为4a，即得答案.2y2x【详解】由+=1知，a=2，43由椭圆定义可得|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，故△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=4a=4×2=8，所以△ABF2的周长为8.【变式训练】21在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1作直线2l交C于A,B两点，且ΔABF2的周长为16，那么C的方程为．2y2x【答案】+=1168c2【详解】试题分析：依题意：4a=16，即a=4，又e==，∴c=22，∴b2=8.a24,2y2x∴椭圆C的方程为+=11682椭圆焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ长为10，ΔPF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为()3126A.B.C.D.3333【答案】C2y2x【详解】试题分析：设椭圆方程为+=1其焦点坐标为F1(-c,0)，由已知22ab22bbP、Q坐标为：M(-c,a),N-c,-a2b2所以，2·=10，b=5a；a△PF2Q的周长为3636-|PQ||PF2|=|F2Q|==13,c=62222a=b+c=5a+36，所以(a-9)(a+4)=02因为a>0,所以，a=9，椭圆的离心率为，故选C．3考点：本题主要考查了椭圆的标准方程、几何性质．点评：过F1的最短弦PQ垂直于x轴，另外，由椭圆的对称性，△PF2Q是一直角三角形．2y2x3(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，短轴长为ab143，离心率为，过点F1的直线交椭圆于A,B两点，则△ABF2的周长为()2A.4B.5C.16D.32【答案】C【分析】根据短轴长得出b值，再根据离心率得到a值，再利用椭圆定义则得到三角形周长.2y2x1【详解】由题意，椭圆+=1(a>b>0)的短轴长为43，离心率为，a2b222222ca-bb12所以==1-=，2b=43，则b=12，所以a=4，a2a2a24所以△ABF2的周长为AF1+AF2+BF1+BF2=4a=16．故选：C.2y2x4(2020下·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习)椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分22ab别为F1,F2，过点F1的直线交椭圆于A,B两点，交y轴于点C，若F1，C是线段AB的三等分点，△F2AB的周长为45，则椭圆E的标准方程为()2y22y22y22xxxx2A.+=1B.+=1C.+=1D.+y=15453525【答案】A【分析】根据椭圆的定义及△F2AB的周长为45，可求出a=5，根据F1，C是线段AB的三等分点，利用中点坐标公式可先求出点A的横坐标，代入椭圆可求出纵坐标，再由中点坐标公式可求出点B的坐标，代入2椭圆的方程即可求出b的值.5,【详解】由椭圆的定义，得AF1+AF2=BF1+BF2=2a，△F2AB的周长AF1+AF2+BF1+BF2=4a=45，所以a=5，2y2x所以椭圆E:+=1.5b2不妨令点C是F1A的中点，点A在第一象限，因为F1-c,0，2y222cbb所以点A的横坐标为c，所以+=1，可得Ac,，所以C0,，5b25252b由中点坐标公式可得B-2c,-，把点B的坐标代入椭圆E的方程，得254b2224c204cb2222+=1，+=1，化简得b=20-16c，又b=5-c，5b25202222所以5-c=20-16c，得c=1，所以b=4.2y2x所以，椭圆的方程为+=1.54故选：A.【点睛】本题主要考查椭圆的定义，中点坐标公式，关键是利用中点坐标求相应点的坐标，用点在曲线上求2出b.2y2x35(2014·全国·高考真题)已知椭圆C：2+2=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2离心率为3，过F2ab的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为43，则C的方程为()2y222y22y2xx2xxA.+=1B.+y=1C.+=1D.+=1323128124【答案】A【详解】若△AF1B的周长为43,由椭圆的定义可知4a=43,∴a=3,c3∵e==,∴c=1,a32∴b=2，2y2x所以方程为+=1，故选A.32考点：椭圆方程及性质6古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为43π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为16，则椭圆C的方程为()y22y222y22y2xxxxA.+=1B.+=1C.+=1D.+=116316121612163【答案】A【分析】由题中所给结论得ab=43，由△F2AB的周长为16结合椭圆定义得4a=16，进而可得结果.4×43π【详解】依题意得=2a⋅2b，则ab=43，π由△F2AB的周长为16结合椭圆定义可得4a=16，所以a=4，b=3，y22x又椭圆焦点在y轴上，故椭圆方程为+=1.163故选：A.6,2yx27(2014·安徽·高考真题)设F1,F2分别是椭圆E：2+2=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线ab交椭圆E于A,B两点，|AF1|=3|BF1|(1)若|AB|=4,ΔABF2的周长为16，求|AF2|；3(2)若cos∠AF2B=，求椭圆E的离心率.52【答案】(1)5；(2).2【详解】试题分析：(1)由题意|AF1|=3|F1B|,|AB|=4可以求得|AF1|=3,|F1B|=1，而ΔABF2的周长为16，再由椭圆定义可得4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8.故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.(2)设出|F1B|=k，则k>0且|AF1|=3k,|AB|=4k.根据椭圆定义以及余弦定理可以表示出a,k的关系(a+k)(a-3k)=0，从而222a=3k，|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k，则|BF2|=|F2A|+|AB|，故F1A⊥F2A，ΔAF1F2为等腰直角三角形.2c2从而c=a，所以椭圆E的离心率e==.2a2(1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4，得|AF1|=3,|F1B|=1.因为ΔABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8.故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.(2)设|F1B|=k，则k>0且|AF1|=3k,|AB|=4k.由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k.22222在ΔABF2中，由余弦定理可得|AB|=|AF2|+|BF2|-2|AF2|⋅|BF2|cos∠AF2B，即(4k)=(2a-3k)+(2a-26k)-(2a-3k)⋅(2a-k)，化简可得(a+k)(a-3k)=0，而a+k>0，故a=3k.于是有|AF2|=3k=|AF152222|,|BF2|=5k.因此|BF2|=|F2A|+|AB|，可得F1A⊥F2A，故ΔAF1F2为等腰直角三角形.从而c=a，所2c2以椭圆E的离心率e==.a2考点：1.椭圆的定义；2.椭圆的离心率求解.2y2x8(2022·全国·高三专题练习)已知直线l经过椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点(1，0)，交椭圆22abC于点A，B，点F为椭圆C的左焦点，△ABF的周长为8．(1)求椭圆C的标准方程；2(2)若直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆C于点M，N，MN=4|AB|，求证：直线m与直线l的交点P在定直线上．2y2x【答案】(1)+=143(2)证明见解析【分析】(1)根据椭圆定义与右焦点坐标可得到椭圆方程；2(2)设直线与椭圆联立，利用弦长公式得到|MN|与AB的表达式，根据两者关系解出t值，最后联立两直11线解得横坐标为定值，所以定直线为x=.22c=1c=1222【详解】(1)由已知，得，∴，∴b=2-1=3，4a=8a=22y2x∴椭圆C的标准方程为+=1．43(2)证明：若直线l的斜率不存在，则直线m的斜率也不存在，这与直线m与直线l相交于点P矛盾，∴直线l的斜率存在,又因为两直线倾斜角互补，所以直线l斜率不为0.设l:y=k(x-1)(k≠0)，m:y=-k(x+t)，AxA,yA，BxB,yB，MxM,yM，NxN,yN．7,y=-k(x+t)22222将直线m的方程代入椭圆方程x2y2联立得，3+4kx+8ktx+4kt-3=0，+=14324k2t2-38kt∴xM+xN=-2，xM⋅xN=2，3+4k3+4k22222Δ21612k-3kt+9∴|MN|=1+k⋅=1+k⋅．222a3+4k2121+k21612k2-3k2t2+9249k+922同理，|AB|=1+k⋅=．由|MN|=4|AB|得1+k⋅=4⋅22223+4k3+4k3+4k2121+k2222化简得3+4k=4k-kt+3，23+4k22即kt=0，∵k≠0，∴t=0，422222此时，Δ=64kt-163+4kkt-3=483+k>0，∴直线m:y=-kx，111联立直线l方程解得P,-k，即点P在定直线x=上．222【点睛】椭圆中弦长公式在圆锥曲线难题中经常用，对于互补的直线可以采取换元，用-k换k代换直接得到另一弦长公式，有时候定直线问题可以采取先猜后证的方法.题型3双曲线焦点弦周长二级结论(同支)同支问题：2y2xF1,F2为双曲线C:2-2=1a>0,b>0的左、右焦点，过F1的直线交双曲线同支于A,B两点，且abAB=m，则△ABF2的周长为4a+2m．证明：由双曲线的第一定义知，AF2-AF1=2a①，BF2-BF1=2a②，又AF1+BF1=m③，由①②③，得AF2+BF2=4a+m,∴AB+AF2+BF2=4a+2m，即△ABF2的周长为4a+2m．