专题01 集合与常用逻辑用语（5大易错点分析 解题模板 举一反三 易错题通关）-备战2024年高考数学考试易错题（新高考专用）（解析版）

专题01集合与常用逻辑用语易错点一：对集合表示方法的理解存在偏差（集合运算问题两种解题方法）方法一：列举法列举法就是通过枚举集合中的所有元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法。其解题具体步骤如下:第一步定元素：确定已知集合中的所有元素，利用列举法或画数轴写出所有元素或范围；第二步定运算：利用常见不等式或等式解未知集合；第三步：定结果。方法二：赋值法高考对集合的基本运算的考查以选择题为主,所以我们可以利用特值法解题,即根据选项之间的明显差异,选择一些特殊元素进行检验排除,从而得到正确选项.其解题具体步骤如下:第一步：辨差异:分析各选项,辨别各选项的差异；第二步：定特殊:根据选项的差异,选定一些特殊的元素；第三步：验排除:将特殊的元素代入进行验证，排除干扰项；第四步：定结果:根据排除的结果确定正确的选项。易错提醒：对集合表示法的理解先观察研究对象（丨前），研究对象是点集还是数集，故要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元素类型及代表元素的含义. 例已知集合，，则集合（    ）A．B．C．D．破解：根据交集定义计算，可以认为是数集，是点集，故选：A变式1：已知集合，则（）A．B．C．D．破解：∵，，，故选：C注意一个研究对象为数集一个为点集变式2：已知集合，，则（    ）A．B．C．D．破解：由题意可知集合为数集，集合表示点集，故选D.变式3：已知集合，，则（    ）A．B．C．D．破解：因为所以，故选：A1．集合，，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】因为，所以.故选：B 2．已知集合，集合，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】解一元二次不等式可得集合A，根据对数函数性质可求得集合B，根据集合的交集运算即得答案.【详解】由题意，由于，故，故，所以，故选：A3．设全集，集合，，则等于（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】化简集合A，B，根据集合的交集、补集运算.【详解】全集，集合，或，所以，则．故选：B．4．已知集合，，则（   ）A．B．C．D．【答案】B【分析】先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解.【详解】解：集合，由，得，解得， 所以，所以，故选：B5．已知集合，则（    ）A．B．C．D．或【答案】C【分析】先化简集合，再求即可解决．【详解】，则．故选：C．6.已知集合，，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据集合的交运算即可求解.【详解】，所以，故选：B7.下列表示正确的个数是（    ）（1）；（2）；（3）；（4）若，则．（5）A．4B．3C．2D．1【答案】A【分析】根据元素与集合的关系、集合与集合的关系、交集、子集等知识进行分析，从而确定正确答案.【详解】空集没有元素，所以正确，也即（1）正确；空集是任何集合的子集，所以正确，也即（2）正确；由解得，所以，所以（3）错误；若，即是的子集，所以，所以（4）正确； 根据元素与集合的关系可知正确，也即（5）正确.所以正确的个数是.故选：A易错点二：忽视（漏）空集导致错误（集合中的含参问题）1.利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围解题时务必注意:由于∅是任意集合的子集,若已知非空集合B,集合A满足AB或AB,则对集合A分两种情中的含参问题况讨论:(1)当A=∅时,若集合A是以不等式为载体的集合,则该不等式无解;(2)当A≠∅时,要利用子集的概念把子集关系转化为两个集合对应区间的端点值的大小关系,从而构造关于参数的不等式(组)求解.2.利用两集合的运算求参数的值或取值范围解决此类问题的步骤一般为:第一步：化简所给集合;第二步：用数轴表示所给集合;第三步：根据集合端点间关系列出不等式(组);(4)解不等式(组);第四步：检验,通过返回代入验证端点是否能够取到.第五步：解决此类问题多利用数形结合的方法,结合数轴或Venn图进行求解.易错提醒：勿忘空集和集合本身.由于∅是任意集合的子集，是任何集合的真子集，任何集合的本身是该集合的子集，所以在进行列举时千万不要忘记。例已知集合，．若，则的取值范围为（    ）A．B．C．D．破解：根据集合的关系分类讨论求参数即可，由，可得当时，，即，满足题设当时，，即，且，可得综上，a的取值范围为，故选：B 变式1：集合，，若，则实数a的取值集合为（    ）A．B．C．D．破解：首先求出集合，依题意可得，再分、、三种情况讨论因为，，所以，又当，则，当，即，解得，当，即，解得，综上可得实数a的取值集合为，故选：D变式2：设集合，集合，若，则实数的取值范围为（    ）A．