专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（5类必考点）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

专题2.3二次函数与一元二次方程、不等式【考点1：三个“二次”之间的关系】1【考点2：解不含参的一元二次不等式】5【考点3：解含参的一元二次不等式】7【考点4：一元二次不等式存在性或恒成立问题】12【考点5：利用一元二次不等式解决实际问题】16【考点1：三个“二次”之间的关系】【知识点：三个“二次”之间的关系】判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两个相异实根x1，x2(x1＜x2)有两个相等实根x1＝x2＝－没有实数根一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x<x1或x>x2}R一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}1．（2022秋·江苏盐城·高一江苏省上冈高级中学校联考期中）已知不等式ax2+bx−1>0的解集为{x|3<x<4}，则24a+12b的值是（    ）A．3B．4C．5D．6【答案】C【分析】由韦达定理即可求解.【详解】由题可知：3和4是方程ax2+bx−1=0的两个实数根，由韦达定理可知：3+4=−ba3×4=−1a，解得：a=−112b=712， 则24a+12b=5.故选：C2．（多选）（2023秋·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知关于x的不等式ax2+bx+c>0解集为{x∣x<−3或x>4}，则下列结论正确的有（    ）A．a>0B．不等式bx+c>0的解集为{x∣x<−6}C．a+b+c>0D．不等式cx2−bx+a<0的解集为x∣x<−14或x>13【答案】AD【分析】根据不等式ax2+bx+c>0解集为{x∣x<−3或x>4}，可判断a的正负，确定−3,4是ax2+bx+c=0的两根，从而求出b=−ac=−12a，由此一一判断每个选项，可得答案.【详解】关于x的不等式ax2+bx+c>0解集为{x∣x<−3或x>4},结合二次函数y=ax2+bx+c和一元二次方程ax2+bx+c=0以及不等式的关系，可得a>0，且−3,4是ax2+bx+c=0的两根，A正确；则−3+4=−ba−3×4=ca，故b=−ac=−12a，所以bx+c>0即−ax−12a>0,∴x<−12，即bx+c>0的解集为{x∣x<−12}，B错误；由于x的不等式ax2+bx+c>0解集为{x∣x<−3或x>4},故x=1时，ax2+bx+c<0，即a+b+c<0，C错误；由以上分析可知不等式cx2−bx+a<0即−12ax2+ax+a<0，因为a>0，故12x2−x−1>0,∴x<−14或x>13，故不等式cx2−bx+a<0的解集为x∣x<−14或x>13，D正确，故选：AD3．（多选）（2022秋·湖南永州·高一校考期中）已知方程x2+ax+b=0(a>0)有且只有一个实数根，则（   ）A．a2−b2≤4B．a2+1b≥4 C．若不等式x2+ax−b<0的解集为{x|x1<x<x2}，则x1x2>0D．若不等式x2+ax−b<0的解集为{x|x1<x<x2}，则x1x2<0【答案】ABD【分析】由判别式等于0得b=a24，代入选项A中式子后由二次函数知识判断，代入B中式子后由基本不等式判断，再根据二次不等式的解集与二次方程的根的关系，结合韦达定理判断CD．【详解】由题意Δ=a2−4b=0，b=a24，a2−b2=a2−a416=−116(a2−8)2+4≤4，a=22时取等号．A正确；a2+1b=a2+4a2≥2a2⋅4a2=4，当且仅当a2=4a2，即a=2时等号成立，B正确；不等式x2+ax−b<0的解集为x1,x2，则x1,x2是方程x2+ax−b=0的解，所以x1x2=−b=−a24<0，D正确，C错误．故选：ABD．4．（多选）（2022秋·黑龙江鸡西·高一校考阶段练习）已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为x|−1<x<2，则（    ）A．a>0B．