y222x2x1(2022·全国·高三专题练习)椭圆+=1与双曲线y-=1有公共点P，则P与双曲线两焦点连492424线构成三角形的周长为．【答案】24【分析】根据椭圆与双曲线方程得到椭圆与双曲线具有共同的焦点F10,5，F20,-5，8,从而得到P与双曲线两焦点的距离之和PF1+PF2=14，再根据F1F2=10，求出周长.【详解】由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F10,5，F20,-5，由椭圆定义可知：PF1+PF2=14，故P与双曲线两焦点的距离之和为14，又F1F2=10，因此P与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为14+10=24.故答案为：24【变式训练】1(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a=8，那么△ABF2的周长是()A.26B.21C.16D.5【答案】A【分析】根据双曲线的定义求|AF2|+|BF2|，由此可求△ABF2的周长.【详解】解析：|AF2|-|AF1|=2a=8，|BF2|-|BF1|=2a=8，∴|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16，∴|AF2|+|BF2|=16+5=21，∴△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.故选：A.22y2如图双曲线C:x-=1的焦点为F1､F2，过左焦点F1倾斜角为30°的直线l与C交于A,B两点．3(1)求弦长AB的值；(2)求△ABF2的周长．【答案】(1)3(2)33+32【分析】(1)联立直线l与椭圆的方程，消元整理得8x-4x-13=0，根据根与系数的关系可求得弦长；(2)根据双曲线的定义可求得三角形的周长.22y3【详解】(1)解：因为双曲线C:x-=1的焦点为F1､F2，所以F1-2,0,y=x+2，33设Ax1,y1,Bx2,y2,x1<x2．9,δ>03y=3x+22x+x=1联立，整理得：8x-4x-13=0，∴122，3x2-y2=3xx=-131282116×27∴AB=1+kx1-x2=1+=3.38(2)解：记△ABF2的周长为C△ABF2，则C△ABF2=AB+AF2+BF2．22222∵BF2=x2-2+y2，又∵y2=3x2-3得BF2=4x2-4x2+1．∴BF2=2x2-1,∵点B在右支，故BF2=2x2-1．同理：点A在左支，∴AF2=2x1-1=-2x1-1．216×27∴BF2+AF2=2x2-x1=2x1+x2-4x1x2=2×=33.8∴C△ABF2=AB+AF2+BF2=33+3.3已知双曲线的左、右焦点分别为F1､F2，在左支上F1的弦AB的长为5，若2a=8，那么△ABF2的周长是()A.26B.21C.16D.5【答案】A【分析】根据双曲线的定义求|AF2|+|BF2|，由此可求△ABF2的周长.【详解】解析：|AF2|-|AF1|=2a=8，|BF2|-|BF1|=2a=8，∴|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16，∴|AF2|+|BF2|=16+5=21，∴△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.故选：A.2y2x4如果F1、F2分别是双曲线-=1的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|=1696，则ΔABF2的周长是【答案】28【分析】本题涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问题，可用定义处理，由定义知AF2-AF1=8①，BF2-BF1=8②，两式相加再结合已知|AB|=6即可求解.【详解】解：由题意知：a=4,b=3，故c=5.由双曲线的定义知AF2-AF1=8①，BF2-BF1=8②，①+②得：AF2+BF2-|AB|=16，所以AF2+BF2=22，所以△ABF2的周长是AF2+BF2+|AB|=28.故答案为：28.【点睛】本题考查双曲线的定义的应用，涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问题，一般用定义处理.2y2x5(2022·全国·高三专题练习)若F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点，AB是双曲线左支上m7过点F1的弦，且|AB|=4，△ABF2的周长是20，则m=．【答案】9【分析】根据双曲线定义得到AF2+BF2=4m+4，最后加上AB，即得到关于m的方程，解出m即可.【详解】由题意得m>0，根据双曲线定义得AF2-AF1=2a=2m，BF2-BF1=2a=2m上述两式相加得AF2+BF2-AF1+BF1=4m，10,即AF2+BF2-AB=4m，即AF2+BF2-4=4m，∴AF2+BF2=4m+4，∴△ABF2周长=AF2+BF2+AB=4m+4+4=20，解得m=9.故答案为：9.22yπ6已知双曲线x-=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为的弦AB．求：36(1)AB的长；(2)△F2AB的周长．【答案】(1)3(2)3+33【分析】(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，求出双曲线的焦点坐标，求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程，将直线的方程代入双曲线的方程，利用韦达定理求得x1+x2，x1x2，再根据弦长公式即可得解；(2)求出A，B的坐标，由两点的距离，即可得到△F2AB的周长．【详解】(1)解：∵双曲线的左焦点为F1(-2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，3则直线AB的方程为y=(x+2)，322y2代入方程x-=1得，8x-4x-13=0，3113∴x1+x2=，x1x2=-，2821113∴|AB|=1+k⋅|x1-x2|=1+3⋅4-4⋅-8=3；(2)解：F2(2,0)，不妨设x1>x2，1+333+331-3333-3由(1)可得A4，4，B4，4，33-133+1则△F2AB的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=3++=3+33．227已知双曲线C经过点P3,2，它的两条渐近线分别为x+3y=0和x-3y=0.(1)求双曲线C的标准方程；(2)设双曲线C的左､右焦点分别为F1､F2，过左焦点F1作直线l交双曲线的左支于A､B两点，求△ABF2周长的取值范围.2x2【答案】(1)-y=13163(2),+∞322【分析】(1)设双曲线C的方程为x-3y=λ，代入P坐标可得答案；(2)当直线l的斜率不存在时l:x=-2，可得A､B的坐标及△ABC的周长；当直线l的斜率存在，设直线l11,的方程为y=k(x+2)，与双曲线方程联立，△ABF2的周长利用韦达定理得到z=43+222k+122(x1-x2)+(kx1-kx2)=43+432，设t=3k-1，根据t的范围可得答案.|1-3k|22【详解】(1)设双曲线C的方程为x-3y=λ，22代入点P(3,2)，得λ=3-3(2)=3，2x2所以双曲线C的标准方程为-y=1.3(2)双曲线C的左焦点为F1(-2,0)，设A(x1,y1)､B(x2,y2)，33①若直线l的斜率不存在，则l:x=-2，得A､B的坐标分别为-2,3和-2,-3，163此时△ABC的周长为.3②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k(x+2)，{y=k(x+2)2222由x22得(1-3k)x-12kx-12k-3=0，-y=13因为直线l交双曲线的左支于A､B两点，2{1-3k≠02222Δ=(-12k)-4(1-3k)(-12k-3)>02所以x+x=12k<0，1221-3k2xx=-12k-3>01221-3k21得k>3设△ABF2的周长为z，z=|AF2|+|BF2|+|AB|=23+|AF1|+23+|BF1|+|AB|=43+2|AB|2222=43+2(x1-x2)+(y1-y2)=43+2(x1-x2)+(kx1-kx2)22222212k-12k-3=43+21+k(x1+x2)-4x1x2=43+21+k2-421-3k1-3k22212(k+1)k+1=43+21+k⋅=43+43，222(1-3k)|1-3k|221设t=3k-1，由k>，得t>0，3t+1+13163163z=43+43×=+，t>0，t3t3163所以z∈3,+∞，163综上，由①②可得△ABF2的周长的取值范围,+∞.3题型4双曲线焦点弦周长问题二级结论(不同支)双曲线异支焦点弦三角形周长2y2x【结论3】如图，F1,F2为双曲线C:2-2=1a>0,b>0的左、右焦点，过F2的直线l与双曲线C右ab12,22b支、左支分别交于A,B两点，且AB=m，则焦点弦三角形F1AB的周长：CΔF1AB=m+mm+a．证明：令AF2=u,BF2=v，则AF1=2a+u,BF1=v-2a，ΔF1AB的半周长s=v，由秦九韶-海伦公式得SΔFAB=ss-ABs-AF1s-BF1=2am-2auv．222222u+4c-2a+uv+4c-v-2a又cos∠AF2F1=cos∠BF2F1，由余弦定理推论，得=，2u⋅2c2v⋅2cb2-aub2+avb2b2b2v-ub2mb2m∴=,∴-=2a,∴uv==，将u=v-m代入uv=，得uvuv2a2a2a22bm12bv-mv=，解这个关于v的一元二次方程，得v=m+mm+．又ΔF1AB的半周长s=2a2a22bv，因此异支焦点弦三角形F1AB的周长CΔF1AB=m+mm+a．2y2x1(2021·浙江·统考一模)如图所示，F1，F2是双曲线C：2-2=1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直ab线与C的左、右两支分别交于A，B两点．若AB∶BF2∶AF2=3∶4∶5，则双曲线的离心率为()A.2B.15C.13D.3【答案】C【分析】不妨令AB=3，|BF2|=4，|AF2|=5，根据双曲线的定义可求得a=1，∠ABF2=90°，再利用勾股2定理可求得4c=52，从而可求得双曲线的离心率．