B．C．D．破解：结合是否为空集进行分类讨论可求的范围当时，，则，即当时，若，则或解得或，综上，实数的取值范围为故选：D变式3：已知集合，若有两个元素，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．或D．破解：先解出集合，结合有两个元素求解即可因为，，由于有两个元素则或，解得或 所以实数的取值范围是或，故选：C1．已知集合，，若，则的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】由可以得到，从而对集合分类讨论即可求解参数的范围.【详解】∵已知，又因为，∴，即，①当时，满足，此时，解得；②当时，由，得，解得；综上所述，.故选：C.2．设集合，，若，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】解不等式化简集合B，再利用集合的包含关系求解即得.【详解】显然，由，得，当时，即，解得，满足，则；当时，则，解得；所以.故选：C3．已知集合，，若，则实数a的取值集合为（　　） A．B．C．D．【答案】D【分析】分和讨论，根据集合关系可解.【详解】，当时，，满足；当时，，，由可知或，得或.综上，实数a的取值集合为.故选：D4．设集合，}，若，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据得到两集合间的关系，再由集合间的关系，求得的取值范围.【详解】由得，已知，，从而得.故选:D.5．设集合，，若，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】求出集合，分析可知，由集合的包含关系可得出实数的取值范围.【详解】解不等式，即，解得，即，因为，且，则，所以，.故选：B.6．已知集合，，若，则实数a取值集合为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】由题意知，分别讨论和两种情况，即可得出结果.【详解】由，知，因为，， 若，则方程无解，所以；若，，则，因为，所以，则；故实数取值集合为.故选：D.7．已知集合，且，则实数的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】求出，依题意可得，可得关于的不等式，即可得解.【详解】因为，所以，又，所以，又，所以，解得，即实数的取值范围为.故选：A.8．已知集合，若，则实数a的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据得可得答案.【详解】因为，所以，所以.故选：B．9．已知集合，，若，则（    ）A．1B．2C．3D．4 【答案】B【分析】有集合间的关系建立不等式组求出即可.【详解】由，得，易知集合非空，则，解得．故选：B.10．已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】解一元二次不等式化简集合A，再利用集合的包含关系求解作答.【详解】解不等式，得，于是，而，因为，则，因此，解得，所以实数的取值范围为.故选：B11．已知集合，若，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】首先分别求两个集合，再根据包含关系，求参数的取值范围.【详解】由已知得，由，得，所以.故选：.易错点三：忽视集合元素的互异性（利用集合元素三性解决元素与集合关系问题） 类型1有限集中元素与集合间关系的判断(1)待确定元素与已知集合无关:如果待确定元素的值只与自身有关,只需将元素化简、求值,再与该有限集内的元素进行逐个对照,确定是否存在与其相等的元素.若存在,则属于(∈);若不存在,则不属于.(2)待确定元素与已知集合有关:当一个待定集合中的元素与一个已知集合有关,确定元素与待定集合的关系(或待定集合中元素个数)时,应先将待定集合中的元素根据题中限定条件求出(常会用到列举法和分类讨论思想),然后根据题目信息进行分析判断(常依据集合中元素的互异性进行检验).类型2无限集中元素与集合间关系的判断(1)将待确定元素进行变形,看能否表示成无限集合中元素的形式,如果可以,则属于;否则不属于.(2)假设法:假设该对象是集合中的元素,代人看是否与集合限定条件相矛盾,若不矛盾,则属于;否则不属于.易错提醒：利用集合元素的“三性”尤其是互异性是解题的关键,求解过程中务必注意:用描述法表示的集合,要先认清代表元素的含义和集合的类型，是数集、点集,还是其他类型的集合,如表示不同的集合.如果是根据已知列方程求参数值,一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性.例已知集合，，则集合中元素的个数为（    ）A．30B．28C．26D．24破解：，因为，当时，为偶数，共有个元素当时，为奇数，此时，共有个元素当时，为奇数，此时，有重复数字，去掉，共有个元素.综上中元素的个数为个，故选：B变式1：设集合，若，则实数m=（    ）A．0B．C．0或D．