x=−1是方程ax2+bx+c=0的根C．cx2+bx+a>0的解集为x|−1<x<12D．cx2+bx+a>0的解集为x|x<−1或x>12【答案】BD【分析】对AB：根据二次方程和二次不等式的关系，即可判断；对CD：根据题意求得a,b,c关系，再求解不含参数的一元二次不等式即可.【详解】对A：根据题意，易知a<0，故A错误；对B：根据题意，−1,2都是方程ax2+bx+c=0的根，故B正确；对C：根据题意，−1+2=−ba,−2=ca，则b=−a,c=−2a，又a<0，故不等式cx2+bx+a>0可化为−2ax2−ax+a>0，2x2+x−1>0，即2x−1x+1>0，解得x∈x|x<−1或x>12，故C错误，D正确.故选：BD. 5．（2023·高一课时练习）已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(−3,2)，则不等式cx2+bx+a>0的解集为．【答案】{x|x<−13或x>12}【分析】由题可得a<0−3+2=−ba−3×2=ca，然后根据二次不等式的解法即得.【详解】因为不等式ax2+bx+c>0的解集为(−3,2)，所以a<0−3+2=−ba−3×2=ca，可得b=ac=−6a，所以cx2+bx+a>0可化为−6ax2+ax+a>0，因为a<0，所以−6ax2+ax+a>0可化为6x2−x−1>0，即3x+12x−1>0，解得：x<−13或x>12，故答案为：{x|x<−13或x>12}.7．（2023·高一校考课时练习）已知不等式ax2+5x+c>0的解集是x∣13<x<12，求a，c的值.【答案】a=−6,c=−1【分析】由一元二次不等式的解与二次方程的根之间关系，由韦达定理即可求解.【详解】由于不等式ax2+5x+c>0的解集是x∣13<x<12，所以x=13和x=12是ax2+5x+c=0的两个根，由韦达定理可得13+12=−5a且13×12=ca，解得a=−6,c=−1，8．（2023·高一课时练习）利用函数与不等式的关系．(1)若不等式ax2−5x+b>0的解集为−23,14，求不等式ax2+5x+b<0的解集；(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集为(1,2)，求不等式cx2−bx+a>0的解集．【答案】(1){x|x<−14或x>23}；(2)x∣−1<x<−12．【分析】（1）由题意知−23+14=5a−23×14=baa<0，求出a,b，代入解不等式即可； （2）由题意知b=−3ac=2aa<0，代入化简，解不等式即可；【详解】（1）由题意知，方程ax2−5x+b=0的两个根分别为−23和14，且a<0由韦达定理知−23+14=5a−23×14=ba，解得a=−12b=2，则不等式ax2+5x+b<0⇒−12x2+5x+2<0即12x2−5x−2>0⇒4x+13x−2>0，解得：x<−14或x>23所以不等式的解集为：{x|x<−14或x>23}（2）由题意知，方程ax2+bx+c=0的两个根分别为1和2，且a<0由韦达定理知3=−ba2=ca，即b=−3ac=2a，则不等式cx2−bx+a>0⇒2ax2+3ax+a>0，又a<0，则2x2+3x+1<0⇒2x+1x+1<0，解得：−1<x<−12，所以不等式的解集为：x∣−1<x<−12【考点2：解不含参的一元二次不等式】【知识点：解不含参的一元二次不等式】1．（2022秋·福建厦门·高一厦门市海沧中学校考期中）设x∈R，则x<2是x2−2x<0的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断可得【详解】由x2−2x<0，即xx−2<0，解得0<x<2，令集合A=x0<x<2，B=xx<2，因为AÜB，所以x<2是x2−2x<0的必要不充分条件.故选：B2．（多选）（2022秋·江西景德镇·高一统考期中）下列不等式的解集为R的是（    ）A．x2+6x+10>0B．x2+25x+5>0 C．−x2+x−2<0D．2x2−3x−3<0【答案】AC【分析】利用一元二次不等式的解法逐个分析判断即可.