【详解】∵|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，不妨令AB=3，|BF2|=4，|AF2|=5，222∵|AB|+|BF2|=|AF2|，∴∠ABF2=90°，又由双曲线的定义得：BF1-BF2=2a，AF2-AF1=2a，∴AF1+3-4=5-AF1，∴AF1=3．∴|BF1|-|BF2|=3+3-4=2a，∴a=1．22222在Rt△BF1F2中，|F1F2|=|BF1|+|BF2|=6+4=52，222又|F1F2|=4c，∴4c=52，∴c=13．13,c∴双曲线的离心率e==13．a故选;C【变式训练】2y2x1(2021下·安徽安庆·高三校联考阶段练习)已知双曲线-=1a>0,b>0的左、右焦点分别22ab为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若△ABF2为边长为4的等边三角形，则△AF1F2的面积为()A.23B.33C.43D.63【答案】A【分析】利用双曲线的定义求出a=1，进而得出AF1=2，再由三角形的面积公式即可求解.【详解】∵BF1-BF2=2a，∴BF1=2a+4，∵AF2=4，∴AF1=4-2a=BF1-4=2a，因为AF2-AF1=4-2a=2a，所以a=1，AF1=2，1∴S△AF1F2=×2×4⋅sin120°=23.2故选：A22y2(2021·高三课时练习)已知双曲线C:x-=1的右焦点为F，P是双曲线C的左支上一点，3M0,2，则△PFM的周长的最小值为()A.2+42B.4+22C.32D.26+3【答案】A【分析】设双曲线C的左焦点为F1，则PF-PF1=2a，则由题意可得△PFM的周长为MF+MP+PF=22+2+MP+PF1，当M，P，F1三点共线时，MP+PF1最小，从而可得答案【详解】设双曲线C的左焦点为F1，则PF-PF1=2a．由题可知a=1，c=2，∴PF=2+PF1，F1-2,0，F2,0，∴MF=22，△PFM的周长为MF+MP+PF=22+2+MP+PF1．∵当M，P，F1三点共线时，MP+PF1最小，最小值为MF1=22，∴△PFM的周长的最小值为2+42．故选：A2y2x3已知F1、F2分别是双曲线-=1的左右焦点，过右焦点F2作倾斜角为30°的直线交双曲线于36A、B两点．(Ⅰ)求线段AB的长；(Ⅱ)求△AF1B的周长．16【答案】(1)3；(2)83.5【分析】(1)运用联立方程法结合弦长公式求解即可；(2)根据(1)中的结果，结合双曲线的定义，列等式可求解三角形的周长.14,【详解】解：(1)由双曲线的方程得F1(-3,0)，F2(3,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)3直线ab的方程为y=(x-3)32627将其代入双曲线方程消去y得，5x+6x-27=0①，得x1+x2=-，x1·x2=-，5514622716∴|ab|=1+3x1-x2=3×-5-4×-5=53；(2)由题意不妨设点a在双曲线的左支上，则△abf1的周长可表示为：l△af1b=|ab|+|af1|+|bf1|=|af2|-|bf2|+|af1|+|bf1|．根据双曲线的定义，af2-af1=2a=23，bf1-bf2=2a=23l△af1b=2|af1|+4a22由方程①解得点a的坐标为(-3，-23)，所以af1=(-3+3)+(-23)=23∴l△af1b=2|af1|+4a=43+43=83题型5椭圆倾斜角式焦点弦长二级结论二级结论1.圆锥曲线的角度式焦半径公式与焦点弦公式设直线l过圆锥曲线焦点f且交圆锥曲线于a,b两点，不妨设af>BF，若已知直线l倾斜角为θ，设圆2b锥曲线半通径为p=，则appp2pAF=,BF==,∴AB=AF+BF=，1-ecosθ1+ecosθ221-ecosθ+π1-ecosθ即圆锥曲线的焦半径公式与焦点弦公式分别为：pp2pAF=,BF=,∴AB=①.1-ecosθ1+ecosθ221-ecosθ二级结论2.椭圆的倾斜角式焦点弦长公式：2y2x(1)F1,F2为椭圆C:2+2=1a>b>0的左、右焦点，过F1倾斜角为θ的直线l与椭圆C交于A,B两ab22p22abb点，则AB==p=；a2-c2cos2θ1-e2cos2θay22x(2)F1,F2为椭圆C:2+2=1a>b>0的上、下焦点，过F1倾斜角为θ的直线l与椭圆C交于A,B两ab22p22abb点，则AB==p=．a2-c2sin2θ1-e2sin2θa22b说明：特殊情形，当倾斜角为θ=90°时，即为椭圆的通径，通径长AB=．a圆锥曲线统一的倾斜角式焦点弦长公式：设直线l过圆锥曲线焦点F且交圆锥曲线于A,B两点，若已知直线l倾斜角为θ，设圆锥曲线通径为2p=2p2b222焦点在x轴上1-ecosθ，则圆锥曲线统一的焦点弦长公式：AB=．a2p22焦点在y轴上1-esinθ2y2x1(2022·全国·高三专题练习)如图，F1,F2为椭圆C:2+2=1a>b>0的左、右焦点，过F1倾斜角为abθ的直线l与椭圆C交于A,B两点，求弦长AB．15,22ab【答案】222a-ccosθ【分析】由椭圆定义，结合余弦定理即可得出．【详解】连结F2A,F2B，F1F2=2c，设F1A=x，F1B=y，由椭圆定义得F2A=2a-x，F2B=2a-y，22222在△AF1F2中，由余弦定理得F1A+F1F2-2F1A⋅F1F2⋅cosθ=F2A，即x+4c-2x⋅2c⋅cosθ=22a-x，2222b则a-ccosθx=a-c=b，解得x=．a-ccosθ2b同理在△BF1F2中，由余弦定理可求得y=，a+ccosθ222bb2ab则弦长AB=+=．a-ccosθa+ccosθ222a-ccosθ【变式训练】2x21经过椭圆+y=1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，求AB2的长.82【答案】7【解析】求出椭圆的左焦点F1(-1,0)，根据点斜式设出AB方程，联立直线方程与椭圆方程消去y，利用根与系数的关系和弦长公式即可算出弦AB的长．2x2【详解】∵椭圆方程为+y=1，2∴焦点分别为F1(-1,0)，F2(1,0)，∵直线AB过左焦点F1倾斜角为60°，∴直线AB的方程为y=3(x+1)，2将AB方程与椭圆方程消去y，得7x+12x+4=0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得124x1+x2=-，x1x2=77122442∴|x1-x2|=-7-4×7=782因此，|AB|=1+3·|x1-x2|=．782故答案为：7【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.16,2y2x32(2022上·全国·高二专题练习)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为，过椭圆的右焦点且a2b231斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，则△AOB(其中O为原点)的形状为.2【答案】钝角三角形222a【分析】由椭圆的离心率可求得b=，从而可表示出椭圆方程，求出右焦点坐标，则可表示出直线l的方3程，代入椭圆方程中，消去y整理利用根与系数的关系，再表示出y1y2，然后求出OA⋅OB，由其正负可判断出三角形的形状222a-b322a【详解】由椭圆的离心率可得=，解得b=，a332y2x则椭圆的方程为+=1，a222a3313椭圆的右焦点为F3a，0，由直线l的方程为y=2x-3a，2y2x+=1a222a22由3可得11x-23ax-7a=0，y=1x-3a23223-7a设Ax1，y1，Bx2，y2，由韦达定理得x1+x2=a，x1x2=，1111133则y1y2=4x1-3ax2-3a1312=x1x2-a(x1+x2)+a433217a323a12=4-11-3a⋅11+3a42=-a33252则OA⋅OB=x1x2+y1y2=-a<0，33所以∠AOB一定为钝角，所以△AOB(其中O为原点)的形状为钝角三角形，故答案为：钝角三角形2y2x13(2022上·全国·高三专题练习)椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2，斜率为2ab13的直线l过左焦点F1且交C于A，B两点，且△ABF2的内切圆的周长是2π，若椭圆的离心率为e∈2,4，则线段AB的长度的取值范围是85【答案】,4531【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),利用三角形内切圆面积计算可得×4a×212a2r=×2c×y1-y2，化简得y1-y2==，由离心率范围求得2ce8y1-y2∈3，4，再利用弦长公式即可求得答案.【详解】如图示，由椭圆定义可得|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,则△ABF2的周长为4a,设A(x1,y1),B(x2,y2)，17,设△ABF2内切圆半径为r，△ABF2的内切圆的周长是2π，故2π=2πr,∴r=1，11由题意得×4a×r=×2c×y1-y2，222a2得y1-y2==，ce由于e∈1,38,4，故y1-y2∈，2431185所以由AB=1+2y1-y2,k=可得|AB|=5y1-y2∈,45，k2385故答案为：,453224(2022·全国·高三专题练习)过椭圆3x+4y=48椭圆的左焦点引直线交椭圆于A，B两点，|AB|=7，求直线方程．【答案】3x+2y+23=0或3x-2y+23=0【分析】设直线AB的倾斜角为θ，由焦点弦公式可得斜率，即可得解.2y222x【详解】椭圆3x+4y=48即+=1，a=4,b=23,c=2,左焦点为(-2,0)，1612设直线AB的倾斜角为θ，则由焦点弦弦长公式可得22ab2×4×1224|AB|===7，解得cosθ=，a2-c2cos2θ16-4cos2θ73所以该直线的倾斜角为tanθ=±，233则直线AB：y=(x+2)或y=-(x+2)，22即3x+2y+23=0或3x-2y+23=0.2y2x5(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆+=1的左右焦点分别为F1,F2，若过点P0，-2及98F1的直线交椭圆于A，B两点，求△ABF2的面积.245【答案】11【分析】设出直线方程，求出点F2到直线AB的距离，再根据结论求出|AB|，进而求出三角形面积.π【详解】直线PF1的方程为y=-2x-2，设其倾斜角为θ，则k=-2，tanθ=-2，所以θ∈2,π，cosθ=5-，52y2x由椭圆方程+=1，可得a=3，b=22，c=1，F2的坐标为1,0，982×1+0+2452ab260F2到直线AB的距离h==，AB==，22+125a2-c2cos2θ111245所以S△ABF=ABh=．