0或1 破解：根据元素与集合的关系，分别讨论和两种情况，求解并检验集合的互异性设集合，若，，或。当时，，此时，当时，，此时所以或，故选：C变式2：已知集合，，则集合B中元素个数为（    ）A．5B．6C．8D．9破解：集合，，则当时，有，当时，或，当时，或，所以，集合B有中5个元素，故选：A变式3：若，则的可能取值有（    ）A．0B．0，1C．0，3D．0，1，3破解：根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断的可能取值，则，符合题设，时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设，时，则，符合题设，∴或均可以.故选：C1．对于复数，若集合具有性质“对任意，必有”，则当时，等于(　　)A．1B．－1C．0D．【答案】B【详解】试题分析：集合中各不相同，由已知“对任意，必有”可知时，时2．已知集合，，若，则实数的值为A．B．C．1D．0 【答案】B【详解】因为，则a2＋1＝2，即a＝±1.但当a＝1时，A＝{1，2，0}，此时，不合题意，舍去，所以a＝－1，故选B.3．已知集合，若，则实数＝（）A．1B．-1C．0D．±1【答案】A【分析】根据得或，分类讨论结合集合中元素的互异性求解即可.【详解】由，可得或，解得：或，当时，集合，符合题意；当时，集合不满足集合的互异性；综上，.故选：A.4．已知集合，，若，则实数x的取值集合为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据集合元素的唯一性分类讨论即可.【详解】因为，所以.当时，，得；当时，则.故实数x的取值集合为.故选：B5．已知，，若集合，则的值为（    ）A．-2B．-1C．1D．2【答案】B【分析】结合已知条件，利用集合的互异性即可求解.【详解】∵集合，分母，∴，，且，解得， ∴.故选：B.6．已知集合，若，则实数的值为（    ）．A．B．C．或D．或【答案】B【分析】根据元素与集合之间的关系，及集合元素的互异性即可求出的值.【详解】，且，或⑴、当即或，①、当时，，，此时，不满足集合元素的互异性，故舍去；②、当时，，，此时，符合题意；⑵、当即时，此时，不满足集合元素的互异性，故舍去；综上所述：实数的值为1.故选：B7．已知为实数，，集合中有一个元素恰为另一个元素的倍，则实数的个数为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】由题意分情况讨论并判断即可.【详解】由题意：当时，，此时集合，不成立；当时，，时不成立，时，集合，成立；当时，集合，成立；当时，或，时集合，不成立，时集合，成立；当时，，时集合，不成立，时集合，成立； 当时，或，时集合，不成立，时不成立；故，故选：B.8．已知集合，，则（    ）A．B．或1C．1D．5【答案】C【分析】分和两种情况进行求解，要检验是否与互异性矛盾，得到答案.【详解】当，解得或1，当时，，与元素互异性矛盾，舍去；当时，，满足要求，当时，解得，显然与元素互异性矛盾，舍去，综上，.故选：C易错点四：判断充分性必要性位置颠倒1.充分条件与必要条件的相关概念(1)如果pq,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;(2)如果pq,但q⇏p,则p是q的充分不必要条件;(3)如果pq,且qp,则p是q的充要条件;(4)如果qp,且p⇏q,则p是q的必要不充分条件;(5)如果p⇏q,且q⇏p,则p是q的既不充分又不必要条件2.从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={p(x)},B={q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为:(1)若AB,则p是q的充分条件;(2)若BA,则p是q的必要条件;(3)若A=B,则p是q的充要条件; (4)若A≨B,则p是q的充分不必要条件;(5)若A≩B,则p是q的必要不充分条件;(6)若A⊈B且A⊉B,则p是q的既不充分又不必要条件.易错提醒：(1)A是B的充分不必要条件是指:AB且B⇏A;(2)A的充分不必要条件是B是指:BA且A⇏B,在解题中要弄清它们的区别,以免出现错误.例命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）A．B．C．D．破解：求解命题“”为真命题时，即可根据真子集求解命题“”为真命题,则对恒成立，所以，故，所以命题“”为真命题的充分不必要条件需要满足是的真子集即可，由于是的真子集，故符合，故选：D变式1：已知命题：，，则为真命题的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．破解：先分离参数求出的取值范围，则为真命题的一个充分不必要条件应该是的一个真子集，由题设命题为真，即在上恒成立，所以，则为真命题的一个充分不必要条件应该是的一个真子集，故选：A变式2：记方程①：，方程②：，方程③：，其中是正实数.