彰显函数特性 渗透数学思想——2022年高考“数列”专题解题分析

解题研究下半月（高中版）2022年第7—8期（总第267—268期）彰显函数特性渗透数学思想——2022年高考“数列”专题解题分析王明海，刘连杭，张晓斌（重庆市江北区教师进修学院；重庆市南开中学校；重庆市教育科学研究院）摘要：通过对2022年高考数学全国卷和地方卷中数列试题的特点分析和解题分析，特别是对新、旧高考的数列试题分析，把握新高考对数列内容考查的目标与重点，强调数列作为函数主线内容的体现，提出淡化特殊技巧、培养解题思维习惯、重视函数与数列综合、学会数学思想引领解题方向的复习备考建议.关键词：2022年高考；数列；解题分析《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》考Ⅰ卷和全国新高考Ⅱ卷，以及新高考地方卷与旧高（以下简称《标准》）指出，高中数学课程内容突出函考试卷的显著区别在于结构不良试题、开放性问题、数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学情境性问题等非常规试题的比例增大，学生初见试题探究活动四条主线.数列是选择性必修课程中函数主无法入手，需要深入分析、综合运用所学知识设计解题的内容之一，明确要求学生感受数学模型的现实意题路径，着重考查学生的关键能力和数学核心素养.义与应用；感受数列与函数的共性与差异，体会数学2022年新高考数学试卷中多道数列试题为非常规试的整体性.综观2022年高考数学的全国卷和地方卷，题，无固定套路，学生必须深刻理解基础知识，掌握普遍淡化对数列知识的全覆盖和特殊技巧的考查，注基本方法，综合运用知识方法解决问题，这既体现了重考查学生综合运用知识分析问题、解决问题的关键高考考查要求的基础性，也体现了高考考查的综合能力，突出体现数列的函数特性，加大数列与函数综性，同时注重对学生对数列模型的应用能力和创新能合、数列模型的应用考查.力的考查.本文针对2022年高考数学试卷中的数列试题进行1.等差（比）数列的通项、前n项和及基本量的解题分析，把握高考对数列内容的考查目标和方向，运算掌握解决数列相关问题的基础知识与基本方法，积累首项、公差（比）是等差（比）数列中最为关键分析、解决数列问题的经验，体悟重要数学思想在解的基本量，求等差（比）数列，即是求其首项和公差题过程中的引领作用，最后提出复习备考建议.（比）.得到了等差（比）数列的首项和公差（比），就得到了等差（比）数列及其通项、前n项和等.具体一、试题特点分析到等差（比）数列的相关问题中，往往需要建立方程或方程组求解，方程或方程组中主要涉及a1，d(q)，全国甲卷和全国乙卷中的数列试题着重考查与等n，an，Sn这5个基本量，可以“知三求二”.2022年高差数列、等比数列有关的基础知识、基本方法和常规考数列试题注重考查学生对数列概念的理解和基础知题型，学生容易上手，不需过多分析，见到试题即可识的掌握，淡化技巧、回归本质，部分问题通过基本知道解题路径，这类试题为结构良好试题.全国新高量建立方程或方程组运算即可解决，这也是高考考查收稿日期：2022-07-05作者简介：王明海（1976—），男，高级教师，主要从事高中数学教育教学及评价研究.·48· 下半月（高中版）2022年第7—8期（总第267—268期）解题研究要求基础性的体现.（1）证明：{an}是等差数列；例1（全国乙卷·理8）已知等比数列{an}的前3项（2）若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值.和为168，a2-a5=42，则a6的值为（）.解：（1）因为2Sn+n=2a+1，nn（A）14（B）12（C）6（D）32所以2Sn+n=2nan+n.①解：设等比数列{an}的公比为q，q≠0，2当n≥2时，2Sn-1+(n-1)=2(n-1)an-1+(n-1).②若q=1，则a2-a5=0.①-②，得与题意矛盾，所以q≠1.2232Sn+n-2Sn-1-(n-1)=2nan+n-2(n-1)an-1-(n-1)，■a1-q1()由|a1+a2+a3==168，即2(n-1)an-2(n-1)an-1=2(n-1).■1-q|4*■a2-a5=a1q-a1q=42，所以an-an-1=1，n≥2且n∈N.■a1=96，所以{an}是以1为公差的等差数列.|解得■|q=1.（2）由（1），可得a4=a1+3，a7=a1+6，a9=a1+8.■225因为a4，a7，a9成等比数列，所以a7=a4a9，所以a6=a1q=3.2即(a1+6)=(a1+3)(a1+8).故选择选项D.【评析】此题着重考查等比数列的基础知识，利用解得a1=-12.首项、公比表示条件，建立关于首项、公比的方程组所以an=n-13.n(n-1)2求出首项、公比，进而求得a6的值，属于常规题，学所以Sn=-12n+=1■n-25■-625.22■2■8生较易解决.这类关于等比（差）数列基本量计算求所以当n=12或n=13时，(Sn)=-78.