2211245所以△ABF2的面积为.112y22x6(2023·四川广安·统考模拟预测)已知抛物线C:y=2pxp>0的焦点F与椭圆+=1的右2516焦点重合．斜率为kk>0直线l经过点F，且与C的交点为A，B．若AF=3BF，则直线l的方程是()18,A.3x-y-33=0B.43x-4y-33=0C.3x-y-9=0D.x-3y-3=0【答案】A【分析】根据椭圆方程求得F，写出直线l的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合抛物线的定义求得k，由此求得直线l的方程.2y2px2【详解】椭圆+=1，c=25-16=3，所以F(3,0)，=3,2p=12，所以抛物线C:y=12x.25162设Ax1,y1,Bx2,y2，直线l的方程为y=k(x-3)(k>0).y=k(x-3)2222联立2消去y，化简整理得kx-6k+12x+9k=0，y=12x12则x1+x2=2+6,x1x2=9.k∵|AF|=3|BF|,x1+3=3x2+3,∴x1-3x2=612932∵x1+x2=2+6,∴x1=6+2,x2=2,又x1x2=9,∴k=3kkk∵k>0,∴k=3因此直线l的方程是3x-y-33=0.故选：A.题型6双曲线倾斜角式焦点弦长二级结论二级结论：曲线的倾斜角式焦点弦长公式：2y2x(1)F1,F2为双曲线C:2-2=1a>0,b>0的左、右焦点，过F1倾斜角为θ的直线l与双曲线C交于ab22p22abbA,B两点，则AB==p=．a2-c2cos2θ1-e2cos2θay22x(2)F1,F2为双曲线C:2-2=1a>0,b>0的上、下焦点，过F1倾斜角为θ的直线l与双曲线C交于ab22p22abbA,B两点，则AB==p=．a2-c2sin2θ1-e2sin2θa22b说明：特殊情形，当倾斜角为θ=90°时，即为双曲线的通径，通径长2p=．a圆锥曲线统一的倾斜角式焦点弦长公式：设直线l过圆锥曲线焦点F且交圆锥曲线于A,B两点，若已知直线l倾斜角为θ，设圆锥曲线通径为2p=2p2b222焦点在x轴上1-ecosθ，则圆锥曲线统一的焦点弦长公式：AB=．a2p22焦点在y轴上1-esinθ2y2x1(2022·全国·高三专题练习)设双曲线2-2=1a>0,b>0，其中两焦点坐标为F1-c,0F2c,0，ab过F1的直线l的倾斜角为θ，交双曲线于A，B两点，求弦长AB．【答案】答案见解析【分析】分别讨论当直线与双曲线的交点在同一支上或在两支上时的焦半径长度，结合焦点三角形的性质19,可得解.bb【详解】当arctan<θ<π-arctan时，如图1，直线l与双曲线的两个交点A，B在同一支上，aa连接F2A，F2B，设F1A=m，F1B=n，由双曲线定义可得F2A=2a+m，F2B=2a+n，22222bb由余弦定理可得m+2c-2m⋅2c⋅cosθ=2a+m整理可得m=，同理n=，a+ccosθa-ccosθ222bb2ab则可求得弦长AB=m+n=+=．a+ccosθa-ccosθ222a-ccosθbb当0≤θ<arctan或π-arctan<θ<π时，如图2，直线l与双曲线的两个交点a，b不在同一支上，aa连接f2a，f2b，设f1a=m，f1b=n，由双曲线定义可得f2a=2a+m，f2b=n-2a，2222b由余弦定理可得m+2c-2m⋅2c⋅cosθ=2a+m整理可得m=，a+ccosθ2222b同理n+2c-2n⋅2c⋅cosπ-θ=n-2a，n=，ccosθ-a222bb2ab则可求得弦长ab=n-m=-=，ccosθ-aa+ccosθ222ccosθ-a因此焦点在x轴的焦点弦长公式：22ab,arctanb<θ<π-arctanba2-c2cos2θaaab=2.2ab,arctana<θ<π-arctana222bbccosθ-a【变式训练】2y2x1(2022·全国·高三专题练习)过双曲线-=1的右焦点f作倾斜角为45°的直线，交双曲线于48a,b两点，求弦长ab．【答案】ab=1622ab【分析】利用公式ab=计算可得；222|a-ccosθ|2y2x22【详解】解：双曲线-=1中，a=2，b=22，所以c=a+b=23，48222ab2ab2×2×8利用公式ab=，代入得ab===16．|a2-c2cos2θ||a2-c2cos2θ|14-12×2222(2022·全国·高三专题练习)过双曲线x-y=4的右焦点f作倾斜角为150°直线，交双曲线于a,20,b两点，求弦长ab．【答案】8【分析】利用双曲线的焦点弦长公式，根据已知条件直接得出弦长．22【详解】由双曲线x-y=4得a=b=2,c=22，又θ=150°22ab2×2×4所以ab===8．a2-c2cos2θ34-8×42y2x3(2022·全国·高三专题练习)过双曲线-=1的右焦点f作倾斜角为45°的直线，交双曲线于48a,b两点，求弦长ab．【答案】ab=1622ab【分析】利用公式ab=计算可得；222|a-ccosθ|2y2x22【详解】解：双曲线-=1中，a=2，b=22，所以c=a+b=23，48222ab2ab2×2×8利用公式ab=，代入得ab===16．|a2-c2cos2θ||a2-c2cos2θ|14-12×2224(2022·全国·高三专题练习)过双曲线x-y=4的右焦点f作倾斜角为30°的直线，交双曲线于a、b两点，求弦长ab．【答案】8【分析】利用双曲线的焦点弦长公式，根据已知条件直接得出弦长．22【详解】由双曲线x-y=4得a=b=2,c=22，又θ=30°22ab2×2×4所以ab===8．a2-c2cos2θ34-8×42y2x5(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线-=1的左右焦点分别为f1，f2，若过点p(0，-2)及32f1的直线交双曲线于a，b两点，求△abf2的面积【答案】1215【分析】求出直线方程，求出点f2到直线ab的距离，再根据结论求出|ab|=183，进而求出三角形面积.2y2x【详解】-=1的焦点坐标为f1-5,0，f25,0，32y+2x-025所以直线ab方程为=，即y=-x-2，0+2-5525×5+2545点f25,0到直线ab的距离h==，1+4352223×2×1+42ab(1+k)5又|ab|===183，|b2-a2k2|42-3×51145所以s△abf=abh=×183×=1215.2223题型7抛物线倾斜角式焦点弦长二级结论21,2p2焦点在x轴上sinθ二级结论：1.抛物线的焦点弦长：ab=．2pcos2θ焦点在y轴上222p2.过抛物线y=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A,B两点，则：yAyB=-p,xAxB=.(焦点在y轴上的4性质对比给出.)2引伸：M(a,0)(a>0)在抛物线y=2px(p>0)的对称轴上，过M的直线交抛物线于两点.Ax1,y1,Bx2,y2,y1,y2=-2pa(定值).2pλ-13.|AB|=2(α是直线AB与焦点所在轴的夹角)=x1+x2+p(焦点在cosθ=λ+1轴正半轴上)(其它sinα三种同理可以推导)，焦点弦中通径(垂直于对称轴的焦点弦，长为2p)最短.λ-1pp4.AF=λBF，则有cosθ|=||,AF=，BF=(θ为直线与焦点所在轴的夹角).λ+11-cosθ1+cosθ2p1(2022·全国·高三专题练习)如图，抛物线y=2pxp>0与过焦点F2,0的直线l相交于A,B两点，若l的倾斜角为θ，求弦长AB．2p【答案】AB=2sinθpp【分析】设FA=m，FB=n，可得xA=+mcosθ，xB=-ncosθ，利用焦半径公式可构造方程求得22m,n，由AB=m+n可得结果.pp【详解】设FA=m，FB=n，则xA=+mcosθ，xB=-ncosθ，22pp由抛物线定义知：FA=xA+=p+mcosθ=m，FB=xB+=p-ncosθ=n，22pp∴m=，n=，1-cosθ1+cosθpp2p2p∴AB=m+n=+==.1-cosθ1+cosθ221-cosθsinθ【变式训练】1(2020·山东·统考高考真题)斜率为3的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，22,则AB=．16【答案】3【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.2【详解】∵抛物线的方程为y=4x，∴抛物线的焦点F坐标为F(1,0)，又∵直线AB过焦点F且斜率为3，∴直线AB的方程为：y=3(x-1)2代入抛物线方程消去y并化简得3x-10x+3=0，1解法一：解得x1=,x2=332116所以|AB|=1+k|x1-x2|=1+3⋅3-3=3解法二：Δ=100-36=64>010设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=,3过A,B分别作准线x=-1的垂线，设垂足分别为C,D如图所示.16|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=316故答案为：3【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.22已知F为抛物线C：y=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1,l2，直线l1与C交于A,B两点，直线l2与C交于D,E两点，则AB+DE的最小值为()A.16B.14C.12D.10【答案】A【分析】设l1的方程为x=my+1，Ax1,y1，Bx2,y2，直线方程代入抛物线方程用韦达定理是y1+y2,y1y2，由弦长公式求得弦长AB，由垂直得l2方程，同理可得DE，求出AB+DE，应用基本不等式可得最小值．【详解】因为两条互相垂直的直线l1,l2均过F，且F(1，0)所以设l1的方程为x=my+1，Ax1,y1，Bx2,y2，2y=4x⇒2联立y-4my-4=0，故y1+y2=4m，y1y2=-4．x=my+1222则|AB|=m+116m+16=4m+1，1同理|PQ|=4+1，m221|AB|+|PQ|=42+m+≥16，当且仅当m=±1时，取“=”，m223,故选：A【点睛】关键点点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|=x1+x2+p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．