若成等比数列，则“方程③无实根”的一个充分条件是（    ）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根破解：根据判别式以及充分条件的定义逐项分析由题意，，其中， 对于A，如果有实根，则，如果有实根，则，有可能大于等于.则，即有可能大于等于0，即由①②不能推出③无实根，A不是充分条件，对于B，有，则必有，即，方程无实根，所以B是③无实根的充分条件.对于C，有，，方程③有实根，C不是方程③无实根的充分条件，对于D，有，q的值不确定，有可能小于，也有可能大于，不能保证方程③无实根，例如，则，所以D不是方程③无实根的充分条件，故选：B.变式3：若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ）A．B．C．D．破解：由，推不出，排除AB由可得，解得或，所以是的既不充分也不必要条件，排除C，，反之不成立，D正确，故选：D1．设为实数，则“”的一个充分非必要条件是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】由充分非必要条件定义，根据不等式的性质判断各项与推出关系即可.【详解】由，则，可得，可推出，反向推不出，满足； 由，则，推不出，反向可推出，不满足；由，则或或，推不出，反向可推出，不满足；由，则，推不出，反向可推出，不满足；故选：A2．使“”成立的一个充分不必要条件是（    ）A．，B．，C．，D．，【答案】B【分析】根据不等式的关系结合充分不必要条件分别进行判断即可．【详解】对于A，若，，当时，成立，所以“，”“”，A不满足条件；对于B，，，则，即，所以“，”“”，若，则，不妨取，，，则，所以“，”“”，所以“，”是“”的充分不必要条件，B满足条件；对于C，若，则，使得，即，即“”“，”，所以“，”是“”的充分条件，C不满足条件；对于D，若，，则，即，当且仅当时，等号成立，所以“，”“”，D不满足条件.故选：B.3．若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】D 【分析】结合充分条件的定义列出不等式组，求解即可．【详解】若不等式的一个充分条件为，则，所以，解得.则实数的取值范围是.故选：D.4．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】先求命题“”为真命题的等价条件，再结合充分不必要的定义逐项判断即可.【详解】因为为真命题，所以或，对A，是命题“”为真命题的充分不必要条件，A对，对B，是命题“”为真命题的充要条件，B错，对C，是命题“”为真命题的必要不充分条件，C错，对D，是命题“”为真命题的必要不充分条件，D错，故选：A5．如果不等式成立的充分不必要条件是；则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】解绝对值不等式，得到，结合题干条件得到是的真子集，从而得到不等式组，求出实数的取值范围.【详解】，解得：， 所以成立的充分不必要条件是，故是的真子集，所以或，解得：，故实数的取值范围是.故选：B6．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】对命题进行求解，可得，再通过充分条件和必要条件进行判断即可.【详解】因为命题是真命题，当时，，若恒成立，则，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是，故选：B．7．函数有两个零点的一个充分不必要条件是（    ）A．a=3B．a=2C．a=1D．a=0【答案】A【分析】先因式分解得，再分类讨论求解当有两个零点时的值，再根据充分不必要条件的性质判断选项即可【详解】，有两个零点，有两种情形：①1是的零点，则，此时有1，2共两个零点②1不是的零点，则判别式，即∴是有两个零点的充分不必要条件故选：A．8．已知a，，则“”的一个必要条件是（    ） A．B．C．D．【答案】B【分析】利用否定ACD选项，进而得答案.【详解】解：对于A选项，当时，，此时，故不是的必要条件，故错误；对于B选项，当时，成立，反之，不成立，故是的必要条件，故正确；对于C选项，当时，，但此时，故不是的必要条件，故错误；对于D选项，当时，，但此时，故故不是的必要条件，故错误.故选：B易错点五：由含有逻辑联结词的命题的真假求参数的取值范围根据命题的真假求参数的取值范围的方法步骤:第一步：求出当命题p,q为真命题时所含参数的取值范围;第二步：根据复合命题的真假判断命题p,q的真假性;第三步：根据命题p,q的真假情况,利用集合的交集和补集的运算,求解参数的取值范围.易错提醒：此类题目一般会出现“p或q”为真,“p或q”为假,“p且q"为真,“p且q”为假等条件,解题时应先将这些条件转化为p,q的真假.p,q的真假有时是不确定的,需要讨论,但无论哪种情况,一般都是先假设p,q为真,求出参数的取值范围,当它们为假时取补集即可。例已知，，，，若“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是（    ）A．B．