【详解】对于A，因为Δ=62−4×1×10=−4<0，1>0，所以不等式x2+6x+10>0的解集为R，所以A正确，对于B，因为Δ=(25)2−4×1×5=0，所以方程x2+25x+5=0的两根为x1=x2=−5，所以不等式x2+25x+5>0的解集为xx≠−5，所以B错误，对于C，因为Δ=12−4×(−1)×(−2)=−7<0，所以不等式−x2+x−2<0的解集为R，所以C正确，对于D，因为Δ=(−3)2−4×2×(−3)=33>0，所以方程2x2−3x−3=0的根为x=3±334，所以不等式2x2−3x−3<0的解集为x3−334<x<3+334，所以D错误，故选：AC3．（2023春·湖南怀化·高二校考期中）不等式8−x2>2x的解集是.【答案】{x|−4<x<2}【分析】根据一元二次不等式的求解即可得作答.【详解】由8−x2>2x得x2+2x−8<0⇒x+4x−2<0⇒−4<x<2，故答案为：{x|−4<x<2}.4．（2022秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）关于x的不等式x2−2x−3<0解集是．【答案】{x|−3<x<3}【分析】分x≥0和x<0分别解一元二次不等式即可求解.【详解】当x≥0时，不等式化为x2−2x−3<0，解得−1<x<3，即0≤x<3；当x<0时，不等式化为x2+2x−3<0，解得−3<x<1，即−3<x<0.综上所述，不等式的解集为{x|−3<x<3}．故答案为：{x|−3<x<3}．5．（2023·高一校考课时练习）（1）2x2−3x−2>0 （2）x2−3x+5>0（3）−6x2−x+2≥0（4）−4x2≥1−4x【答案】（1）{x|x<−12或x>2}；（2）R；（3）{x|−23<x<12};（4）12【分析】（1）根据题意原不等式变形可得2x+1x−2>0，进而分析可得答案；（2）根据配方法将不等式转化为x−322+114>0，进而分析可得答案；（3）根据题意原不等式变形可得−3x−22x−1>0，进而分析可得答案；（4）根据题意原不等式变形可得2x−12≤0，进而分析可得答案.【详解】（1）2x2−3x−2>0原不等式变形可得2x+1x−2>0则该不等式的解集为{x|x<−12或x>2}；（2）x2−3x+5>0因为x2−3x+5=x−322+114>0恒成立，所以该不等式的解集为R；（3）−6x2−x+2≥0原不等式变形可得−3x−22x−1>0则该不等式的解集为{x|−23<x<12}；（4）−4x2≥1−4x原不等式变形可得4x2−4x+1=2x−12≤0则该不等式的解集为12.【考点3：解含参的一元二次不等式】【知识点：解含参的一元二次不等式】①二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式；②当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系；③确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．1．（2023春·江西赣州·高二统考期末）不等式ax2−a+2x+2≥0(a>0)的解集可能为（    ） A．RB．∅C．{x|x≤1或x≥2a}D．{x|x≤2a或x≥1}【答案】ACD【分析】讨论2a,1的大小关系，根据一元二次不等式的解法，即可求得答案.【详解】不等式ax2−a+2x+2≥0(a>0)即(ax−2)(x−1)≥0，当2a>1，即0<a<2时，不等式解集为{x|x≤1或x≥2a}；当2a=1，即a=2时，不等式解集为R；当2a<1，即a>2时，不等式解集为{x|x≤2a或x≥1}，故选：ACD2．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）关于x的不等式ax2+(1−2a2)x−2a<0的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（    ）A．−1B．32C．74D．2【答案】CD【分析】由题意先判断出a>0，写出不等式的解集，由不等式ax+1x−2a<0的解集中恰有3个正整数，分析的这3个正整数为1,2,3,计算求解即可.【详解】不等式化简为ax+1x−2a<0的解集中恰有3个正整数，当a=0时，不等式化为x<0，则解集中有无数个整数.当a<0时，不等式ax+1x−2a<0的解集中有无数个正整数，故A错误；所以a>0，−1a<0，2a>0，所以−1a<2a所以不等式的解集为：x|−1a<x<2a，根据0一定属于此集合，则由不等式ax+1x−2a<0的解集中恰有3个正整数，则这3个整数中一定为：1,2,3，则3<2a≤4，解得32<a≤2故a可取74和2，故C,D正确，AB错误；故选：CD.3．