2π3(2021上·江西·高三校联考阶段练习)过抛物线y=2pxp>0的焦点F作倾斜角为θθ≠的2π直线，交抛物线于A,B两点，当θ=时，以FA为直径的圆与y轴相切于点T0,3.3(1)求抛物线的方程；(2)试问在x轴上是否存在异于F点的定点P，使得FA⋅PB=FB⋅PA成立？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.2【答案】(1)y=4x；(2)存在点P，P-1,0.p【分析】(1)根据平面几何性质求得A2+2,23,代入抛物线方程即可求出结果；(2)设直线FA的方程与抛物线的方程联立，进而用y1,y2分别表示出FA,PB,FB,PA，然后根据FA⋅PB=FB⋅PA建立等量关系，消去y1,y2即可求出结果.【详解】(1)设FA的中点为C，过C作CE⊥x轴于E，连接CT，因为以FA为直径的圆与y轴相切于点T0,3，ππ所以CT⊥y于T，故CE=OT=3，因为θ=，即∠CFE=，所以CF=2,EF=1，所以33pp2pC1+2,3，因此A2+2,23,因此23=2p2+2，因为p>0，所以p=2，故抛物线的方程为2y=4x；x=my+1(2)设Px0,0，且F1,0,由题意可知直线FA斜率不为0，故设直线FA：x=my+1，所以y2=4x，2FAy1PA联立得y-4my-4=0，设Ax1,y1,Bx2,y2，则y1y2=-4，而=，而=FBy2PB2222y1-0+x1-x0FAPAy1y1-0+x1-x0，因为FA⋅PB=FB⋅PA，即=，所以=，y-02+x-x2FBPBy2y-02+x-x2220220y2221y2y2+x-x2y2y1+4-x011102212两边同时平方可得2=22，又因为y1=4x1,y2=4x2，所以2=y22，化简整理可得y1y2y2+x2-x0y2y2+2-x2404222422222222222y2y1y1y22222y1y2y1y222222y1y2y1-y22y1y2y1y2y2+-x0+y1x0=y1y2+-x0+y2x0，即y1-y2x0=，所以x0==162162161616=1，所以x0=±1，因为异于F点，所以x0=-1，故点P-1,0.【点睛】求定值(定点)问题常见的方法有两种：24,(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值(点)与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值(定点)．24(2020·四川遂宁·统考二模)过抛物线y=2pxp>0的焦点F作直线交抛物线于M，N两点(M，N的横坐标不相等)，弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若MN=40，则HF=()A.14B.16C.18D.20【答案】D【分析】利用点差法，得到弦所在直线的斜率与弦中点纵坐标的关系式，再结合抛物线的定义即求.【详解】设Mx1,y1，Nx2,y2，弦MN的中点为Mx0,y0，HxH,0，2y1=2px1则2，y2=2px222y1-y2y1-y2y1+y2所以=2p，所以=2p，x1-x2x1-x22p2pp则kMN===，y1+y22y0y0y0所以弦MN的垂直平分线为y-y0=-x-x0．pp令y=0，则xH=x0+p，所以HF=x0+．2又MN=x1+x2+p=2x0+p=40，所以HF=20．故选：D．2=5设抛物线C:y4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|，则l的方程为()33A.y=x-1或y=-x+1B.y=(X-1)或y=-(x-1)3322C.y=3(x-1)或y=-3(x-1)D.y=(x-1)或y=-(x-1)22【答案】C【详解】设A(x1,y1),B(x2,y2),又F(1,0),则AF=(1-x1,-y1),FB=(x2-1,y2),由题意知AF=3FB,{1-x1=3(x2-1),因此-y1=3y2,{x1=4-3x2,即y1=-3y2,2{y2=4x2,又由A、B均在抛物线上知2(-3y2)=4(4-3y2).x=1,23解得y=±23,23±233直线l的斜率为=±3,1-1325,因此直线l的方程为y=3(x-1)或y=-3(x-1).故选C.6(2022·全国·高三专题练习)已知点F和直线l是离心率为e的双曲线C的焦点和对应准线，焦准距(焦点到对应准线的距离)为p．过点F的弦AB与曲线C的焦点所在的轴的夹角为θ0°<θ≤90°，则有．【答案】答案见解析【分析】结合双曲线的定义，通过讨论焦点F内分、外分弦AB两种情况，即可证明．【详解】设点A，B，F在准线l上的射影分别为A1，B1，H，l与曲线C的焦点所在的轴交于点H．过点F作HF的垂线交直线AA1于点M，交直线BB1于点N．由双曲线的定义得，AF=eAA1，BF=eBB1．(1)当焦点F内分弦AB时，如图，AA1=A1M+MA=p+|AF|cosθ，BB1=B1N-NB=p-BFcosθ，AFBF因此=p+AFcosθ，=p-BFcosθ，eeepep所以焦半径AF=，焦半径BF=，1-ecosθ1+ecosθepep2ep所以AB=AF+BF=+=．1-ecosθ1+ecosθ221-ecosθ(2)当焦点F外分弦AB时，如图，AA1=MA-A1M=AFcosθ-p，BB1=B1N-NB=p-BFcosθ，AFBF所以=AFcosθ-p，=p-BFcosθ，eeepep焦半径AF=，焦半径BF=，ecosθ-11+ecosθepep2ep所以AB=AF-BF=-=．ecosθ-11+ecosθ22ecosθ-12ep综合(1)(2)知，AB=．221-ecosθ题型8椭圆、双曲线点坐标式焦半径公式二级结论一．椭圆的焦半径及其应用：2y2x1.焦半径公式：Px0，y0是椭圆2+2=1(a>b>0)上一点，F1,F2是左、右焦点，e椭圆的离心率是ab26,则,PF1=a+ex0,PF2=a-ex0，y22xPx0，y0是椭圆2+2=1(a>b>0)上一点，F1,F2是上、下焦点，e椭圆的离心率是则,PF1=a-ey0,abPF2=a+ey0，2.椭圆的坐标式焦点弦长公式：2y2x(1)椭圆+=1(a>b>0)的焦点弦长公式：22abAB=2a+exA+xB(过左焦点)；AB=2a-exA+xB(过右焦点)，即AB=2a-exA+xB；y22x(2)椭圆+=1(a>b>0)的焦点弦长公式：22abAB=2a-eyA+yB(过上焦点)；AB=2a+eyA+yB(过下焦点)，即AB=2a-eyA+yB．二．双曲线的焦半径及其应用：1:定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径.2.当点P在双曲线上时的焦半径公式，(其中F1为左焦点，F2为右焦点)它是由第二定义导出的，其中a是实半轴长，e是离心率，x0是P点的横坐标.当焦点在x轴，P在左支时：PF1=-(ex0+a),PF2=-(ex0-a).当焦点在x轴，P在右支时：PF1=ex0+a,PF2=ex0-a.当焦点在y轴:P在上支时：PF1=ey0+a,PF2=ey0-a当焦点在y轴:P在下支时：PF1=-(ey0+a),PF2=-(ey0-a)三．双曲线的坐标式焦点弦长公式：2y2x(1)双曲线-=1a>0,b>0的焦点弦长公式：22ab22222ab1+k2ab1+k同支弦AB=exA+xB-2a=222；异支弦AB=2a-exA+xB=222，统一为：ABak-bb-ak222ab1+k=exA+xB-2a=222；ak-by22x(2)双曲线-=1a>0,b>0的焦点弦长公式：22ab同支弦AB=eyA+yB-2a；异支弦AB=2a-eyA+yB，统一为：AB=eyA+yB-2a．2y2x1(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆+=1a>b>0，若过左焦点的直线交椭圆于A,B两点，22ab求AB．【答案】AB=2a+ex1+x2，e是椭圆的离心率【分析】由焦半径公式即可得焦点弦公式【详解】设Ax1,y1,Bx2,y2，由焦半径公式得：AF1=a+ex1,BF1=a+ex2，e是椭圆的离心率，两式相加得AB=2a+ex1+x2．【点睛】(1)只需要两根和，即可求得弦长．2y2x(2)椭圆+=1(a>b>0)的焦点弦长公式：22ab|AB|=2a+e(xA+xB)(过左焦点)；|AB|=2a-e(xA+xB)(过右焦点)，其中e是椭圆的离心率．y22x椭圆+=1(a>b>0)的焦点弦长公式：22abAB=2a-eyA+yB(过上焦点)；AB=2a+eyA+yB(过下焦点)，其中e是椭圆的离心率．27,【变式训练】2y2x1(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆+=1的左右焦点分别为F1，F2，若过点P0,-2及F121的直线交椭圆于A，B两点，求AB．102【答案】AB=9【分析】由椭圆的焦点弦长公式可得AB=2a+e(x1+x2)，写出直线AB的方程，联立椭圆方程，即可由韦16达定理得出x1+x2=-，即可求.92【详解】由题意，a=2,c=1,e=，F1(-1,0)，2xy则直线AB的方程为+=1，即y=-2x-2，-1-222令A(x1,y1),B(x2,y2)，则AF1=a+ex1=2+x1，BF1=a+ex2=2+x2，22y=-2x-2216直线方程与椭圆方程联立x2y2，得：9x+16x+6=0，x1+x2=-+=19212102所以AB=AF1+BF1=22+(x1+x2)=．29【点睛】(1)从椭圆的标准方程看出焦点的位置，合理选择椭圆的焦点弦长公式．(2)一般弦长公式对椭圆的焦点弦长仍然适用，但是计算繁琐，直接利用椭圆的焦点弦长公式就更为简捷．2y2x2(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆+=1，若过左焦点的直线交椭圆于A，B两点，且A，4913B两点的横坐标之和是-7，求AB．【答案】AB=8【分析】利用椭圆焦半径公式求得焦点弦长.22【详解】由已知得a=7，b=13，c=a-b=49-13=6，c6所以离心率e==，a76AB=a+ex1+a+ex2=2a+ex1+x2=2a-7e=2×7-7×=8.72y2x3(2022·全国·高三专题练习)设双曲线2-2=1(a>0,b>0)，其中两焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,ab0)，经过右焦点的直线交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|．【答案】答案见解析【分析】讨论弦AB所在直线的斜率k存在,以及直线与同支、异支相交，结合第二定义即可得到弦长.