C．或D．且破解：分类讨论为真和为真时，的取值，进而利用集合的交集关系，即可求解 若p真，则；若q真，则或．又因为“p且q”是真命题，所以或故选：C变式1：若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为（    ）A．B．C．D．破解：结合二次函数的性质来求得的取值范围依题意命题“，”为真命题，当时，成立当时，成立.当时，函数开口向下，不恒成立，综上所述，，故选：B变式2：已知命题，命题，若p假q真，则实数a的取值范围为（    ）A．B．C．D．破解：根据命题为假命题，则为真命题，从而求出，再由命题为真命题，利用基本不等式求出的范围，再取交集即可得解命题，为假命题，则为真命题，满足，解得,命题为真命题，由，当且仅当时等号成立，可知.故实数的取值范围为，故选：C变式3：命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ）A．或B．C．D．破解：确定，考虑，，三种情况，计算得到答案命题“”为假命题，则，当时，，成立.当时，则，解得，即当时，成立，综上所述：，故选：D 1．已知命题：，，则“”是“是真命题”的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】首先求出命题为真时参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若，为真命题，则，解得，则是真命题时对应的的取值范围为，因为Ü，所以“”是“是真命题”的充分不必要条件.故选：A2．已知命题；命题，若命题均为假命题，则实数的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】求出为真命题时的范围，进一步可得答案．【详解】由，得，，，则当时，取最小值2，所以，命题，则，即，若命题均为假命题，则且，即，∴实数的取值范围为．故选：B.3．若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据题意，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由命题“”是真命题则满足，即，所以．故选：A．4．若命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】由题意，写出全称命题的否定，根据其真假性以及一元二次方程的性质，可得答案.【详解】命题“”为假命题，”是真命题，方程有实数根，则，解得，故选：A.5．若“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】原命题为假，则其否定为真即“，”是真命题，利用分离参数思想结合基本不等式求出最值即可得结果.【详解】因为“，”是假命题，所以“，”是真命题，即存在，使成立.又等号仅当，即时成立，所以只要，解得.故选：B.6．已知，，，，若为假命题，则实数m的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】先分别求出命题为真命题时，参数的范围，再由为假命题，得出都是假命题，求出其对应的参数m的取值范围，它们的交集就是答案.【详解】由，，∴， 由，，∴，解得：，∵为假命题，∴p，q都为假命题，若p为假命题，则，若q为假命题，则或，综上，实数m的取值范围是.故选：A.7．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知，命题“，”是真命题，分和两种情况讨论，结合参变量分离法可求得实数的取值范围.【详解】由题意可知，命题“，”是真命题.当时，则有，不合乎题意；当时，由，可得，则有，，当且仅当时，等号成立，所以，.综上所述，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.8．已知命题p：，；命题q：，，若p、q都为真命题，则实数m的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】A 【分析】根据题意，求出p与q均为真命题的a的范围，取交集得答案．【详解】若命题为真命题，则或，解得；若命题为真命题，则，即，解得或∴实数的取值范围是故选：A.9．若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】分离参数，将问题转化为，恒成立，结合基本不等式求解最值即可得解.【详解】若命题“，”是真命题，则，，即恒成立，，当且仅当时等号成立，∴，即实数的取值范围是.故选：C．10．已知命题,命题若是真命题，则a的取值范围是（    ）.A．B．C．(0,]D．[0,]【答案】D【分析】假设命题是真命题：利用一元二次不等式与判别式的关系及其的情况即可得出；假设命题是真命题：利用一元二次方程与判别式的关系即可得出；再利用复合命题的真假判定方法即可得出．【详解】解：假设命题是真命题：，，则或，解得；假设命题是真命题：，，则，解得．若是真命题，则，都是真命题， 则，解得．则的取值范围是．故选．