（2023春·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期末）设区间m,n的长度为n−m.已知一元二次不等式(x+a)x−5a≤0(a>0) 的解集的区间长度为l，则（    ）A．当a=1时，l=6B．l的最小值为4C．当a=1时，l=5D．l的最小值为25【答案】AD【分析】根据一元二次不等式的解法解出不等式，运用代入法，并结合基本不等式求解最小值即可.【详解】因为一元二次不等式x+ax−5a≤0a>0的解集为x|−a≤x≤5a，所以l=5a−−a=a+5a，当a=1时，l=6，故A正确，C错误；因为a>0，所以l=a+5a≥2a⋅5a=25（当且仅当a=5a，即a=5时，等号成立），所以l的最小值为25，故D正确，B错误.故选：AD4．（2022秋·云南曲靖·高一校考期末）已知a<0，则不等式x2−2ax−3a2<0的解集为．【答案】{x|3a<x<−a}【分析】将不等式x2−2ax−3a2<0化为(x−3a)(x+a)<0，判断3a,−a的大小，即可确定答案.【详解】不等式x2−2ax−3a2<0即(x−3a)(x+a)<0，因为a<0，故3a<−a，故由(x−3a)(x+a)<0可得3a<x<−a，则不等式x2−2ax−3a2<0的解集为{x|3a<x<−a}，故答案为：{x|3a<x<−a}.5．（2023·高一校考课时练习）解关于x的不等式：ax2−a+1x+1<0.【答案】答案见详解【分析】对a进行分类讨论，结合二次不等式和一次不等式的解法，可得答案．【详解】当a=0时，不等式的解集为{x|x>1}；当a≠0时，分解因式a(x−1a)(x−1)<0，当a<0时，原不等式整理得：x2−a+1ax+1a>0，即(x−1a)(x−1)>0， 不等式的解集为{x|x>1或x<1a}；当a>0时，原不等式整理得：x2−a+1ax+1a<0，即(x−1a)(x−1)<0，当0<a<1时，1<1a，不等式的解集为{x|1<x<1a}；当a>1时，1a<1，不等式的解集为{x|1a<x<1}；当a=1时，不等式的解集为∅，综上所述，当a<0时，不等式的解集为{x|x>1或x<1a}；当a=0时，不等式的解集为{x|x>1}；当0<a<1时，不等式的解集为{x|1<x<1a}；当a=1时，不等式的解集为∅；当a>1时，不等式的解集为{x|1a<x<1}．6．（2023·高一校考课时练习）解关于x的不等式:ax2−2a+1x+a+1<0.【答案】答案见解析【分析】对a=0，a>0，a<0进行分类讨论进而解方程即可.【详解】①当a=0时，不等式化为−x+1<0，解得x>1，此时不等式的解集为xx>1;②当a>0时，原不等式化为x−1ax−a+1<0，解得不等式的解集为:x1<x<1+1a；③当a<0时，原不等式化为:x−1−ax+a+1>0，解得不等式的解集为:xx>1或x<1+1a.综上所述，当a=0时，解集为xx>1;当a>0时，解集为x1<x<1+1a;当a<0时，解集为xx>1或x<1+1a7．（2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知不等式2≤ax2+bx+c≤3的解集为x∣2≤x≤3(1)若a>0，且不等式ax2+b−3x−c≤0有且仅有10个整数解，求a的取值范围； (2)解关于x的不等式：ax2+b−1x+5<0.【答案】(1)1<a≤32(2)答案见解析【分析】（1）根据已知可得方程ax2+bx+c=3的2个根为2，3，由韦达定理解得0<a≤4，从而得不等式ax−6a+3x+1≤0，结合不等式有且仅有10个整数解可得答案；（2）分−4≤a<0、a=0,b>0、a=0,b<0、0<a<15、a=15、15<a≤4讨论解不等式可得答案.