解的问题在教材中较为常见，但因复习过程中较多使min【评析】此题着重考查学生对等差数列概念和函数用等比（差）数列的性质求解，可能导致学生想方设特性的理解，以及数学抽象、逻辑推理等核心素养.法利用性质求解而误入歧途.同时，有关等比（差）第（1）小题为等差数列的证明，证明等差数列一般用定数列关于基本量的方程组求解，往往因未知数的次数较高而采用方程间相除的方式消元.此类试题在历年义法或中项法，通过an=Sn-Sn-1(n≥2)转化条件即可高考中是常考题型，如2018年全国Ⅰ卷理科第4题、用定义法证得.教材重视学生对概念的理解，等差2019年全国Ⅰ卷理科第1题、2019年全国Ⅲ卷理科第（比）数列的判定与证明在例题和习题中多有体现.例5题等.如，人教A版《普通高中教科书·数学》选择性必修2.等差（比）数列的证明第二册（以下统称“人教A版教材”）第四章习题4.2第等差（比）数列的证明是高考中的常见题型，要7题第（1）小题；习题4.3第7题第（1）小题，第11题第求学生深刻理解相关概念，回归数学本质.证明一个（2）小题，第12题第（1）小题.往年高考试卷中类似试数列是等差（比）数列的方法主要有定义法和中项法.题有2019年全国Ⅱ卷理科第19题第（1）小题，2021年全（1）定义法：证明数列{an}是等差数列，即证an+1-国乙卷理科第19题第（1）小题等.第（2）小题通过三个a数成等比数列的关系建立方程，用基本量表示方程求n+1an为常数；证明数列{an}是等比数列，即证为常an解可得首项，进而求出前n项和Sn.Sn的实质是关于数且不为0.n的二次函数，通过配方结合n的取值可求得Sn的最（2）中项法：证明数列{an}是等差数列，可以证小值.要特别注意数列作为特殊函数的特殊性，n为明对任意的正整数n都有an+2+an=2an+1；证明数列整数，n不一定是最低点的横坐标.求数列的最大{an}是等比数列，可以证明对任意的正整数n都有（小）项或前n项和的最值问题在教材中不乏例题和习2题.例如，北师大版《普通高中教科书·数学》（以下an+2an=an+1.统称“北师大版教材”）选择性必修第二册第一章习题例2（全国甲卷·理17）记Sn为数列{an}的前n项1-2B组第5题.类似高考试题有2018年全国Ⅱ卷理科2Sn和.已知+n=2an+1.n第17题第（2）小题.·49· 解题研究下半月（高中版）2022年第7—8期（总第267—268期）3.等差（比）数列性质的应用【评析】此题仍是对等差数列基础知识的考查，体对等差（比）数列性质的灵活应用是高考数列复现了高考考查要求的基础性.可以用基本量建立方程习训练的重点，在历年高考数列试题中也不乏灵活运求解，也可以用等差中项的性质化简直接获得公差d.用性质的试题，即利用基本量运算繁杂而运用性质可两种解法的运算量没有多大差别，使用性质并没有大以巧解的试题，这就导致高考数列复习过程中学生所幅度减少运算量，这恰好说明了高考对性质应用技巧记性质越来越多.综观2022年高考数列试题，没有一的淡化.但是历年高考曾多次考查等差（比）数列性题运用性质可大幅度减少运算量，大都直接用基本量质的应用，部分试题运用性质求解相较直接建立基本运算即可解决且不复杂.由此可以看出高考“淡化技量的方程计算可减少运算量，如2019年全国Ⅰ卷理科第巧、回归本质”的教学导向，但这并不意味着高考不考14题.查等差（比）数列的性质，这些主要性质仍然需要深4.利用Sn与an的关系求通项刻理解和灵活运用，只是无须强记更多的性质和结论.数列的通项an与前n项和Sn紧密相关，数列的前等差数列的主要性质.n项和本身也是数列，具有数列的一切性质，通项an*（1）在等差数列{an}中，若m+n=p+q(m，n，p，q∈N)，与前n项和Sn是数列的主要研究对象.在等差数列则am+an=ap+aq.特别地，当m+n=2p时，则有am+中，直接体现通项与前n项和之间关系的有：S2n-1=an=2ap.(2n-1)an，S2n=n(an+an+1)，解题过程中常用此实现等（2）在等差数列{an}中，与首末两端等距离的两差数列通项与前n项和之间的转化.而对于任何数列项之和均相等，即a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1.均有an=Sn-Sn-1(n≥2).对非等差（比）数列而言，（3）从等差数列{an}中抽取等距离的项组成的新除此公式外，等差（比）数列的所有性质均不可用，数列是一个等差数列，即ak，ak+m，ak+2m，…成等差可见此公式的重要性.但是运用an=Sn-Sn-1时一定要数列.注意适用范围n≥2，同时还需要用a1=S1求a1，以此（4）在等差数列{an}中，连续m项的和组成的新检验通项公式是否适用n=1的情形.数列是等差数列，即Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…成等差例4（全国新高考Ⅰ卷·17）记Sn为数列{an}的数列.前n项和，已知a=1，Sn是公差为1的等差数列.1{a}3n等比数列的主要性质.*（1）求{an}的通项公式；（1）在等比数列{an}中，若n+m=p+q(m，n，p，q∈N)，1112（2）证明：++…+<2.