【详解】(1)当弦AB所在直线的斜率k存在时，设直线AB为y=k(x-c)，2y2x222222双曲线方程-=1可化为bx-ay-ab=0①，22ab2222222222将直线y=k(x-c)代入①整理得，-ak+bx+2ackx-a(ck+b)=0，222ack设A(x1,y1),B(x2,y2)，x1+x2=222,ak-bb当k>时，弦AB的两个端点同在右支曲线上(如图1)，于是a222ab(1+k)∴|AB|=|AF2|+|BF2|=(ex1-a)+(ex2-a)=e(x1+x2)-2a=222，ak-b28,b当0≤k<时，弦AB的两个端点在左右两支曲线上(如图2)，于是a222ab(1+k)|AB|=|BF2|-|AF2|=(a-ex2)-(ex1-a)=2a-e(x1+x2)=222．b-ak22a2b(2)当弦AB所在直线的斜率k不存在时，弦AB与x轴垂直，|AB|=2c-ce=a．题型9抛物线点坐标式焦半径公式二级结论抛物线的坐标式焦点弦长公式：2(1)抛物线y=2pxp>0的焦点弦长公式：AB=p+xA+xB；2(2)抛物线y=-2pxp>0的焦点弦长公式：AB=p-xA+xB；2(3)抛物线x=2pyp>0的焦点弦长公式：AB=p+yA+yB；2(4)抛物线x=-2pyp>0的焦点弦长公式：AB=p-yA+yB．21(2021·河北·高三专题练习)过抛物线y=2pxp>0的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点，若线段AB的长为8，则P=.【答案】2【详解】设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为45°的pp1直线方程为y=x-，把y=x-代入y2=2px，得x2-3px+p2=0，∴x1+x2=3p，∵|AB|=224x1+x2+p=4p=8，∴p=2．【变式训练】21(2023·北京·人大附中校考三模)已知抛物线y=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，AB=10，AB的中点横坐标为4，则p=．【答案】2【分析】根据抛物线定义有AB=xA+xB+p，结合已知即可求参数p的值.xA+xB【详解】由抛物线定义知：AB=xA+xB+p=10，而AB的中点横坐标为4，即=4，2所以8+p=10，即p=2.故答案为：222(2023·全国·模拟预测)已知抛物线C:y=4x的焦点为F，则过点F且斜率为3的直线l截抛物线29,C所得弦长为()22161983A.B.C.D.3333【答案】B【分析】求出直线l的方程y=3(x-1)，与抛物线方程联立，根据韦达定理以及抛物线的定义可求出结果.2【详解】由y=4x可得F(1,0)，准线方程为x=-1，直线l:y=3(x-1)，y=3(x-1)2联立2，消去y并整理得3x-10x+3=0，Δ=100-36=64>0，y=4x设直线l与抛物线的两个交点为(x1,y1)，(x2,y2)，10则x1+x2=，31016所以直线l截抛物线C所得弦长为x1+x2+2=+2=.33故选：B题型10焦点弦定比分点求离心率二级结论π1.点F是椭圆的焦点，过F的弦AB与椭圆焦点所在轴的夹角为θ,θϵ0,，k为直线AB的斜率，且AF22λ-1=λFB(λ>0)，则e=1+kλ+11λ-1当曲线焦点在y轴上时，e=1+2λ+1kAFBFAFBF注：λ=或者λ=,而不是或者点F是双曲线焦点，BFAFABABπ2.过F弦AB与双曲线焦点所在轴夹角为θ,θϵ0,，k为直线AB斜率，且AF=λFB(λ>0)，则e=22λ-11+kλ+11λ-1当曲线焦点在y轴上时，e=1+2λ+1k2y2x1(23·24高三上·云南·阶段练习)已知椭圆C：2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2ab且倾斜角为60°的直线l与C交于A，B两点．若△AF1F2的面积是△BF1F2面积的2倍，则C的离心率为．2【答案】3【分析】由△AF1F2的面积是△BF1F2面积的2倍，得到AF2=2BF2，由此设AF2=2x，分别在△AF1F2和△BF1F2中利用余弦定理，即可找出a,c的关系，即可求得答案.(可以直接用二级结论)【详解】如图，由△AF1F2的面积是△BF1F2面积的2倍，可得AF2=2BF2，30,不妨设AF2=2x，BF2=x，F1F2=2c，则AF1=2a-2x，BF1=2a-x．222在△AF1F2中，∠F1F2A=∠BF2x=60°,由AF2+F1F2-AF1=2AF2F1F2cos60°，22222得4x+4c-2a-2x=4cx，整理得4c-4a+8ax-4cx=0①．222在△BF1F2中，∠F1F2B=120°,由BF2+F1F2-BF1=2BF2F1F2cos120°，22222得x+4c-2a-x=-2cx，整理得4c-4a+4ax+2cx=0②，223a-3c①+②×2得x=，将该式代入②，4a22223ca-cc2整理得c-a+=0，即=，2aa32故C的离心率为，32故答案为：3【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于找到a,c之间的关系，解答时要注意利用△AF1F2的面积是△BF1F2面积的2倍，得到AF2=2BF2，由此可分别在△AF1F2和△BF1F2中利用余弦定理，即可找出a,c的关系，求得答案.【变式训练】2y2x1(2022上·辽宁鞍山·高三鞍山一中校考期中)已知椭圆C:+=1的左焦点为F，过F斜率为22abAF33的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若=，则椭圆C的离心率e=．BF22【答案】/0.4523b2c-b4AF3【分析】设Ax1,y1,Bx2,y2，将直线和椭圆联立消元得y1+y2=22,y1y2=22，由=2可得3b+a3b+aBF22222y1=-3y2，这几个式子再结合b=a-c化简可得c=a.5【详解】因为直线AB过F(-c,0)且斜率为3，所以直线AB为：y=3x+c，2y2222x3a+b223bc4与椭圆C：+=1(a>b>0)联立消去x，得y-y-b=0，a2b2332423bc-3b设Ax1,y1,Bx2,y2，则y1+y2=22,y1y2=223a+b3a+bAF3y223b2c3-3b42因为=2，可得2y1=-3y2，代入上式得-2=22,-2y2=22BF3a+b3a+b222消去y2并化简整理得：24c=3a+b，2222422将b=a-c代入化简得：c=a，解得c=a，255c2因此，该双曲线的离心率e==.a531,2故答案为：.52y2x2(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线C:-=1a>0,b>0的右焦点为F，过F且斜率为22ab3的直线交C于A、B两点，若AF=4FB，则C的离心率为()5679A.B.C.D.8555【答案】B2y2x【分析】设双曲线C:-=1的右准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于22ab1D，根据直线AB的斜率为3，得到AD=AB，再利用双曲线的第二定义得到AD=21AF-FB，又AB=AF+FB，结合AF=4FB求解.e2y2x【详解】设双曲线C:-=1的右准线为l，22ab过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，如图所示：因为直线AB的斜率为3，所以直线AB的倾斜角为60°，1∴∠BAD=60°，AD=AB，2111由双曲线的第二定义得：AM-BN=AD=AF-FB=AB=AF+FB，e22又∵AF=4FB，35∴FB=FB，e26∴e=5故选：B【点睛】本题主要考查双曲线的第二定义的应用以及离心率的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.2y2x3(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F，经过F且倾斜角为60°22ab的直线l与椭圆相交于不同两点A,B，已知AF=2FB．(1)求椭圆的离心率；32,15(2)若|AB|=，求椭圆方程．42【答案】(1)32y2x(2)+=195λ-1【分析】(1)由圆锥曲线焦点弦的重要公式ecosθ=求解.λ+12ep(2)由圆锥曲线焦点弦的弦长公式|AB|=求解.221-ecosθλ-1【详解】(1)圆锥曲线焦点弦的重要公式ecosθ=，因为AF=2FB，直线l的倾斜角为60°，λ+1所以θ=60°，λ=2，2-12所以ecos60°=，解得e=.2+13215(2)将e=,θ=60°,|AB|=，代入圆锥曲线的焦点弦的弦长公式得，342⋅2⋅p2ep153155|AB|==，即=，解得p=，1-e2cos2θ41-22cos260°4232a5c222因为p=-c=，e==，解得a=3,c=2,b=a-c=5，c2a32y2x所以椭圆方程为：+=1.952y2x4(2023·贵州·统考模拟预测)椭圆C:+=1(a>b>0)的上顶点为A,F是C的一个焦点，点B22ab在C上，若3AF+5BF=0，则C的离心率为()1323A.B.C.D.2522【答案】A【分析】根据向量关系得到A,B,F三点共线，表达出B点坐标，代入椭圆方程，求出离心率.【详解】因为3AF+5BF=0，所以A,B,F三点共线，其中A0,b，不妨设Fc,0，Bm,n，则AF=c,-b,BF=c-m,-n，m=8c3c+5c-5m=05由3AF+5BF=0得，解得，-3b-5n=0n=-3b58c3b故B,-，552y222x64c9bc1将其代入C:+=1(a>b>0)中得，+=1，解得=，a2b225a225b2a21故离心率为.2故选：A2y2x1(2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模)已知椭圆+=1的右焦点为F2，过右焦点作倾斜22ab33,π角为的直线交椭圆于G,H两点，且GF2=2F2H，则椭圆的离心率为()31223A.B.C.D.2232【答案】C【分析】根据题意写出直线方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理与GF2=2F2H构建出关于a、b、c的齐次方程，根据离心率公式即可解得.