【详解】（1）∵a>0，原不等式等价于ax2+bx+c≥2恒成立，且ax2+bx+c≤3的解集为2,3，故方程ax2+bx+c=3的2个根为2，3，故由韦达定理2+3=−ba2×3=c−3a⇒b=−5ac=6a+3，∴ax2+bx+c=ax2−5ax+6a+3≥2恒成立，可得1a≥−x2+5x−6=−x−522+14恒成立，所以1a≥14，解得0<a≤4，ax2+b−3x−c≤0⇒ax2−5a+3x−6a+3≤0，故ax−6a+3x+1≤0，∴−1≤x≤6+3a,∵不等式有且仅有10个整数解，故8≤6+3a<9⇒1<a≤32，所以a的取值范围为1<a≤32；（2）1､当a>0时，由（1）得a>0时1<a≤4，ax2+b−1x+5<0⇔ax2−5a+1x+5<0，即：ax−1x−5<0，①当0<a<15时，原不等式解集为x∣5<x<1a；②当a=15时，原不等式解集为∅；③当15<a≤4时，原不等式解集为x∣1a<x<5.2､当a<0时，原不等式等价于ax2+bx+c≤3恒成立，且ax2+bx+c≥2的解集为[2,3]，由韦达定理：2+3=−ba2×3=c−2a⇒b=−5ac=6a+2,ax2+bx+c=ax2−5ax+6a+2≤3恒成立， 解得−4≤a<0，ax2+b−1x+5=ax−1x−5<0，该不等式解集为{x∣x<1a或x>5}，3､当a=0,b>0时，2b+c=23b+c=3⇒b=1c=0，则ax2+b−1x+5=5<0无解.4､当a=0,b<0时，2b+c=33b+c=2⇒b=−1c=5，则ax2+b−1x+5=−2x+5<0⇒x>52.综上：当−4≤a<0时，不等式解集为{x∣x<1a或x>5}；当a=0,b>0时，不等式解集为∅；当a=0,b<0时，不等式解集为x∣x>52；当0<a<15时，不等式解集为x∣5<x<1a；当a=15时，原不等式解集为∅；当15<a≤4时，原不等式解集为x∣1a<x<5.【点睛】方法点睛：本题体现了转化思想及分类讨论思想的应用，考查了含参数二次不等式的应用.【考点4：一元二次不等式存在性或恒成立问题】【知识点：一元二次不等式存在性或恒成立问题】方法一：①不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或②不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或方法二：将一元二次不等式在某区间恒成立问题常转化为求二次函数的最值问题或用分离参数法求最值问题.1．（2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）“−3<m<1”是“不等式m−1x2+m−1x−1<0对任意的x∈R恒成立”的（    ）条件A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据不等式恒成立，求实数m的取值范围，再利用集合的包含关系，判断充分，必要条件.【详解】当m=1时，m−1x2+m−1x−1<0对任意的x∈R恒成立， 当m≠1时，则m<1Δ<0，解得：−3<m<1，故m的取值范围为−3<m≤1．故“−3<m<1”是−3<m≤1的充分不必要条件．故选：A2．（2023春·江西南昌·高二校联考阶段练习）若命题“∀x∈R,x2+ax+4>0”为真命题，则实数a的取值范围为.【答案】{a|−4<a<4}【分析】根据全称命题的定义和性质结合不等式进行求解即可.【详解】命题“∀x∈R,x2+ax+4>0”为真命题，则有判别式Δ=a2−4×1×4<0，解得−4<a<4.故答案为：{a|−4<a<4}.3．（2023春·河北保定·高二河北省唐县第一中学校考阶段练习）若不等式2kx2+kx−38<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为.【答案】{k|−3<k≤0}【分析】根据题意，分k=0和k≠0，两种情况，结合二次函数的图象与性质，即可求解.【详解】由不等式2kx2+kx−38<0对一切实数x都成立，当k=0时，可得−38<0，此时对一切实数x都成立；当k≠0时，则满足2k<0k2−4×2k×(−38)<0，解得−3<k<0，综上可得，实数k的取值范围是{k|−3<k≤0}.故答案为：{k|−3<k≤0}.4．（江西省南昌市部分学校2022-2023学年高二下学期6月期末数学试题）已知x∈R，∃a∈2,4，使得x2+ax+a2≥x+am−1成立，则m的取值范围为.【答案】{m|m≤5916}【分析】根据一元二次方程恒成立，将问题转化为判别式小于等于0，然后参变分离转化为函数最值问题，利用对勾函数性质可解.【详解】由x2+ax+a2≥x+am−1，得x2+a−1x+a2−am+1≥0.