则anam=apaq.特别地，若m+n=2p，则aman=(ap).a1a2an（2）等比数列{an}中，与首末两端等距离的两项（1）解：因为a1=1，的乘积相等，即a1an=a2an-1=a3an-2=…=akan-k+1.所以S=a=1.所以S1=1.11a1（3）等比数列{an}中连续k项的和组成的新数列Sn1是等比数列，即Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…成等比数列因为{a}是公差为3的等差数列，n（公比为-1且k为偶数的情况除外）.Sn+2(n+2)ann1例3（全国乙卷·文13）记Sn为等差数列{an}的所以a=1+3(n-1)=3.所以Sn=3.n前n项和.若2S3=3S2+6，则公差d的值为.(n+1)an-1所以当n≥2时，Sn-1=.解法1：由2S3=3S2+6，得32■3a+3×2d■=3■2a+2×1d■+6.所以S-S=(n+2)an-(n+1)an-1，11nn-133■2■■2■解得d=2.(n+2)an(n+1)an-1即an=-.33解法2：由2S3=3S2+6，ann+1得2(a1+a2+a3)=3(a1+a2)+6.整理，得(n-1)an=(n+1)an-1.所以a=n-1.n-1由a1+a3=2a2，得2×3a2=3(a1+a2)+6.aa3aan(n+1)2n-1n所以an=a1···…··=.化简，得a2-a1=2，即d=2.a1a2an-2an-12·50· 下半月（高中版）2022年第7—8期（总第267—268期）解题研究显然，对于n=1也成立，均有限制：倒序相加法适用于与两端等距的两项和为n(n+1)定值的数列；错位相减法适用于等差数列与等比数列所以{an}的通项公式为an=.2对应项乘积构成的新数列；裂项相消法适用于通项可（2）证明：由（1），知1=2=2■1-1■.裂为新数列两项之差的数列.ann(n+1)■nn+1■裂项相消法需要构造新数列{cn}，恰使an=cm+k-111■■1■11■11■■所以a+a+…+a=2|■1-2■+■■2-3■+…+■■n-n+1■|=cm，通过相互抵消使数列{an}的前n项和为新数列{cn}12n■■1■有限几项之和.构造新数列{cn}是学生的主要困难，2■1-<2.■n+1■历年高考试卷中有很多用裂项相消法求和的试题，是结论得证.学生复习过程中的重点方法，但从2022年高考试题来【评析】此题考查等差数列的概念、裂项相消法，看，对裂项相消法的考查有弱化趋势，淡化新数列的以及利用Sn和an的关系求通项的基本方法.条件呈现构造技巧，趋于常规.因此，复习中掌握主要的裂项方式有所创新，需要正确理解等差数列的概念，用首技巧即可.使用裂项相消法求和时，需要弄清相互抵项、公差表示等差数列，获得数列{Sn}的通项公式，消的规律，不能盲目认为只剩下第一项和最后一项，an例4第（2）小题即是考查裂项相消法的常规题型.(n+2)an进而得到关于数列{an}的关系式Sn=.在此普遍来说，错位相减法的理解和运算都具有一定3难度，但是方法、步骤明确，多数学生都可以掌握.基础上，第（1）小题需要将an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数ann+1a=n-1，利用累乘法求通项an；第（2）小题需要用列，那么求数列{anbn}的前n项和时可以用错位相减n-1裂项相消法求和，然后通过放缩完成证明.此题所用法.方法是和式两边同时乘等比数列{bn}的公比，与知识和方法都是学生所熟悉的，但是使用过程中易犯原和式相减转化为等比数列求和，进而化简可得.Sn例5（天津卷·18）设{an}是等差数列，{bn}是以下错误：一是转化条件时不知道如何获得数列{a}n等比数列，且a1=b1=a2-b2=a3-b3=1.的首项或直接用数列{an}的首项a1作为其首项（此处（1）求{an}与{bn}的通项公式；未设陷阱，两数列首项均为1）；二是用累乘法求通项（2）设{an}的前n项和为Sn，求证：(Sn+1+an+1)bn=an时没有认真观察约分规律，直接保留首末两项而致Sn+1bn+1-Snbn；2n错；三是用裂项相消法求和时没有认真观察相互抵消k（3）求∑[ak+1-(-1)ak]bk.规律，直接保留首尾两项而致错.此题具有一定的综k=1合性，设有陷阱，学生易错，属于中等难度试题.利（1）解：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，n-1用Sn与an的关系求通项的习题在教材中也有涉及，多则an=1+(n-1)d，bn=q.是直接由前n项和求通项.例如，人教A版教材第四章■(1+d)-q=1，由a2-b2=a3-b3=1，得■2第24页练习2，湘教版《普通高中教科书·数学》选择■(1+2d)-q=1.性必修第一册（以下统称“湘教版教材”）第一章习题因为q≠0，故解得{d=2，q=2.1.2第10题第（1）小题.而在历年高考试题中，也设有非n-1所以an=2n-1，bn=2.