π【详解】设F2c,0，Gx1,y1，Hx2,y2，过点F2做倾斜角为的直线斜率k=3，32y2x+=122直线方程为y=3x-c，联立方程ab，y=3x-c21222324可得a+by+bcy-b=0，332423bc3b根据韦达定理：y1+y2=-22，y1y2=-22，3a+b3a+b因为GF2=2F2H，即c-x1,-y1=2x2-c,y2，所以y1=-2y2，23b2c22-y1y2y1+y23a2+b21所以+=-2=-2=-2-，4y2y1y1y2-3b2223a+b22224c12223a+b=8c即22=2，所以3a+b=8c，联立a2=b2+c2，3a+b22242可得4a=9c，e=⇒e=.93故选：C.2y2x432(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为，过左焦点Fa2b23且斜率为k>0的直线交C的两支于A,B两点．若|FA|=3|FB|，则k=．3【答案】323y2x1143【分析】由题意设双曲线的方程为-=1，直线为x=y-c，即x=y-a，a213a2kk3联立方程，设Ax1,y1,Bx2,y2，由|FA|=3|FB|，得y1=3y2，由根与系数的关系求解即可2c4322216a【详解】因为=,c=a+b=，a3323y222x所以3b=13a，双曲线的方程为-=1，22a13a1143设过左焦点F且斜率为k>0的直线为x=y-c，即x=y-a，kk323y2x-=1a213a213210431692与双曲线联立得-3y-ay+a=0，143k23k3x=y-ak3221043ak169ak设Ax1,y1,Bx2,y2，则y1+y2=2,y1⋅y2=2，313-3k313-3k因为|FA|=3|FB|，所以y1=3y2，34,221043ak2169ak所以4y2=2,3y2=2，313-3k313-3k22169×64×3ak322消去y2得×=169ak，313-3k2161221化简得=1，即k=，13-3k23因为k>0，3所以k=，33故答案为：32y2x3(多选)(2022·辽宁沈阳·统考模拟预测)已知双曲线-=1a>0,b>0的离心率为e，左、右22ab焦点分别为F1、F2，过点F2的直线与双曲线右支交于P，Q两点，且PF1=2PF2，下列说法正确的是()A.PF2与双曲线的实轴长相等B.e∈1,3C.若P在以F1F2为直径的圆上，则双曲线的渐近线方程为y=±4xD.若PF1=QF2，则直线PQ的斜率为±42【答案】ADb【分析】根据双曲线的定义求解判断A，由由双曲线的性质PF2≥c-a求解判断B，利用勾股定理求得a判断C，结合双曲线的定义，余弦定理求得直线PQ倾斜角的正切值，再利用对称性得直线斜率判断D．【详解】由双曲线定义知PF1-PF2=PF2=2a，A正确；由双曲线的性质PF2≥c-a(P为右顶点时取等号)，本题中P不可能是右顶点，c所以2a>c-a，e=<3．a所以e∈(1,3)，B错误；若P在以F1F2为直径的圆上，即PF1⊥PF2，由选项A讨论知PF1=4a，2222222b所以(4a)+(2a)=(2c)，即c=5a，从而b=4a，=2，渐近线方程为y=±2x，C错误；a若PF1=QF2，则QF2=PF1=4a，所以QF1=6a，222224c+4a-16ac-3a△PF1F2中，cos∠PF2F1==，8ac2ac222224c+16a-36ac-5a△QF1F2中，cos∠QF2F1==，16ac4ac2222c-3ac-5a2211cos∠PF2F1+cos∠QF2F1=0，所以+=0，3c-11a=0，c=a，2ac4ac31122a-3a3132cos∠PF2F1==，∠PF2F1∈0,π，sin∠PF2F1=，2a×11a33333sin∠PF2F所以tan∠PF2F1==32=42，由对称性知PQ的斜率为±42，D正确．cos∠PF2F故选：AD．24(2021·四川成都·石室中学校考三模)已知直线经过抛物线y=2pxp>0的焦点F并交抛物线于A，B两点，则AF=4，且在抛物线的准线上的一点C满足CB=2BF，则p=.35,【答案】2【分析】由所给向量关系可得点C在直线AB上，过点A，B分别作抛物线准线的垂线，结合抛物线定义求出∠ACN=30°即可作答.2p【详解】过点A，B作抛物线y=2pxp>0准线x=-的垂线，垂足分别为N，M，令准线交x轴于点K，2如图：则有|AN|=|AF|,|BM|=|BF|，因点C在准线上且满足CB=2BF，即点C是直线AB与准线的交点，于是有|CB|=2|BM|，得∠ACN=30°，从而有|AC|=2|AN|=2|AF|，即点F是线段AC的中点，11而FK⎳AN，则有|FK|=|AN|=|AF|=2,又|FK|=p，22所以p=2.故答案为：22y2x5(2020·全国·校联考模拟预测)已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点M(3,1)，且左、右顶点分别22ab为A1,A2，左焦点为F1，上、下两个顶点分别为B1,B2,0为坐标原点，△A1B1F1与△OA2B2面积的比值为3-6．3(1)求C的标准方程；(2)过F1且斜率为kk>0的直线l与椭圆C交于P,Q两点，点D在y轴上，且满足PD=QD，已知E(0,-2)，求△EPQ与△A2OD面积比值的最小值．2y2x【答案】(1)+=1；(2)22．62【分析】(1)由△A1B1F1与△OA2B2面积的比可得a,c关系，再由椭圆过点即可求出a,b；212k(2)设直线l的方程为y=k(x+2)(k>0)，联立椭圆方程，由根与系数关系求x1+x2=-2，x1x2，将3k+1△EPQ与△A2OD面积比转化为关于k的式子，利用均值不等式求最值.1(a-c)⋅bS△A1B1F123-6【详解】(1)设F1(-c,0)，由题意知==，S△OA2B21ab32c6整理得=①．a331将(3,1)代入C的方程，得+=1②22ab222由①②及a=b+c，得a=6，b=2，2y2x故C的标准方程为+=1．6236,(2)由(1)知F1(-2,0)，则直线l的方程为y=k(x+2)(k>0)．2y2x+=1联立直线l与椭圆C的方程，得62，y=k(x+2)2222消去y可得3k+1x+12kx+12k-6=0，设Px1,y1，Qx2,y2，2212k12k-6则x1+x2=-2，x1x2=2，3k+13k+1222所以|PQ|=1+kx1-x2=1+k⋅x1+x2-4x1x2=22226k2+126k2+1212k12k-621+k--4×=1+k×=．3k2+13k2+13k2+13k2+1|2+2k|2(k+1)易知点E(0,-2)到直线l的距离d==．221+k1+kx+x22126k2k6k2k设线段PQ的中点为N，则xN=2=-2,yN=kxN+2=2，即N-2,2，3k+13k+13k+13k+122k16k所以线段PQ垂直平分线的方程为y-=-x+，3k2+1k3k2+1因为|PD|=|QD|，所以点D在线段PQ的垂直平分线上，-4k4k令x=0，得y=，则|OD|=．223k+13k+12126k+12(k+1)S△EPQ2⋅3k2+1⋅k2+1(k+1)k2+1k2+1(k+1)2k2+1k2+2k+1所以=====S14kkk2k2△A2OD⋅2⋅623k+11111k+kk+k+2≥2k⋅k⋅2k⋅k+2=22，1当且仅当k=，即k=1时取等号，k故△EPQ与△A2OD面积比值的最小值为22．【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线最值问题的常用方法有三种：一是转化为函数的最值问题，先引入变量，构建与待求量有关的函数，然后求最值；二是转化为基本不等式问题，利用不等关系构建不等式并求解；三是利用圆锥曲线的几何性质及数形结合法求解．如本题第(2)问，先建立关于面积比值的表达式，然后对其进行转化，最后利用基本不等式求解．2y2x2226(2021·江西新余·统考模拟预测)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)和圆O:x+y=a,F1(-1,0),F2abπ(1,0)分别是椭圆的左、右两焦点，过F1且倾斜角为α∈0,2的动直线l交椭圆C于A,B两点，交圆O于πP,Q两点(如图所示)，当α=时，弦PQ的长为14．437,(1)求圆O和椭圆C的方程(2)若点M是圆O上一点，求当AF2,BF2,AB成等差数列时，△MPQ面积的最大值．2y2x715+56【答案】(1)+=1；(2)4316【分析】(1)由直线被圆截得的弦长为14，运用垂径定理建立关于a,b等式即可求解；(2)求直线PQ的方程，因为直线PQ已经经过F1(-1,0)，只要再求一点或斜率，即可得到方程，因为AF2,BF2,AB成等差数列，结合椭圆的定义，可求得BF2的长，从而可求得B的坐标，最终可求得直线PQ的方程．【详解】(1)取PQ的中点D，连接OD,OPπ2由α=，c=1可得OD=，4222PQ2∵PQ=14，∴OQ=+OD=44222∴a=OQ=4,b=32y222x∴圆O的方程为x+y=4，椭圆C的方程为+=143(2)∵AF2,BF2,AB成等差数列，所以2BF2=AF2+AB,又因为AF2+BF2+AB=8，8∴BF2=32264x-1+y=9415设B(x,y)，则x2y2，得B-3,-3，+=143∴PQ:y=15(x+1)15157∴O到PQ的距离为，PQ=24-=416215又圆O上一点到直线PQ的距离的最大值为+241715715+56∴△MPQ的面积的最大值为2×2×4+2=16．2y2x7(2020·安徽蚌埠·统考一模)已知M是椭圆C：2+2=1(a>b>0)上一点，F1、F2分别为椭圆Cabπ的左、右焦点，且F1F2=2，∠F1MF2=，△F1MF2的面积为3．3(1)求椭圆C的方程；(2)直线l过椭圆C右焦点F2，交该椭圆于A、B两点，AB中点为Q，射线OQ(O为坐标原点)交椭圆于P，38,记△AOQ的面积为S1，△BPQ的面积为S2，若S2=3S1，求直线l的方程．2y2x【答案】(1)+=1；(2)x=±2y+1．432【分析】(1)根据三角形的面积公式和余弦定理求得a=2，b=3，由此求得椭圆C的方程．(2)解法一：由已知和三角形的面积公式得OP=4OQ．分AB斜率不存在和AB斜率存在两种情况，当3AB斜率存在时，设直线方程为y=kx-1，设点Ax1,y1，Bx2,y2，代入作差得kAB⋅kOP=-，得直线432OP的方程为：y=-x，分别与椭圆的方程和AB的直线方程联立求得xP和xQ，可求得斜率k，从而得直4k线AB的方程．解法二：由已知和三角形的面积公式得OP=4OQ．当AB斜率不为0时，设直线AB的方程为x=ty+1，Ax1,y1，Bx2,y2，Qx3,y3，直线AB的方程与椭圆的方程联立求得点P的坐标，将其代入椭圆的方程可求得t=±2，从而得直线AB的方程．【详解】(1)因为F1F2=2，所以c=1，设MF1=m，MF2=n，m+n=2a，π因为∠F1MF2=，△F1MF2的面积为3，31π所以S=mnsin=3，所以mn=4．