由题意可得∃a∈2,4，使得a−12−4a2−am+1≤0成立，即∃a∈2,4，使得m≤3a4+34a+12成立. 记f(a)=34(a+1a)+12，由对勾函数性质可知f(a)在2,4上单调递增，所以f(a)max=f(4)=34(4+14)+12=5916，故m≤5916.故答案为：{m|m≤5916}.5．（2022秋·河南开封·高一校考期末）若不等式(a−2)x2+2(a−2)x−4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是.【答案】{a|−2<a≤2}【分析】分a−2=0和a−2≠0两种情况讨论求解.【详解】当a−2=0，即a=2时，−4<0恒成立，当a−2≠0时，因为不等式(a−2)x2+2(a−2)x−4<0对一切x∈R恒成立，所以a−2<0Δ=4a−22+16a−2<0，解得−2<a<2，综上，−2<a≤2，即a的取值范围是{a|−2<a≤2}故答案为：{a|−2<a≤2}6．（2023秋·新疆喀什·高一校联考期末）（1）已知不等式kx2+2kx－k+2<0恒成立，求实数k的取值范围；（2）若不等式−x2+2x+3≤a2−3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）{k|−1<k≤0};（2）{a|a≤−1或a≥4}.【分析】（1）分k=0和k≠0两种情况，结合一元二次不等式在实数集上的恒成立问题运算求解；（2）先求y=−x2+2x+3的最大值，再根据恒成立问题分析求解.【详解】（1）当k=0时，不等式−2<0恒成立，所以k=0符合题意；当k≠0时，则k<0Δ=4k2+4kk+2<0，解得−1<k<0；综上所述：实数k的取值范围{k|−1<k≤0}；（2）因为y=−x2+2x+3=−x−12+4，当x=1时，y=−x2+2x+3取到最大值4，可得4≤a2−3a，解得a≤−1或a≥4，所以实数a的取值范围{a|a≤−1或a≥4}.7．（2023春·福建三明·高二统考期末）使不等式4x2+4kx>8x−k对一切实数x恒成立的k的取值范围记为集合 A，不等式x2−3mx+2m−1m+1<0的解集为B．(1)求集合A；(2)若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求实数m的取值范围．【答案】(1)A={x∣1<x<4}(2)m∣1≤m≤52【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立，利用判别式即可求解，（2）分类讨论求解含参的一元二次不等式的解，根据子集关系即可求解.【详解】（1）因为4x2+4kx>8x−k对一切实数x恒成立，所以Δ=16k−22−4×4k=16k2−5k+4=16k−1k−4<0，所以1<k<4，所以集合A={k∣1<k<4}．（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，则B⊆A，因为x2−3mx+2m−1m+1<0，所以x−2m−1x−m+1<0当m=2，即2m−1=m+1，B=∅，满足题意，当m>2，即2m−1>m+1，B={x∣m+1<x<2m−1}，由（1）知A={x∣1<x<4}，所以2m−1≤4,m+1≥1，所以0≤m≤52，所以2<m≤52．当m<2，即2m−1<m+1，B={x∣2m−1<x<m+1}所以m+1≤4,2m−1≥1，所以1≤m≤3，所以1≤m<2，综上所述，实数m的取值范围m∣1≤m≤528．（2022秋·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）设y=ax2+(1−a)x+a−2．(1)若不等式y≥−2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式ax2+(1−a)x−1<0a∈R．【答案】(1)a≥13(2)答案见解析【分析】（1）对a进行分类讨论来分析恒成立问题.（2）解不等式时要对a进行分类讨论. 【详解】（1）不等式y≥−2⇔ax2+(1−a)x+a≥0.当a=0时，ax2+(1−a)x+a≥0⇔x≥0，即不等式y≥−2仅对x≥0成立，不满足题意，舍.当a≠0时，要使ax2+(1−a)x+a≥0对一切实数x恒成立.则a>0Δ=(1−a)2−4a2≤0⇔a>0(3a−1)a+1≥0解得a≥13.