等差（比）数列首先利用an=Sn-Sn-1进行转化，统一（2）证法1：由（1）及相关公式，易知为an或Sn的递推关系后求解的试题，如2016年全国Ⅲ卷(a1+an)n22理科第17题、2018年全国Ⅰ卷理科第14题、2021年全Sn==n，Sn+1=(n+1)，an+1=2n+1，bn=2国乙卷理科第19题等.n-1n2，bn+1=2，5.利用常见的数列求和方法求和2n-12n-1所以(Sn+1+an+1)bn=[(n+1)+2n+1]2=(n+4n+2)2.常见的数列求和方法有公式法、分组求和法、并2n2n-122因为Sn+1bn+1-Snbn=(n+1)2-n2=[2(n+1)-n]×项求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法n-12n-1等，求和时并不一定单一使用某种方法.倒序相加2=(n+4n+2)2.法、错位相减法、裂项相消法技巧性较强，适用类型所以(Sn+1+an+1)bn=Sn+1bn+1-Snbn.·51· 解题研究下半月（高中版）2022年第7—8期（总第267—268期）23nn+1即证.则4Tn=2×4+4×4+…+(2n-2)×4+2n×4.②证法2：由（1），知bn+1=2bn≠0.①-②，得要证(S+a)b=Sb-Sb，即证(S+a)b=2n-1n+1n+1nn+1n+1nnn+1n+1n4(1-4)23nn+1-3Tn=8+2×(4+4+…+4)-2n×4=8+2×-Sn+1·2bn-Snbn成立，即证Sn+1+an+1=2Sn+1-Sn成立，1-4n+1n+1(2-6n)×4即证an+1=Sn+1-Sn成立.2n×4n+1=8-32+2×4-2n×4n+1=-8+.3333而an+1=Sn+1-Sn显然成立，2n2n+3k2(3n-1)+8所以(Sn+1+an+1)bn=Sn+1bn+1-Snbn.所以∑[ak+1-(-1)ak]bk=9.k=1证法3：由an+1=Sn+1-Sn，得【评析】此题着重考查分组求和法、错位相减法等左边=(Sn+1+an+1)bn=[Sn+1+(Sn+1-Sn)]bn=(2Sn+1-Sn)bn=数列求和方法，以及分类讨论思想和逻辑推理、数学2bnSn+1-Snbn=Sn+1bn+1-Snbn=右边.运算等素养.第（1）小题通过基本量建立方程组运算求即证.解即可.第（2）小题为证明题，其中涉及an，Sn，Sn+1，nnn-1（3）解法1：令cn=[an+1-(-1)an]bn=[2n+1-(-1)(2n-1)]2，bn，bn+15个量，如何利用它们之间的关系完成证明，n+1需要学生认真分析、选择方法.方法1用基本量表示这n×2，n为奇数，则cn={n5个量，统一转化为关于基本量的表达式，化简比较即2，n为偶数.2n证；方法2利用分析法，从所证结论出发，易推出显然k所以∑[ak+1-(-1)ak]bk=c1+c2+c3+c4+…+c2n-1+c2n=k=1已知的条件an+1=Sn+1-Sn，从而得证；方法3在观察、242n分析的基础上利用基本量之间的关系，即a=(c1+c3+…+c2n-1)+(c2+c4+…+c2n)=[1×2+3×2+…+(2n-1)×2]+n+1(2+24+…+22n).Sn+1-Sn，bn+1=2bn进行转化，从左至右或从右至左，2242n从消元的角度利用上述两种关系选择消去5个量中的任令Qn=1×2+3×2+…+(2n-1)×2，何1个量均可证明.三种方法都需要学生从数学思想与2nn+1k4-4则∑[ak+1-(-1)ak]bk=Qn+，方法的角度进行策略性选择，盲目运算容易入歧途.3k=1462n2n+2同时，不同方法的选择运算量不同，体现了学生不同4Qn=1×2+3×2+…+(2n-3)×2+(2n-1)×2.2462n层次的数学素养.第（3）小题着重考查学生用错位相减所以-3Qn=2+2×2+2×2+…+2×2-(2n-1)×k法进行数列求和.但求和符号的理解和(-1)给学生造4n-12×2(1-4)2n+22n+2k2=4+-(2n-1)×2.成了干扰.尤其是对于(-1)，部分学生不知道要怎么1-4k2n+2处理，即使掌握了错位相减法也可能无从下手.(-1)2(6n-5)+20所以Qn=.9对k分为奇数和偶数两种情形解决，当然也可把2n22n+2n+1kk-1k(6n-5)+204-4k-1所以∑[ak+1-(-1)ak]bk=+=-(-1)2作为整体(-2)处理，从而用错位相减法求93k=1和，不过此时需要两次使用错位相减法求和.运算量2n+32(3n-1)+8，较大，学生极有可能因为运算繁复而放弃或出现运算92n22n+3(3n-1)+8错误.方法1和方法2是对k分奇数和偶数两种情形k即∑[ak+1-(-1)ak]bk=9.后，再分别采用分组求和法与并项求和法，大幅度减k=1nnn-1少运算量，特别是并项求和法将问题转化为用错位相解法2：令cn=[an+1-(-1)an]bn=[2n+1-(-1)(2n-1)]2，减法求新数列的和这一常规问题.不同方法的选择可2k-12k当n=2k时，c2k=[4k+1-(4k-1)]2=2，以区分学生不同的数学素养水平，这是一道考查基础性2k-22k当n=2k-1时，c2k-1=[4k-1+(4k-3)]2=(2k-1)2.