2322π2在△MF1F2中，由余弦定理得：4=m+n-2mncos，即4=(m+n)-3mn，32解得m+n=4，所以a=2，b=3，2y2x所以椭圆C的方程是+=1．4311(2)解法一：因为S2=3S1，所以QPQBsin∠BQP=3×QAQOsin∠AQO，22所以QP=3QO，所以OP=4OQ．当AB斜率不存在时，S2=S1，不合题意，当AB斜率存在时，设直线方程为y=kx-1，22x1y14+3=1y1-y2y1+y233设点Ax1,y1，Bx2,y2，则2y2，两式作差得：⋅=-，即kAB⋅kOP=-，x2+2=1x1-x2x1+x244433故直线OP的方程为：y=-x，4k3y=-x2y=-3x2联立4k，解得x2=16k，联立4k，解得x=4k，x2y2P2Q2+=13+4ky=k(x-1)3+4k434k4k2112因为xP=4xQ，所以2=4×2，即k=，解得：k=±，3+4k3+4k421所以直线AB的方程为y=±(x-1)．2(2)解法二：因为S2=3S1，11所以QPQBsin∠BQP=3×QAQOsin∠AQO，所以QP=3QO，所以OP=4OQ．22当AB斜率为0时，Q，O两点重合，不合题意，故设直线AB的方程为x=ty+1，Ax1,y1，Bx2,y2，Qx3,y3，x=ty+122-6t-9联立x2y2得3t+4y+6ty-9=0，所以y1+y2=，y1y2=，22+=13t+43t+44339,y1+y2-3t4所以y3=2=2，x3=ty3+1=2，3t+43t+416-12t所以P4x3,4y3，即P2,2，3t+43t+42y2x42将P代入+=1得3t-8t-16=0，4322即t-43t+4=0，解得：t=±2，所以直线AB的方程为x=±2y+1．【点睛】方法点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．有时若直线过x轴上的一点，可将直线设成横截式.8(2010·全国·高考真题)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF=2FD，则C的离心率为3【答案】3【详解】设椭圆C的焦点在x轴上，如图所示，则B(0，b)，F(c,0)，D(xD，yD)，则BF=(c，-b)，FD=(xD-c，yD)，{c=2(xD-c)∵BF=2FD，∴-b=2yDx=3cD2∴y=-bD23c2b22-21∴+=1，即e2=，a2b233∴e=．32y2x39(2010·全国·高考真题)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为，过右焦点F且斜率为a2b22k(k>0)的直线与C相交于A、B两点．若AF=3FB，则k=()A.1B.2C.3D.2【答案】B224y2c33222ax【详解】因为e==，所以c=a，从而b=a-c=，则椭圆方程为+=1．依题意可得a224a2a2y=kx-3a3222222直线方程为y=kx-2a，联立x24y2可得(1+4k)x-43kax+(3k-1)a=02+2=1aa2(3k2-1)a243k设A,B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，则x1+x2=2,x1x2=21+4k1+4k33因为AF=3FB，所以2a-x1,-y1=3x2-2a,y2，从而有x1+3x2=23a①323323再由AF=3FB可得|AF|=3|FB|，根据椭圆第二定义可得23a-x1=3⋅23a-x2，即433x2-x1=a②340,22235352(3k-1)a(3k-1)5由①②可得x1=3a,x2=9a，所以x1⋅x2=9a=2，则2=9，解得k=±2．因为k1+4k1+4k>0，所以k=2，故选B22χy10(2009·全国·高考真题)已知双曲线C:-=1(a>0，b>0)的右焦点为F且斜率为3的直22ab线交C于A、B两点，若AF=4FB，则C的离心率为()6789A.B.C.D.5555【答案】A【分析】过A，B分别作右准线的垂直AM，AN，垂足分别为M,N,再过B作BH垂直AM垂足为H，设|BF|=x,则|AF|=4x,根据双曲线的第二定义可知|AM|=4ex,|BN|=ex,|AH|=|AM|-|BN|=3ex,由于直线l的倾斜角为60°,所以∠BAH=60°，所以|AH|3ex3e16cos60°====,∴e=.|AB|5x525211(2023·全国·统考高考真题)(多选)设O为坐标原点，直线y=-3x-1过抛物线C:y=2pxp>0的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则()．8A.p=2B.MN=3C.以MN为直径的圆与l相切D.△OMN为等腰三角形【答案】AC【分析】先求得焦点坐标，从而求得p，根据弦长公式求得MN，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.2【详解】A选项：直线y=-3x-1过点1,0，所以抛物线C:y=2pxp>0的焦点F1,0，p2所以=1,p=2,2p=4，则A选项正确，且抛物线C的方程为y=4x.2B选项：设Mx1,y1,Nx2,y2，y=-3x-12由2消去y并化简得3x-10x+3=x-33x-1=0，y=4x1116解得x1=3,x2=，所以MN=x1+x2+p=3++2=，B选项错误.333C选项：设MN的中点为A，M,N,A到直线l的距离分别为d1,d2,d，111因为d=d1+d2=MF+NF=MN，222即A到直线l的距离等于MN的一半，所以以MN为直径的圆与直线l相切，C选项正确.D选项：直线y=-3x-1，即3x+y-3=0，3O到直线3x+y-3=0的距离为d=，2116343所以三角形OMN的面积为××=，2323123由上述分析可知y1=-33-1=-23,y2=-33-1=3，221223213所以OM=3+-23=21,ON=3+3=，3所以三角形OMN不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC.41</arctan或π-arctan<θ<π时，如图2，直线l与双曲线的两个交点a，b不在同一支上，aa连接f2a，f2b，设f1a=m，f1b=n，由双曲线定义可得f2a=2a+m，f2b=n-2a，2222b由余弦定理可得m+2c-2m⋅2c⋅cosθ=2a+m整理可得m=，a+ccosθ2222b同理n+2c-2n⋅2c⋅cosπ-θ=n-2a，n=，ccosθ-a222bb2ab则可求得弦长ab=n-m=-=，ccosθ-aa+ccosθ222ccosθ-a因此焦点在x轴的焦点弦长公式：22ab,arctanb<θ<π-arctanba2-c2cos2θaaab=2.2ab,arctana<θ<π-arctana222bbccosθ-a【变式训练】2y2x1(2022·全国·高三专题练习)过双曲线-=1的右焦点f作倾斜角为45°的直线，交双曲线于48a,b两点，求弦长ab．【答案】ab=1622ab【分析】利用公式ab=计算可得；222|a-ccosθ|2y2x22【详解】解：双曲线-=1中，a=2，b=22，所以c=a+b=23，48222ab2ab2×2×8利用公式ab=，代入得ab===16．|a2-c2cos2θ||a2-c2cos2θ|14-12×2222(2022·全国·高三专题练习)过双曲线x-y=4的右焦点f作倾斜角为150°直线，交双曲线于a,20,b两点，求弦长ab．【答案】8【分析】利用双曲线的焦点弦长公式，根据已知条件直接得出弦长．22【详解】由双曲线x-y=4得a=b=2,c=22，又θ=150°22ab2×2×4所以ab===8．a2-c2cos2θ34-8×42y2x3(2022·全国·高三专题练习)过双曲线-=1的右焦点f作倾斜角为45°的直线，交双曲线于48a,b两点，求弦长ab．【答案】ab=1622ab【分析】利用公式ab=计算可得；222|a-ccosθ|2y2x22【详解】解：双曲线-=1中，a=2，b=22，所以c=a+b=23，48222ab2ab2×2×8利用公式ab=，代入得ab===16．|a2-c2cos2θ||a2-c2cos2θ|14-12×2224(2022·全国·高三专题练习)过双曲线x-y=4的右焦点f作倾斜角为30°的直线，交双曲线于a、b两点，求弦长ab．【答案】8【分析】利用双曲线的焦点弦长公式，根据已知条件直接得出弦长．22【详解】由双曲线x-y=4得a=b=2,c=22，又θ=30°22ab2×2×4所以ab===8．a2-c2cos2θ34-8×42y2x5(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线-=1的左右焦点分别为f1，f2，若过点p(0，-2)及32f1的直线交双曲线于a，b两点，求△abf2的面积【答案】1215【分析】求出直线方程，求出点f2到直线ab的距离，再根据结论求出|ab|=183，进而求出三角形面积.2y2x【详解】-=1的焦点坐标为f1-5,0，f25,0，32y+2x-025所以直线ab方程为=，即y=-x-2，0+2-5525×5+2545点f25,0到直线ab的距离h==，1+4352223×2×1+42ab(1+k)5又|ab|===183，|b2-a2k2|42-3×51145所以s△abf=abh=×183×=1215.2223题型7抛物线倾斜角式焦点弦长二级结论21,2p2焦点在x轴上sinθ二级结论：1.抛物线的焦点弦长：ab=．2pcos2θ焦点在y轴上222p2.过抛物线y=2px(p></x2)3直线ab的方程为y=(x-3)32627将其代入双曲线方程消去y得，5x+6x-27=0①，得x1+x2=-，x1·x2=-，5514622716∴|ab|=1+3x1-x2=3×-5-4×-5=53；(2)由题意不妨设点a在双曲线的左支上，则△abf1的周长可表示为：l△af1b=|ab|+|af1|+|bf1|=|af2|-|bf2|+|af1|+|bf1|．根据双曲线的定义，af2-af1=2a=23，bf1-bf2=2a=23l△af1b=2|af1|+4a22由方程①解得点a的坐标为(-3，-23)，所以af1=(-3+3)+(-23)=23∴l△af1b=2|af1|+4a=43+43=83题型5椭圆倾斜角式焦点弦长二级结论二级结论1.圆锥曲线的角度式焦半径公式与焦点弦公式设直线l过圆锥曲线焦点f且交圆锥曲线于a,b两点，不妨设af></x2．9,δ>
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