综上，实数a的取值范围为a≥13.（2）当a=0时，ax2+(1−a)x−1<0⇔x−1<0解得x<1.当a≠0时，ax2+(1−a)x−1<0⇔ax+1x−1<0.①若a>0，ax+1x−1<0的解为−1a<x<1；②若a<0，当−1a=1即a=−1时，ax+1x−1<0⇔x−12>0解得x≠1.当a<−1时，−1a<1，ax+1x−1<0的解为x<−1a或x>1.当−1<a<0时，−1a>1，ax+1x−1<0的解为x<1或x>−1a.综上，当a>0时，不等式解集为x|−1a<x<1；当a=0时，不等式解集为x|x<1；当−1<a<0时，不等式解集为x|x<1或x>−1a；当a=−1时，不等式解集为x|x≠1；当a<−1时，不等式解集为x|x<−1a或x>1.【考点5：利用一元二次不等式解决实际问题】【知识点：利用一元二次不等式解决实际问题】1．（2023·高一课时练习）某商品在最近30天内的价格m与时间t(单位：天)的函数关系是m=t+10(0<t≤30,t∈N)；销售量y与时间t的函数关系是y=−t+35(0<t≤30,t∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的t的范围为（    ）A．{t|15≤t≤20,t∈N}B．{t|10≤t≤15,t∈N}C．{t|10<t<15,t∈N}D．{t|0<t≤10,t∈N}【答案】B【分析】根据题意列式，解一元二次不等式可得结果.【详解】由日销售金额为(t+10)(−t+35)≥500(t∈N)，即t2−25t+150≤0(t∈N)， 解得10≤t≤15(t∈N).故选：B2．（2023春·河南安阳·高二林州一中校考阶段练习）某地每年消耗木材约20万立方米，每立方米售价480元，为了减少木材消耗，决定按t%征收木材税，这样，每年的木材消耗量减少52t万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元，t的取值范围是（    ）A．{t|1≤t≤3}B．{t|2≤t≤4}C．{t|3≤t≤5}D．{t|4≤t≤6}【答案】C【分析】根据题意，列出不等式480×20−52t×t%≥180，即可求解.【详解】由题意，每年消耗木材为(20−52t)万立方米，所以每年税金为480×20−52t×t%，要保证税金收入每年不少于180万元，可得480×20−52t×t%≥180且t>0，解得3≤t≤5，即实数t的取值范围为{t|3≤t≤5}.故选：C.3．（2022秋·高一校考单元测试）某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价P（单位：元/件）与月销售量x（单位：件）之间的关系为P=160−2x，生产x件的成本（单位：元）R=500+30x.若每月获得的利润y（单位：元）不少于1300元，则该厂的月销售量x的取值范围为（　　）A．{x|20<x<45}B．{x|20≤x<45}C．{x|20<x≤45}D．{x|20≤x≤45}【答案】D【分析】根据题意，建立利润函数，列出不等式，可得答案.【详解】由题意，得y=xP−R=x160−2x−500+30x，∴y=−2x2+130x−500，令y≥1300，得−2x2+130x−500≥1300，∴x2−65x+900≤0，∴x−20x−45≤0，∴20≤x≤45.故选：D.4．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长x（单位：m）的取值范围是（    ）   A．x15≤x≤20B．x12≤x≤25C．x10≤x≤30D．x20≤x≤30【答案】C【分析】根据题意，由相似三角形将AF,FH表示出来，从而表示出S，然后求解不等式，即可得到结果.【详解】  如图，过A作AH⊥BC于H，交DE于F，易知DEBC=AFAH，即x40=AF40，则AF=x，FH=40−x．所以矩形花园的面积S=x40−x≥300，解得10≤x≤30．故选:C．5．（多选）（2023·全国·高一假期作业）有纯农药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的20%，则桶的容积可能为（    ）A．7B．9C．11D．13【答案】BC【分析】根据题意列出不等式求解即可.