和综合性的优秀试题.错位相减法源自等比数列前n项2k2k2kk和公式的推导，教材例题和习题亦有多题应用此法.所以c2k-1+c2k=(2k-1)2+2=2k×2=2k×4.2n例如，人教A版教材第四章复习参考题第10题，北师k而∑[ak+1-(-1)ak]bk=(c1+c2)+(c3+c4)+…+(c2n-1+c2n)=大版教材选择性必修第二册第一章复习题一C组第1题.k=112n运用裂项相消法和错位相减法求和一直是高考考查的2×4+4×4+…+2n×4.12n令Tn=2×4+4×4+…+2n×4，①重点，在历年高考中均有体现.例如，2020年全国Ⅰ卷·52· 下半月（高中版）2022年第7—8期（总第267—268期）解题研究理科第17题，2020年全国Ⅲ卷理科第17题，2020年天当n>N0时，an>0”的充分必要条件.津卷第19题.故选择选项C.6.数列函数特性的应用【评析】此题着重考查数列的单调性和简易逻辑知《标准》突出了数列的函数特性，将数列作为函数识，要求学生理解数列单调性和函数单调性的共性与主线的内容之一，北师大版教材将等差（比）数列的函差异.同时，创新问题呈现方式考查了学生的数学语数特性单列成节，可见其重要性.从2021年和2022年言理解表达能力和数学抽象素养.多数学生对严格的全国新高考试卷可以看出，新高考数学不再注重数列知推导存在困难，但作为选择题，此题在正确理解数列识的覆盖比例，2021年全国新高考Ⅱ卷和2022年全国新单调性的基础上不难解决.若{an}为递增数列，即使高考Ⅰ卷在选择题和填空题中未考查数列内容.2022年首项为负，在一直递增的情况下，数列的项一定会变全国新高考试卷，更注重考查数列模型的应用和数列为正数，且趋于无穷大.因此“存在正整数N0，当作为函数的特性.由此说明，新高考数学不再把数列n>N0时，an>0”，满足充分性.在判断必要性时，不内容作为独立知识板块进行考查，而是将其融入函数易正面推断，可以采用反证法.如果数列{an}是递减主线，数列内容考什么、怎么考、考多少取决于函数数列，数列后面的无穷多项终会变为负数，出现矛主线考查和数学素养考查的需要.盾.新教材相较旧教材更强调数列的函数特性，例题例6（北京卷·6）设{an}是公差不为0的无穷等和习题中判断函数单调性、求最大（小）项问题比例差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，有所增加.例如，北师大版教材选择性必修第二册第一当n>N0时，an>0”的（）.章习题1-3A组第4题寻找等比数列为递减数列的充分（A）充分而不必要条件条件；湘教版教材第一章1.2.2练习第2题关于数列单调（B）必要而不充分条件性判断的真命题选择和1.3.2练习第2题关于等比数列为（C）充分必要条件递增数列的充要关系判断.类似的高考试题有2021年（D）既不充分也不必要条件全国甲卷理科第7题.解：设数列{an}的公差为d，则an=a1+(n-1)d(d≠0).7.运用数学思想突破思维阻碍点若{an}为递增数列，则d>0.2022年高考数列试题给人的直观印象是非常规试d-a题较多，非常规试题无法直接套用复习过程中反复使1令an>0，有n>.d用、训练的套路，需要学生深刻理解问题、深入分析■d-a1■条件、综合运用知识方法解决问题，这是考查学生关令N0=||，则存在正整数N0，当n>N0时，an>0.■d■键能力和数学素养的重要载体，也是高考考查要求综所以“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当合性和创新性的体现.n>N0时，an>0”的充分条件.面对非常规试题，学生直接套用所学套路，当解若存在正整数N0，当n>N0时，an>0，则当n>N0题受阻时便束手无策，此时可用数学思想调整解题策-a1略，突破思维阻碍点.例如，当正面解决问题有困难时，d>恒成立.n-1时，可以考虑解决反面问题或用反证法；当问题的一-a1当a1≤0时，≥0，即d>0；般情形不易解决时，可以考虑特殊情形或取特值、特n-1-a-a例发现规律；当问题分析较为困难时，可以考虑画图11当a1>0时，<0且→0.n-1n-1直观发现某些本质关系（数形结合思想）；当问题解决-a1具有不确定性时，可以考虑分多种情形逐一解决（分要使d>恒成立，则须d≥0.n-1类讨论思想）；等等.综上，若存在正整数N0，当n>N0时，an>0，则综观2022年高考数列压轴试题或其他内容压轴试有d>0，即{an}为递增数列.题，大都有反证法或反证思维的影子，由于推出矛盾所以“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当的不确定性，需要学生具有发散思维，在深入分析、n>N0时，an>0”的必要条件.多次尝试后确定推出的矛盾，这又需要学生具备聚合综上，“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，思维和批判性思维，而这恰恰是创新思维的主要体·53· 解题研究下半月（高中版）2022年第7—8期（总第267—268期）现.下面着重举例说明反证思想在学生调整解题策略故答案为①③④.解决问题中的重要性.【评析】此题是对数列知识的综合考查，着重考查例7（北京卷·15）已知数列{an}的各项均为正学生的基本数学思想、逻辑推理能力和创新能力.对数，其前n项和Sn满足an·Sn=9(n=1，2，…).给于条件anSn=9，可以利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为99出下列四个结论：递推关系an=-，不难判断结论①②③的正anan-1①{an}的第2项小于3；误，但是对结论④的判断难度较大.依据正难则反原②{an}为等比数列；则，考虑反证法，假设结论不成立，后推出矛盾.由③{an}为递减数列；于囿于日常训练的定式思维，学生的反证思维和反证1④{an}中存在小于的项.意识不足，解题受阻后不能及时调整策略，这是其未100能正确判断的主要原因.其中所有正确结论的序号是.∗解：由题意可知，∀n∈N，an>0.2二、优秀试题分析当n=1时，由a1=9，得a1=3；99当n≥2时，由Sn=，得Sn-1=.anan-1例8（全国新高考Ⅱ卷·3）中国的古建筑不仅是两式作差，得an=9-9.所以9=9-an.挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.图1是中国anan-1an-1an古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，9则a-a2=3.相邻的桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是2整理，得a2+3a-9=0.某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，2235-3AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的因为a2>0，所以解得a2=2<3.DD1CC1BB1AA1举步之比分别为=0.5，=k1，=k2，=k3.所以①正确.OD1DC1CB1BA1假设数列{an}为等比数列，设其公比为q，已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的2斜率为0.725，则k3的值为（）.2■9■812则a2=a1a3，即||=.所以S2=S1S3.A′■S2■S1S3B′AC′y2222D′B可得a1(1+q)=a1(1+q+q)，AC解得q=0.DBCA1不合乎题意，故数列{an}不是等比数列.DB1C1所以②错误.OD1x9(a-an)图1图299n-1当n≥2时，an=-=>0，aaaa（A）0.75（B）0.8（C）0.85（D）0.9nn-1nn-1可得an<an-1.解：设OD1=DC1=CB1=BA1=1，则CC1=k1，BB1=所以数列{an}为递减数列.k2，AA1=k3.所以③正确.依题意，有k3-0.2=k1，k3-0.1=k2，1且DD1+CC1+BB1+AA1=0.725.假设{an}中存在不小于100的项，OD1+DC1+CB1+BA1即对任意的n∈N∗，有a≥1，0.5+3k3-0.3n所以=0.725.1004则S100000≥100000×1=1000.故k3=0.9.100故选择选项D.991所以a100000=≤<.S1000001000100【评析】此题以中国古建筑为背景，渗透数学文与假设矛盾，假设不成立.化、数学审美，引导学生感受数列模型的应用价值.所以④正确.考查了等差数列和直线斜率的基础知识，对学生数学·54· 下半月（高中版）2022年第7—8期（总第267—268期）解题研究符号语言和图形语言的理解能力要求较高.学生需要■d=2b1，①即■结合图形理解条件和问题、综合运用相关知识解题.■2a1+4d=10b1.②DD1CC1BB1d题中主要条件有三个：=0.5，=k1，=由①，得b1=.OD1DC1CB12AAdk，1=k；k，k，k是公差为0.1的等差数列；直线OA代入②，得2a1+4d=10×.2BA312321d的斜率为0.725.如何运用所学知识把这三个条件结合起化简，得a1=.2来是学生解题的难点.对此，可以从直线OA的斜率表d所以a1=b1=.达着手.根据斜率公式可知，直线OA的斜率即为点A纵2坐标与横坐标之商.而由图形可知，点A的横坐标等于即证.线段OD1，DC1，CB1，BA1之和，点A的纵坐标恰等于线（方法3）由a2-b2=b4-a4，得a2+a4=b2+b4.段DD，CC，BB，AA之和，所以k=DD1+CC1+BB1+AA1.则有2a3=b2+4b2，1111OAOD1+DC1+CB1+BA15DDCCBBAA即a3=b2.11112由条件=0.5，=k1，=k2，=k3代入，OD1DC1CB1BA1将a=5b代入a-b=a-b，得3222330.5+3k3-0.32可得方程4=0.725（若令OD1=DC1=CB1=5a2-b2=b2-2b2.2BA1=1可减少运算量），后解之可得.