【详解】设桶的容积为x，根据题意可得关于x的一元二次不等式：(x−8)−4(x−8)x≤20%⋅x，且x>8，化简可得x2−15x+40≤0，∴8<x≤15+652，故选：BC6．（2023春·福建·高二统考学业考试）如图，在长为8m，宽为6m 的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为m．  【答案】1【分析】设花卉带的宽度为x米，根据题设有(8−2x)(6−2x)≤482求解集，即可确定最小值.【详解】设花卉带的宽度为x米，则(8−2x)(6−2x)≤4828−2x>06−2x>0，即(4−x)(3−x)≤6x<3，所以x2−7x+6=(x−1)(x−6)≤0x<3，故1≤x<3，所以花卉带的宽度至少应为1米.故答案为：17．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）某商场新进一批风衣，在市场试销中发现，此风衣的销售价p（元/件）与日销售量x之间的关系为p＝160－2x，总成本R为（500＋30x）元，该商场的日销售量在什么范围时，每天获得的利润不少于1300元？【答案】该商场的日销售量在20≤x≤45时，每天获得的利润不少于1300元【分析】用销售价p乘以件数x减去成本得利润，然后列不等式求解．【详解】由题意(160−2x)x−(500+30x)≥1300，解得20≤x≤45．所以该商场的日销售量在20≤x≤45时，每天获得的利润不少于1300元．8．（2023·全国·高一假期作业）学校要在一块长为40米，宽为30米的矩形地面上进行绿化，四周种植花卉(花卉带的宽度相等)，中间设草坪(如图)．要求草坪的面积不少于总面积的一半，求花卉带宽度的取值范围．  【答案】花卉带宽度的取值范围为{x|0<x≤5} 【分析】设花卉带的宽度为x米，则草坪的长和宽分别是40−2x米，30−2x米，由面积关系列不等式，化简后解一元二次不等式得答案.【详解】设花卉带的宽度为x米，则草坪的长和宽分别是40−2x米，30−2x米，则40−2x30−2x≥12×40×3040−2x>030−2x>0x>0，所以x≤5或x≥30x<20x<15x>0，解得0<x≤5,故花卉带宽度的取值范围为{x|0<x≤5}．9．（2023·高一课时练习）某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本．若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0<x<1)，则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x，为使日利润有所增加，求x的取值范围．【答案】{x|0<x<34}【分析】根据题意求出y关于x的函数关系式，再解一元二次不等式可得结果.【详解】设增加成本后的日利润为y元．y=60×1+0.5x−40×1+x×1000×1+0.8x=2000×−4x2+3x+100<x<1.要保证日利润有所增加，则y>60−40×1000，且0<x<1，即−4x2+3x>00<x<1，解得0<x<34.所以为保证日利润有所增加，x的取值范围是{x|0<x<34}．10．（2022秋·江苏连云港·高一校考阶段练习）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速50km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车的刹车距离s（单位：m）与车速x（单位：km/h）之间分别有如下关系：s甲=0.01x2−0.1x，s乙=0.005x2−0.05x，问：甲、乙两车有无超速现象？【答案】甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速．【分析】由题意列不等式求解后判断，【详解】由题意得，对于甲车，0.01x2−0.1x<12， 即x2−10x−1200<0，而x>0，解得0<x<40，甲车未超过规定限速，同理对于乙车，0.005x2−0.05x>10，x2−10x−2000>0，而x>0，解得x>50，乙车超过规定限速．答：甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速．