尽管此题具有一3定的综合性，亦无套路可用，需要学生认真分析、选化简，得a2=2b2.择方法，但解题路径比较清楚.不过也有很多学生因因为a2为a1，a3的等差中项，即2a2=a1+a3，为不能正确理解题意而无法入手，还有部分学生受条35所以2×b2=a1+b2.DD1CC1BB1AA122件=0.5，=k1，=k2，=k3的干扰，OD1DC1CB1BA1化简，得a=1b.122认为条件告知了直线OD，DC，CB，BA的斜率，然后想尽办法寻找这四条直线的斜率与直线OA斜率之间因为b2=2b1，的关系建立方程求解，结果陷入困境.此题情境新所以a1=b1.颖，具有基础性和综合性，虽然难度较大，但区分度较即证.高，有利于考查学生的数学抽象和直观想象素养.（2）由（1），知b1=a1=d.2例9（全国新高考Ⅱ卷·17）已知{an}是等差数k-1由bk=am+a1，得b1×2=a1+(m-1)d+a1，列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2-b2=a3-b3=k-1即2=2m，b4-a4.k-2亦即m=2∈[1，500].（1）证明：a1=b1；解得2≤k≤10.（2）求集合{k|bk=am+a1，1≤m≤500}中元素的所以满足等式的解k=2，3，4，…，10.个数.所以集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中的元素个数解：（1）（方法1）设数列{an}的公差为d.为10-2+1=9.a1+d-2b1=a1+2d-4b1，由条件，得{a+d-2b=8b-(a+3d)，【评析】此题条件是等差数列和等比数列满足的连1111等式，可以建立三个方程.第（1）小题要求证明■d=2b1，①即■■2a1+4d=10b1.②a1=b1，通过连等式建立方程组求解即可.连等式中有将①代入②，得2a1+4×2b1=10b1.6个未知量，即使用基本量表示也还有a1，b1，d这3个化简，得a1=b1.未知量，无法求出未知量的具体值.事实上，方法1和即证.方法2都是用数列的基本量表示连等式建立方程组，方（方法2）设数列{an}的公差为d.法1是消去无关量获得a1和b1，从而得证；方法2是把a1+d-2b1=a1+2d-4b1，a1，b1作为未知量，视d为常数，分别求出a1和b1，由条件，得{a1+d-2b1=8b1-(a1+3d)，即可作出判断.两种方法看起来差不多，但其存在本·55· 解题研究下半月（高中版）2022年第7—8期（总第267—268期）质上的差别，方法1是消元思想，方法2是主元思想和利用n=1特殊情形求a1并检验通项公式；在公比q未中间量表示法.方法3的本质同方法2，是用第3个量分na1(1-q)知的情况下使用等比数列前n项和公式Sn=别表示a1和b1，从而做出判断，但没有用基本量，直1-q接用b2表示a1和b1.依据这3种方法的本质，从不同时，没有注意q≠1的条件；在使用累加法、累乘法、角度选取不同的量可以获得多种形式的解题过程.例裂项相消法时，没有认真观察和分析相约、相消规如，连等式得到的3个方程选择两个方程建立方程组有律，受思维定式影响直接保留第一项和最后一项而导3种形式，中间量可以是d，a2，a3，b2，b3等，用它们致错误；忽略等比数列公比不为0的条件；等等.因此，分别表示a1和b1仍然可证，选取不同的量就得到不同在高三数列复习过程中，教师要重视培养学生正确使的解题过程.因此，第（1）小题的求解看似简单，但是用基本方法的思维习惯.例如，利用公式an=Sn-Sn-1有多种思路，也反映学生不同的素养水平.第（2）小题na1(1-q)求通项时先考虑n=1的特殊情形；使用公式Sn=的问题呈现方式有所创新，表面看似关于集合的问1-q题，但实际上是对数列和不等式等知识的综合考查，时先判断公比q是否可以取1；使用累加法、累乘法、体现了高考考查要求的综合性，也考查了学生对集合裂项相消法时，至少写出前三项和后两项寻找规律；语言的理解和数学抽象素养.不能正确理解题意和无等等.粗心致错不是教师多强调几次或学生背一背易k-2法求解不等式1≤2≤500是学生的主要问题.不等错点能解决的，只有形成良好的、有序的、正确的解k-2式1≤2≤500是含指数式的超越不等式，500无法表题思维习惯，才可能使学生在一定程度上克服粗心.示成以2为底的幂值，不能直接利用指数函数的单调性3.重视函数内容学习，强化函数与数列的综合应用求解，需要对500附近的以2为底的幂值进行估算，即《标准》将数列归为函数主线内容，要求学生感受89k-22<500<2.进而将不等式1≤2≤500等价转化为数列的函数特性和数学的整体性，以及数列模型在实际k-281≤2≤2，后用指数函数单调性转化为指数的不等生产、生活中的应用.基于《标准》，各版本新教材在关系，从而解得2≤k≤10.不同程度上强化了数列的函数特性，在例题和习题中可见一斑.从近几年新高考数列试题来看，加大了对数列三、复习备考建议的单调性、最大（小）项或最值和数列的周期性等与函数性质相关问题的考查力度，这些问题的解决与数1.淡化技巧，回归数学本质列的学习有关，但更与函数、不等式的学习密切相关.数“把握数学本质，启发思考，改进教学”是《标列内容的考查服从函数主线与数学素养考查的需要.因准》的基本理念之一，从2022年高考数列试题可以看此，高考复习过程中要重视函数内容的学习，重视函数出，关于数列的性质使用和递推求通项的技巧考查有内容与数列内容的融合应用，重视数列模型的实际应用.所弱化，回归到对数列的基本概念和函数属性的考查4.克服思维定式，用数学思想引领解题方向上，多数试题通过基本量运算即可解决.因此，在高新高考命题从“知识立意、能力立意”转向“价考数列复习中，不必大量机械训练等差（比）数列性值引领、素养导向、能力为重、知识为基”的综合评质的灵活运用，以及用数列递推公式求通项的不常用价体系，数学学科高考命题重视考查学生的理性思维的特殊技巧（如特征根法、不动点法等），而是要注重能力和数学核心素养.刷题教学重视题型归纳和解题回归基础，深刻理解数列的相关概念，掌握基础知识套路训练，而忽视了数学思想的渗透和理性思维能力和基本方法（等差数列或等比数列的主要性质，常用的培养，很难应对新高考.2022年全国新高考Ⅰ卷被的求和方法，以及基本的递推求通项的技巧）.评为“历史最难”，凸显了刷题教学与素养导向命题的2.掌握基本方法，培养解题思维习惯冲突与差距.不仅是高考数列内容复习，而是在所有对于2022年高考数列试题，学生未能正确解题的内容的复习过程中，教师都应该注重数学思想在解题主要原因不在于没有掌握基本方法，而是没有深刻理中的引领作用，特别是面对非常规试题或复杂情境试解方法并正确使用，只是机械套用方法步骤解题，未题时，要引导学生利用数学思想调整解题方向和解题关注方法适用的类型和条件.例如，利用an=Sn-Sn-1策略，在不断试错中寻找解题路径，进而提升学生的转化问题时，没有注意到公式的适用条件n≥2，也没理性思维能力.·56· 下半月（高中版）2022年第7—8期（总第267—268期）解题研究四、典型模拟题3.已知数列{an}和{bn}满足：a1=2，b1=1，an+1=3131*an+bn，bn+1=bn+an，其中n∈N.n-344441.已知数列{an}的通项公式为an=，则数2n-11（1）证明：数列{an-bn}是等比数列；列{an}的前n项和的最小值为（）.（2）若cn=3an+bn，求数列{ncn}的前n项和.27（A）（B）-932n+2答案：（1）略；（2）3n+3n+4-.12446n-1（C）-（D）-26321参考文献：答案：C.［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学2.（多选题）已知数列{an}满足a1=1，an=an+1+*课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北ln(1+an+1)(n∈N)，则（）.京：人民教育出版社，2020.（A）0<a2<1（B）an>1（C）an>an+1（D）0<an≤1［2］教育部考试中心制定.中国高考评价体系［M］.答案：ACD.北京：人民教育出版社，2019.（上接第47页）的取值范围.（A）f(x)≤f■5π■答案：（1）π；（2）(3，3).■6■32（B）f(x)在[0，2π]有且仅有两个极小值点x2y4.椭圆+=1上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，64（C）f(x)在[0，2π]有且仅有四个零点则|OP||OQ|的最小值为.（D）f(1)<f(2)24答案：BCD.答案：5.2.已知cos■α+π■+sinα=3，则sin■2α+π■参考文献：■6■3■6■［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学的值是（）.课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北21（A）-（B）-93京：人民教育出版社，2020.（C）-2（D）-7［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.39《普通高中数学课程标准（2017年版）》解读［M］.答案：B.北京：高等教育出版社，2018.3.在条件①a(sinA-sinC)=(b-c)(sinB+sinC)，［3］闫旭，王恩波.2021年高考“三角函数”专π■3a②2bcos■C-=a+c，③=tanB+tanC中选■3■bcosC题解题分析［J］.中国数学教育（高中版），一个填在下面试题的横线上，并加以解析.在△ABC2021（7/8）：39-44.中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且.［4］刘莉.2021年高考“三角函数”专题命题分（1）求角B的大小；析［J］.中国数学教育（高中版），2021（7/8）：（2）若△ABC是钝角三角形，且b=3，求a+c34-38，50.·57·